2019-2020年高二数学上8.3《平面向量的分解定理》教案沪教版

平面向量的分解定理【学习目标】1．理解平面向量的分解定理，掌握平面内任一向量都可以用两个不平行的向量来表示。

2．掌握基的概念，并会用一组基底向量表示平面内的一些简单的向量。

3．经历平面向量分解定理的探索过程，培养观察能力、抽象概括能力。

【学习重难点】重点：平面向量分解定理的应用。

难点：平面向量分解定理的探索过程。

【学习过程】一、自主学习知识迁移：（1）速度的分解；（2）力的分解； 问题1：任意一个向量a 是否可以分解成两个不共线方向上的向量之和,即a OM ON =+ 结论:___________________________________________平面向量分解定理：如果是平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的任意向量，_______一对实数，使。

我们把不平行的向量叫做这一平面内所有向量的一组_______。

问题2：你觉得其中其中的关键字有哪些？你会提出哪些疑问？ 探究一：______________________________________________结论：_________________________________________________ 探究二：_______________________________________________21,e e 21,λλ2211e e a λλ+=21,e eae 1e 2OBC AOBCA111OC OA OB λλλ=+++二、例题分析例1 如图所示，ABCD 的对角线AC 和BD 交于点M ，,AB a AD b ==，试用基底,a b 表示,,,MC MA MB MD例2（1）已知43AP AB =，用OA OB 、表示OP ；（2）如图，在ABC ∆中，C 为直线AB 上一点，()1AC CB λλ=≠-。

求证：反思：结论可以看做是()1OC mOA m OB =+-吗？ 变式：如果存在实数m ，使()1OC mOA m OB =+-，求证：A,B,C 三点共线。

平面向量分解定理应用--------数形结合思想解题之体验教学目标：1、复习向量的和、平面向量的分解定理体会数形结合数学思想的价值。

2、再认识轨迹问题、求轨迹方程的过程，掌握数与形的紧密联系。

3、通过例题的讲解，感知在求最值问题时巧妙运用数形结合的好处。

4、尝试勇敢和有信心去面对人生的一次挑战。

教学重点：尝试数与形的结合分析高考模拟试题，增强自信心。

教学难点：平面向量分解定理、轨迹方程的求得，逻辑归纳 教学过程：一、引入上海市某区2019年二模数学试卷有这样一题：已知点C 是平面ABD 上一点，1,33,BAD CB CD π∠===，若AP AB AD =+，求AP的最大值？对于我校这样的学生来说，几乎没人能做，而且绝大多数学生无从下手，所以对此问题作如下处理。

二、新课：1、（旧题新说 ）一类轨迹问题及其处理方法（1）在,RT ABC ∆2,90AB C ︒=∠=，顶点C 的轨迹方程是什么？请叙述你的解决方案，并说明注意事项。

（勾股定理、斜率关系、向量的数量积等）（2）在,RT ABC ∆ 2,60AB C ︒=∠=，顶点C 的轨迹方程是什么？请叙述你的解决方案，并说明注意事项。

（勾股定理、斜率关系、向量的数量积等）（3）若将条件改为4,AB =那么轨迹将会有何变化？（半径变大、圆心位置改动）（4）探究一：轨迹上哪一点到线段AB 的距离最大？（轨迹的最高点或最低点）探究二：轨迹上哪一点到线段AB 的中点距离最大？探究三：轨迹上哪一点到线段AB 的三等分点的距离最大？并用数形结合加以说明。

2、向量之平面向量分解定理（1）若AP AB AD =+，那么P 点在何处？（2）若1122AP AB AD =+，那么P 点在何处？为什么？ （3）若1233AP AB AD =+，那么P 点在何处？为什么？（4）若AP AB AD λμ=+，1λμ+=，那么P 点在何处？为什么？可否归纳的一般性的结论？三、言归正传：处理原题已知点C 是平面ABD 上一点，1,33,BAD CB CD ∠===，AP AB AD =+，求AP 的最大值？ 分析：1、1,3CB CD ==在此题的价值是什么？求AP 的最大值，为何要在BD 最大的时候去研究？ 2、你可否作一个简易图，再根据预置条件加以分析。

平面向量的分解定理【教学目标】1．理解和掌握平面向量的分解定理；2．掌握平面内任一向量都可以用两个不平行向量来表示；掌握基的概念，并能够用基表示平面内的向量；3．根据学生已有的物理知识经验，在熟悉的问题情景中，体会研究向量分解的必要性。

4．经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想。

【教学重难点】平面向量分解定理的发现和形成过程；分解唯一性的说明。

【教学过程】一、设置情景，引入课题（1）观察。

前面我们学过向量的加法，知道两个向量可以合成一个向量，反过来，一个向量是否可以分解成两个向量呢？下面让我们来看一个实例：实例：一盏电灯，可以由电线CO吊在天花板上，也可以由电线OA和绳BO拉住。

CO所受的力F与电灯重力平衡，拉力F可以分解为AO与BO所受的拉力F1和F2。

B思考：从这个实例我们看到了什么？答：一个向量可以分成两个不同方向的向量。

（2）复习正交分解，并抽象为数学模型。

e 1a=入1e 1 +入2e 2.1j POP xi y j =+。

二、探索探究，主动建构概括讨论，提出新问题：如果向量21,e e 是同一平面内的两个不平行的向量，a 是该平面内的一个非零向量，是否能用向量21,e e 表示向量a ？数学实验1： 实验设计：（1）实验目的：通过实验让学生探究：给定平面内的两个不平行向量21,e e ，对于给定的非零向量是否能分解成21,e e 方向上的两个向量，且分解是否是唯一的？（2）实验步骤：A ．以四位同学为一组，给每一位同学一个图，上面有两个不平行向量21,e e 和；B ．每个同学先独立作图；C ．小组对照，比较所分解的两向量的长度和方向是否相同。

并得出结论。

（3）实验报告：（由学生发言）可以分解，且分解的长度和方向唯一的。

师：既然可以分解并且是唯一的，能不能用数学式子把a 和21,e e 的关系表示出来？生：21,e e 是不平行向量，是平面内给定的向量，在平面内任取一点O 。

8.3平面向量的分解定理【教学目标】1．掌握平面向量的分解定理及其应用；掌握基的概念；理解并会应用平面向量的三点共线条件；2. 理解平面向量的分解定理的证明；3.经历平面向量分解定理的探究过程，培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想.【教学重点】平面向量分解定理的理解与应用，用给定基向量表示其它向量.【教学难点】平面向量分解定理的理解、基向量的选择.【教学过程】一、情境引入前面我们学过向量的加法，知道两个向量可以合成一个向量，反过来，一个向量是否可以分解成两个向量呢？情境1：静止在斜面的物体所受的重力G可以分解为______________________和_________________.情境2：光滑小球被竖直挡板挡住而静止于斜面上，其重力G可以分解为________________________和_______________________.思考：从这两个情境中我们看出了什么？22二、新知探索问题1：如果向量12,e e 是同一平面内的两个不平行的向量，a 是该平面内的一个非零向量，是否能用向量12,e e 表示向量a ？动手试试给定平面内的两个不平行向量12,e e ，对于给定的非零向量a 是否能分解成12,e e 方向上的两个向量，且分解是否是唯一的？问题2：既然可以分解，并且是唯一的，能否把a 和12,e e 的关系用数学式子表示出来？问题3：对于给定的向量可以唯一分解成给定的两个不平行向量，那么对于任意的向量a 是否也可以得到同样的结论呢？2平面向量分解定理：如果12,e e 是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+.我们把不平行的向量12,e e 叫做这一平面内所有向量的一组基.三、典型应用例1：已知向量12,e e 是平面内所有向量的一组基向量，且1212,32a e e b e e =+=-，1223c e e =+.若c a b λμ=+（其中,R λμ∈），求,λμ的值.例2：如图，已知,OA OB 是不平行的两个向量，k 是实数，且()AP k AB k R =∈，用,OA OB 表示OP .22拓展（平面向量的三点共线条件）：已知A B C 、、是平面上不同三点，O 是平面上任意一点，求证：A B C 、、三点共线的充要条件是：存在,,1R λμλμ∈+=，使得OC OA OB λμ=+.练习：1.已知ABC ∆中，N 是AC 上一点，3CN NA = ，点P 在BN 上，311AP AB mAC =+，求实数m 的值.22.已知ABC ∆中，CP mCA =，CQ nCB =，直线PQ 过ABC ∆的重心G ，求11m n+的值.四、课堂小结五、作业布置《导学先锋》相关练习.2。

5、若a,b 是两个非零向量，ab x 1x 2 y ,y 2 0u uu1、 平面向量的分解定理：如果0,3是一个平面内的两个不共线向量，那么对这rr uruu一平面内的向量a ，有且只有一对实数!, 2使：a =汨 2e 2 向量的正交分解我们称在平面直角坐标系中，方向与x 轴和y 轴正方向分别相同的的两个单 位向量叫做基本单位向量，分别记为r, r ，如图，称以原点o 为起点的向量为位uuu置向量，如下图左，0A 即为一个位置向量.urn r r对于任一位置向量0A ，我们均能能用基本单位向量i,j 来表示。

2. 向量的坐标表示r对于平面直角坐标系内的任意一个向量 a ，我们都能将它正交分解为基本单 位向量r ，r 的线性组合。

如下图左.r urn r r a =OA =xi yj像这种向量的表示方法叫做向量的正交分解。

3. 向量的坐标表示的运算个实数，a (x 1,y 1),ba =(x,y )显然，依上面的表示法，我们有:i (1,0),j (0,1),0 (0,0).于是有: (X 1,yJ (X 2,y 2)X 2,y 1 y 2X 1, y(X,%)nuuPQ (X Q X P 』Q y p )a?b x 1x 2 y 1y 2uui u PQX Q X p )2 (Y Q y p )24、若a,b 是两个非零向量，且（X 1,yJ,b （X 2, y 2），则a//b 的充要条件是X°2 X 2%.6、定比分点坐标公式中点坐标公式典例精析rrr例1.如图，写出向量a,b,c的坐标.解析：例 2. 如下图左，设P x1,y1 、Q x2,y2 是平面直角坐标系内的任意两点，uuur如何用P、Q的坐标来表示向量PQ ?解析：例3.如图，平面上A B、C三点的坐标分别为2,1、3,2、1,3uuur uuur（1）写出向量AC,BC的坐标；（2）如果四边形ABCD是平行四边形，求D的坐标.解析：例4.已知向量a 4, 1与b 5,2，求2a 3b的坐标.解析:例5、已知向量a （1,2）.（1） _______________________________________ 在坐标平面上，画出向量a ；并求a = _____________________________________ ;（2） _________________________________________________________ 若向量a终点Q坐标为（3,0），则向量a的始点P坐标为 ______________________ ；（3）向量a的模与两点P（X p,y p）、Q（X q y q）间距离关系是__ .（4）如果向量a, b用坐标表示为a （X-）, y1）, b （x2, y2），则」是a// b的X2 y2（）条件.A、充要 B 、必要不充分C、充分不必要 D 、既不充分也不必要例6 若a,b是两个非零向量，且a （%,%）山（x2, y2），则a//b的充要条件是X1 y2 X2 y1.解析：mu uuu LULT例7、已知向量OA (k,12),OB (4,5), OC ( k,10)，且A B C三点共线，则k= ____解析：课堂小结:课后作业(二)4. 关于非零向量a 和b ，有下列四个命题:课后作业：(一) 1.已知 a (2,0),b(1,3)，则a b 与a b 的坐标分别为()(A)(3,3),(3,-3) (B)(3,3),(1,-3) (D)(1,3),(3,-3)uuu2.若点A 坐标为(2,-1), AB 的坐标为(4,6),则B 点的坐标为()(C)(1,3),(3,3) (A)(-2,-7) (B)(2,7) (C)(6,5)(D)(-2,5)I I 1 r r3.已知 a (x,4), b (3,y 2).若 a b,则 x= ,y= 2uuuuuu4.已知AB =(2-x) i (1 x)j ，且AB 的坐标所表示的点在第四象限，则x 的取值范围是5.已知 A(5,-2),B(2,-5),C(7,4),D(4,1),uuu uuu 求证：AB=CD .r r rc xa yb6.已知 a (1, 2),b ( 3,1),c (11, 7),并且 r u (5,mn)，且 a b.求 m,n.的值.7.已知a (m 2n 2,2),b8、已知向量a (2,3),b(1, 5)，求 2a b已知向量a (2,3) ， b (x,6)，且 aPb ，则 x 为2. 设 a =(x 1，y 1)，b =(X 2，y 2)， 则下列a 与b 共线的充要条件的有( a =入 b 或b =入a ; ②凶 x 吐;③y 2+ “ f r ur r r r ur r uu rr uu r uu r(a +b ) a b a 0 a a a a ° a 3o aa a ° a a ° ar uu 1 a a 。

课题：平面向量的分解定理【教学目标】1．理解平面向量分解定理的形成过程和定理的内容，掌握将向量表示为基向量的线性组合的基本方法；2．培养学生分类讨论思想、方程思想，以及推理论证能力；3．培养学生提出新问题解决新问题的能力，养成良好的数学学习习惯。

【教学重点】平面向量分解定理的形成过程，将向量表示为基向量的线性组合。

【教学难点】将向量表示为基向量的线性组合，基向量的线性组合的再研究。

【教学方法】教师启发引导，学生探究学习。

【教学过程】一．平面向量的分解定理在讨论向量的坐标表示时，我们知道向量的正交分解是把向量表示成两个互相垂直的向量i 、j 唯一的线性组合。

一般地，如果给定平面上两个不平行的向量1e 、2e ，那么该平面上任意一个向量是否都可以唯一的表示为1e 、2e 的线性组合呢？(一)．平面向量的分解定理的形成推导过程分为两个方面：1．a 可以表示为1e 、2e 的线性组合2211e e a λλ+=分为三种情形：①a 为非零向量，且与1e 、2e 都不平行，这是问题的最一般的情形，通过作图得到；11e λ=，22e λ=，且ON OM +=所以2211e e a λλ+=。

②a 为非零向量，且与1e 、2e 之一平行，此时，1λ、2λ之一为零；③a 为零向量，那么2100e e a +=。

2．a 可以表示为1e 、2e 的线性组合的形式是唯一的。

假设2211e e a '+'=λλ，则有0222111 =⎪⎭⎫ ⎝⎛'-+⎪⎭⎫ ⎝⎛'-e e λλλλ因为1e 、2e 不平行，所以011='-λλ，022='-λλ，即'=11λλ，'=22λλ。

(二)．平面向量的分解定理的代数解释两个不平行的向量()111,y x e = ，()222,y x e = ，平面内任意向量()y x a ,=因为1e 与2e 不平行等价于02211≠y x y x ，根据Crammar 法则，关于1λ、2λ的线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+y y y x x x 22112211λλλλ有唯一解，这是矩阵与行列式章节的内容，本节课从略，给学生留下悬念，激发学生再学习的兴趣。

1、平面向量的分解定理：如果12,e e u r u u r是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的向量a r ，有且只有一对实数12,λλ使：a r =1122e e λλ+u r u u r向量的正交分解我们称在平面直角坐标系中，方向与x 轴和y 轴正方向分别相同的的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为,i j r r，如图，称以原点O 为起点的向量为位置向量，如下图左，OA uu u r即为一个位置向量.对于任一位置向量OA uu u r ，我们均能能用基本单位向量,i j r r来表示。

2.向量的坐标表示对于平面直角坐标系内的任意一个向量a r，我们都能将它正交分解为基本单位向量,i j r r的线性组合。

如下图左.a r =OA uu u r =xi y j +r ra r =（x,y ）像这种向量的表示方法叫做向量的正交分解。

显然，依上面的表示法，我们有：(1,0),(0,1),0(0,0)i j ===r r r.3.向量的坐标表示的运算设λ是一个实数，1122(,),(,).a x y b x y ==r r于是有：1122(,)(,)x y x y ±()1212,x x y y =±±()1111(,),x y x y λλλ= 1212a b x x y y •=+r r a =r(,)Q P Q P PQ x x y y =--u u u rPQ =u u u r 4、若,a b r r 是两个非零向量，且1122(,),(,)a x y b x y ==r r，则//a b r r 的充要条件是1221x y x y =.5、若,a b r r是两个非零向量，12120a b x x y y ⊥⇔+=r r6、定比分点坐标公式 中点坐标公式 典例精析例1.如图，写出向量,,a b c r r r的坐标.解析：例2.如下图左，设()11,P x y 、()22,Q x y 是平面直角坐标系内的任意两点，如何用P 、Q 的坐标来表示向量PQ u u u r？解析：例3.如图，平面上A 、B 、C 三点的坐标分别为()2,1、()3,2-、()1,3-.（1）写出向量,AC BC u u u r u u u r的坐标；（2）如果四边形ABCD 是平行四边形，求D 的坐标. 解析：例4.已知向量()4,1a =-r 与()5,2b =r，求23a b +r r 的坐标.解析:例5、已知向量(1,2)a =r.（1）在坐标平面上，画出向量a r ；并求a r= ；（2）若向量a r 终点Q 坐标为(3,0)，则向量a r的始点P 坐标为_______； （3）向量a r的模与两点P （x p,y p ）、Q(x q y q )间距离关系是 . （4）如果向量,a b r r 用坐标表示为),(),,(2211y x b y x a ==，则2121y yx x =是//的（ ）条件.A 、充要B 、必要不充分C 、充分不必要D 、既不充分也不必要例6、 若,a b r r 是两个非零向量，且1122(,),(,)a x y b x y ==r r，则//a b r r 的充要条件是1221x y x y =.解析：例7、已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-u u u r u u u r u u u r，且A 、B 、C 三点共线，则k=____ 解析：课堂小结：课后作业：（一）1.已知(2,0),(1,3),a b ==-r r则a b +r r 与a b -r r 的坐标分别为( )(A)(3,3),(3,-3) (B)(3,3),(1,-3) (C)(1,3),(3,3) (D)(1,3),(3,-3)2.若点A 坐标为(2,-1),AB u u u r的坐标为(4,6),则B 点的坐标为( )(A)(-2,-7) (B)(2,7) (C)(6,5) (D)(-2,5)3.已知(,4),(3,2).a x b y ==-r r 若1,2a b =r r则x= ,y= .4.已知AB (1)i x j +-u u u r r r=(2-x)，且AB u u u r 的坐标所表示的点在第四象限，则x 的取值范围是 .5.已知A(5,-2),B(2,-5),C(7,4),D(4,1),求证：AB=CD uuu r uuu r .6.已知(1,2),(3,1),(11,7),a b c =-=-=-r r r 并且.c xa yb =+r r r求x,y 的值.7.已知22(,2),(5,)a m n b mn =+=r r ，且.a b =r u r 求,.m n 的值.8、已知向量(2,3),(1,5)a b =-=-r r，求2a b -r r课后作业（二）1．已知向量(2,3)a =r ，(,6)b x =r ，且a b r r P ，则x 为_________；2．设=(x 1，y 1)，=(x 2，y 2)，则下列与共线的充要条件的有（ ） ① 存在一个实数λ，使a =λb 或b =λa ； ②2121y yx x =；③(+)0a u u r a r 0a a a =⋅r r u u r a r 0a u u r 0a a a =⋅r r u u r a r 0a u u r 1a =r 0a a =r u u r述命题中，其中假命题的序号为 ；4．关于非零向量a ρ和b ρ，有下列四个命题：（1）“b a b a ρρρρ+=+”的充要条件是“a ρ和b ρ的方向相同”；（2）“b a b a ρρρρ-=+” 的充要条件是“a ρ和b ρ的方向相反”； （3）“b a b a ρρρρ-=+” 的充要条件是“a ρ和b ρ有相等的模”； （4）“b a b a ρρρρ-=-” 的充要条件是“a ρ和b ρ的方向相同”；其中真命题的个数是 （ ）A ． 1 B. 2 C. 3 D. 45．质点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量v r=（4，－3）（即点P 的运动方向与v r相同，且每秒移动的距离为|v |个单位.设开始时点P 的坐标为（－10，10），则5秒后该质点P 的坐标为（ ）A ．（－2，4）B ．（－30，25）C ．（10，－5）D ．（5，－10）6．已知向量(cos ,sin ),1)a b αα==-r r，则2a b -r r 的最大值为 .7．在直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)A 和点(4)B -，若点C 在∠AOB 的平分线上，且2OC =u u u r，则=_________.8．已知＝（5，4），＝（3，2），求与2－3平行的单位向量.9、（1）请大家用两分钟的时间解答本节课一开始我们所提出的在某时刻2t ，健美操队员C 的位置问题.即：在某时刻2t ，四名队员A 、B 、C 、D 保持如图所示的平行四边形队形.如下图左，队员A 位于距EF 边2米距FG 边1米处，队员B 在距EF 边6米距FG 边3米处，队员D 位于距EF 边4米距FG 边5米处.你能确定此时队员C 的位置吗？（2）在某时刻3t ，四名队员A 、B 、C 、D 保持平行四边形队形.已知队员A 位于距EF 边2米距FG 边1米处，队员B 在距EF 边6米距FG 边3米处，队员C 位于如下图左所示的矩形阴影部分区域内（包括边界）某一位置.你能确定此时队员D 可能的位置区域吗？10.已知向量a=（x +z,3）,b=（2,y-z ），且a ⊥ b ．若x ,y 满足不等式，则z的取值范围为A ．[-2，2]B ．[-2，3]C ．[-3，2]D ．[-3，3]11.直角坐标平面上三点(1,2)(3,2)(9,7)A B C -、、，若E F 、为线段BC 的三等分点，则AE AF ⋅u u u r u u u r= ．2212.已知a >0，若平面内三点A （1，-a ），B （2，2a ），C （3，3a ）共线，则a =________。