第2章二次函数 题型解读1 二次函数图像认识题型-北师大版九年级数学下册教学讲义

<<函数与几何综合>>解题思路结合图(1)公式法(2)补割法(3)12×水平宽度×铅直高度注意分类讨论1.存在性问题(1)是否存在点:利用点所在函数图像设出点的坐标, 再利用点所满足的一个条件,通过全 等,相似,或三角函数,列出方程.注意 判别解的合理性.典型题型 (2)是否存在三角形①Rt :以谁为直角顶点分三种情况讨论,结合 双垂型、射影定理等相似，全等，勾 股定理及直角三角形的性质解题②等腰:以两两相等分三种情况讨论,结合相似 全等、勾股定理、中垂线、圆等解题③等腰Rt ：分三种情况分类讨论，结合上述 几何性质解题④等边：结合等腰、等边性质解题(3)是否存在面积关系:利用面积关系,通过求面积 的各种方法,列出方程解答.(4)是否存在全等：设点的坐标，利用 全等性质列方程解答。

(4)等底等高与平行(5)是否存在相似:一般利用等角分两种情况分类讨论,利用相似性质列方程解答(7)是否存在矩形、菱形、正方形：结合点的坐标， 利用它们的判定或性质及相似等列方程解答。

2.最值问题(1)线段最值①求解析式,利用二次函数配方求最值; ②垂线段最短、两点间线段最短 （转化为同一线段、将军饮马问题）(2)线段和差或周长最值:①解析式求最值;②将军饮马问题(3)面积最值:利用面积三种方法,列解析式求最值3.取值范围问题:①善于抓住图形位置特点,确定最大/小值; ②求解析式解不等式方程.4.线段定值问题:①直接计算；②如果题目没给出定值的，可利用特殊位置、 极端位置先探求出定值，然后加以一般化证明。

(6)是否存在平行四边形①几何论证法：以已知边为长边、短边及对角线去找图②代数论证法：选三点，以两两的连线为对角线，利用中点坐标公式分三种情况讨论计算出第四点坐标③平行四边形顶点的横纵坐标的差相等，利用平移表示 各点坐标，计算上可以简化，用于表示各顶点坐标①点动:依解析式设动点坐标②线动总体思路:圆只是周围是曲线的多边形 全等或相似勾股等照常用①求角或三角函数:直接求或等量替换 圆心或圆周角定理 切线性质,内接四边形对角性质 弦切角性质②求线段:垂径定理 切线性质③辅助线:(1)连半径，构造等腰(2)见弦必做弦心距，构造RT △(3)见切线必连圆心与切点，构造RT △ (4)见直径，构造90°圆周角基本思路:在变化中找到不变的性质③面动:折叠,平移,旋转5.动态问题6.圆典型题型思路要点与行程问题结合的动态问题:先用字母表示出各线段,根据 各线位置,结合相似全等等几 何知识列方程解答题型解读1 二次函数与几何综合题的两种解题方法【分析思路】在二次函数与几何综合的各种题型中，只有一条总体分析思路线：解析式（方程）←→点的坐标←→线段长←→几何问题，但在具体解题分析过程中，求点的坐标或线段长时，思考方向却有两种：可以由左往右思考，即“由解析式或方程求点的坐标，由点的坐标求线段长”，这是“代数论证方法”；也可以由右往左思考，即“由几何问题求线段长，由线段长求点的坐标”，这是“几何论证方法”。

第04讲_二次函数与一元二次方程知识图谱二次函数与一元二次方程知识精讲一．二次函数与x 轴交点1．抛物线与x 轴的交点：二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔0∆>⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0∆=⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0∆<⇔抛物线与x 轴相离.2．平行于x 轴的直线与抛物线的交点：可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是2ax bx c k ++=的两个实数根.3．抛物线与x 轴两交点之间的距离．若抛物线2y ax bx c =++与x 轴两交点为()10A x ，，()20B x ，，由于1x 、2x 是方程20ax bx c ++=的两个根，故1212b cx x x x +=-⋅=，： ()()22221212121244+4b cb ac AB x x x x x x x x a a a a -∆⎛⎫=---=--=⎪⎝⎭判别式:24b ac ∆=-0∆>0∆= 0∆<二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图象x 2x 1Oyxx 1=x 2O yxOxy一元二次方程:20ax bx c ++=(0)a ≠的根有两相异实根 12,x x =242b b aca -±-12()x x <有两相等实根122bx x a==-没有实根三点剖析一．考点：二次函数与x 轴交点问题，利用二次函数解决一元二次方程根的分布问题．二．重难点：1．二次函数与x 轴交点问题即当0y =时，转化为一元二次方程20ax bx c ++=；2．在利用二次函数分析一元二次方程根的分布问题时要结合函数图像的性质来分析．三．易错点：利用二次函数分析一元二次方程根的分布问题时首先确定开口方向，然后再结合函数的增减性，对称轴的位置，函数值等因素最终确定一元二次方程根的分布情况．二次函数与x 轴交点例题1、 抛物线y=x 2+2x+m ﹣1与x 轴有两个不同的交点，则m 的取值范围是（ ） A.m ＜2 B.m ＞2 C.0＜m≤2 D.m ＜﹣2 【答案】 A【解析】 ∵抛物线y=x 2+2x+m ﹣1与x 轴有两个交点， ∵∵=b 2﹣4ac ＞0， 即4﹣4m+4＞0， 解得m ＜2，例题2、 二次函数2y x 6x n =-+的部分图像如图所示，若关于的一元二次方程2x 6x n 0-+=的一个解为x 1＝1，则另一个解2x ＝__________．【答案】 5【解析】 暂无解析例题3、 已知关于x 的方程()231220mx m x m --+-=（1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根． （2）若关于x 的二次函数()23122y mx m x m =--+-的图象与x 轴两交点间的距离为2时，求二次函数的表达式． 【答案】 （1）见解析；（2）函数解析式为22y x x =-或218233y x x =-+-【解析】 （1）①当0m =时，原方程可化为20x -=，解得2x =； ②当0m ≠时，方程为一元二次方程，()()231422m m m ∆=----⎡⎤⎣⎦ 221m m =++x()210m =+≥，故方程有两个实数根；故无论m 为何值，方程恒有实数根．（2）设1x ，2x 分别为抛物线()23122y mx m x m =--+-与x 轴两交点的横坐标， 令0y =，则()231220mx m x m --+-=，由求根公式得，12x =，21m x m-=∴抛物线()23122y mx m x m =--+-不论m 为任何不为0的实数时，恒过定点()2,0，∴20x =或24x =，即10m m -=或14m m-=， 解得11m =，213m =-则函数解析式为22y x x =-或218233y x x =-+-随练1、 二次函数与y ＝kx 2－8x ＋8的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A.k ＜2 B.k ＜2且k ≠0 C.k ≤2 D.k ≤2且k ≠0 【答案】 D【解析】 暂无解析随练2、 如图，平面直角坐标系中，点M 是直线y=2与x 轴之间的一个动点，且点M 是抛物线y=12x 2+bx+c 的顶点，则方程12x 2+bx+c=1的解的个数是（ ）A.0或2B.0或1C.1或2D.0，1或2【答案】 A【解析】 考查了二次函数的性质，本题涉及分类思想和方程思想的应用．分三种情况：点M 的纵坐标小于1；点M 的纵坐标等于1；点M 的纵坐标大于1；进行讨论即可得到方程12x 2+bx+c=1的解的个数． 分三种情况：点M 的纵坐标小于1，方程12x 2+bx+c=1的解是2个不相等的实数根； 点M 的纵坐标等于1，方程12x 2+bx+c=1的解是2个相等的实数根；点M 的纵坐标大于1，方程12x 2+bx+c=1的解的个数是0．故方程12x 2+bx+c=1的解的个数是0或2．故选：A ．随练3、 实数a 在什么范围内取值时，关于x 的方程2(2)50x a x a --+-=的一个根大于0而小于2，另一个根大于4而小于6．【答案】 2955a -<<-【解析】 设2()(2)5f x x a x a =--+-；则有:(0)0(2)0(4)0(6)0f f f f >⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩ 解得2955a -<<-．一元二次方程根的分布问题例题1、 “如果二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m 、n （m ＜n ）是关于x 的方程1-（x -a ）（x -b ）=0的两根，且a ＜b ，则a 、b 、m 、n 的大小关系是（ ） A.m ＜a ＜b ＜n B.a ＜m ＜n ＜b C.a ＜m ＜b ＜n D.m ＜a ＜n ＜b 【答案】 A【解析】 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，考查了数形结合的数学思想．解题时，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算． 依题意画出函数y=（x -a ）（x -b ）图象草图，根据二次函数的增减性求解．依题意，画出函数y=（x -a ）（x -b ）的图象，如图所示．函数图象为抛物线，开口向上，与x 轴两个交点的横坐标分别为a ，b （a ＜b ）． 方程1-（x -a ）（x -b ）=0 转化为（x -a ）（x -b ）=1，方程的两根是抛物线y=（x -a ）（x -b ）与直线y=1的两个交点． 由m ＜n ，可知对称轴左侧交点横坐标为m ，右侧为n ．由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y 随x 增大而减少，则有m ＜a ；在对称轴右侧，y 随x 增大而增大，则有b ＜n ．综上所述，可知m ＜a ＜b ＜n ． 故选：A ．例题2、 求实数a 的取值范围，使关于x 的方程()221260x a x a +-++=． （1）有两个实根x 1,x 2，且满足1204x x <<<； （2）如果至少有一个正根，求实数a 的取值范围．【答案】 （1）715a -<<-（2）1a ≤-【解析】 （1）设2()2(1)26f x x a x a =+-++；则有:0042(0)0(4)0b af f ∆>⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩解得：715a -<<-（2）可以利用韦达定理来解决此题①由图1、图2，可得：1212000x x x x ∆≥⎧⎪+>⎨⎪⋅>⎩；解得：31a -<≤-②由图3，可得：121200x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪⋅=⎩；解得：3a =-；③由图4，可得：1200x x ∆>⎧⎨⋅<⎩；解得：3a <-综上可得1a ≤-．随练1、 已知关于x 的方程()()2131220k x k x k ++-+-=．（1）讨论此方程根的情况；（2）若方程有两个整数根，求正整数k 的值；（3）若抛物线()()2131220k x k x k ++-+-=与x 轴的两个交点之间的距离为3，求k 的值． 【答案】 （1）见解析（2）1；3（3）0；3-【解析】 该题考查的是二次函数与一元二次方程的综合题．（1）当1k =-时，方程44x --=0为一元一次方程，此方程有一个实数根； 当1k ≠-时，方程2(1)(31)22k x k x k ++-+-=0是一元二次方程， ()()()()223141223k k k k ∆=--+-=-．∵()230k -≥，即0∆≥，∴ k 为除1-外的任意实数时，此方程总有两个实数根． 2分 综上，无论k 取任意实数，方程总有实数根．（2）13(3)2(1)k k x k -±-=+，11x =-，2x =421k -+．∵ 方程的两个根是整数根，且k 为正整数，∴ 当1k =时，方程的两根为1-，0； 当3k =时，方程的两根为1-，1-．∴ 1k =，3． 4分（3）∵ 抛物线()()213122y k x k x k =++-+-与x 轴的两个交点之间的距离为3， ∴，123x x -=，或213x x -=．当123x x -=时，3k =-；当213x x -=时，0k =．综上，0k =，-3． 6分随练2、 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a≠0）的对称轴为直线x ＝－2． （1）b ＝________；（用含a 的代数式表示）（2）当a ＝－1时，若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0在－3＜x ＜1的范围内有解，求c 的取值范围； （3）若抛物线过点（－2，－2），当－1≤x≤0时，抛物线上的点到x 轴距离的最大值为4，求a 的值． 【答案】 （1）4a （2）－4≤c ＜5（3）32a =或12a =-【解析】 （1）由2b x a =-得到：22ba-=-，则b ＝4a ．（2）当a ＝－1时，∵关于x 的方程－x 2－4x ＋c ＝0在－3＜x ＜1的范围内有解，即关于x 的方程x 2＋4x －c ＝0在－3＜x ＜1的范围内有解，图1图3∴b2－4ac＝16＋4c≥0，即c≥－4．方法一：∴抛物线y＝x2＋4x＝（x＋2）2－4与直线y＝c在－3＜x＜1的范围内有交点．当x＝－2时，y＝－4，当x＝1时，y＝5．由图象可知：－4≤c＜5．方法二：∴抛物线y＝x2＋4x－c＝（x＋2）2－4－c与x轴在－3＜x＜1的范围内有交点．当x＝－2，y＝0时，c＝－4，当x＝1，y＝0时，c＝5．由图象可知：－4≤c＜5．方法三：∵c＝x2＋4x＝（x＋2）2－4．∴c是x的二次函数．当x＝－2时，c＝－4，当x＝1时，c＝5．由图象可知：－4≤c＜5．（3）∵抛物线y＝ax2＋4ax＋c过点（－2，－2），∴c＝4a－2．∴抛物线解析式为：y＝ax2＋4ax＋4a－2＝a（x＋2）2－2．方法一：①当a＞0时，抛物线开口向上．∵抛物线对称轴为x＝－2．∴当－1≤x≤0时，y随x增大而增大．∵抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，由图象可知：4a－2＝4．∴32a=．②当a＜0时，抛物线开口向下．∵抛物线对称轴为x＝－2．∴当－1≤x≤0时，y随x增大而减小．∵抛物线上的点到x轴距离的最大值为4，由图象可知：4a－2＝－4．∴12a=-．方法二：∵－1≤x≤0，∴当x＝0时，y＝4a－2；当x＝－1时，y＝a－2．∵当－1≤x≤0时，抛物线上的点到x轴距离的最大值为4．∴有两种情况：①若|4a－2|＝4，则32a=或12a=-．此时1|2|42a-=<或5|2|42a-=<，符合题意．②若|a－2|＝4，则a＝6或a＝－2．此时|4a－2|＝22＞4或|4a－2|＝10＞4．∴a＝6或a＝－2不合题意，舍去．综上所述：32a=或12a=-．随练3、在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋3的图象与x轴交于点A，二次函数y＝x2＋mx＋n的图象经过点A．（1）当m＝4时，求n的值；（2）设m＝－2，当－3≤x≤0时，求二次函数y＝x2＋mx＋n的最小值；（3）当－3≤x≤0时，若二次函数－3≤x≤0时的最小值为－4，求m、n的值．【答案】（1）3（2）－15（3）2；－3【解析】（1）当y＝x＋3＝0时，x＝－3，∴点A的坐标为（－3，0）．∵二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图象经过点A ， ∴0＝9－3m ＋n ，即n ＝3m －9， ∴当m ＝4时，n ＝3m －9＝3．（2）抛物线的对称轴为直线2mx =-，当m ＝－2时，对称轴为x ＝1，n ＝3m －9＝－15， ∴当－3≤x≤0时，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝0时，二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的最小值为－15．（3）①当对称轴32m-≤-，即m≥6时，如图1所示．在－3≤x≤0中，y ＝x 2＋mx ＋n 的最小值为0， ∴此情况不合题意；②当302m-<-<，即0＜m ＜6时，如图2，有2444930n m m n ⎧-=-⎪⎨⎪-+=⎩， 解得：23m n =⎧⎨=-⎩或1021m n =⎧⎨=⎩（舍去），∴m ＝2、n ＝－3； ③当02m-≥，即m≤0时，如图3，有4930n m n =-⎧⎨-+=⎩，解得：534m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩（舍去）． 综上所述：m ＝2，n ＝－3．拓展1、 抛物线y=2x 2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3【答案】 C【解析】 抛物线y=2x 2﹣2，显然抛物线与y 轴有一个交点， 令y=0，得到2x 2﹣2x+1=0， ∵△=8﹣8=0，∴抛物线与x 轴有一个交点，则抛物线与坐标轴的交点个数是2，2、 已知二次函数y ＝x 2－3x ＋m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1，0），则关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0的两实数根是（ ）A.x 1＝1，x 2＝－1B.x 1＝1，x 2＝2C.x 1＝1，x 2＝0D.x 1＝1，x 2＝3【答案】 B【解析】 ∵二次函数的解析式是y ＝x 2－3x ＋m （m 为常数），∴该抛物线的对称轴是：32x =．又∵二次函数y ＝x 2－3x ＋m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1，0）， ∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（2，0）， ∴关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋m ＝0的两实数根分别是：x 1＝1，x 2＝2． 3、 已知函数y=mx 2﹣6x+1（m 是常数）．（1）求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点； （2）若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值． 【答案】 （1）见解析（2）m 的值为0或9 【解析】 （1）当x=0时，y=1．所以不论m 为何值，函数y=mx 2﹣6x+1的图象都经过y 轴上一个定点（0，1）； （2）①当m=0时，函数y=mx 2﹣6x+1的图象与x 轴只有一个交点；②当m≠0时，若函数y=mx 2﹣6x+1的图象与x 轴只有一个交点，则方程mx 2﹣6x+1=0有两个相等的实数根， 所以△=（﹣6）2﹣4m=0，m=9．综上，若函数y=mx 2﹣6x+1的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为0或9． 4、 若关于x 的一元二次方程(x －2)(x －3)＝m 有实数根x 1，x 2，且x 1≠x 2． （1）求m 的取值范围；（2）如果这个方程的两个实根分别为x 1＝α，x 2＝β，且α＜β，当m ＞0时，试比较α，β，2，3的大小，并用“＜”连接；（3）求二次函数y ＝(x －x 1)(x －x 2)＋m 的图像与x 轴的交点坐标． 【答案】 （1）m ＞41- （2）α＜2＜3＜β （3）(2，0)和(3，0) 【解析】 （1）m ＞41-（2）α＜2＜3＜β（3）因为一元二次方程(x －2)(x －3)＝m 有实数根1x ，2x ，且1x ≠2x ， 所以该一元二次方程可以写成(x －1x )(x －2x )＝0或者(x －2)(x －3)－m ＝0 即：(x －1x )(x －2x )＝(x －2)(x －3)－m所以y ＝(x －1x )(x －2x )＋m 可以表示成y ＝(x －2)(x －3)－m ＋m 即：y ＝(x －2)(x －3) 二次函数的图像与x 轴的交点坐标为(2，0)和(3，0) 5、 已知二次函数2316y x bx c =-++的图象经过A （0，3），9(4,)2B --两点． （1）求b ，c 的值；（2）二次函数2316y x bx c =-++的图象与x 轴是否有公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明情况． 【答案】 （1）983b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩（2）（－2，0）或（8，0）【解析】 （1）把A （0，3），9(4,)2B --分别代入2316y x bx c =-++，得 339164162c b c =⎧⎪⎨-⨯-+=-⎪⎩，解得983b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩；（2）由（1）可得，该抛物线解析式为：2393168y x x =-++． 293225()4()3081664∆=-⨯-⨯=>，所以二次函数2316y x bx c =-++的图象与x 轴有公共点．∵23930168x x -++=的解为：x 1＝－2，x 2＝8 ∵公共点的坐标是（－2，0）或（8，0）．6、 已知()20y ax bx c a =++≠的图象如图，方程2(0,02)ax bx c n a n ++=≠<<的两个实根是1212,()x x x x <，则两实根满足（ ）A.1213x x <<<B.1213x x <<<C.1213x x <<<D.1201,34x x <<<<【答案】 D【解析】 该题考查的是二次函数综合．由图象可知，二次函数过()0,2、()1,0、()3,0三点．设二次函数的交点式为()()13y a x x =--，将()0,2代入解析式，可得23a =． 故方程2ax bx c n ++=即2282033x x n -+-=．记()228233f x x x n =-+-，则()020f n =->，()10f n =-<，()30f n =-<，()420f n =->．结合()f x 的图象可知101x <<，234x <<．故答案选D ．7、 设二次方程()22120x a x a +-+-=有一根比1大，另一根比1-小，试确定实数a 的范围． 【答案】 20a -<<【解析】 设()22()12f x x a x a =+-+-；则有(1)0(1)0f f <⎧⎨-<⎩，即2211201120a a a a ⎧+-+-<⎪⎨-++-<⎪⎩，解得20a -<<． 8、 二次函数y=ax 2+bx 的图象如图，若一元二次方程ax 2+bx+m=0有实数根，则m 的最大值为_____．【答案】 3【解析】 先根据抛物线的开口向上可知a ＞0，由顶点纵坐标为﹣3得出b 与a 关系，再根据一元二次方程ax 2+bx+m=0有实数根可得到关于m 的不等式，求出m 的取值范围即可． 解：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3，yxO 213∴a＞0．﹣24ba=﹣3，即b2=12a，∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，∴△=b2﹣4am≥0，即12a﹣4am≥0，即12﹣4m≥0，解得m≤3，∴m的最大值为3。