【走向高考】高考数学总复习 阶段性测试题十二 北师大版

阶段性测试题二(函数与基本初等函数)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2010·安徽卷)若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2[答案] A[解析] f (3)－f (4)＝f (－2)－f (－1)＝－f (2)＋f (1)＝－2＋1＝－1，故选A. 2．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )ln x 的定义域是( )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)[答案] D[解析] 因为f (x )的定义域为[0,2]，所以对g (x )有⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2x >0且x ≠1，故x ∈(0,1)．3．(2011·沈阳一模)若函数f (x )＝(a 2－2a －3)x 2＋(a －3)x ＋1的定义域和值域都为R ，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－1或3B ．a ＝－1C ．a >3或a <－1D ．－1<a <3[答案] B[解析] 若a 2－2a －3≠0，则f (x )为二次函数，定义域和值域都为R 是不可能的． 若a 2－2a －3＝0，即a ＝－1或3； 当a ＝3时，f (x )＝1不合意；当a ＝－1时，f (x )＝－4x ＋1符合题意．4．(2011·鞍山模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x >0)3x (x ≤0)，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14的值是( ) A ．9 B.19 C ．－9D ．－19[答案] B[解析] f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14＝f ⎝⎛⎭⎫log 214＝f (－2)＝3－2＝19. 5．(2011·上海模拟)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 与函数g (x )＝log 12|x |在区间(－∞，0)上的单调性为( ) A ．都是增函数B ．都是减函数C ．f (x )是增函数，g (x )是减函数D ．f (x )是减函数，g (x )是增函数[答案] D[解析] f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，0)上为减函数，g (x )＝log 12(－x )在(－∞，0)上为增函数． 6．(2010·天津卷)设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c [答案] D[解析] 本题考查了以对数为载体，比较实数大小的问题． ∵1>log 54>log 53>0，∴1>log 54>log 53>(log 53)2>0， 而log 45>1，∴c >a >b .7．(2011·上海二模)已知函数f 1(x )＝a x ，f 2(x )＝x a ，f 3(x )＝log a x (其中a >0，且a ≠1)在同一坐标系中画出其中两个函数在第一象限的图像，其中正确的是( )[答案] B[解析] 从选项A 可看出两图像应为f 1(x )＝a x 与f 2(x )＝x a ，由f 1(x )的图像知a >1，由f 2(x )图像知a <0， ∴A 不正确；对于选项B ，图像应为f 2(x )＝x a 与f 3(x )＝log a x ， 由f 2(x )的图像知a >1，由f 3(x )的图像知a >1，可能正确．对于选项C ，表示f 1(x )＝a x 与f 3(x )＝log a x 的图像，由f 1(x )知a >1， 由f 3(x )知0<a <1， ∴C 选项不正确．对于选项D ，表示f 2(x )＝x a 与f 1(x )＝a x 两函数的图像，由f 2(x )＝x a 与f 1(x )＝a x 两函数的图像，由f 2(x )的图像知a >1，由f 1(x )的图像知0<a <1，∴D 选项不正确．8．(2010·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝|lg x |.若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是( ) A ．(22，＋∞) B ．[22，＋∞) C ．(3＋∞) D ．[3，＋∞)[答案] C[解析] 因为f (a )＝f (b )，所以|lg a |＝|lg b |，所以a ＝b (舍去)，或b ＝1a ，所以a ＋2b ＝a ＋2a，又0<a <b ，所以0<a <1<b ，令g (a )＝a ＋2a ，由“对勾”函数的性质知函数g (a )在a ∈(0,1)上为减函数，所以g (a )>g (1)＝1＋21＝3，即a ＋2b 的取值范围是(3，＋∞)．9．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f (x )，若f (1)＝－5，则f (f (5))＝( )A ．－5B ．－15C.15 D ．5[答案] B[解析] 显然由f (x ＋2)＝1f (x )⇒f (x ＋4)＝f (x )，说明函数的周期为4，f (f (5))＝f (f (1))＝f (－5)＝f (－1)＝f (3)＝f (1＋2)＝1f (1)＝－15.10．(2011·海淀模拟)定义在R 上的函数f (x )，如果存在函数g (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数)，使得f (x )≥g (x )对一切实数x 都成立，则称g (x )为函数f (x )的一个承托函数．现有如下命题：①对给定的函数f (x )，其承托函数可能不存在，也可能有无数个； ②g (x )＝2x 为函数f (x )＝2x 的一个承托函数； ③定义域和值域都是R 的函数f (x )不存在承托函数． 其中正确的命题是( ) A ．① B ．② C ．①③D ．②③[答案] A[解析] 对于①，若f (x )＝sin x ，则g (x )＝B (B <－1)，就是它的一个承托函数，且有无数个，再如y ＝tan x ，y ＝lg x 就没有承托函数，∴命题①正确． 对于②，∵当x ＝32时，g ⎝⎛⎭⎫32＝3，f ⎝⎛⎭⎫32＝232＝22＝8，∴f (x )<g (x )， ∴g (x )＝2x 不是f (x )＝2x 的一个承托函数． 对于③如f (x )＝2x ＋3存在一个承托函数y ＝2x ＋1.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11．(2010·广东卷)函数f (x )＝lg(x －2)的定义域是________． [答案] {x |x >2}[解析] 由x －2>0得x >2，∴函数f (x )＝lg (x －2)的定义域为{x |x >2}．12．(2011·九江联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥01，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．[答案] (－1，2－1)[解析] 本题以分段函数为载体，考查函数的单调性及一元二次不等式的解法，求解的关键在于正确利用函数的性质进行等价转化．由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2>02x <0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x 2x ≥0，解得－1<x <0或0≤x <2－1，∴所求x 的取值范围为(－1，2－1)．13．(2011.4·吉安二模)若函数f (x )＝2－|x －1|－m 的图像与x 轴有交点，则实数m 的取值范围是________．[答案] 0<m ≤1[解析] 令f (x )＝0，得：m ＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|， ∵|x －1|≥0，∴0<⎝⎛⎭⎫12|x －1|≤1，即0<m ≤1.14．(2011·登封一模)如图，过原点O 的直线与函数y ＝2x 的图像交于A 、B 两点，过B 作y 轴的垂线交函数y ＝4x 的图像于点C ，若AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是________．[答案] (1,2)[解析] 设c (a,4a )，∴A (a,2a )，B 是(2a,4a )，又O ，A ，B 三点共线 ∴2a a ＝4a2a ，故4a ＝2×2a ∴2a ＝0(舍去)或2a ＝2即a ＝1. ∴点A 的坐标为(1,2)．15．设a n ＝log n ＋1(n ＋2) (n ∈N *)，定义使乘积a 1·a 2·…·a k 为整数k (k ∈N *)叫做“理想数”，则区间[1,2012]内的所有“理想数”的和为________．[答案] 2026[解析] 由已知a 1·a 2·…·a k ＝log 23·log 34·log 45·…·log (k ＋1)(k ＋2)＝log 23·log 24log 23·…·log 2(k ＋2)log 2(k ＋1)＝log 2(k ＋2)．又∵a 1·a 2·…·a k 为整数， ∴k ＋2＝2m ，m >1且m ∈N *， ∴k ＝2m －2.∵2m －2≤2012，∴m 最大可取10.∴区间[1,2012]内的所有理想的和S ＝(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)＝2026.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)(2011·大连模拟)设直线x ＝1是函数f (x )的图像的一条对称轴，对于任意x ∈R ，f (x ＋2)＝－f (x )，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 3.(1)证明：f (x )是奇函数；(2)当x ∈[3,7]时，求函数f (x )的解析式．[解析] (1)证明：∵x ＝1是f (x )的图像的一条对称轴， ∴f (x ＋2)＝f (－x )． 又∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x )＝－f (x ＋2)＝－f (－x )， 即f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )是奇函数．(2)解：∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， 若x ∈[3,5]，则(x －4)∈[－1,1]， ∴f (x －4)＝(x －4)3.又∵f (x －4)＝f (x )，∴f (x )＝(x －4)3，x ∈[3,5]．若x ∈(5,7]，则(x －4)∈(1,3]，f (x －4)＝f (x )． 由x ＝1是f (x )的图像的一条对称轴可知 f [2－(x －4)]＝f (x －4)且2－(x －4)＝(6－x )∈[－1,1]， 故f (x )＝f (x －4)＝f (6－x ) ＝(6－x )3＝－(x －6)3.综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －4)3，3≤x ≤5，－(x －6)3，5<x ≤7. 17．(本小题满分12分)(2011.4·杭州二模)二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)在区间[－1,1]上，y ＝f (x )的图像恒在y ＝2x ＋m 的图像上方，试确定实数m 的范围． [解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ， 由f (0)＝1得c ＝1，故f (x )＝ax 2＋bx ＋1. ∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， 即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由题意得x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1,1]上恒成立．即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立． 设g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，其图像的对称轴为直线x ＝32，∴g (x )在[－1,1]上递减．即只需g (1)>0，即12－3×1＋1－m >0， 解得m <－1.18．(本小题满分12分)(2011·蚌埠模拟)定义在(－1,1)上的函数f (x )，对任意x ，y ∈(－1,1)都有f (x )＋f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ；且当x ∈(－1,0)时，f (x )>0.(1)判断f (x )在(－1,1)上的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数f (x )在(0,1)上的单调性，并说明理由．[解析] (1)令x ＝y ＝0⇒f (0)＝0，令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝0⇒f (－x )＝－f (x )⇒f (x )在(－1,1)上是奇函数．(2)设0<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 21－x 1x 2，而－1<x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1⇒－1<x 1－x 21－x 1x 2<0⇒f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1－x 21－x 1x 2>0.即当x 1<x 2时，f (x 1)>f (x 2)． ∴f (x )在(0,1)上单调递减． 19．(本小题满分12分)(2011·桂林调研)函数f (x )对任意的a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x >0时，f (x )>1. (1)求证：f (x )是R 上的增函数； (2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<3.[分析] 欲证f (x )为增函数，即证x 2>x 1时，f (x 2)>f (x 1)．由已知x >0时，f (x )>1，∴x 2－x 1>0时，f (x 2－x 1)>1，再结合条件．f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，有f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1＋x 1)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0. [解析] (1)证明：设x 1、x 2∈R ，且x 1<x 2， 则x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)>1. f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)－1>0，∴f (x 1)<f (x 2)，即f (x )是R 上的增函数． (2)解：f (4)＝f (2＋2)＝f (2)＋f (2)－1＝5， ∴f (2)＝3.∴不等式即为f (3m 2－m －2)<f (2)． ∵f (x )是增函数，于是有3m 2－m －2<2，解得－1<m <43.因此不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－1，43. 20．(本小题满分13分)(2011.3·江西修水一模)某公司以每吨10万元的价格销售某种化工产品，每年可售出该产品1000吨，若将该产品每吨的价格上涨x %，则每年的销售数量将减少mx %，其中m 为正常数．(1)当m ＝12时，该产品每吨的价格上涨百分之几，可使销售的总金额最大？(2)如果涨价能使销售总金额增加，求m 的取值范围． [解析] (1)由题设，当价格上涨x %时，销售总金额为： y ＝10(1＋x %)(1－mx %)×1000⎝⎛⎭⎫0<x <100m . 即y ＝－mx 2＋100(1－m )x ＋10000 当m ＝12时，y ＝12[－(x －50)2＋22500]，当x ＝50时，y max ＝11250.即该产品每吨的价格上涨50%时，销售总金额最大． (2)由(1)y ＝－mx 2＋100(1－m )x ＋10000⎝⎛⎭⎫0<x <100m ， 如果上涨价格能使销售总金额增加，则有x >0时，y >10×1000， 即x >0时，－mx 2＋100(1－m )x ＋10000>10000， ∴－mx ＋100(1－m )>0，注意到m >0 ∴100(1－m )m >x ，∴100(1－m )m>0，∴0<m <1， ∴m 的取值范围是(0,1)． 21．(本小题满分14分)(2011·汉沽调研)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)且满足f (－1)＝0，对任意实数x, 恒有f (x )－x ≥0，并且当x ∈(0,2)时，f (x )≤⎝⎛⎭⎫x ＋122.(1)求f (1)的值； (2)证明：a >0，c >0；(3)当x ∈[－1,1]时，函数g (x )＝f (x )－mx (x ∈R )是单调函数，求证：m ≤0或m ≥1. [解析] (1)解：∵对x ∈R ，f (x )－x ≥0恒成立， 当x ＝1时，f (1)≥1， 又∵1∈(0,2)，由已知得f (1)≤(1＋12)2＝1，∴1≤f (1)≤1.∴f (1)＝1.(2)证明：∵f (1)＝1，∴a ＋b ＋c ＝1. 又∵a －b ＋c ＝0，∴b ＝12.∴a ＋c ＝12.∵f (x )－x ≥0对x ∈R 恒成立，∴ax 2－12x ＋c ≥0对x ∈R 恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，ac ≥116.∴c >0，故a >0，c >0.(3)证明：∵a ＋c ＝12，ac ≥116，由a >0，c >0及a ＋c ≥2ac ，得ac ≤116，∴ac ＝116，当且仅当a ＝c ＝14时，取“＝”．∴f (x )＝14x 2＋12x ＋14.∴g (x )＝f (x )－mx ＝14x 2＋(12－m )x ＋14 ＝14[x 2＋(2－4m )x ＋1]． ∵g (x )在[－1,1]上是单调函数， ∴2m －1≤－1或2m －1≥1. ∴m ≤0或m >1.。

第3章 第1节一、选择题1．(2010·全国卷Ⅱ文)若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1，b ＝－1[答案] A[解析] 本题考查了导数的概念、运算以及导数的几何意义． y ′＝2x ＋a ，∴y ′|x ＝0＝(2x ＋a )|x ＝0＝a ＝1， 将(0，b )代入切线方程得b ＝1.2．已知f 0(x )＝cos x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，f 3(x )＝f ′2(x )…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ＋，则f 2012(x )＝( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x[答案] C[解析] f 1(x )＝－sin x ，f 2(x )＝－cos x ，f 3(x )＝sin x ， f 4(x )＝cos x ，f 5(x )＝－sin x …，故f n (x )的周期为4， ∴f 2012(x )＝f 0(x )＝cos x .3．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图像在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A.π2B ．0C ．钝角D ．锐角[答案] C[解析] f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＝e x (sin x ＋cos x )＝2e x sin(x ＋π4)．f ′(4)＝2e 4sin(4＋π4)＜0，则此函数图像在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为钝角，故选C.4．若函数f (x )＝12sin2x ＋sin x ，则f ′(x )是( )A ．仅有最小值的奇函数B ．仅有最大值的偶函数C ．既有最大值又有最小值的偶函数D ．非奇非偶函数 [答案] C[解析] f ′(x )＝2cos 2x ＋cos x －1，显然f ′(x )是偶函数，又因为cos x ∈[－1,1]，所以函数f ′(x )既有最大值又有最小值．5．设a >0，f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x ) 在点P (x 0，f (x 0))处切线的倾斜角的取值范围为[0，π4]，则P到曲线y ＝f (x )对称轴距离的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，1a B.⎣⎡⎦⎤0，12a C.⎣⎡⎦⎤0，⎪⎪⎪⎪b 2aD.⎣⎡⎦⎤0，⎪⎪⎪⎪b －12a[答案] B[解析] 因f (x )的导数为f ′(x )＝2ax ＋b ，又由已知y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，因此有0≤2ax 0＋b ≤1.而P 到曲线y ＝f (x )的对称轴的距离为⎪⎪⎪⎪x 0＋b 2a ＝⎪⎪⎪⎪2ax 0＋b 2a ≤12a . 6．(文)(2011·安徽淮南模拟)若函数f (x )＝13x 3－f ′(－1)x 2＋x ＋5，则f ′(1)的值为( )A ．2B ．－2C ．6D ．－6[答案] C[解析] ∵f (x )＝13x 3－f ′(－1)x 2＋x ＋5，∴f ′(x )＝x 2－2f ′(－1)x ＋1，∴f ′(－1)＝(－1)2－2f ′(－1)(－1)＋1， 解得f ′(－1)＝－2.∴f ′(x )＝x 2＋4x ＋1，∴f ′(1)＝6.(理)设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(－π<φ<0)，若f (x )＋f ′(x )是偶函数，则φ的值是( ) A.π3B.π6 C ．－π3D ．－π6[答案] C[解析] f (x )＋f ′(x )＝cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋φ＋π3，显然当φ＝－π3时，f (x )＋f ′(x )＝2cos 3x 是偶函数．7．(文)(2010·新课标卷)曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2[答案] A[解析] 本小题考查导数的运算，利用导数的几何意义求直线的斜率等． ∵点(－1，－1)在曲线上，且y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2(x ＋2)2， ∴k ＝y ′|x ＝－1＝2(－1＋2)2＝2，∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.(理)(2009·安徽理)已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是( )A ．y ＝2x －1B ．y ＝xC ．y ＝3x －2D ．y ＝－2x ＋3[答案] A[解析] 本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式． ∵f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8， ∴f (2－x )＝2f (x )－x 2－4x ＋4， ∴f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为2，切线方程为y －1＝2(x －1)，∴y ＝2x －1.8．(文)若点P 在曲线y ＝x 3－3x 2＋(3－3)x ＋34上移动，经过点P 的切线的斜倾角为α，则角α的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫0，π2 B.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π C.⎣⎡⎭⎫2π3，πD.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，2π3 [答案] B[解析] y ′＝3x 2－6x ＋3－3＝3(x －1)2－3≥－ 3 ∴tan α≥－3 α∈(0，π) ∴α∈⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π，故选B. (理)已知函数f (x )＝x (x －1)(x －2)…(x －100)，则f ′(0)＝( )A ．0B ．1002C ．200D ．100![答案] D[解析] 解法1：f ′(0)＝lim Δx →f (0＋Δx )－f (0)Δx＝lim Δx →0 Δx (Δx －1)(Δx －2)…(Δx －100)－0Δx＝lim Δx →0[(Δx －1)(Δx －2)…(Δx －100)] ＝(－1)(－2)…(－100)＝100！.解法2：∵f ′(x )＝[x (x －1)(x －2)…(x －100)]′＝x ′[(x －1)(x －2)…(x －100)]＋x [(x －1)(x －2)…(x －100)]′ ＝(x －1)(x －2)…(x －100)＋x [(x －1)(x －2)…(x －100)]′， ∴f ′(0)＝(－1)(－2)…(－100)＋0＝100！.解法3：由多项式展开式的性质知，f (x )＝a 101x 101＋a 100x 100＋…＋a 2x 2＋a 1x ＋a 0，则 f ′(x )＝b 100x 100＋b 99x 99＋…＋b 1x ＋a 1，∴f ′(0)＝a 1. 又a 1＝(－1)(－2)…(－100)＝100！，∴f ′(0)＝100！. 二、填空题9．设直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b 的值为________．[答案] ln2－1[解析] 由已知条件可得k ＝(ln x )′＝1x ＝12，得切点的横坐标x ＝2，切点坐标为(2，ln2)，由点(2，ln2)在切线y ＝12x ＋b 上可得b ＝ln2－1.10．过原点作曲线y ＝e x 的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________． [答案] (1，e) e11．点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则P 到直线y ＝x －2的距离的最小值是________． [答案]2[解析] 作直线y ＝x －2的平行线使其与曲线y ＝x 2－ln x 相切，则切点到直线y ＝x －2的距离最小． 由y ′＝2x －1x ＝1，得x ＝1，或x ＝－12(舍去)．∴切点为(1,1)，它到直线x －y －2＝0的距离为d ＝|1－1－2|12＋(－1)2＝22＝ 2.三、解答题12．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．[分析] (1)在点P 处的切线以点P 为切点．(2)过点P 的切线，点P 不一定是切点，需要设出切点坐标． [解析] (1)∵y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率k ＝y ′| x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎫x 0，13x 03＋43， 则切线的斜率∴切线方程为y －⎝⎛⎭⎫13x 03＋43＝x 02(x －x 0)， 即y ＝x 02·x －23x 03＋43.∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 02－23x 03＋43，即x 03－3x 02＋4＝0.∴x 03＋x 02－4x 02＋4＝0. ∴x 02(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0.∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2. 故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0.13．(2011·广州模拟)若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，求a 的值．[解析] 设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 03)， 所以切线方程为y －x 03＝3x 02(x －x 0)，即y ＝3x 02x －2x 03，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－1，所以a ＝－1或－2564.14．已知函数f (x )＝x 3＋ax ，g (x )＝2x 2＋b ，它们的图像在x ＝1处有相同的切线． (1)求函数f (x )和g (x )的解析式；(2)如果F (x )＝f (x )－mg (x )在区间[12，3]上是单调增函数，求实数m 的取值范围．[解析] (1)f ′(x )＝3x 2＋a ，g ′(x )＝4x ，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝g (1)f ′(1)＝g ′(1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＝2＋b 3＋a ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，∴f (x )＝x 3＋x ，g (x )＝2x 2.(2)F (x )＝f (x )－mg (x )＝x 3＋x －2mx 2， ∴F ′(x )＝3x 2－4mx ＋1，若F (x )在区间[12，3]上为增函数，则需F ′(x )≥0，即3x 2－4mx ＋1≥0，∴m ≤3x 2＋14x.令h (x )＝3x 2＋14x ，x ∈[12，3]，则h (x )在区间[12，3]上的最小值是h (33)＝32，因此，实数m 的取值范围是m ≤32. 15．设曲线y ＝e －x (x ≥0)在点M (t ，e －t )处的切线l 与x 轴、y 轴所围成的三角形面积为S (t ). (1)求切线l 的方程； (2)求S (t )的最大值.[解析] (1)因为f ′(x )＝(e －x )′＝－e －x ，所以切线l 的斜率为－e －t ，故切线l 的方程为y －e －t ＝－e －t (x －t )，即e －t x ＋y －e －t (t ＋1)＝0.(2)令y ＝0得x ＝t ＋1， 又令x ＝0得y ＝e －t (t ＋1)，∵t ≥0，∴t ＋1＞0，e －t (t ＋1)＞0，∴S (t )＝12(t ＋1)·e －t (t ＋1)＝12(t ＋1)2e －t ，从而S ′(t )＝12e －t (1－t )(1＋t )．∵当t ∈(0,1)时，S ′(t )>0，当t ∈(1，＋∞)时，S ′(t )<0，所以S (t )的最大值为S (1)＝2e .。

阶段性测试题十二(算法初步、复数、推理与证明)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2015·武汉市武昌区调研)已知i 是虚数单位，则2＋i3－i ＝( )A ．12－12iB ．72－12iC ．12＋12iD ．72＋12i[答案] C [解析]2＋i 3－i ＝(2＋i )(3＋i )(3－i )(3＋i )＝5＋5i 10＝12＋12i.2．(文) (2014·济南模拟)复数z ＝i1＋i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] A[解析] z ＝i1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋i 2，所以复数z 对应的点为(12，12)，在第一象限．(理) (2014·郑州六校质量检测)设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，若z1＋i ＝2－i 成立，则点P (a ，b )在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] A[解析] 因为z1＋i ＝2－i ，所以z ＝(2－i)(1＋i)＝3＋i ，所以点P (a ，b )在第一象限．3．(文)(2014·福建高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值为( )A．1 B．2C．3 D．4[答案] B[解析]本题考查了程序框图的相关概念．S1：n＝1,21>12→是，S2：n＝2,22>22→否，输出n＝2.关键是理解赋值语句n＋1及条件2n>n2.(理)(2014·福建高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S的值等于()A．18 B．20C．21 D．40[答案] B[解析]本题考查程序框图，当n＝1时，S＝3，当n＝2时，S＝3＋22＋2＝9，当n＝3时，S＝9＋23＋3＝20>15，故输出S＝20.4．若下边的程序框图输出的S是126，则条件①可为()A ．n ≤15B ．n ≤6C ．n ≤7D ．n ≤8[答案] B[解析] 由程序框图可知这是计算S ＝0＋2＋22＋ (2)＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2的程序，当S ＝2n ＋1－2＝126时，即2n ＋1＝128，解得n ＝6，此时n ＝n ＋1＝7，不满足条件，所以选B ．5．(文)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a ，b ，c ，d 对应密文a ＋2b,2b ＋c,2c ＋3d,4d ，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为( )A ．4,6,1,7B ．7,6,1,4C ．6,4,1,7D ．1,6,4,7[答案] C[解析] 因加密规则可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝142b ＋c ＝92c ＋3d ＝234d ＝28⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6b ＝4c ＝1d ＝7.故明文为6,4,1,7.(理)设M ＝(1a －1)(1b －1)(1c －1)，且a ＋b ＋c ＝1(a ，b ，c 均为正数)，由综合法得M 的取值范围是( )A ．[0，18]B ．[18，1)C ．[1,8]D ．[8，＋∞)[答案] D[解析] 由a ＋b ＋c ＝1，M ＝(b a ＋c a )(a b ＋c b )(a c ＋bc )≥8(当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．)6．(2015·济南模拟)下面有四个命题： ①集合N 中最小的数是1； ②若－a 不属于N ，则a 属于N ；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2； ④x 2＋1＝2x 的解集可表示为{1,1}． 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] A[解析] ①假命题，集合N 中最小的数是0；②假命题，如a ＝12时，命题不成立；③假命题，如a ＝0，b ＝1，则a ＋b ＝1；④假命题，{1,1}与集合中元素的互异性矛盾，其解集应为{1}．7．(文) 设z ＝1－i(i 是虚数单位)，则复数2z ＋i 2的虚部是( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i [答案] A[解析] 因为z ＝1－i(i 是虚数单位)，所以复数2z ＋i 2＝21－i ＋i 2＝1＋i －1＝i ，所以复数2z＋i 2的虚部是1.(理)设复数z ＝1＋b i(b ∈R )且|z |＝2，则复数z 的虚部为( ) A ． 3 B ．±3 C ．±1 D ．±3i [答案] B[解析] z ＝1＋b i ，且|z |＝2，即1＋b 2＝4，解得b ＝±3.8．(文)已知M 是e x ＋e －x 的最小值，N ＝2tan22.5°1－tan 222.5° ，则下图所示程序框图输出的S 为( )A ．2B ．1C ．12D ．0[答案] A[解析] ∵e x ＋e －x ≥2e x ·e －x ＝2，∴M ＝2，N ＝2tan22.5°1－tan 222.5°＝tan45°＝1，所以M >N ，又框图的功能是求M ，N 中的较大值，故输出的值为2.(理) 已知函数y ＝1x 与x ＝1，x 轴和x ＝e 所围成的图形的面积为M ，N ＝tan22.5°1－tan 222.5°，则程序框图输出的S 为( )A ．1B ．2C ．12D ．0[答案] C[解析] 因为2N ＝2tan22.5°1－tan 222.5°＝tan45°＝1，所以N ＝12，M ＝⎠⎛1e 1xd x ＝ln x |e 1＝1，所以M >N ，又框图的功能是求M ，N 中的较小值，故输出的值为12.9．(2014·新课标Ⅱ)执行下图程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7[答案] D[解析] 本题考查程序框图的基础知识． x ＝2，t ＝2，变量变化情况如下：故选D ．10．(文)设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝2，a 2＋b ＝4，则2x ＋1y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] 因为a x ＝b y ＝2，所以x ＝log a 2，y ＝log b 2，所以2x ＋1y ＝2log 2a ＋log 2b ＝log 2(a 2b )≤log 2(a 2＋b 2)2＝2，当且仅当a 2＝b ＝2时取等号．(理) 定义在R 上的函数y ＝f (x )，满足f (3－x )＝f (x )，(x －32)f ′(x )<0，若x 1<x 2，且x 1＋x 2>3，则有( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不确定[答案] B[解析] 因为函数y ＝f (x )，满足f (3－x )＝f (x )，所以函数y ＝f (x )的对称轴为x ＝32.又因为(x－32)f ′(x )<0，所以x <32时，f ′(x )>0，x >32时，f ′(x )<0，所以函数y ＝f (x )在(－∞，32]上单调递增；在[32，＋∞)上单调递减．又因为x 1<x 2，且x 1＋x 2>3，所以3－x 2<x 1<x 2，且x 2∈(32，＋∞)，观察图像，得f (x 1)>f (x 2)．第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 11．(文)(2014·北京高考)若(x ＋i)i ＝－1＋2i(x ∈R )，则x ＝________. [答案] 2[解析] 本题考查了复数乘法、复数相等的知识． (x ＋i)i ＝－1＋x i ＝－1＋2i ，x ＝2.(理)(2014·北京高考)复数(1＋i 1－i )2＝________.[答案] －1[解析] 本题考查了复数的运算． 复数1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝2i 2＝i ，故(1＋i 1－i)2＝i 2＝－1. 12．在复平面上，复数3(2－i )2对应的点到原点的距离为________．[答案] 35[解析] 复平面上复数z 对应的点到原点的距离就是它的模，而|3(2－i )2|＝3|2－i|2＝35，本题不需要把复数化简为a ＋b i(a ，b ∈R )形式．13．程序框图如下：如果上述程序运行的结果为S ＝132，那么判断框中横线上应填入的数字是________． [答案] 10[解析] 由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题，第一次乘入的数是12，以后所乘的数依次减少1，由于132＝11×12，故循环两次，故判断框中应填k ≤10.14．观察下列等式：31×2×12＝1－122，31×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，……，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n (n ＋1)×12n ＝________. [答案] 1－1(n ＋1)·2n[解析] 由已知中的等式：31×2×12＝1－12231×2×12＋42×3×122＝1－13×22， 31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…， 所以对于n ∈N *，31×2×12＋42×3×122＋…＋n ＋2n (n ＋1)×12n ＝1－1(n ＋1)2n .15．(2015·温州适应性测试)已知cos π3＝12，cos π5cos 2π5＝14， cos π7cos 2π7cos 3π7＝18， ……(1)根据以上等式，可猜想出的一般结论是____________________________________； (2)若数列{a n }中，a 1＝cos π3，a 2＝cos π5cos 2π5，a 3＝cos π7·cos 2π7cos 3π7，…，前n 项和S n ＝10231024，则n ＝________.[答案] (1)cos π2n ＋1·cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n (n ∈N *) (2)10[解析] (1)从题中所给的几个等式可知，第n 个等式的左边应有n 个余弦相乘，且分母均为2n ＋1，分子分别为π，2π，…，n π，右边应为12n ，故可以猜想出结论为cos π2n ＋1·cos 2π2n ＋1·…·cos n π2n ＋1＝12n (n ∈N *)． (2)由(1)可知a n ＝12n ，故S n ＝12[1－(12)n ]1－12＝1－12n ＝2n －12n ＝10231024，∴n ＝10.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i ； (1)与复2－12i 相等？(2)与复数12＋16i 互为共轭复数？ (3)对应的点在x 轴上方？[解析] (1)根据复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝2，m 2－2m －15＝－12.解得m ＝－1. (2)根据共轭复数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16.解得m ＝1.(3)根据复数z 对应的点在x 轴上方可得m 2－2m －15>0，解得m <－3或m >5. 17．(本小题满分12分)一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下，每天销售量为b 件．经市场调查得到如下规律：若对产品进行电视广告的宣传，每天的销售量S (件)与电视广告每天的播放量n (次)的关系可用如图所示的程序框图来体现．(1)试写出该产品每天的销售量S (件)关于电视广告每天的播放量n (次)的函数关系式；(2)要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加90%，则每天电视广告的播放量至少需多少次？[解析] (1)设电视广告播放量为每天i 次时，该产品的销售量为S i (0≤i ≤n ，i ∈N )．由题意，S i ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，i ＝0，S i －1＋b 2i ，1≤i ≤n ，i ∈N *. 于是当i ＝n 时，S n ＝b ＋(b 2＋b 22＋…＋b 2n )＝b (2－12n )(n ∈N )．所以，该产品每天销售量S (件)与电视广告播放量n (次/天)的函数关系式为S ＝b (2－12n )，n∈N .(2)由题意，有b (2－12n )≥1.9b ⇒2n ≥10⇒4(n ∈N *)．所以，要使该产品的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加90%，则每天广告的播放量至少需4次．18．(本小题满分12分)求证关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a ≤1.[分析] 需证明充分性和必要性．证充分性时，可分a ＝0，a <0和0<a ≤1三种情况证明；证必要性，就是寻找方程有一个负根和两个负根的条件.[证明] 充分性：当a ＝0时，方程为2x ＋1＝0， 其根为x ＝－12，方程有一个负根，符合题意．当a <0时，Δ＝4－4a >0，方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不相等的实根，且1a <0，方程有一正一负根，符合题意．当0<a ≤1时，Δ＝4－4a ≥0， 方程ax 2＋2x ＋1＝0有实根，且⎩⎨⎧－2a<01a >0，故方程有两个负根，符合题意．综上知：当a ≤1时，方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根． 必要性：若方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根． 当a ＝0时，方程为2x ＋1＝0符合题意．当a ≠0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0应有一正一负或两个负根．则1a<0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－4a ≥0－2a <01a >0.解得a <0或0<a ≤1.综上知：若方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一负根则a ≤1.故关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a ≤1.19．(本小题满分12分)设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当实数m 取何值时． (1)z 是纯虚数． (2)z 是实数．(3)z 对应的点位于复平面的第二象限．[解析] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧lg (m 2－2m －2)＝0，m 2＋3m ＋2≠0. 解得m ＝3.所以当m ＝3时，z 是纯虚数．(2)由m 2＋3m ＋2＝0，得m ＝－1或m ＝－2，又m ＝－1或m ＝－2时，m 2－2m －2>0，所以当m ＝－1或m ＝－2时，z 是实数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧lg (m 2－2m －2)<0，m 2＋3m ＋2>0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －2>0m 2－2m －3<0m 2＋3m ＋2>0解得：－1<m <1－3或1＋3<m <3.所以当－1<m <1－3或1＋3<m <3时，z 对应的点位于复平面的第二象限．20．(本小题满分13分)在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a ＋b＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c，试问A ，B ，C 是否成等差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明．[解析] A 、B 、C 成等差数列．证明如下：∵1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ， ∴a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3. ∴c a ＋b ＋a b ＋c＝1， ∴c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，∴b 2＝a 2＋c 2－aC ．在△ABC 中，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12， ∵0°<B <180°，∴B ＝60°.∴ A ＋C ＝2B ＝120°.∴A 、B 、C 成等差数列．21．(本小题满分14分)已知数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，并且S n ＋1＝4a n ＋2(n ＝1,2，…)，a 1＝1.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n (n ＝1,2，…)，求证：数列{b n }是等比数列；(2)设c n ＝a n 2n (n ＝1,2，…)，求证：数列{c n }是等差数列； (3)(理)求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式．[解析] (1)证明：∵S n ＋1＝4a n ＋2，∴S n ＋2＝4a n ＋1＋2， 两式相减，得S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1－4a n (n ＝1,2，…)， 即a n ＋2＝4a n ＋1－4a n ，变形得a n ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )． ∵b n ＝a n ＋1－2a n (n ＝1,2，…)，∴b n ＋1＝2b n . 由此可知，数列{b n }是公比为2的等比数列．(2)证明：由S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 1＝1， ∴a 2＝5，∴b 1＝a 2－2a 1＝3，由(1)知b n ＝3·2n －1，又c n ＝a n 2n . ∴c n ＋1－c n ＝a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝a n ＋1－2a n 2n ＋1＝b n 2n ＋1. 将b n ＝3·2n －1代入得c n ＋1－c n ＝34(n ＝1,2，…)． 由此可知，数列{c n }是公差d ＝34的等差数列． (3)由(2)得：c 1＝a 12＝12，故c n ＝34n －14. ∵c n ＝34n －14＝14(3n －1)， ∴a n ＝2n ·c n ＝(3n －1)·2n －2(n ＝1,2，…)． 当n ≥2时，S n ＝4a n －1＋2＝(3n －4)·2n －1＋2. 由于S 1＝a 1＝1也适合于此公式， 所以{a n }的前n 项和公式为S n ＝(3n －4)·2n －1＋2.。

12-4归纳与类比基础巩固一、选择题1．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝( ) A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)[答案] D[解析] 本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，选D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理的能力的考查．2．如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )[答案] A[解析] 该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A.3．(2012·江西理，6)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )A．28 B．76 C．123 D．199[答案] C[解析] 本题考查了归纳推理能力，∵1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11,7＋11＝18,11＋18＝29，…，47＋76＝123，故选C，解答本题时因为分析不出右边数字与前两式的数字关系，从而无从下手，导致无法解题或错选．4．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”．类比推出：若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b.其中类比结论正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 [答案] C[解析] ①②正确，③错误．因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小．故选C. 5．(文)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2、a 3、a 4，猜想a n ＝( )A.2n ＋2B.2nn ＋C.22n－1D.22n －1[答案] B[解析] 由S n ＝n 2a n 知S n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1 ∴S n ＋1－S n ＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ∴a n ＋1＝(n ＋1)2a n ＋1－n 2a n ，∴a n ＋1＝nn ＋2a n (a ≥2)， 当n ＝2时，S 2＝4a 2，又S 2＝a 1＋a 2，∴a 2＝a 13＝13，a 3＝24a 2＝16，a 4＝35a 3＝110.由a 1＝1，a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110，猜想a n ＝2nn ＋，故选B.(理)下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a >|AB |，则P 点的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 [答案] B[解析] 由S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n 的表达式，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理．故应选B.6．(2012·皖南八校联考)为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a 0a 1a 2，a i ∈{0,1}(i ＝0,1,2)，传输信息为h 0a 0a 1a 2h 1，其中h 0＝a 0⊕a 1，h 1＝h 0⊕a 2，⊕运算规则为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.例如原信息为111，则传输信息为01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是( )A ．11010B ．01100C ．10111D ．00011[答案] C[解析] 对于选项C ，传输信息是10111，对应的原信息是011，由题目中运算规则知h 0＝0⊕1＝1，而h 1＝h 0⊕a 2＝1⊕1＝0，故传输信息应是10110.二、填空题7．在平面内有n (n ∈N ＋，n ≥3)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这n 条直线把平面分成f (n )个平面区域，则f (5)的值是________，f (n )的表达式是________．[答案] 16 f (n )＝n 2＋n ＋22[解析] 由题意，n 条直线将平面分成n n ＋2＋1个平面区域，故f (5)＝16，f (n )＝n 2＋n ＋22.8．(2012·陕西理，11)观察下列不等式 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， ……照此规律，第五个．．．不等式为__________________． [答案] 1＋122＋132＋142＋152＋162<116[解析] 本题考查了类比推理知识．从已知三个式子可以看出不等式右端的分母为左边最后一个数的分母的底数值，分子为奇数且为3,5,7,9,11，…，故应填1＋122＋132＋142＋152＋162<116.三、解答题9．(2012·福建理，17)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． [解析] 解法1：(1)选择②式，计算如下： sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15° ＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α) ＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 解法2： (1)同解法1.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos2α2＋1＋－2α2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α) ＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34. 能 力 提 升一、选择题1．如图所示，把1,3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形，试求第七个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．30 [答案] B[解析] a 1＝1，a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3，a 4＝a 3＋4， ∴a n －a n －1＝n ，∴a n ＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1＝n n ＋2，∴a 7＝7×82＝28.2．(文)下图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为“杨辉三角形”，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是( )A ．2B ．4C ．6D ．8[答案] C[解析] 因为其规律是a 为肩上两数之和，故a ＝3＋3＝6.(理)对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的( )A ．一条中线上的点，但不是中心B ．一条垂线上的点，但不是垂心C ．一条角平分线上的点，但不是内心D ．中心 [答案] D[解析] 边的中点对应于面的中心． 二、填空题3．(2012·安师大附中期中)观察下图： 1 2 3 4 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 9 10 ……则第____________行的各数之和等于2 0132. [答案] 1 007[解析] 通过观察题图可发现规律：第n 行的第一个数为n ，且第n 行共有2n －1个连续的正整数，故由(2n －1)n ＋n －n －2×1＝(2n －1)2＝2 0132，得n ＝1 007.4．(文)观察下列不等式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2,1＋12＋13＋…＋131>52，…，由此猜想第n 个不等式为______________． [答案] 1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2[解析] 由1>12，1＋12＋122－1>22，1＋12＋13＋…＋123－1>32， 1＋12＋13＋…＋124－1>42， 1＋12＋13＋…＋125－1>52， 可猜想第n 个不等式为1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2.(理)(2012·湖北文，17)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }．可以推测：(1)b 2012是数列{a n }中的第________项； (2)b 2k －1＝________.(用k 表示) [答案] (1)5030 (2)5k k －2[解析] 本题考查数学归纳法． 由前四组可以推知a n ＝n n ＋2，b 1＝a 4＝10，b 2＝a 5＝15，b 3＝a 9＝45，b 4＝a 10＝55，由此归纳b 2 012＝a 5 030.由b 1＝a 4＝4×52，b 3＝a 9＝9×102，b 5＝a 14＝14×152，由此归纳出b 2k －1＝5kk －2.通过特殊发现规律再拓展到一般．三、解答题5．(文)若函数f (x )＝e x ＋e －x 2，g (x )＝e x －e－x2，分别计算g (4)－2f (2)g (2)和g (6)－2f (3)g (3)的值，由此归纳出函数f (x )和g (x )的对于所有实数x 都成立的一个等式，并加以证明．[解析] g (4)－2f (2)g (2)＝0，g (6)－2f (3)g (3)＝0， 由此归纳出g (2x )－2f (x )g (x )＝0， 证明如下：g (2x )－2f (x )g (x )＝e 2x－e－2x2－2·e x ＋e －x 2·e x －e －x 2＝e 2x －e －2x2－e 2x －e－2x2＝0.(理)已知等差数列{a n }的公差d ＝2，首项a 1＝5. (1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝n (2a n －5)，求S 1，S 2，S 3，S 4，S 5；T 1，T 2，T 3，T 4，T 5，并归纳出S n 与T n 的大小规律．[解析] (1)由已知a 1＝5，d ＝2， ∴S n ＝5n ＋n n －2×2＝n (n ＋4)．(2)T n ＝n (2a n －5)＝n [2(2n ＋3)－5]， ∴T n ＝4n 2＋n .∴T 1＝5，T 2＝4×22＋2＝18，T 3＝4×32＋3＝39，T 4＝4×42＋4＝68，T 5＝4×52＋5＝105.S 1＝5，S 2＝2×(2＋4)＝12，S 3＝3×(3＋4)＝21， S 4＝4×(4＋4)＝32，S 5＝5×(5＋4)＝45.由此可知S 1＝T 1，当n ≥2时，S n <T n . 归纳猜想：当n ≥2，n ∈N 时，S n <T n .6．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫作等和数列，这个常数叫作该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5.(1)求a 18的值；(2)求该数列的前n 项和S n .[解析] (1)由等和数列的定义，数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，易知a 2n －1＝2，a 2n ＝3(n ＝1,2，…)，故a 18＝3.(2)当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a n ) ＝2＋2＋…＋2＋2个23＋3＋…＋32个3＝52n ； 当n 为奇数时，S n ＝S n －1＋a n ＝52(n －1)＋2＝52n －12.综上所述：S n＝⎩⎪⎨⎪⎧52nn 为偶数，52n －12n 为奇数7．如图1，若射线OM ，ON 上分别存在点M 1，M 2与点N 1，N 2，则S △OM 1N 1S △OM 2N 2＝OM 1OM 2·ON 1ON 2；如图2，若不在同一平面内的射线OP ，OQ 和OR 上分别存在点P 1，P 2，点Q 1，Q 2和点R 1，R 2，则类似的结论是什么？这个结论正确吗？说明理由．[解析] 类似的结论为VO －R 1Q 1P 1VO －R 2Q 2P 2＝OQ 1OQ 2·OP 1OP 2·OR 1OR 2.证明：过R 1作R 1M 1⊥平面P 1Q 1O ，过R 2作R 2M 2⊥平面OP 2Q 2，连接OM 1，易证平面OR 1M 1⊥平面OP 2Q 2且M 2应在OM 1上，所以有△R 1M 1O ∽△R 2M 2O ， ∴R 1M 1R 2M 2＝OR 1OR 2， VO －R 1P 1Q 1VO －R 2P 2Q 2＝13S △OP 1Q 1·R 1M 113S △OP 2Q 2·R 2M 2＝OP 1OP 2·OQ 1OQ 2·OR 1OR 2，∴类比得到的结论正确．。

"【走向高考】2021届高考数学一轮总温习 12-6数学归纳法课后强化作业 北师大版 "基础达标检测一、选择题1．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N ＋)成立，其初始值至少应取( ) A ．7 B ．8C ．9D ．10[答案] B[解析] 由S n ＝1－12n 1－12>12764得n >7，又n ∈N ＋，因此n ≥8.2．记凸k 边形的内角和为f (k )，那么凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋____________() A.π2 B ．π C.32π D ．2π[答案] B[解析] 由凸k 边形变成凸k ＋1边形时，增加了一个三角形，故f (k ＋1)＝f (k )＋π.3．关于不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N ＋)，某人的证明进程如下：1°当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立.2°假设n ＝k (k ∈N ＋)时不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，那么n ＝k ＋1时，k ＋12＋k ＋1＝k 2＋3k ＋2<k 2＋3k ＋2＋k ＋2＝k ＋22＝(k ＋1)＋1.∴当n ＝k ＋1时，不等式成立.上述证法( )A ．进程全都正确B ．n ＝1验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确[答案] D[解析] 此题的证明中，从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理没有效到归纳假设，因此此题不是用数学归纳法证题．4．以下代数式(其中k ∈N ＋)能被9整除的是( )A ．6＋6·7kB ．2＋7k －1C ．2(2＋7k ＋1)D ．3(2＋7k )[答案] D[解析] (1)当k ＝1时，显然只有3(2＋7k )能被9整除．(2)假设当k ＝n (n ∈N ＋)时，命题成立，即3(2＋7n )能被9整除，那么3(2＋7n ＋1)＝21(2＋7n )－36. 这确实是说，k ＝n ＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，命题对任何k ∈N ＋都成立．5．用数学归纳法证明“1＋2＋…＋n ＋(n －1)…＋2＋1＝n 2(n ∈N ＋)”，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左侧添加的代数式为( )A ．k ＋1B ．k ＋2C ．k ＋1＋kD ．2(k ＋1) [答案] C[解析] 在由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左侧式子为1＋2＋3＋…＋k ＋k ＋1＋k ＋…＋2＋1，因此，左侧添加的式子为k ＋1＋k .6．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N ＋)能被9整除”，要利用归纳假设证n ＝k ＋1时的情形，只需展开( )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3 [答案] A[解析] 假设当n ＝k 时，原式能被9整除，即k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其显现k 3即可．二、填空题7．在数列{a n }中，a 1＝13且S n ＝n (2n －1)a n ，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式是________．[答案] a n ＝12n －12n ＋1 [解析] a 1＝13＝11×3，a 2＝115＝13×5， a 3＝135＝15×7，a 4＝163＝17×9， ∴a n ＝12n －12n ＋1. 8．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，当第二步假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)命题为真时，进而需证n ＝________时，命题亦真．[答案] 2k ＋1[解析] ∵n 为正奇数，假设n ＝2k －1成立后，需证明的应为n ＝2k ＋1时成立．9．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N ＋)时，从k 到k ＋1，左侧需要增加的代数式为________．[答案] 2(2k ＋1)[解析] 当n ＝k 时左侧的最后一项为哪一项2k ，n ＝k ＋1时左侧的最后一项为哪一项2k ＋2，而左侧各项都是持续的，因此n ＝k ＋1时比n ＝k 时左侧少了(k ＋1)，而多了(2k ＋1)(2k ＋2)．因此增加的代数式是2k ＋12k ＋2k ＋1＝2(2k ＋1)． 三、解答题10．用数学归纳法证明：n ∈N ＋时，11×3＋13×5＋…＋12n －12n ＋1＝n 2n ＋1. [解析] (1)当n ＝1时，左侧＝11×3， 右边＝12×1＋1＝13，左侧＝右边．∴等式成立． (2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，等式成立 ，即有11×3＋13×5＋…＋12k －12k ＋1＝k2k ＋1， 那么当n ＝k ＋1时，11×3＋13×5＋…＋12k －12k ＋1＋12k ＋12k ＋3， ＝k 2k ＋1＋12k ＋12k ＋3＝k 2k ＋3＋12k ＋12k ＋3 ＝2k 2＋3k ＋12k ＋12k ＋3＝k ＋12k ＋3＝k ＋12k ＋1＋1， ∴n ＝k ＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，一切n ∈N ＋，等式成立.能力强化训练一、选择题1．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，那么当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( ) A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2C.k ＋14＋k ＋122D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2[答案] D[解析] ∵当n ＝k 时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，左侧＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋…＋(k ＋1)2，∴当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋(k 2＋3)＋…＋(k ＋1)2.2．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰由6颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)组成如图1所示的正六边形，第三件首饰由15颗珠宝组成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝组成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝组成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，依照这种规律增加必然数量的珠宝，使它组成更大的正六边形，依此推断前10件首饰所用珠宝总颗数为( )A ．190B ．715C ．725D ．385[答案] B[解析] 由条件可知前5件首饰的珠宝数依次为：1,1＋5,1＋5＋9,1＋5＋9＋13,1＋5＋9＋13＋17，即每件首饰的珠宝数为一个以1为首项，4为公差的等差数列的前n 项和，通项a n ＝4n －3.由此可归纳出第n 件首饰的珠宝数为n [1＋4n －3]2＝2n 2－n .那么前n 件首饰所用的珠宝总数为2(12＋22＋…＋n 2)－(1＋2＋…＋n )＝4n 3＋3n 2－n 6. 当n ＝10时，总数为715.二、填空题3．假设f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，那么f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________．[答案] f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2[解析] ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2；∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.4．(2021·青岛二模)利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<f (n )(n ≥2，n ∈N ＋)的进程，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左侧增加了________项．[答案] 2k[解析] 当n ＝k 时为1＋12＋13＋…＋12k －1， 当n ＝k ＋1时为1＋12＋…＋12k －1＋12k ＋…＋12·2k －1， 因此从n ＝k 到n ＝k ＋1增加了2k 项．三、解答题5．由以下不等式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2，…，你能取得一个如何的一样不等式？并加以证明．[解析] 依照给出的几个不等式能够猜想第n 个不等式，即一样不等式为： 1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2(n ∈N ＋)．用数学归纳法证明如下：(1)当n ＝1时，1>12，猜想成立； (2)假设当n ＝k 时，猜想成立，即1＋12＋13＋…＋12k －1>k 2， 那么当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1>k 2＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1>k 2＋2k 2k ＋1＝k ＋12，即当n ＝k ＋1时，猜想也确，由(1)(2)可知对任意的n ∈N ＋，不等式都成立．6．是不是存在常数a 、b 、c 使等式12＋22＋32＋…＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝an (bn 2＋c )关于一切n ∈N ＋都成立，假设存在，求出a 、b 、c 并证明；假设不存在，试说明理由．[解析] 假设存在a 、b 、c 使12＋22＋32＋…＋n 2＋(n －1)2＋…＋22＋12＝an (bn 2＋c )关于一切n ∈N ＋都成立．当n ＝1时，a (b ＋c )＝1；当n ＝2时，2a (4b ＋c )＝6；当n ＝3时，3a (9b ＋c )＝19.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a b ＋c ＝1，a 4b ＋c ＝3，3a 9b ＋c ＝19.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝13，b ＝2，c ＝1.证明如下： ①当n ＝1时，由以上知存在常数a ，b ，c 使等式成立．②假设n ＝k (k ∈N ＋)时等式成立，即12＋22＋32＋…＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12＝13k (2k 2＋1)； 当n ＝k ＋1时，12＋22＋32＋…＋k 2＋(k ＋1)2＋k 2＋(k －1)2＋…＋22＋12＝13k (2k 2＋1)＋(k ＋1)2＋k 2 ＝13k (2k 2＋3k ＋1)＋(k ＋1)2 ＝13k (2k ＋1)(k ＋1)＋(k ＋1)2 ＝13(k ＋1)(2k 2＋4k ＋3) ＝13(k ＋1)[2(k ＋1)2＋1]． 即n ＝k ＋1时，等式成立．因此存在a ＝13，b ＝2，c ＝1使等式对一切n ∈N ＋都成立．。

"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习12-1算法与算法框图课后强化作业北师大版"基础达标检测一、选择题1．(文)(2013·天津高考)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为()A．7B．6C．5D．4[答案] D[解析]本题考查程序框图中的循环结构．由程序框图可知，n＝1时，S＝－1；n＝2时，S＝1；n＝3时，S＝－2；n＝4时，S＝2≥2，输出n的值为4，故选D.按照顺序逐次计算结果，直至退出循环．(理)(2013·天津高考)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为1，则输出S的值为()A．64B．73C．512D．585[答案] B[解析]本题考查了程序框图及计算．x＝1，S＝S＋x3＝0＋13＝1；x＝2，S＝S＋x3＝1＋23＝9；x＝4，S＝S＋x3＝9＋43＝9＋64＝73>50，故输出S.2．(2013·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的S值为()A ．1 B.23 C.1321 D.610987[答案] C[解析] 程序运行过程为：i ＝0，S ＝1，S ＝12＋12×1＋1＝23，i ＝0＋1＝1，i ≥2不成立；继续下一次循环，S ＝(23)2＋12×23＋1＝1321，i ＝1＋1＝2，由于此时i ≥2成立，故停止循环，输出S 的值1321后结束．3．执行下面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的p 是( )A．8 B．5 C．3 D．2 [答案] C[解析]本小题考查的内容为程序框图中的循环结构．k＝1时，p＝1，k＝2时，p＝2，k＝3时，p＝3.4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为()A．2 B．4C．8 D．16[答案] C[解析]当k＝0时，满足k<3，因此S＝1×20＝1；当k＝1时，满足k<3，因此S＝1×21＝2；当k＝2时，满足k<3，因此S＝2×22＝8；当k＝3时，不满足k<3，因此输出S＝8.5．(文)(2013·江西高考)阅读如下程序框图，如果输出i＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是()A．S<8 B．S<9C．S<10 D．S<11[答案] B[解析]本题考查了程序框图的循环结构．依据循环要求有i＝1，S＝0；i＝2，S＝2×2＋1＝5；i＝3，S＝2×3＋2＝8；i＝4，S＝2×4＋1＝9，此时结束循环，故应为S<9.(理)(2013·江西高考)阅读如下程序框图，如果输出i＝5，那么在空白矩形框内应填入的语句为()[答案] C[解析]i＝2时，i不是奇数，S＝2×2＋1＝5<10，继续循环，i＝2＋1＝3,3是奇数，执行“选项”后，需继续循环，故排除D.当i＝4时，i不是奇数，S＝2×4＋1＝9<10，继续循环，i＝4＋1＝5,5是奇数，执行“选项”后，应跳出循环，输出i的值5后结束，但2×5－2＝8<10,2×5－1＝9<10，都需继续循环，故排除A、B选项，但2×5＝10<10不成立，故选C.二、填空题6．如图给出一个算法框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值．若要使输入的x 值与输出的y值相等．则这样的x值有________个．[答案] 3[解析] 当x ≤2时，x 2＝x ，有x ＝0或x ＝1； 当2<x ≤5时，2x －3＝x ，有x ＝3； 当x >5时，x ＝1x ，x 无解．故可知这样的x 有3个．7．(2013·山东高考)执行下面的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n 的值为________．[答案] 3[解析] 本题考查了程序框图和算法等知识． ε＝0.25，F 0＝1，F 1＝2，n ＝1，此时F 1＝F 0＋F 1＝1＋2＝3；F 0＝F 1－F 0＝3－1＝2，n ＝2，∵1F 1＝13≤0.25不成立，进入下一循环，F1＝F0＋F1＝2＋3＝5，F0＝F1－F0＝5－2＝3，n＝3，1F1＝15≤0.25成立，输出n＝3.三、解答题8．国家法定工作日内，每周工作时间满工作量为40h，每小时工资8元；如因需要加班，则每小时工资为10元．某人在一周内工作时间为x h，但他须交纳个人住房公积金、失业险(这两项费用为每周总收入的10%)．试分析算法步骤并画出其净得工资y元的算法的流程图．(注：满工作量外的工作时间为加班)[解析]算法如下：S1输入工作时间x h；S2若x≤40，则y＝8x×(1－10%)；否则，y＝40×8(1－10%)＋(x－40)×10(1－10%)．S3输出y值．流程图如下：能力强化训练一、选择题1．(文)(2013·新课标Ⅱ)执行下面的程序框图，如果输入的N＝4，那么输出的S＝()A ．1＋12＋13＋14B ．1＋12＋13×2＋14×3×2C ．1＋12＋13＋14＋15D ．1＋12＋13×2＋14×3×2＋15×4×3×2[答案] B[解析] 本题考查程序框图的循环结构．由程序框图依次可得，输入N ＝4， K ＝1，S ＝0，T ＝1→T ＝1，S ＝1，K ＝2；2>4否 T ＝12，S ＝1＋12，K ＝3；3>4否T ＝16，S ＝1＋12＋13×2，K ＝4；4>4否T ＝14×3×2，S ＝1＋12＋13×2＋14×3×2，K ＝5；5>4是，输出S ＝1＋12＋13×2＋14×3×2，故选B.(理)(2013·新课标Ⅱ)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )A ．1＋12＋13＋…＋110B ．1＋12！＋13！＋…＋110！C ．1＋12＋13＋…＋111D ．1＋12！＋13！＋…＋111！[答案] B[解析] 当输入N ＝10时，由于初值k ＝1，S ＝0，T ＝1，故程序运行过程依次为：T ＝11＝1，S ＝0＋1＝1，k ＝1＋1＝2，此时不满足k >10→T ＝12＝12！，S ＝1＋12！，k ＝2＋1＝3，不满足k >10→T ＝12！3＝13！，S ＝1＋12！＋13！，k ＝3＋1＝4仍不满足k >10，…，直到k ＝10时，T ＝19！10＝110！，S ＝1＋12！＋13！＋ (110)，k ＝11，此时满足k >10，结束循环，输出S ＝1＋12！＋13！＋ (110)后结束． 2．如果执行如图的框图，输入N ＝5，则输出的数等于()A.54B.45C.65D.56[答案] D[解析] 本题考查了程序框图的有关知识，并且渗透了裂项求和的方法，在解题时要注意首先弄清楚程序框图的功能，然后看限制条件，题目定位是中档题．根据程序框图可知，该程序框图的功能是计算S ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1k ×(k ＋1)，现在输入的N ＝5，所以满足条件k <N 的结果为S ＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋15×6＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(15－16)＝56，故选D. 3．执行如图所示的流程图，若输出的b 的值为16，则图中判断框内①处应填( )A．3B．4C．5D．2[答案] A[解析]按照流程图依次执行：初始a＝1，b＝1；第一次循环后，b＝21＝2，a＝1＋1＝2；第二次循环后，b＝22＝4，a＝2＋1＝3；第三次循环后，b＝24＝16，a＝3＋1＝4，而此时应输出b的值，故判断框中的条件应为a≤3，故选A.4．(2013·重庆高考)执行如图所示的程序框图，如果输出s＝3，那么判断框内应填入的条件是()A ．k ≤6B ．k ≤7C ．k ≤8D ．k ≤9 [答案] B[解析] 本题考查程序框图，主要是循环结构的运行问题．依题意，程序框图是计算s ＝log 23log 34…log k (k ＋1)的值，当输出s ＝3时，即log 2(k ＋1)＝3，所以k ＝7.由k ＝k ＋1知，选B.二、填空题5．如图是计算函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ ln (－x ) x ≤－20 －2<x ≤32x x >3的值的程序框图，在①、②、③处应分别填入的是____________________．[答案]y＝ln(－x)，y＝2x，y＝0[解析]由程序框图所表达的意义知①②③处应分别填入的是y＝ln(－x)，y＝2x，y＝0.6．下图是一个算法流程图，则输出的k的值是________．[答案] 5[解析]第一步，当k＝1时，k2－5k＋4＝1－5＋4＝0；第二步，当k＝2时，k2－5k＋4＝4－10＋4＝－2<0；第三步，当k＝3时，k2－5k＋4＝9－15＋4＝－2<0；第四步，当k＝4时，k2－5k＋4＝16－20＋4＝0；第五步，当k＝5时，k2－5k＋4＝25－25＋4>0，结束循环，输出k＝5.三、解答题7．用循环语句来书写1＋22＋32＋…＋n2>100的最小自然数n的算法，画出算法流程图．[解析]算法如下：第一步：S＝0；第二步：n＝1；第三步：S＝S＋n2；第四步：如果S≤100，使n＝n＋1，并返回第三步，否则输出n－1.相应的流程图如图所示．。

制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日【走向高考】2021年高考数学总复习 1-2充分条件与必要条件课后作业北师大版一、选择题1．(2021·文，3)假设a∈R，那么“a＝1〞是“|a|＝1〞的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件[答案] A[解析] 此题考察充要条件．a＝1成立，那么|a|＝1成立．但|a|＝1成立时a＝1不一定成立，所以a＝1是|a|＝1的充分不必要条件．2．(文)命题“假设一个数是负数，那么它的平方是正数〞的逆命题是( )A．“假设一个数是负数，那么它的平方不是正数〞B．“假设一个数的平方是正数，那么它是负数〞C．“假设一个数不是负数，那么它的平方不是正数〞D．“假设一个数的平方不是正数，那么它不是负数〞[答案] B[解析] 考察命题与它的逆命题之间的关系．原命题与它的逆命题的条件与结论互换，应选B.(理)命题“假设a>0，那么a2>0〞的否命题是( )A．假设a2>0，那么a>0 B．假设a<0，那么a2<0C．假设a≤0，那么a2≤0 D．假设a≤0，那么a2≥0[答案] C[解析] 否命题是将原命题的条件与结论分别否认，作为条件和结论得到的，即“假设a≤0，那么a2≤0〞．3．(2021·模拟)“sinα＝12〞是“cos2α＝12〞的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 此题主要考察充要条件和三角公式．∵cos2α＝1－2sin2α＝12，∴sinα＝±12，∴sinα＝12⇒cos2α＝12，但cos2α＝12⇒/ sinα＝12，∴“sinα＝12〞是“cos2α＝12〞的充分而不必要条件．4．(2021·模拟)对于非零向量a、b，“a＋b＝0〞是“a∥b〞的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 考察平面向量平行的条件．∵a＋b＝0，∴a＝－b.∴a∥b.反之，a＝3b时也有a∥b，但a＋b≠0.应选A.5．有以下四个命题：①“假设xy＝1，那么x，y互为倒数〞的逆命题；②“相似三角形的周长相等〞的否命题；③“假设b≤－1，那么方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根〞的逆否命题；④“假设A∪B＝B，那么A⊇B〞的逆否命题．其中真命题是( )A．①②B．②③C．①③D．③④[答案] C[解析] 写出相应命题并断定真假．①“假设x，y互为倒数，那么xy＝1〞为真命题；②“不相似三角形的周长不相等〞为假命题；③“假设方程x2－2bx＋b2＋b＝0没有实根，那么b>－1〞为真命题；④“假设A⊉B，那么A∪B≠B〞为假命题．6．(2021·理，2)设x，y∈R，那么“x≥2且y≥2〞是“x2＋y2≥4〞的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 此题主要考察充分必要条件．由x≥2且y≥2，那么x2＋y2≥4一定成立，而x2＋y2≥4时，x≥2且y≥2不一定成立，如x≥3且y≥0，故充分不必要条件．二、填空题7．命题p：|2x－3|>1，命题q：lg(x－2)<0，那么命题p是命题q的________条件．[答案] 必要不充分[解析] p ：x >2或者x <1，q ：2<x <3，故p 是q 的必要不充分条件．8．在命题“假设m >－n ，那么m 2>n 2〞的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是________． [答案] 3[解析] 原命题为假命题，所以逆否命题也是假命题，逆命题“假设m 2>n 2，那么m >－n 〞也是假命题，从而否命题也是假命题．三、解答题9．p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，假设¬p 是¬q 的必要不充分条件，务实数m 的取值范围．[解析] 解法一：(直接法)∵p ：－2≤x ≤10，∴綈p ：A ＝{x |x <－2或者x >10}． ∵q ：1－m ≤x ≤1＋m ，∴綈q ：B ＝{x |x >1＋m 或者x <1－m }． ∵綈p 是綈q 的必要而不充分条件，∴BA ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10(等号不同时成立)，解得m ≥9.解法二：(等价命题转化法)∵“¬p 是¬q 必要不充分条件〞的等价命题是：p 是q 的充分不必要条件． 设p ：A ＝{x |－2≤x ≤10}，q ：B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}． ∵p 是q 的充分不必要条件，∴AB .∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m ≥10.(两个等号不能同时取到)，∴m ≥9.一、选择题1．(2021·大纲全国卷理，3)下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是( ) A ．a >b ＋1 B ．a >b －1 C ．a 2>b 2D ．a 3>b 3[答案] A[解析] 此题主要考察了不等式的性质以及充分不必要条件、充要条件等概念，难度适中． 要求a >b 成立的充分不必要条件，必须满足由选项能推出a >b ，而由a >b 推不出选项．在选项A 中，a >b ＋1能使a >b 成立，而a >b 时a >b ＋1不一定成立，故A 正确；在选项B 中，a >b －1时a >b 不一定成立，故B 错误；在选项C 中，a 2>b 2时a >b 也不一定成立，因为a ，b 不一定均为正值，故C 错误；在选项D 中，a 3>b 3是a >b 成立的充要条件，故D 也错误．2．(文)命题甲：⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 、21－x 、2x 2成等比数列；命题乙：lg x 、lg(x ＋1)、lg(x ＋3)成等差数列，那么甲是乙的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件[答案] B[解析] 甲：⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ·2 x 2＝(21－x )2，即2 x 2－x ＝22－2x，∴x ＝1或者－2乙：lg x ＋lg(x ＋3)＝2lg(x ＋1)，即x (x ＋3)＝(x ＋1)2， ∴x ＝1，∴甲⇒/ 乙，而乙⇒甲． (理)在△ABC 中，设命题p ：asin B ＝bsin C ＝csin A；命题q ：△ABC 是等边三角形，那么命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 命题p 中，因asin B ＝bsin C ＝csin A，由正弦定理可得a b ＝b c ＝ca＝k ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝kb ，b ＝kc ，c ＝ka ，消去k ，得a ＝b ＝c .命题q 中，因△ABC 是等边三角形， 所以a ＝b ＝c ，∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°， 所以asin B ＝b sin C ＝csin A.二、填空题3．有以下判断：①命题“假设q 那么p 〞与命题“假设綈p 那么綈q 〞互为逆否命题；②“am 2<bm 2〞是“a <b 〞的充要条件；③“平行四边形的对角相等〞的否命题；④命题“∅⊆{1,2}或者∅∈{1,2}〞为真．其中正确命题的序号为________． [答案] ①④[解析] ①两个命题的条件与结论互逆且否认，故正确；②am 2<bm 2，∴m 2>0，∴可以推出a <b . 但反之不能(如m ＝0)．故错误；③命题“平行四边形的对角相等〞的否命题是“假设一个四边形不是平行四边形，那么它的对角不相等〞是假命题．④∅⊆{1,2}是真命题，∅∈{1,2}是假命题，故正确． 4．(文)设集合A ＝{x |xx －1<0}，B ＝{x |x 2－4x <0}，那么“m ∈A 〞是“m ∈B 〞的________条件．[答案] 充分不必要 [解析] 假设m ∈A ，那么m m －1<0，∴0<m <1.假设m ∈B ，那么m 2－4m <0，即0<m <4. 故“m ∈A 〞是“m ∈B 〞的充分条件． 取m ＝2，那么m m －1＝2，于是m m －1<0不成立，所以m ∈A 不成立．故“m ∈A 〞不是“m ∈B 〞的必要条件．综上所述，“m ∈A 〞是“m ∈B 〞的充分不必要条件． (理)对于以下四个结论：①假设A 是B 的必要不充分条件，那么綈B 也是綈A 的必要不充分条件；②“⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac ≤0〞是“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R 〞的充要条件；③“x ≠1〞是“x 2≠1〞的充分不必要条件； ④“x ≠0〞是“x ＋|x |>0〞的必要不充分条件． 其中，正确结论的序号是________． [答案] ①②④[解析] ∵“A ⇐B 〞，∴“綈A ⇒綈B 〞，故①正确．“一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R 〞的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝b 2－4ac ≤0，故②正确．∵x ≠1⇒/ x 2≠1，例如x ＝－1，故③错误． ∵x ＋|x |>0⇒x ≠0，但x ≠0⇒/ x ＋|x |>0， 例如x ④正确． 三、解答题 5．给出以下命题：(1)p ：x －2＝0，q ：(x －2)(x －3)＝0. (2)p ：两个三角形相似；q ：两个三角形全等． (3)p ：m <－2；q ：方程x 2－x －m ＝0无实根． (4)p ：一个四边形是矩形；q ：四边形的对角线相等． 试分别指出p 是q 的什么条件．[解析] (1)∵x －2＝0⇒(x －2)(x －3)＝0； 而(x －2)(x －3)＝0⇒/ x －2＝0. ∴p 是q 的充分不必要条件．(2)∵两个三角形相似⇒/ 两个三角形全等； 但两个三角形全等⇒两个三角形相似． ∴p 是q 的必要不充分条件．(3)∵m <－2⇒方程x 2－x －m ＝0无实根； 方程x 2－x －m ＝0无实根⇒/ m <－2. ∴p 是q 的充分不必要条件． (4)∵矩形的对角线相等，∴p ⇒q ；而对角线相等的四边形不一定是矩形．∴q ⇒/ p . ∴p 是q 的充分不必要条件．6．(文)判断以下命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假． (1)假设四边形的对角互补，那么该四边形是圆内接四边形；(2)在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，假设b 2－4ac <0，那么该函数图像与x 轴有交点． [解析] (1)该命题为真命题．逆命题：假设四边形是圆内接四边形，那么该四边形的对角互补．真命题． 否命题：假设四边形的对角不互补，那么该四边形不是圆内接四边形．真命题． 逆否命题：假设四边形不是圆内接四边形，那么该四边形的对角不互补．真命题． (2)该命题是假命题.逆命题：在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，假设该函数的图像与x 轴有交点，那么b 2－4ac <0.假命题．否命题：在二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，假设b 2－4ac ≥0， 那么该函数图像与x 轴没有交点．假命题．逆否命题：假设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与x 轴没有交点，那么b 2－4ac ≥0.假命题． (理)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝2x 相交于A 、B 两点． (1)求证：“假如直线l 过点(3,0)，那么OA →·OB →＝3〞是真命题． (2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． [解析] (1)设l ：x ＝ty ＋3，代入抛物线y 2＝2x ， 消去x 得y 2－2ty －6＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴y 1＋y 2＝2t ，y 1·y 2＝－6， OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋3)(ty 2＋3)＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9＋y 1y 2 ＝－6t 2＋3t ·2t ＋9－6＝3. ∴OA →·OB →＝3，故为真命题．(2)(1)中命题的逆命题是：“假设OA →·OB →＝3，那么直线l 过点(3,0)〞它是假命题． 设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝2x ， 消去x 得y 2－2ty －2b ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么y 1＋y 2＝2t ，y 1·y 2＝－2b . ∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－2bt 2＋bt ·2t ＋b 2－2b ＝b 2－2b ， 令b 2－2b ＝3，得b ＝3或者b ＝－1，此时直线l 过点(3,0)或者(－1,0)．故逆命题为假命题．7．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0，q ：实数x 满足x 2－x －6≤0或者x 2＋2x －8>0，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，务实数a 的范围．[解析] 由x 2－4ax ＋3a 2<0及a <0，得3a <x <a ， 即p ：3a <x <a ；又由x 2－x －6≤0，得－2≤x ≤3，由x 2＋2x －8>0， 得x <－4或者x >2， 那么q ：x <－4或者x ≥－2.由于綈p 是綈q 的必要不充分条件，即綈q ⇒綈p ，于是，得⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥－2a <0，或者⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－4，a <0得－23≤a <0或者a ≤－4，故所求a 的范围为－23≤a <0或者a ≤－4.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。