例4 李老师让同学们讨论这样一个问题，如图1－3所示，有 一个长方体盒子，底面正方形的边长为2 cm，高为3 cm，在长
方体盒子下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面的F点处
的食物，则怎样爬行路程最短？最短路程是多少？
过了一会，李老师问同学们答案，甲生说：先由A点到B点， 再走对角线BF；乙生说：我认为应由A先走对角线AC，再走C到F 点；丙生说：将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长方形AEFD， 利用勾股定理求AF的长；丁生说：将长方形ABCD与正方形CFGD 展开成长方形ABFG，利用勾股定理求AF的长．你认为哪位同学
解：(1)当两直角边长分别为 3 和 4 时，第三边长的平方为 32＋42＝25； (2)当斜边为 4，一直角边为 3 时，第三边长的平方为 42－32＝7.
易错警示 应用勾股定理计算时，易出现下列两种错误： (1)忽视勾股定理成立的条件，在非直角三角形中使用 a2＋ b2＝c2； (2)当题目给出两条边长而没有给出图形时，可能考虑不周 而漏解．
考点三 勾股定理的实际应用
例3 如图1－2，在公路AB旁有一座山，现有一C处需要爆破 ，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300 m，与公路上另一停 靠站B的距离为400 m，且CA⊥CB，为了安全起见，爆破点C周围 半径250 m范围内不得进入．在进行爆破时，公路AB段是否因有
危险而需要暂时封锁？
北师大版数学八年级上册全册复习演示文稿
C实数
第三章 位置与坐标 第四章 一次函数
第五章 二元一次方程组
第六章 数据分析 第七章 平行线的证明
第一章 勾股定理
知识归纳
1．勾股定理
定义：如果直角三角形两直角边分别为 a、b，斜边为 c，那么a2＋b2＝c2
则BF＝BC＋CF＝3＋2＝5(cm)，AB＝2 cm，连接AF，在 Rt△ABF中，AF2＝BF2＋AB2＝52＋22＝29≈5.392，
∴AF＝5.39 cm.连接AC， ∵AF<AC＋CF，
∴丁的方法比乙的好． 比较丙生与丁生的计算结果，知丙生的说法正确．
图1－4
图1－5
方法技巧
最短路径问题是勾股定理在立体几何中的应用，一般做法 是把长方体(或其他几何体)侧面展开，将立体图形问题转化为 平面图形问题，再根据两点之间线段最短，用勾股定理求解．
考点四 验证勾股定理 例5 一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾
在 Rt△ECF 中，有 EF2＝a22＋a42＝156a2. 在 Rt△FDA 中，有 AF2＝a22＋a2＝54a2.
在 Rt△ABE 中，有 BE＝a－14a＝34a，
∵AE2＝a2＋34a2＝1265a2，
∴AF2＋EF2＝AE2.
根据勾股定理的逆定理，得∠AFE＝90°，
∴AF⊥EF.
易错警示 根据 a2＋b2＝c2，判别直角三角形时，容易出现计算一条 短边及最长边的平方和，导致错误．
的说法正确？并说明理由．(参考数据：29≈5.392)
图1－3
第[解一析章] |过要关使测蚂试蚁爬行的路程最短，可直接连接AF，再求出AF ，但AF在盒子里面，不符合题目要求．甲生和乙生的方案类似
，只是顺序不同，丙生和丁生的方法类似，只是长方形的长、 宽不同，若在丙、丁的长方形中分别画出甲、乙的路线，则发 现丙生和丁生的办法都符合要求，但究竟哪个路程最短，就需 要计算了．
解：按丙生的办法：将长方形ABCD与长方形BEFC展开成长方 形AEFD，如图1－4所示：
则AE＝AB＋BE＝4(cm)，EF＝3 cm，连接AF，在Rt△AEF中， AF2＝AE2＋EF2＝42＋32＝25，∴AF＝5(cm)．连接BF，
∵AF<AB＋BF，
∴丙的方法比甲的好．
第一按章丁生|过的关办测法试，将长方形ABCD与正方形CFGD展开成长方形 ABFG，如图1－5所示：
由三角形的面积可知：12AB·CD＝12BC·AC，所以 500CD＝ 400×300，所以 CD＝240 m.
因为 240＜250，即点 C 到 AB 的距离小于 250 m，所以有危险， 公路 AB 段需要暂时封锁．
方法技巧
转化思想是一种重要的数学思想，它的应用十分广泛 ，如通过作高可以将非直角三角形的问题转化为直角 三角形的问题来解决，通过建模可以将实际问题转化 为数学问题来解决等．
图1－2
[解析] 要判断公路 AB 段是否需要封锁，则需要比较点 C 到 AB 的距离与 250 m 的大小关系，可以借助勾股定理和三角形的面 积计算点 C 到 AB 的距离．
解：作 CD⊥AB 于 D，因为 BC＝400 m，AC＝300 m，∠ACB ＝90°，根据勾股定理，得 AC2＋BC2＝AB2，即 3002＋4002＝AB2， 所以 AB＝500 m.
如果三角形的三边长 a、b、c 满足：a2＋b2＝c2 ，那么这个三角形是
直角三角形．
3．勾股数
满足 a2＋b2＝c2 的三个 正整数 ，称为勾股数．
考点攻略
考点一 应用勾股定理计算 例1 已知直角三角形的两边长分别为3,4，求第三边长的平方．
[解析] 因习惯了“勾三股四弦五”的说法，即意味着两直角 边为3和4时，斜边长为5.但这一理解的前提是3,4为直角边． 而本题中并未加以任何说明，因而所求的第三边可能为斜边 ，也可能为直角边．
各种表达形式：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分
别为 a、b、c，则 c2＝ a2＋b2 ，a2＝ c2－b2 ，b2＝ c2－a2 .
作用：(1)已知直角三角形的两边求第三边；(2)已知直角三角形的一边求 另两边的关系；(3)用于证明平方关系的问题．
2．勾股定理的逆定理
考点二 直角三角形的判别
例 2 如图 1－1，在正方形 ABCD 中，F 为 DC 的中点，E 为 BC 上一点，且 EC＝14BC，请说明：AF⊥EF.
图 1－1
[解析] 要说明 AF⊥EF，可说明△AEF 是直角三角形，只要根 据勾股定理的逆定理说明 AF2＋EF2＝AE2 就可以了．
解：连接 AE，设正方形边长为 a，则 DF＝FC＝a2，EC＝a4.
