认识二次函数

认识二次函数和抛物线了解二次函数和抛物线的特征和像二次函数和抛物线是数学中重要的概念，它们与许多实际问题有着密切的关联。

了解二次函数和抛物线的特征和像，对于我们解决实际问题以及应用数学知识具有重要的意义。

本文将介绍二次函数和抛物线的基本概念、性质以及它们在实际中的应用。

1. 二次函数的基本概念我们首先来了解一下二次函数的基本概念。

二次函数是指形如f(x)= ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a不等于0。

其中，a决定了二次函数的开口方向，当a大于0时，开口向上；当a小于0时，开口向下。

b和c则分别决定了二次函数的对称轴和纵轴截距。

2. 抛物线的特征和像抛物线是一种特殊的二次函数图像，它具有许多独特的特征。

首先，抛物线是关于对称轴对称的，对称轴是二次函数的一个重要特征，可以通过b/(-2a)来计算得出。

其次，抛物线的开口方向由二次函数的系数a决定，开口向上的抛物线具有最小值，开口向下的抛物线具有最大值。

最后，抛物线还包括了顶点，顶点是抛物线的最高点或最低点，可以通过对称轴计算得出。

3. 二次函数和抛物线的应用二次函数和抛物线在许多实际问题中都有广泛的应用。

比如，在物理学中，抛物线可以描述抛体的运动轨迹；在经济学中，二次函数可以用来建模成本、利润等与产量和价格相关的变量；在工程学中，抛物线可以用来设计各种曲线形状的结构等等。

4. 二次函数和抛物线的图像二次函数和抛物线的图像通常可以通过绘制函数的图像来展示。

在绘制图像时，我们可以确定对称轴、顶点以及开口方向，然后通过描点法或利用平移和拉伸等变换来绘制出完整的抛物线图像。

通过观察图像，我们可以获得更直观的信息，更好地理解二次函数和抛物线的特征。

总结：本文介绍了二次函数和抛物线的基本概念，包括二次函数的定义及其系数的意义，抛物线的对称轴、开口方向和顶点等特征。

我们还探讨了二次函数和抛物线在实际中的应用，并提到了通过绘制图像可以更好地理解这些概念和特征。

二 次 函 数1、二次函数的常见解析式及其三要素①a 的符号决定抛物线的的开口大小、形状相同；如果a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同。

②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .③二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=， ④当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点⇔a b ac y 最小442-=；当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点⇔ab ac y 最大442-=。

2、二次函数的性质：⑴增减性：以对称轴h x =为界，具有双向性。

⑵对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线的对称轴垂直平分对称点的连线. 即：若A 、B 两点是抛物线上关于对称轴h x =对称的两点，则有：①B A y y =；②h x x B A =+2(即abx x -=+21)。

基础练习题：1、抛物线y = - 2 ( x – 3 )2– 7 对称轴 x = , 顶点坐标为 ； 2、抛物线 y = 2x 2+ 12x – 25的对称轴为 x = , 顶点坐标为 . 3、若将二次函数y =x 2－2x + 3配方为y =（x －h ）2+ k 的形式，则y =4、抛物线y = - 4（x +2）2+5的对称轴是 。

5、抛物线 y = - 3x 2+ 5x - 4开口 , y = 4x 2– 6x + 5 开口 .6、已知P 1（11y ,x ）、P 2（22y ,x ）、P 3（33y ,x ）是抛物线3x 2x y 2--=上的三个点，若321x x x 1<<<，则321y y y 、、的大小关系是____________。

7、已知函数y =x 2-2x -2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是( )A ．-1≤x ≤3B ．-3≤x ≤1C ．x ≥-3D ．x ≤-1或x ≥38、如图中有相同对称轴的两条抛物线,下列关系不正确的是( ) A h=m B k=n C k ＞n D h ＞0,k ＞0 9、抛物线4)2(22-+-+=m x m x y 的顶点在原点，则m= 10、如图抛物线对称轴是x=1,与x 轴交于A 、B 两点,若B 点的坐标是(3,0),则A 点的坐标是 11、请选择一组你喜欢的的值，使二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象同时满足下列条件：（1）开口向下，（2）当时，y 随x 的增大而增大；当时，y 随x的增大而减小。

二次函数的概念与性质二次函数是高中数学中的重要内容，它在实际生活中有广泛的应用。

本文将对二次函数的概念和性质进行详细的介绍，让我们一同探索二次函数的奥秘。

一、二次函数的概念二次函数是形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。

其中，a决定了二次函数的开口方向和形状，b决定了二次函数的对称轴位置，c则表示二次函数的纵坐标偏移量。

二次函数的自变量x可以取任意实数。

二次函数的图像通常为一条平滑的曲线，这条曲线可以是开口朝上的“U”型曲线，也可以是开口朝下的“∩”型曲线。

根据a的正负性质，我们可以确定二次函数的开口方向。

二、二次函数的性质1. 零点及交点：二次函数的零点就是方程f(x) = 0的解，等于函数曲线与x轴的交点。

要确定二次函数的零点，可以通过解关于x的二次方程来求得。

若二次函数有零点，那么它的图像与x轴必有交点；反之，若无零点，则图像与x轴不相交。

2. 对称轴：二次函数的对称轴是其图像关于某一直线的对称轴。

对称轴的横坐标为x = -b/2a，纵坐标则由该点代入函数得到。

3. 最值点：二次函数的最值点是函数图像的顶点或底点，也就是函数曲线的极值点。

对于开口朝上的二次函数，顶点即为最小值点；对于开口朝下的二次函数，底点即为最大值点。

4. 单调性：二次函数的单调性与a的正负有关。

当a > 0时，二次函数呈现开口朝上的“U”型，并且在对称轴两侧是递增的；当a < 0时，二次函数呈现开口朝下的“∩”型，并且在对称轴两侧是递减的。

5. 范围：二次函数的范围即为函数图像在y轴上的取值范围。

对于开口朝上的二次函数，范围为y ≥ 最小值；对于开口朝下的二次函数，范围为y ≤ 最大值。

6. 判别式：二次函数的判别式Δ = b² - 4ac可以用来判断二次方程ax² + bx + c = 0的解的性质。

若Δ > 0，方程有两个不相等的实根；若Δ = 0，方程有两个相等的实根；若Δ < 0，方程无实根。

小学数学认识简单的二次函数二次函数是数学中的重要概念之一，它是一种特殊的代数函数。

在小学数学中，二次函数的认识相对简单，我们可以从以下几个方面来介绍。

一、什么是二次函数二次函数是指一个函数的函数表达式可以写成 $y=ax^2+bx+c$ 的形式，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是常数，并且 $a\neq0$。

在这个函数中，$x$ 是自变量，$y$ 是因变量。

其中的 $a$ 决定了二次函数的开口方向和开口大小，$b$ 决定了二次函数的对称轴，$c$ 决定了二次函数的纵坐标偏移。

二、二次函数的图像特征对于二次函数 $y=ax^2+bx+c$，我们可以通过绘制函数的图像来了解它的特点。

当 $a>0$ 时，二次函数的图像开口朝上；当 $a<0$ 时，二次函数的图像开口朝下。

决定开口方向的 $a$ 的绝对值越大，开口越大。

对于二次函数的对称轴，我们可以通过计算 $x=-\frac{b}{2a}$ 来得到。

对称轴是二次函数图像上的一条线，用来将图像分成两个对称的部分。

另外，二次函数的顶点是图像的最高点（开口向下时）或最低点（开口向上时）。

顶点的横坐标为 $-\frac{b}{2a}$，纵坐标为 $f(-\frac{b}{2a})$。

三、二次函数在几何中的应用1. 面积计算：当一个平面图形的边缘为二次函数的图像时，我们可以通过计算该二次函数在两个给定的横坐标之间的定积分来求得图形的面积。

2. 抛物线：二次函数的图像通常呈现出抛物线的形状。

抛物线在物理学、建筑学等领域中有着广泛的应用，如喷泉的水流轨迹、拱形门的设计等。

四、小学数学中的二次函数教学在小学数学教学中，二次函数的概念并不是直接教授给学生，而是通过计算函数对应的 $x$ 和 $y$ 的值，探究二次函数的特点。

教师可以利用图形绘制软件或手工绘图，让学生观察二次函数图像与各个参数的关系，进而培养学生的观察力和分析能力。

针对小学生的认知能力和数学水平，在教学过程中应注重培养学生的思维能力和解决问题的能力。

初中二次函数知识点二次函数是数学中非常重要的一种函数形式，也是初中数学学习的一个重要知识点。

本文将为大家详细介绍二次函数的相关概念、性质和应用。

一、二次函数的定义和一般形式二次函数是指形如 y=ax²+bx+c （其中a、b、c为常数，且a≠0）的函数。

其中x为自变量，y为因变量。

二次函数的一般形式表达了一个二次函数的特征：由一个二次幂项、一个一次项和一个常数项构成。

其中，二次幂项的系数a决定了函数的开口方向、形状和平移等属性；一次项的系数b决定了函数的位置和方向性；常数项c则决定了函数的纵向平移。

二、二次函数的图像特征1. 开口方向当二次函数的二次幂项系数a大于0时，函数的图像开口向上，形状类似于一个“U”字形，称为正向的。

当二次幂项系数a小于0时，函数的图像开口向下，形状类似于倒置的“U”字形，称为反向的。

2. 顶点二次函数的顶点是图像的最低或最高点，其横坐标为-b/2b。

顶点的纵坐标则根据二次函数的形状而定，当a>0时为最小值，当a<0时为最大值。

3. 对称轴二次函数的对称轴是垂直于x轴的一条直线，经过顶点。

对称轴的方程为x=-b/2a。

4. 零点二次函数的零点是函数图像与x轴的交点，即满足函数值为0的x值。

求解零点可以通过关于x的二次方程的解得到。

5. 范围和值域二次函数的范围取决于开口方向，当a>0时，范围是y≥最小值；当a<0时，范围是y≤最大值。

值域则为最小值到正无穷或最大值到负无穷的闭区间。

三、二次函数的常见变形1. 常数项的变形在二次函数的一般形式中，常数项c可以使函数图像上下平移，比如y=ax²+bx+c+3，就是原函数图像向上平移3个单位。

2. 一次项的变形一次项的系数b决定了函数图像的斜率和位置。

如果b>0，则图像向右倾斜；如果b<0，则图像向左倾斜。

3. 二次幂项的变形二次幂项的系数a决定了函数图像的开口方向和形状。

用“三个特殊点”来认识二次函数函数揭示变量之间的关系，函数图象揭示函数各自的特征。

函数是高中数学的主线，而二次函数是高中数学的传统经典内容，它具有丰富的内涵和外延，通过对它的研究可以把数和形有机地融合起来，使数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想、函数和方程的思想方法得到充分的发挥，它沟通了函数、方程、不等式、曲线等知识之间的内在联系，使数学知识的综合运用得到很好的体现。

那么如何有效地来学习二次函数知识呢？我们知道函数的性质与它的图象密不可分，那么二次函数的图象上有哪些特殊点呢？一、二次函数图象上最关键的点——顶点在二次函数的教学和学习时，通常是从最简单的二次函数y=ax2开始去研究其图象的特征和性质，有函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性和最值等等。

关键是从图象入手来认识函数的基本性质，我们可以看到它的性质其实就是围绕着顶点的横坐标和纵坐标来展开的。

而接下来的扩展型y=ax2+k和y=a（x-h）2的图象的特征和性质，通过具体作图感受图象的特征及形状后，发现图象还是抛物线，只是顶点和对称轴发生了变化，顶点的变化才是关键，函数y=ax2+k的图象是由y=ax2向上或者向下平移k个单位而得，顶点由（0,0）移动到了（0，k），所以最值由0变为k，其余则不变；函数y=a（x-h）2的图象是由y=ax2向左或者向右平移h个单位而得，顶点由（0，0）移动到了（h，0），从而对称轴变为直线x=h。

我们始终抓住顶点的变化和对称轴位置的所在，紧密联系其图象，可以很明显地看到这两个扩展型函数的性质和特征还是围绕顶点的两个坐标展开的。

对于顶点式就更显而易见了，顶点式y=a（x-h）2+k的顶点坐标是（h，k），除了开口方向其余特征和性质都与h或k有关。

而一般式y=ax2+bx+c也可以通过配方法或者公式法得到它的顶点坐标为（- ，）。

这样一系列的学习调理清晰、层层递进、主题突出，紧紧抓住顶点，对二次函数的学习有很大的帮助。

《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)下面是整理的《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)，欢迎参阅。

《二次函数》教案1教学目标掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系。

重点、难点：二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间关系的探索。

教学过程：一、情境创设一次函数y=x+2的图象与x轴的交点坐标问题1.任意一次函数的图象与x轴有几个交点？问题2.猜想二次函数图象与x轴可能会有几个交点？可以借助什么来研究？二、探索活动活动一观察在直角坐标系中任意取三点A、B、C，测出它们的纵坐标，分别记作a、b、c，以a、b、c为系数绘制二次函数y=ax2+bx+c的图象，观察它与x轴交点数量的情况；任意改变a、b、c值后，观察交点数量变化情况。

活动二观察与探索如图1，观察二次函数y=x2-x-6的图象，回答问题:(1)图象与x轴的交点的坐标为A(，),B(，)(2)当x=时，函数值y=0。

(3)求方程x2-x-6=0的解。

(4)方程x2-x-6=0的解和交点坐标有何关系？活动三猜想和归纳(1)你能说出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其它情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系。

（2）一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数由什么来判断？这样我们可以把二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点、一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根和根的判别式三者联系起来。

三、例题分析例1.不画图象，判断下列函数与x轴交点情况。

(1)y=x2-10x+25(2)y=3x2-4x+2(3)y=-2x2+3x-1例2.已知二次函数y=mx2+x-1(1)当m为何值时，图象与x轴有两个交点(2)当m为何值时，图象与x轴有一个交点？(3)当m为何值时，图象与x轴无交点？四、拓展练习1.如图2，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B。

初步认识二次函数二次函数与其他函数的关系二次函数是数学中一类重要且常见的函数类型。

它的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a,b,c为常数且a不等于0。

本文将初步介绍二次函数的性质及与其他函数的关系。

一、二次函数的基本形式二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c。

其中，a决定了二次函数的开口方向和开口大小，当a大于0时，函数开口向上；当a小于0时，函数开口向下。

b决定了二次函数在x轴方向上的平移，正值表示向左平移，负值表示向右平移。

c表示二次函数的纵坐标偏移。

二、二次函数的图像特点1. 开口方向与开口大小：根据二次函数的a值可以确定开口的方向，a>0时开口向上，a<0时开口向下。

a的绝对值越大，开口越窄；a的绝对值越小，开口越宽。

2. 顶点坐标：对于标准形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

顶点坐标是二次函数的最高点或最低点，也是对称轴与x轴的交点。

3. 对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点的一条垂直线，其方程为x = -b/2a。

对称轴将二次函数分为两个对称的部分。

4. 单调性：当a>0时，二次函数在对称轴两侧单调递增；当a<0时，二次函数在对称轴两侧单调递减。

三、二次函数与其他函数的关系1. 线性函数与二次函数：线性函数的一般形式为f(x) = kx + b，其中k和b为常数。

与二次函数相比，线性函数的图像是一条直线，没有弯曲的部分。

二次函数可以看作是线性函数的一种特殊情况，当a=0时，二次函数变为线性函数。

2. 指数函数与二次函数：指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a为常数且不等于0。

与二次函数相比，指数函数的图像呈现出不同的特征。

指数函数是逐渐增长或逐渐减小的，与二次函数的弯曲程度不同。

3. 对数函数与二次函数：对数函数的一般形式为f(x) = loga(x)，其中a为底数。