第三讲 蝴蝶定理和风筝定理
一、引入
1、蝴蝶定理
在梯形ABCD 中，由对角线AC 与BD 分成的左右两个三角形（△ADO 和△BCO ）形状有点像一对蝴蝶翅膀，把这两个三角形称为蝴蝶三角形（如图），蝴蝶三角形的面积相等。
即S △ADO =S △BCO
2、风筝定理
在任意四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 分成了四个三角形（如图），
这四个三角形的面积分别记为：S 1 、S 2 、S 3 、S 4。
则它们的关系是：
S 1×S 4 =S 2×S 3
即相对的两个三角形的面积乘积是相等的。
二、新授课
【例1】如图，梯形的两条对角线分梯形为四个小三角形，已知△AOD 的面积是3平方厘
米，△DOC 的面积是9平方厘米，梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？
练习
1、如图，2BO=DO ，且阴影部分的面积是4cm 2，那么梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？
2、如图，阴影部分面积是4cm 2，OC=2AO ，求梯形的面积。 A B
C
D O S 1 S 2
S 3 S 4
【例2】如图，BD ，CF 将长方形ABCD 分成四块，红色三角形的面积是4平方厘米，黄
色三角形的面积是8平方厘米，那么绿色四边形的面积是多少平方厘米？
练习
1、如图，BD ，CF 将长方形ABCD 分成4块，红色三角形面积是4平方厘米，黄色三角形面积是6平方厘米，则绿色四边形的面积是多少平方厘米？
2、如图，平行四边形ABCD 的面积是36平方厘米，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为CD 上一点，已知四边形EFOG 的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积为多少平方厘米？
【例3】如图，四边形ABCD 是边长为18厘米的正方形，已知CE 的长是ED 的2倍。求： （1）三角形CEF 的面积，（2）DF 的长度
练习
正方形ABCD 的边长是12厘米，已知DE 是EC 长度的2倍。三角形DEF 的面积是多少平方厘米？CF 长多少厘米？
C
C
【例4】正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中三角形
BDF 面积为多少平方厘米？
练习
1、如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米，求阴影部分的面积。
2、三个正方形ABCD 、BEFG 、FHKP 如图排列，正方形BEFG 的边长是3厘米，求三角形DEK 的面积。
K
第三讲 蝴蝶定理和风筝定理（A 卷）
1、如图，阴影部分的面积是12 cm 2，OC=2AO ，求梯形的面积。
2、如图，梯形ABCD 的上底AB 长为3厘米，下底CD 长为9厘米，而三角形ADO 的面积是12平方厘米，则梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？
3、如图，长方形ABCD 中，阴影部分是直角三角形且面积是52平方厘米，OD 的长是16厘米，OB 的长是4厘米，那么四边形OECD 的面积是多少平方厘米？
4、如图，平行四边形ABCD 面积是12平方厘米，E 是AD 靠近A 点的中点。AC 与BE 相交于点F ，则图中阴影部分面积是多少平方厘米？
5、在直角梯形ABCD 中，AB=15厘米，AD=12厘米，阴影部分的面积为15平方厘米，梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？
C
6、梯形ABCF的下底BC是12厘米，高AB是18厘米，CE=2DE，求DF。
7、正方形ADEB和正方形ECFG底边对齐，两个正方形边长分别为6厘米和4厘米，三角形ACG的面积是多少平方厘米？
8、正方形ADEB和正方形ECFG底边对齐，两个正方形边长分别为6厘米和4厘米，三角形BDF的面积是多少平方厘米？
第三讲 蝴蝶定理和风筝定理（B 卷）
学生姓名：____________上课时间：_____________成绩：_____________
1、如图，在梯形ABCD 中，三角形ADO 的面积是6平方厘米，且DC 的长是AB 的2倍。请问梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？
2、如图，平行四边形ABCD 面积是72平方厘米，E 是AD 靠近D 点的三等分点。BD 与CE 相交于点F ，则图中阴影部分面积是多少平方厘米？
3、正方形ABCD 的边长是6厘米，已知DE 是EC 长度的2倍。三角形DEF 的面积是多少平方厘米？CF 长多少厘米？
4、如图，大、小正方形的边长分别是8厘米和6厘米，阴影部分面积多少平方厘米？
5、如图，四边形ABCD 是直角梯形，AB=4厘米，
AD=6厘米，DE=3厘米，那么三角形BOC 的面积是多少平方厘米？
6、如图，四边形ABCD 是一个平行四边形，已知三角形ABE 的面积是35平方厘米，阴影三角形CEF 的面积是多少平方厘米？
7、正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为8厘米，则图中阴影（三角形BDF ）部分的面积为多少平方厘米？
8、已知三角形ABC 的面积是64平方厘米，是平方四边形DEFC 面积的2倍，求阴影部分
的面积。
9、如图，四边形ABCD 是直角梯形，AB=8厘米，BF=6厘米，EF ∥AB ，求三角形CED 的面积是多少平方厘米？
