名校学案2018年秋高中数学人教A版选修2-3课件：第二章 随机变量及其分布 2-2-2 精品

2．二项分布
一般地，在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试 验中事件 A 发生的概率为 p，则 P(X＝k)＝__C_nk_p_k(_1_－__p_)_n－_k___，k＝0,1,2，…，n. 此时称随机变量 X 服从二项分布，记作 X～__B_(_n_，__p_)__，并称 p 为__成__功__概__率____.
对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为 古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次， 要判断事件是 A＋B 还是 AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别 运用相加或相乘事件公式，最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概 率、独立事件、n 次独立重复试验的概率公式求解.
P(Ck)＝16. (1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率． P＝3! P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)＝6×12×13×16＝16.
(2)法一：设 3 名工人中选择的项目属于民生工程的人数为 η，由已知，η～ B3，13，且 ξ＝3－η，所以
P(ξ＝0)＝P(η＝3)＝C33133＝217，P(ξ＝1)＝P(η＝2)＝C2313223＝29，P(ξ＝2)＝ P(η＝1)＝
C1313232＝49，P(ξ＝3)＝P(η＝0)＝C03233＝287.故 ξ 的分布是ξ0123p
1 27
2 9
48 9 27
法二：记第 i 名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事
【解析】 (1)“甲获胜”分两类：①甲连胜两局；②前两局中甲胜一局，
并胜最后一局．即 P＝232＋C12×23×13×23＝2207.
(2)由题意知，C04p0(1－p)4＝1－6851，p＝13.

������(������������) ������(������������)
1
2
2.P(B|A)与P(B)样本空间的区别 剖析如果随机试验的样本空间为Ω,那么讨论P(B|A)的样本空间 是A,而P(B)的样本空间为Ω(即找准样本空间是解决问题的关键).
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一 列出基本事件空间,利用古典概型求条件概率
【例1】 一个盒子内装有4件产品,其中3件一等品,1件二等品,从 中取两次,每次任取1件,且不放回抽取.设事件A为“第一次取到的是 一等品”,事件B为“第二次取到的是一等品”,试求条件概率P(B|A). 分析列出基本事件空间,利用古典概型求解. 解:将产品编号为1号,2号,3号的看作一等品,编号为4号的产品看 作二等品,以(i,j)表示第一次、第二次分别取到第i号、第j号产品, 则试验的基本事件空间为 Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3 )}. 因为事件A有9个基本事件,事件AB有6个基本事件,所以
������(������������)
������(������������) ������(������) ������(������) ������(������)
= ������(������) .
������(������������)
������(������������)
4.在公式 P(B|A)= ������(������) 中,我们要注意变式应用,如
2.2.1 条件概率
1.能通过具体实例理解条件概率的定义及计算公式. 2.会利用条件概率,解决一些简单的实际问题.

[ 答案]
[ 解析]
2 3 (1)7 (2)7
4 (3)7
解法 1：(1)第一次取到红球不放回，此时口袋里
2 有 2 个红球，5 个蓝球，故第二次取到红球的概率为 P1＝7. (2)第一次取到蓝球后不放回，这时口袋里有 3 红 4 蓝 7 个 3 小球，从中取出一球，取到红球的概率为7.
(3)第一次取到蓝球后不放回，这时口袋里有 3 红 4 蓝 7 个 4 小球，从中取出一球，取到蓝球的概率为 P3＝7. 解法 2： (1)记事件 A 为“第一次取到红球”， 事件 B 为“第 C2 3 3 3 二次取到红球”，∵P(AB)＝C2＝28，P(A)＝8， 8 3 PAB 28 2 ∴P(B|A)＝ ＝ 3 ＝7. PA 8
成才之路 ·数学
人教A版 ·选修2-2 2-3
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
随机变量及其分布
第二章 2.2 二项分布及其应用
2.2.1 条件概率
1
课前自主预习
3
当 堂 检 测
2
课堂典例讲练
4
课 时 作 业
课前自主预习
在一次英语口试中，共有10道题可选择．从中随机地抽取
5道题供考生回答，答对其中3道题即可及格．假设作为考生的
4． 在一个口袋里装有大小相同的红色小球 3 个， 蓝色小球 5 个，从中任取 1 球观察颜色，不放回，再任取一球，则 导学号 03960375 (1) 在第一次取到红球条件下，第二次取到红球的概率为 _____； (2)在第一次取到蓝球的条件下，第二次取到红球的概率为 _____； (3)在第一次取到蓝球的条件下，第二次取到蓝球的概率为 ______．
你，只会答10道题中的6道题； 那么，你及格的概率是多少？在抽到的第一题不会答的情

[ 答案]
[ 解析]
D
已知 ξ～N(4,5)，所以 μ＝4，
又因为 P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)， 2a－3＋a＋2 所以 ＝4，解得 a＝3. 2
3． (2016· 潍坊五县高二检测)已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(1 ， σ2) ， 且 P(ξ<2) ＝ 0.6 ， 则 P(0<ξ<1) ＝ ________. 导学号 03960537
0.9544 ②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝________ 0.9974 ③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝________.
4．3σ原则
通常服从正态分布 N(μ，σ2)的随机变量 X只取(μ－ 3σ，μ＋
3σ)之间的值．
[ 知识点拨] 标准正态分布及其性质 (1)标准正态分布：当 μ＝0，σ＝1 时，正态总体称为标准 1 x2 正态总体，其相应的函数表达式是 f(x)＝ e－ 2 ，(－∞<x< 2π ＋∞)，其相应的曲线称为标准正态曲线．
A．曲线 C2 仍然是正态曲线 B．曲线 C1 和曲线 C2 的最高点的纵坐标相等 C．以曲线 C2 为概率密度曲线的总体的期望比以曲线 C1 为概率密度曲线的总体的期望大 2 D．以曲线 C2 为概率密度曲线的总体的方差比以曲线 C1 为概率密度曲线的总体的方差大 2
5．商场经营的某种包装的大米质量服从正态分布 N(10,0.12)(单位：kg)．任选一袋这种大米，质量在 9.8～10.2kg 的概率是多少？ 导学号 03960539
[解析] 因为大米的质量服从正态分布 N(10,0.12)，要求质
量在9.8～10.2的概率，需化为(μ－2σ，μ＋2σ)的形式，然后利
(2)标准正态分布的性质

1 7 P2<X<2
＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)
＝110＋120＋130＝35.
利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题： 1X 的各个取值表示
的事件是互斥的 2不仅要注意
，而且要注意 pi≥0，i＝1，2，…，n.
[ 再练一题]
1．若离散型随机变量 X 的分布列为：
X
0
P
4a－1
探究 2 只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？
【提示】 不一定．如随机变量 X 的分布列由下表给出 X2 5 P 0.3 0.7
X 不服从两点分布，因为 X 的取值不是 0 或 1.
探究 3 在 8 个大小相同的球中，有 2 个黑球，6 个白球，现从中取 3 个， 求取出的球中白球个数 X 是否服从超几何分布？超几何分布适合解决什么样的 概率问题？
【精彩点拨】 先由分布列的性质求 a，再根据 X＝1 或 X＝2，12<X<72的含 义，利用分布列求概率．
【自主解答】 (1)∵i＝41pi＝1a＋2a＋3a＋4a＝1，
∴a＝10， 则 P(X＝1 或 X＝2) ＝P(X＝1)＋P(X＝2) ＝110＋120＝130.
(2)由 a＝10，
可得
【解析】 设二级品有 k 个，∴一级品有 2k 个，三级品有2k个，总数为72k个． ∴分布列为
ξ1 2
3
P
4 7
2 7
1 7
P13≤ξ≤53＝P(ξ＝1)＝47.
【答案】
4 7
2．某 10 人组成兴趣小组，其中有 5 名团员，从这 10 人中任选 4 人参加某
种活动，用 X 表示 4 人中的团员人数，则 P(X＝3)＝________. 【解析】 P(X＝3)＝CC35C14015＝251.

1 2 1 故 P( A )＝2，P( B )＝1－3＝3， 1 1 1 ∴P(A B )＝P(A)×P( B )＝2×3＝6； 1 1 1 － － P( A B )＝P( A )×P( B )＝2×3＝6.
4．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的 5 个问题中， 选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一 轮． 假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8， 且每个问题 的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下 一轮的概率等于________. 导学号 03960407
[ 答案]
0.128
[解析]
此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选
手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问 题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所 求的概率为1×0.2×0.82＝0.128.
课堂典例讲练
相互独立事件的判断
判断下列各对事件是否是相互独立事件： 导学号 03960408 (1)甲组 3 名男生，2 名女生；乙组 2 名男生，3 名女生， 今从甲、乙两组中各选 1 名同学参加演讲比赛，“从甲组中选 出 1 名男生”与“从乙组中选出 1 名女生”； (2)容器内盛有 5 个白乒乓球和 3 个黄乒乓球，“从 8 个球 中任意取出 1 个，取出的是白球”与“从剩下的 7 个球中任意 取出 1 个，取出的还是白球”．
符号 计算 公式
事件A(或B)是否发生对 不可能同时发生的两个 事件B(或A)发生的概率 事件 没有影响 互斥事件A，B中有一 相互独立事件A，B同 个发生，记作：A∪B( 时发生，记作：AB 或A＋B)
P(AB)＝P(A)P(B) P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
1．(2016· 刑台高二检测)甲、乙两人各用篮球投篮一次，若 两 人 投 中 的 概 率 都 是 0.7 ， 则 恰 有 一 人 投 中 的 概 率 是 导学号 03960404 ( A．0.42 C．0.7 ) B．0.49 D．0.91

A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)， (3,4)}，
AB＝{(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,2)}， P(B|A)＝nnAAB＝23.
数学 选修2-3
第二章 随机变量及其分布
知能整合提升
热点考点例析
数学 选修2-3
第二章 随机变量及其分布
知能整合提升
热点考点例析
(2)正态分布的3σ原则：若随机变量X～N(μ，σ2)，则 P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6， P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4， P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4. 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机 变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．
其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如
果随机变量 X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服从
超几何分布．
数学 选修2-3
第二章 随机变量及]解决超几何分布的有关问题时，注意识别模型，即 将试验中涉及的事物或人转化为相应的产品、次品，得到超几 何分布的参数n，M，N.
数学 选修2-3
第二章 随机变量及其分布
知能整合提升
热点考点例析
[说明]识别条件概率的关键是看已知事件的发生与否会不 会影响所求事件的概率．
(2)条件概率的性质： ①0≤P(B|A)≤1； ②必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0； ③ 如 果 B 和 C 是 两 个 互 斥 事 件 ， 则 P(B∪C|A) ＝ P(B|A) ＋ P(C|A)．
数学 选修2-3
第二章 随机变量及其分布

(1)他们都研制出疫苗，即事件 ABC 同时发生，故 P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝15×14×13＝610. (2)他们都失败即事件 A B C 同时发生． 故 P( A B C )＝P( A )P( B )P( C ) ＝(1－P(A))(1－P(B))(1－P(C)) ＝1－151－141－13 ＝45×34×23＝25.
(3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间 的概率关系可得所求事件的概率
P＝1－P( A B C )＝1－25＝35.
1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤 (1)首先确定各事件之间是相互独立的； (2)确定这些事件可以同时发生； (3)求出每个事件的概率，再求积． 2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件， 即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生．
P1 ＝ P(D
－
E
－
F
＋
D
E
F
＋
－
D
－
E
F)
＝
P(D
－－
EF
)
＋ P(
D
E
F
)
＋
P(
－
D
－
E
F)
＝
0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＝0.35.
(2)法一：红队至少两人获胜的事件有：DE F ，D E F， D EF，DEF. 由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立， 因此红队至少两人获胜的概率为 P＝P(DE F )＋P(D E F)＋P( D EF)＋P(DEF) ＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.

－
n－k Ck C M N－M 件，由古典概型的概率公式可知 P(X＝k)＝ Cn . N
[知识点拨]1.离散型随机变量分布列表格形式的结构特征
分布列的结构为两行，第一行为随机变量的所有可能取得 的值；第二行为对应于随机变量取值的事件发生的概率．看每
一列，实际上是：上为“事件”，下为事件发生的概率．
则 p 的值为 导学号 03960335 ( 1 A．2 1 B．6 1 C．3
型随机变量分布列中的参数的确定，应
1 1 1 根据随机变量取所有值时的概率和等于 1 来确定， 由6＋3＋6＋ 1 p＝1 得 p＝3，选 C．
a 2．随机变量 X 的概率分布规律为 P(X＝n)＝ (n ＝ nn＋1 1 5 1,2,3,4)，其中 a 是常数，则 P(2<X<2)的值为 导学号 03960336 ( ) 2 A．3 3 B．4 4 C．5 5 D．6
n－0 C0 C M N－M Cn N
1
n－1 C1 C M N－M Cn N
… …
m
n－m Cm C M N－M n CN
为超几何分布列 ____________． 如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 超几何分布 ． X 服从____________
n k Ck C M N－M (3)公式 P(X＝k)＝ Cn 的推导
那么上表称为离散型随机变量 X 的概率分布列，简称为 X
表格法 、 ________ 解析法 、 (2) 表示：离散型随机变量可以用 ________ 图象法 表示． ________
(3)性质：离散型随机变量的分布列具有如下性质：
0 ，i＝1,2，…，n； ①pi≥______ 1 ② pi＝______.

2.1.1离散型随机变量
复习回顾：
1、什么是随机事件？什么是基本事件？
在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做 随机事件。试验的每一个可能的结果称为基本事件。
2、什么是随机试验？
凡是对现象或为此而进行的实验，都称之为试验。
如果试验具有下述特点： （1）试验可以在相同条件下重复进行； （2）每次试验的所有可能结果都是明确可知的，并且 不止一个； （3）每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在 一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。
X 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
则此射手“射击一次命中环数≥7”的概率是_0_._8__8__
例 2.在含有 5 件次品的 100 件产品中,任取 3 件, 求：（1）取到的次品数 X 的分布列； （2）至少取到 1 件次品的概率。
例、袋子中有3个红球，2个白球，1个黑球，这些球 除颜色外完全相同，现要从中摸一个球出来，若摸到
黑球得1分，摸到白球得0分，摸到红球倒扣1分，试写 出从该盒内随机取出一球所得分数X的分布列.
解：因为只取1球，所以X的取值只能是1，0，-1
P( X 1) 1 , P( X 0) 2 1 ,
0分，1分，2分用数字来表
示呢？ （3）抛掷一枚硬币，可能出现的结果有几种情况？
正面向上，反面向上
思考：在上述试验开始之前，你能确定结果是哪一 种情况吗？
分析：不行，虽然我们能够事先知道随机试验可能出 现的所有结果，但在一般情况下，试验的结果是随机出 现的。
一、随机变量的概念：
在前面的例子中，我们把随机试验的每一个结果 都用一个确定的数字来表示，这样试验结果的变化就 可看成是这些数字的变化。