人教版高中数学全套PPT课件1数列 (2) 公开课一等奖课件

12分
数学 必修5
第二章 数 列
自主学习 新知突破
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高效测评 知能提升
(1)本題屬於“運算數列”是否為等比數列的 判定問題，根據等比數列的定義，對於公比的取值情況的討論 十分關鍵，這不僅是解題思路自然發展的體現，而且是邏輯思 維嚴謹性的具體要求．
(2)若數列{an}為等比數列，則下列結論仍能成立．
第二章 数 列
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(2)由于{an}是等比数列， ∴a1a13＝a2a12＝a3a11＝a4a10＝a5a9＝a6a8＝a27， ∴a1a2a3…a13＝(a27)6·a7＝a173， 而a7＝－2. ∴a1a2a3…a13＝(－2)13＝－213.
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第二章 数 列
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3．在等比數列{an}中，各項都是正數，a6a10＋a3a5＝41， a4a8＝4，則a4＋a8＝________.
解析： ∵a6a10＝a28，a3a5＝a24， ∴a24＋a28＝41， 又a4a8＝4， ∴(a4＋a8)2＝a24＋a28＋2a4a8＝41＋8＝49， ∵数列各项都是正数，∴a4＋a8＝7.
(4)當m＋n＝p＋q(m，n， (4)當m＋n＝p＋q(m，n，
p，q∈N*)時am＋an＝ap＋aq p，q∈N*)時aman＝apaq
相同 (1)都強調每一項與其前一項的關係；(2)結果都必須是
點 常數；(3)數列都可以由a1，d或a1，q確定
数学 必修5
第二章 数 列
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数学 必修5

数据：lg2≈0.301 0，lg3≈0.477 1)
第26页
【解析】 当年的绿化面积等于上年被非绿化后剩余面积
加上新绿化面积．
(1)设现有非绿化面积为b1，经过n年后非绿化面积为bn＋1.
于是a1＋b1＝1，an＋bn＝1.依题意，an＋1是由两部分组成，
一部分是原有的绿化面积an，减去被非绿化部分
第11页
4Sn＝1·42＋2·43＋…＋(n－1)·4n＋n·4n＋1.
因此Sn－4Sn＝4＋42＋…＋4n－n·4n＋1＝
4n＋1－4 3
－n·4n＋1＝
（1－3n）4n＋1－4
3
.
所以Sn＝（3n－1）9 4n＋1＋4.
【答案】 (1)证明见解析 (2)Sn＝（3n－1）9 4n＋1＋4
第12页
(1)求an关于n的关系式； (2)预计2021年全年共需投资多少万元？ (精确到0.01，参考数据：1.22＝1.44，1.23≈1.73，1.24≈ 2.07，1.25≈2.49，1.26≈2.99)
第30页
【解析】 (1)设前n个月投资总额为Sn， 则当n≥2时，an＝5＋15Sn－1，① 所以an＋1＝5＋15Sn.② ①②两式相减，得an＋1－an＝15(Sn－Sn－1)＝15an， 所以an＋1＝65an. 又因为a1＝11，a2＝5＋15a1＝356， 所以an＝356×65n－2＝6×65n－1(n≥2)．
第31页
又因为an≤15，所以6×1.2n－1≤15， 所以n－1≤5，所以n≤6.
所以an＝611×，1n.2＝n－11，，2≤n≤6， 15，n≥7.
(2)由(1)得，2021年全年的投资额是(1)中数列{an}的前12项 和，所以S12＝a1＋(a2＋…＋a6)＋(a7＋…＋a12)＝11＋6×(1.2＋… ＋1.25)＋6×15＝101＋6×1.2×（1.21－.251－1）≈154.64(万元)．

多面体
多面体由多个平面多 边形围成，具有顶点 对称的特点，常见的 多面体有四面体、六 面体等。
空间几何体的表面积和体积
总结词
掌握各类空间几何体的表 面积和体积计算公式，能 够进行相关计算。
球体的表面积公式
$4pi r^{2}$，其中$r$为 球半径。
球体的体积公式
$frac{4}{3}pi r^{3}$，其 中$r$为球半径。
掌握集合的基本运算规则
详细描述
介绍集合的运算，包括并集、交集、差集等，以及这些运算的性质和规则。
逻辑关系与推理
总结词
理解逻辑关系和推理的基本概念
详细描述
介绍逻辑关系和推理的概念，包括命题、条件语句、推理规则等，以及如何运用逻辑关系和推理解决实际问题。
02
函数与极限
函数的基本性质
函数的定义域和值域
高中数学PPT课件全套
• 集合与逻辑 • 函数与极限 • 三角函数与三角恒等变换 • 数列与数学归纳法 • 解析几何初步 • 立体几何初步
01
集合与逻辑
集合的基本概念
总结词
理解集合的基本定义和性质
详细描述
介绍集合的基本概念，包括元素、子集、并集、交集等，以及集合的表示方法 。
集合的运算
总结词
01
02
03
数列的定义
数列是一种按照一定顺序 排列的数集。它可以是无 限的，也可以是有限的。
数列的项
数列中的每一个数被称为 一项。
数列的项数
数列中的数的个数称为项 数。
等差数列与等比数列
1 2
等差数列的定义
如果一个数列从第二项起，后一项与前一项的差 等于同一个常数，则这个数列被称为等差数列。

的哪些相关内容?
函数值
=
自变量
项
n
an =
序号
问题1:你能求出这个函数的解析式吗?
数列通项公式
如果数列 的第n项与序号n之间的
关系可以用一个公式来表示,那么这
个公式就叫做这个数列的通项公式.
探究新知

, , , , ⋯

项
序号
1 2 3 4

=



, , , , , … .
解析 (3)数列的项有的是分数,有的是整数,可将各项统一成分数再观察:

, , , , , ⋯ .所以,它的一个通项公式为

=

.

(4)可看作＋,可看作＋,可看作＋,可看作＋,
人教A版同步教材名师课件
数列的概念
---第一课时
学习目标
学习目标
核心素养
了解数列的概念
掌握数列的几种表示方法
能由数列的递推关系写出数列的通项公式
数学抽象
数学运算
数学运算
学习目标
学习目标:
1.理解数列的概念.
2.掌握数列的通项公式及应用.
3.理解数列是一种特殊的函数,理解数列与函数的关系 .
4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式.
=
, 为偶数, ∈ ∗ .
法二: =
即 =
+ + − + −


−
+
.


=
+ − + −

方法归纳
1.常见数列的通项公式归纳
(1)数列, , , , …的一个通项公式为＝;

高考总复习 数学
第五章 数列 (人教 A 版必修 5 第 39 页 B 组 3 题改编)已知数列{an}
满足：a1＝1，an＝an－1＋nn1－1(n≥2)，求数列{an}的通项 公式．
高考总复习 数学
第五章 数列 [解] 解法一：an－an－1＝nn1－1＝n－1 1－1n an－1－an－2＝n－11n－2＝n－1 2－n－1 1 …… a2－a1＝2×1 1＝1－12 ∴各式相加得 an－a1＝1－1n 又 a1＝1 ∴an＝2－1n＝2n－ n 1.
例如，形如an＝kan－1＋b，an＝kan－1＋bn(k，b為常數)的遞 推數列都可以用待定係數法轉化為公比為k的等比數列後，再求 an.
高考总复习 数学
第五章 数列
高考总复习 数学
高考总复习 数学
第五章 数列
(人教 A 版必修 5 第 36 页例 3 前的引例改编)设数列{an}
满足aa1n＝＝12an－1＋1n＞1 求数列{an}的通项公式． [解] 解法一：由遞推公式得a1＝1，a2＝2×1＋1＝3，a3
＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，…，猜想an＝2n－1.
高考总复习 数学
第五章 数列
∴
Tn
＝
1
＋
2×
1 2
＋
3×(
1 2
)2
＋
……
＋
(n－1)×(源自1 2)n－
2
＋
n×(12)n－1
1 2
Tn
＝
1 2
＋
2×(
1 2
)2
＋
3×(
1 2
)3
＋
……
＋
(n
－
1)×(
1 2

（2） 之间的顺序能否交换？
答: (1) = ， = ，… ， =
（2） 中的 i 反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置，即 = 是
排在第1位的数， …… = 是排在第17位的数，它们之间不能交换位置.
所以，① 是具有确定顺序的一列数.
例如 ：数列-1，1，-1，1，-1，1，…
⑤递推公式法（下一节学习）
合作探究
数列的分类
分类
标准
按项
名称
含数列
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
常数列
各项相等的数列
摆动数列
从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
集合中的元素可以是数字，也可以
是其他形式
数列中的数是有顺序的。如1，2，3
与2，3，1表示不同的数列
集合中的元素具有无序性，
如{1，2，3}={2，3，1}
同一个数在一个数列中可以重复出
集合中的元素具有互异性，
现，如1，1，1，…
如1，1，1，…组成的集合只能写为{1}
新知讲解
数列与函数
由于数列{ }中的每一项 和它的序号n有下面的对应关系：
数列{ }是从正整数集∗ （或它的有限子集{1，2，…，n }）到实数集R的函数
其自变量是序号 n，对应的函数值是数列的第n项 ，记为 = ()
另一方面，对于函数 y=f(x) , 如果 f(n) ( ∈ ∗ ) 有意义，
那么
1 ， 2 ， … ， ， …
构成了一个数列 { f(n) }
（3）各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），常用符号 表示， 第2

求f ( 1 ) f ( 2 ) f ( 3 ) ... f (1999 )的值.
2000 2000 2000
2000
解： S f ( 1 ) f ( 2 ) f (1000 ) L f (1998 ) f (1999 )
2000 2000
2000
2000 2000
S f (1999 ) f (1998 ) f (1000 ) L f ( 2 ) f ( 1 )
2000 2000
2000
2000 2000
S
S
f
( 1 ) 2000
f
( 12909090 )
Hale Waihona Puke f(2) 2000
f
(1998 2000
)
f
(1999 ) 2000
f
( 20100)
11999
S 1999 2
补充2、并项求和法. 练习：求和 S 12 22 32 42 52 62 L 992 1002
等比数列通项公式，形如an＝a·qn－1，
方法4：前n项和公式法
等差数列前 n项和公式，形如 Sn an2 bn 等比数列前 n项和公式，形如 Sn Aqn A（q 0，1)
等差数列的重要性质
（1） an am n m d
（2） 若 m n p q 2k
d an am nm
a2 2S1 1 1
a2 1，数列从第2项开始是等比的答案：an
a1
1, (n 1) 3n2 , (n
2)
n 2时，an a2qn2 3n2
验证n=1时是否可以合并！！！
na1
2、Sn
a1
1 qn
1q
q 1

人教2019 A版 选择性必修二
第四章 数 列
4.1 数列的概念(1)
学习目标
1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.
2.掌握数列的分类.
3.理解数列的函数特征,掌握判断数列增减性的方法
4.掌握数列通项公式的概念及其应用,能够根据数列的前几项
写出数列的一个通项公式.
情景导学
古语云:“勤学如春
起之苗,不见其增,日有所
− 4 ,当
n=2,3 时,an 取得最小值,最小值为-12.
10 +1
10
10
-(n+1) 11 = 11
11
∴当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;
当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;
当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an.
故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…,
a10=
,224是该数列的第
项.
解析:a10=102-1=99.令an=n2-1=224,解得n=15,
即224是该数列的第15项.
答案:99 15
典例解析
例1. 根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前5项,并画出它们的图像.
（1） =
2 +
2
;
（2） =
(−1)
(2)1,-3,5,-7,9,…;
(3)9,99,999,9 999,…;
22 -1 32 -2 42 -3 52 -4
(4) 1 , 3 , 5 , 7 ,…;
1

题型二 由前 n 项和 Sn 求通项公式 an [学透用活]
[典例 2] 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 2Sn＝3n＋3,求{an}的通项 公式．
[解] 因为 2Sn＝3n＋3，所以 2a1＝3＋3，故 a1＝3. 当 n≥2 时，2Sn－1＝3n－1＋3， 两式相减得 2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1， 即 an＝3n－1，所以 an＝33n，－1n，＝n1≥，2.
题型三 数列中的最大项、最小项 [学透用活]
[典例 3] 已知数列{an}的通项公式为 an＝n2－5n＋4. (1)数列中有多少项是负数？ (2)n 为何值时，an 有最小值？并求出最小值． [解] (1)由 n2－5n＋4<0，解得 1<n<4.
∵n∈N *，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数．
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn，若 Sn＝n2－n，则 an＝2n－2. ( ) (2)已知数列{an}的前 n 项和 Sn，若 Sn＝3n－2，则 an＝2×3n－1.
答案：(1)√ (2)×
()
2．已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn＋Sm＝Sn＋m，且 a1＝1，那么 a10
(2)法一：∵an＝n2－5n＋4＝n－522－94， 可知对称轴方程为 n＝52＝2.5.
又∵n∈N *，故 n＝2 或 3 时，an 有最小值， 且 a2＝a3，其最小值为 22－5×2＋4＝－2.
法二：设第 n 项最小，由aann≤ ≤aann＋ －11， ， 得nn22－－55nn＋＋44≤≤nn－＋1122－－55nn－＋11＋＋44， . 解不等式组，得 2≤n≤3， ∴n＝2 或 3 时 an 有最小值且 a2＝a3， ∴最小值为 22－5×2＋4＝－2.

问题1. 等差数列的应用较为广泛, 如: 能被 7 整 除的三位正整数有多少个? 一部梯子有 15 级, 最下 一级宽 61cm, 最上一级宽 40cm, 从下到上的第 10 级宽是多少? 你能用等差数列知识解决这类问题吗?
同样, 梯子的各级宽依次构成等差数列. 也是 a1 与 a9 的等差中项,
-
1 4
=
-
1 12
,
1 6
-
1 4
1 4
-
1 2
,
∴数列不是等差数列.
练习(补充). 判断下面各数列是否是等差数列, 如
果是, 首项是多少? 公差是多少?
(1) 12 , 于是得第 10 级宽为 a10= -1.
1 4
,
1 6
,
1 8
,
(2) 1, 0, -1; 又 操作a5题=1-.17.
练(1)习将(补数充列)中. 的前 m 项去掉, 其余各项组成一个新的数列, 这个新数列是等差数列吗? 如果是, 它的首项与公差分别是多少?
各数列中, 每一项与前一项的差都相等. 数列(1)中的这个差是 5, 数列(2)中的这个差是 -2.5, 数列(3)中的这个差是 72, 数列(4)中的这个差是 -2.
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它 的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做 等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母 d 表示，即
问请题你1查. 找资料, 列出哈雷彗星的回归时间表, 并预测它在本世纪回归的时间.
(3) 通项公式为a =2n+1; 1数60列7+(22)中7的6=这17个59差, 是 -2.
设这另个 外数两列个为数为{bna},, b,
n

(2)解：①当 n＝1 时，a1＝S1＝－1. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 ＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5. ∵a1 也满足此等式，∴an＝4n－5. ②根据题意，数列{an}满足 Sn＝2n＋2－3， 当 n≥2 时，有 an＝Sn－Sn－1＝(2n＋2－3)－(2n＋1－3)＝2n＋1， 当 n＝1 时，有 a1＝S1＝8－3＝5，不符合 an＝2n＋1，故 an＝52，n＋1n，＝n1≥，2.
S1 ，n＝1，
Sn－Sn－1
，n≥2.
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第9页
常/用/结/论 在数列{an}中，若 an 最大，则aann≥≥aann＋－11；， 若 an 最小，则aann≤≤aann＋－11，. 数列中求最值的方法．
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第10页
1．判断下列结论是否正确． (1)1,2,1 和 1,1,2 是同一个数列．( ) (2)1,1,1,1，…不能构成一个数列．( ) (3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( ) (4)如果数列{an}的前 n 项和为 Sn，则对任意 n∈N*，都有 an＋1＝Sn＋1－Sn.( √ )
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(1)解析：∵a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝n2，① ∴当 n≥2 时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＝n－2 1，② ①－②得，2n－1an＝12，∴an＝21n(n≥2)，③ 又∵a1＝12也适合③式，∴an＝21n(n∈N*)．
第28页
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第17页
(3)将原数列改写为49×9，49×99，49×999，…，易知数列 9,99,999，…的通项为 10n－1， 基础数列推广到其他形式．

1 a1
=
1 2
.
所以数列{bn}是等差数列,首项为 1 ,公差为3.
2
【素养·探】 在与等差数列定义有关的问题中,经常利用核心素养中 的数学抽象和逻辑推理,通过研究一个数列中任意相邻 两项an+1与an(n∈N*)的关系,判定该数列是否为等差数 列,培养学生推理、论证的能力.
将本例2的条件“a1=2,an+1=
(3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组,求出a1和d,从而确定通项公式,求得所需求的项.
(3)√.只需将项数n代入即可求出数列中的任意一项. (4)√.若a,b,c满足2b=a+c,即b-a=c-b,故a,b,c为等差 数列.
2.下列数列是等差数列的是 ( ) A. 1 ，1 ，1 ，1
【素养小测】 1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)若一个数列每一项与前一项的差是一个常数,则该 数列是等差数列. ( ) (2)常数列也是等差数列. ( )
(3)根据等差数列的通项公式,可以求出数列中的任意 一项.( ) (4)若三个数a,b,c满足2b=a+c,则a,b,c一定是等差数 列. ( )
构成等差数列的基本量是什么?解答等差数列计算问题的常规方法是什么?
判求断证【下 :数列列数解{列bn是}析是否等为差】等数差列数选,列并.求A出.首a项n和=公a差.1+(n-1)d=2+(n-1)·3=3n-1.
差中项为2,则公差d=
()
所以d=4或d=-2.
所以
=1.
4. 2 +1与 2 -1的等差中项是
2 000是等差数列4,6,8,…的
()
且b1= = .

讲解范例:
例1. 一个等比数列的第3项与第4项分别 是12与18，求它的第1项与第2项.
讲解范例:
例2. 求下列各等比数列的通项公式： (1) a1＝－2, a3＝－8; (2) a1＝5, 且2an＋1＝－3an.
讲解范例:
例3. 某种放射性物质不断变化为其他 物质，每经过一年剩留的这种物质是 原来的84%.这种物质的半衰期为多长 (精确到1年)？
1. 等比数列的定义:
讲授新课
1. 等比数列的定义: 一般地，若一个数列从第二项起，
每一项与它的前一项的比等于同一个 常数，这个数列就叫做等比数列.
讲授新课
1. 等比数列的定义: 一般地，若一个数列从第二项起，
每一项与它的前一项的比等于同一个 常数，这个数列就叫做等比数列.这个 常数叫等比数列的公比，用字母q表示 (q≠0)，即
1.0198, 1.01982, 1.01983, 1.01984, 1.01985.
复习引入
观察这几个数列，看有何共同特点?
1, 2, 4, 8, 16, …,263;
①
1, 1 , 1 , 1 ;
②
248
1, 20, 202, 203, … ;
③
1.0198, 1.01982, 1.01983, … . ④
讲授新课
1. 等比数列的定义: 一般地，若一个数列从第二项起，
每一项与它的前一项的比等于同一个 常数，这个数列就叫做等比数列.这个 常数叫等比数列的公比，用字母q表示 (q≠0)，即
an q (q≠0) an1
思考:
(1) 等比数列中有为0的项吗？
思考:
(1) 等比数列中有为0的项吗？ (2) 公比为1的数列是什么数列？

4.1.2数列的递推公式
人教A版（2019）
选择性必修第二册
新知导入
复习旧知
1 数列的概念是 ？
2 数列的表示有 ？
3 数列的通项公式是？
提示：
1
一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每
一个数叫做这个数列的项.
2 ①通项公式法 ②列表法 ③图象法 ④一般表示法
3 如果数列{ }的第n项 与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子
答案： （1）-17
（2）2
（3）2020
课堂练习
2（由递推公式求数列的项）
（多选题）已知数列{ }满足 =

−

，+ =

−
, 则下列各数是{ }的
项的有（ BD）
A．-2
B.
Hale Waihona Puke C.
D. 3
分析： 根据递推关系找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而得出结论.
解： 因为数列{ }满足 = − ，
用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项；
(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项；
(4)用递推公式给出数列，不易了解数列的全貌，计算也不方便，所以，
经常用它推导出数列的通项公式或得到一个特殊数列，比如具有周期性质的数列.
（若存在一个正整数t，使得∀ ∈ ∗ , + = ,则数列{ }）为周期数列，其周期为t）
来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
新知导入
问题：
1 什么叫数列的递推公式？
2 由数列的递推公式能否求出数列的项？
新知讲解
例3 如果数列{ }的通项公式为 = + , 那么120是不是这个数列的项？

]
－
(1
－
1 n2＋1)
＝
1 n2＋1
－
1 n＋12＋1
＝
n＋12－n2 n2＋1[n＋12＋1]
＝
n2＋12[nn＋＋112＋1]>0，
即 an＋1>an(n∈N*)．故数列{an}是递增数列．
高中数学 （人教A 版）教 材《数 列的概 念》完 美课件 1（公 开课课 件）
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3．一般地，一个数列{an}，如果从第 2 项起，每一项都大于它的前一项，即 an＋1>an， 那么这个数列叫做递增数列．如果从第 2 项起，每一项都小于它的前一项，即 an＋1<an，那么 这个数列叫做递减数列．如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫做常数列．
• 问题：观察钢管堆放示意图，寻找每层的钢管数与 • 层数之间有何关系？
高中数学 （人教A 版）教 材《数 列的概 念》完 美课件 1（公 开课课 件）
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(方法三)(构造特殊数列法)同方法一，得aan＋n 1＝n＋n 1， ∴(n＋1)an＋1＝nan，∴数列{nan}是常数列， ∴nan＝1·a1＝1，∴an＝1n. [方法总结] 由递推关系式 an＝f(n)an－1 求数列的通项公式 时一般采用累乘法，也可以用迭代等方法．除累乘、迭代法外， 还应注意原递推公式变形后的数列是否为某个特殊数列．
3. 递推公式法：
递推公式：如 果已知数列 的第 1 项（或前几项），且任一项 与它的前一项 （或前 n 项）间 的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列