任意四边形、梯形与相似模型
卜亠\
模型三蝴蝶模型（任意四边形模型）
任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）:
D
S1: S2 = S4: S3或者S S3 =S2 S4
② AO : OC =[S S2 : S4 S3
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例1】（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD被对角线AC BD分成四个部分，△ AOB面积为1平方千米，△ BOC面积为2平方千米，△ COD勺面积为3平方千米，公园由陆地面积是
6. 92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？
【分析】根据蝴蝶定理求得S^AOD=3 1-'2=1.5平方千米，公园四边形ABCD的面积是12 3 45 = 7.5平方千米，所以人工湖的面积是7.5-6.92=0.58平方千米
【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，
求：⑴三角形BGC的面积：⑵AG:GC= ?
【解析】⑴根据蝴蝶定理，S BGC 1=2 3，那么S BGC=6 ;
⑵根据蝴蝶定理，AG:G^ 1 2 : 3 6 =1:3 . （? ??）
【例2】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）。如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的
面积的
1
，且AO =2 , DO =3，那么CO的长度是DO的长度的_____________ 倍。
3
【解析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件S A BD : S BCD =1:3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H , CG垂直BD于G，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。
解法一：T AO ：OC = S ABD： S BDC =1
：
3 ,
二OC =2 3 =6 ,
••• OC:OD =6:3 2:1 .
解法二：作AH _BD 于H , CG_BD 于G .
•- AH」CG ,
3
1
•- AO CO ,
3
•OC =2 3=6 ,
•OC:OD =6:3 =2:1 •
【例3】如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，A CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次是2、
4、4和6。求：⑴求A OCF的面积；⑵求A GCE的面积。
【解析】⑴根据题意可知，△BCD的面积为2 4 4 ^16，那么△BCO和:CDO的面积都是16亠2=8 , 所以A OCF 的面积为8—4=4;
⑵由于△ BCO的面积为8, △BOE的面积为6,所以A OCE的面积为8-6=2 , 根据蝴蝶定理，EG:FG 二
Sg E：S.COF =2:4 =1:2，所以S.GCE：S.GCF = EG : FG =1:2 ,
1 1 2
那么S GCE S CEF 2 ~~•
1+2 3 3
【例4】图中的四边形土地的总面积是52公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷？
S 'ABD S BCD
3审
S AOD =—S DOC
3
【解析】
在
L ABE , LCDE 中有.AEB =/CED ，所以L ABE , LCDE 的面积比为(AE EB) :(CE DE)。同
理有 L ADE , L BCE 的面积比为(AE DE)： (BE EC)。所以有 S ABE X S CDE =S ADE X S BCE ,也就是 说在所有凸四边形中，连接顶点得到
2条对角线，有图形分成上、下、左、右
4个部分，有：上、
下部分的面积之积等于左右部分的面积之积。
即SI ABE 6 = S ADE 7,所以有L ABE 与L ADE 的面积
比为 7：6，S ABE = — 39=21 公顷，S ADE = — 39=18 公顷。
6+7 6+7
显然，最大的三角形的面积为 21公顷。
【例5】(2008年清华附中入学测试题
)如图相邻两个格点间的距离是
为 ________ 。
【解析】连接AD 、CD 、BC 。
则可根据格点面积公式，可以得到
「ABC 的面积为：1,4-1=2， ACD 的面积为：3・总-1=3.5，
2 2
4
ABD 的面积为：2
1=3 .
2
4
4
12 所以 BO ： 0D = S ABC : S ACD -2.3.5 =4.7，所以 S ABO
S ABD 3 =.
4十7 11 11
5
5 10
因为 BD.CE =2:5，且 BD // CE ，所以 DA:AC=2:5 , S ABC
, S DB c =5
2 二
10
.
2+5
7 7
【例6】(2007年人大附中考题)如图，边长为
1的正方形 ABCD 中，BE=2EC , CF =FD ，求三角形 AEG 的面积.
1，则图中阴影三角形的面积
1，求三角形 ABC 的面积。
【解析】
C
【巩
