数学分析1_期末考试试卷(A卷)

一、试卷概述本次初三期末数学试卷共分为选择题、填空题、解答题三个部分，满分120分，考试时间为120分钟。

试卷内容涵盖了初中数学的各个知识点，包括实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数、几何图形、概率与统计等。

试题难度适中，既有基础知识的考查，也有对学生综合运用知识解决实际问题的能力的考查。

二、试题分析1.选择题选择题共20题，每题2分，满分40分。

主要考查学生对实数、代数式、方程（组）、不等式（组）等基础知识的掌握程度。

其中，第1-10题为实数和代数式的基础知识，第11-20题为方程（组）和不等式（组）的应用题。

整体难度不大，但部分题目需要学生具备一定的运算能力和逻辑思维能力。

2.填空题填空题共10题，每题3分，满分30分。

主要考查学生对几何图形、函数、概率与统计等知识的掌握程度。

其中，第1-5题为几何图形的基础知识，第6-10题为函数、概率与统计的应用题。

整体难度适中，但部分题目需要学生具备一定的空间想象能力和数据处理能力。

3.解答题解答题共4题，满分50分。

主要考查学生对综合运用知识解决实际问题的能力。

（1）第1题：实数、代数式、方程（组）的综合题，满分15分。

要求学生运用实数运算、代数式化简、方程（组）求解等知识解决实际问题。

（2）第2题：不等式（组）、函数的综合题，满分15分。

要求学生运用不等式（组）的解法、函数的性质等知识解决实际问题。

（3）第3题：几何图形、概率与统计的综合题，满分10分。

要求学生运用几何图形的面积、概率的计算等知识解决实际问题。

（4）第4题：开放性题目，满分10分。

要求学生结合所学知识，发挥自己的想象力和创造力，提出一个数学问题并给出解答。

三、教学建议1.教师应注重基础知识的教学，帮助学生打牢基础，提高学生的运算能力和逻辑思维能力。

2.在教学中，要注重培养学生的空间想象能力和数据处理能力，提高学生的综合素质。

3.教师应引导学生学会运用所学知识解决实际问题，提高学生的实际应用能力。

f ( x1 ) f ( x2 ) .
g ( x) ,x 0 九. (12 分)设 f ( x) x 且 g (0) g (0) 0 , g (0) 3 , 求 f (0) . 0, x 0
答案参见我的新浪博客：/s/blog_3fb788630100muda.html
lim
h 0
1 h

x
a
[ f (t h) f (t )] dt f ( x) f (a).
六 (10 分 ) 求椭圆区域 R : (a1 x b1 y c1 ) 2 (a2 x b2 y c2 ) 2 1 (a1b2 a2b1 0) 的 面积 A . 七 (10 分) 设 F (t ) f ( x 2 y 2 z 2 ) dx dy dz ，其中 V : x 2 y 2 z 2 t 2 (t 0) ，
四. (12 分)证明函数 f ( x)
五. (12 分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界. 六. (10 分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点. 七. (12 分)确定 a, b 使 lim ( x 2 x 1 ax b) 0 .
x
1 5 八. (14 分)求函数 f ( x) 2 x 3 9 x 2 12 x 在 [ , ] 的最大值与最小值. 4 2
x x0
x x0
1 1 . f ( x) b
三. (10 分)设 an 0 ,且 lim
an l 1 , 证明 lim an 0 . n n a n 1
四. (10 分 ) 证 明 函 数 f ( x) 在 开 区 间 ( a, b) 一 致 连 续 f ( x) 在 ( a, b) 连 续 , 且

4
九. (9 分) 把 f (x) = x ln(2 + x) 展成 x + 1的幂级数, 并指出收敛域. 十. (9 分) 证明 (2x cos y − y2 sin x)dx + (2 y cos x − x2 sin y)dy = 0 是全微分方程, 并求其通解.
5
∫∫ 十一. (9 分) 计算积分 I = S
……………….(7 分)
∑ = −(x + 1) + ∞ (−1)n ( 1 + 1 )(x + 1)n
n=2
n n −1
………….(8 分)
收敛域为 − 2 < x ≤ 0
……………….(9 分)
十.
∂Y = −2 y sin x − 2xsin y = ∂X
∂x
∂y
故所给方程是全微分方程
……………….(2 分)
= 1 − sin1
……………….(8 分)
三.
fx′ = 2x(2 + y2 )
f y′ = 2x2 y + ln y + 1
令 fx′ = 0
f y′ = 0
得x=0 y=1 e
……………….(2 分) ……………….(3 分)
fx′′2 = 2(2 + y2 )
fx′′y = 4xy
f y′′2
dy − dx xz dy
dz = dx + xy
1 dz
z dx dz =
0
dx dx
将点 P 代入得
1 + 3 +
dy
dx dy
− +
dz = dx 3 dz
dz dx =0

数学分析第三版答案下册数学分析第三版答案下册【篇一：2015年下学期数学分析(上)试卷a参考答案】> 一、填空题（每小题3分，共15分）：1、126；2、2；3、1?x?x2xn?o(xn)；4、arcsinx?c（或?arccosx?c）；5、2.二、选择题（每小题3分，共15分）1、c;2、a；3、a；4、d；5、b三、求极限（每小题5分，共10分）1??1、lim1?2? 2、limxlnx ?n??x?0n?n1??lim?1?2?n??n??1nn2?1n1lnx（3分） ?lim?li??x?0x?0112xx（3分）(?x)?0 （2分）?lime?1（2分） ?lim?n??x?03n23 。

四、利用数列极限的??n定义证明：lim2（10分）n??n?3证明：当n?3时，有（1分）3n299（3分） ?3??22n?3n?3n993n2因此，对任给的??0，只要??，即n?便有2 ?3?? （3分）n?n?33n2x{3,}，当n?n便有2故，对任给的??0，取n?ma（2 分） ?3??成立。

n?393n23（1分）即得证lim2n??n?3五、证明不等式：arctanb?arctana?b?a，其中a?b。

（10分）证明：设f(x)?arctanx，根据拉格朗日中值定理有（3分）f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)?1(b?a),21??(ab) （3分）所以有 f(b)?f(a)?(b?a) （2分）bn?arctaan?b?a （2分）即 arcta六、求函数的一阶导数：y?xsinx。

（10分）解：两边取对数，有： lny?sinxlnx （4分）两边求一次导数，有：y??xsinx(cosxlnx?y?sinx（4分） ?cosxlnx?yxsinx)（2分） x七、求不定积分：?x2e?xdx。

（10分）解：2?x2?xxedx?xde = （2分） ??= ?x2e?x?2?xe?xdx （2分） = ?x2e?x?2?xde?x（2分）= ?x2e?x?2xe?x?2?e?xdx （2分）=?e?x(x2?2x?2)?c （2分）15八、求函数f(x)?|2x3?9x2?12x|在闭区间[?,]上的最大值与最小值。

09--10(1)数学分析（1）期末考试（A 卷）评分标准一、定积分部分（每小题6分，共36 分）： 1．计算122100(14)x x dx -⎰．解:1212102102201(14)(14)(14)8x x dx x d x -=---⎰⎰3分 121121(14)88x =--5分 188=．6分2．计算x x dx 206[]⎰,其中[]表示取整．解:623456222222012345[]2345x x dx x dx x dx x dx x dx x dx=++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰5分 285=．6分3．设⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=-.0,11,0,)(2x e x xe x f xx 计算⎰-=41)2(dx x f I ．解: 令2t x =-，1分则21()I f t dt -=⎰22021101()()1t t f t dt f t dt dt te dte ---=+=++⎰⎰⎰⎰4分d 202210(1)112t t t d e e dt e ----+=-++⎰⎰ 411ln(1)22e e -+=+-．6分4．求⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x u xu x due du e 022022lim ．解:()222222002202limlimx x u x u x x x x u e duee duee du→+∞→+∞=⎰⎰⎰求导3分222lim02x x x e xe→+∞==．6分注：知道利用罗必达法则但求导时有错给2分． 5．记V ()ξ是曲线y xx =+12在x ∈[,]0ξ的弧段绕x 轴旋转一周所围成的旋转体的体积，求常数a 使得满足V a V ()lim ()=→+∞12ξξ． 解: 由)1(2)1()(22022a a dx x x a V a+=+=⎰ππ，3分 可知2)(lim πξξ=+∞→V ，于是得到21122=+aa ，解得 1=a ．6分注：求出1a =±，不舍去1-不扣分；没求a 给4分．6．讨论下列函数在 [0,1] 的可积性f x ()1,,1,.x x -⎧=⎨⎩为有理数为无理数解: 因为对[0,1]的任意划分P ，总有 2=i ω，3分 所以21=∆∑=ni ii xω，可知)(x f 在[0,1]上不可积．6分注：仅知道振幅2=i ω给3分；运用积分定义讨论也相应给分．二、反常积分部分（每小题6分，共12分）： 1．计算⎰∞+∈0)(e 2R a dx x ax ．解: 当0≥a 时积分发散；2分当0<a 时，⎰∞+02edx x ax ⎰∞+=02)(e 212ax d a ax a21-=．6分注：知道用比较法给2分；计算过程不分情况讨论给3分；运用其它方法也相应给分． 2．判断反常积分⎰∞++131tan arc dx xx的敛散性． 解: 当+∞→x 时，31arctan x x +～32xπ，3分又3311122dx dx x x ππ+∞+∞=⎰⎰收敛，所以积分⎰∞++131tan arc dx x x 收敛．6分三、常数项级数部分（每小题6分，共18分）：1．求级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-13121n nn之和． 解: ∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n k k k n S 1312121121121-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=n31131131-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-n，4分所以21lim ==∞→n n S S ．6分注：利用等比级数求和写出公式但过程存在问题给3分2．讨论正项级数∑∞=122n n n 的敛散性．解: 设22n n n u =，则1分1limn n nu u +→∞121<=，5分 由D ’Alembert 判别法，∑∞=122n n n 收敛．6分注：利用比值判别法或者根植判别法时不带极限符号给4－5分．3．设)(x f 在]1,1[-上具有二阶连续导数，且0)(lim=→xx f x ．证明级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛11n n f 绝对收敛． 证: 由0)(lim=→xx f x 可知0)0(=f ,0)0('=f , 2分 ()()()()()22001!2!2f f f f x f x x x ξξ'''''=++=，ξ介于0与x 之间，4分于是⎪⎭⎫⎝⎛n f 1～212)0("n f ⋅（∞→n ）， 所以级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛11n n f 绝对收敛．6分注：知道泰勒展开但有错给3分．四、函数项级数部分（每小题8分，共16分）： 1．证明函数序列()nx n S x e -=()1,2,3,n =在区间)1,0(上不一致收敛性，但在),1(+∞上一致收敛．证: 固定x ∈)1,0(，()lim lim nxn n n S x e-→∞→∞=0)(=x S =()S x ，2分)()(sup ),()1,0(x S x S S S d n x n -=∈1= ─/→ 0（∞→n ）， 所以{}()n S x 在(0,1)上非一致收敛．4分固定x ∈)1,0(，()lim lim nxn n n S x e-→∞→∞=0)(=x S =()S x ，)()(sup ),(),1(x S x S S S d n x n -=+∞∈n e -=)(0∞→→n ，所以{}()n S x 在(1,)+∞上一致收敛．8分注：知道方法法但求极限时有错给2分；证明不一致收敛时也可以取点列{}n x ；运用其他方法相应给分． 2．证明函数级数∑∞=-02)1(n n x x 在区间[]0,1一致收敛性．证: 设n n x x x u 2)1()(-=，则在]1,0[上()211()2(1)(1)(1)21n n n n u x x x n x x x x x n x --'=--+-=--+-⎡⎤⎣⎦()1(1)2n x x n n x -=--+⎡⎤⎣⎦3分令()0.n u x '=解得唯一驻点2nx n =+，比较知 )2()(0+≤≤n n u x u n n 2)2(4+<n ，6分由于∑∞=+02)2(4n n 收敛，7分由Weierstrass 判别法，∑∞=-02)1(n n x x 在]1,0[上一致收敛．8分注：若转化成函数列的情况但有错酌情给分2－4分；运用其他方法相应给分．五、幂级数部分（每小题6分，共12分）：1．求幂级数∑∞=+0212n n n x 的和函数．解: 22222222321limlim 2321n n nn n n x n x n xn x x n ++→∞→∞++==++，由比值判别法知21x <时级数收敛，21x >时级数发散，级数收敛半径为1=R ，当1±=x 时，级数发散，所以收敛域为)1,1(-=D ．3分设∑∞=+=0212)(n nn x x S ，()xS x =∑∞=++01212n n n x ，利用逐项求导，得到 []221()1n n xS x x x ∞='==-∑， 所以20()1xdx xS x x =-⎰11ln 21xx+=-，0x ≠时．()S x =11ln 21xx x+-，0x =时，(0)1S =．6分注：不求收敛域最多给5分；知道逐项求导或者逐项积分但过程问题较大给2分；不考虑0x =的情况最多给5分．2．将()ln f x x =展开为()2x -的幂级数．解: ()()1ln 111n nn x x n +∞=+=-+∑()11x -<≤2分ln ln[2(2)]x x =+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=221ln 2ln x ()110(1)ln 2(2)12n n n n x n ∞++=-=+-+⋅∑．5分由211222042x x x --<≤⇒-<-≤⇒<≤．6分注：仅写出ln ln[2(2)]x x =+-给2分；知道展开公式但错误较大给2分；． 六、多元函数的极限（6分）： 1．讨论函数yx yx y x f +-=),(当),(y x 趋于)0,0(时的极限是否存在． 解： 当动点(),x y 沿直线y kx =趋近于()0,0时1分 001lim (,)limlim 1y kxy kxx x x x y x kx kf x y x y x kx k==→→→---===+++4分此极限随着k 的变化而变化5分所以当),(y x 趋于)0,0(时函数(,)f x y 极限不存在．6分。

数学试卷分析数学试卷分析篇一一、基本情况1、题型与题量全卷共有三种题型，分别为选择题、填空题和解答题。

其中选择题有8小题，每题3分，共24，空题有8个小题，每题3分，共24分;解答题有5个大题，共72分，全卷合计26题，满分120分，考试用时120分。

2、内容与范围从考查内容看，几乎覆盖了湘教版七年级上册册数学教材中所有主要的知识点，而且试题偏重于考查教材中的主要章节，如有理数、代数式、一元一次方程、一元一次不等式、数据的统计和分析。

试题所考查的知识点隶属于数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合应用四个领域。

纵观全卷，所有试题所涉知识点均遵循《数学新课程标准》的要求。

3、试卷特点等方面：从整体上看，本次试题难度适中，符合学生的认知水平。

试题注重基础，内容紧密联系生活实际，注重了趣味性、实践性和创新性。

突出了学科特点，以能力立意命题，体现了数学课程标准精神。

有利于考察数学基础和基本技能的掌握程度，有利于教学方法和学法的引导和培养。

有利于良好习惯和正确价值观形成。

其具体特点如下：(1)强化知识体系，突出主干内容。

考查学生基础知识的掌握程度，是检验教师教与学生学的重要目标之一。

学生基础知识和基本技能水平的高低，关系到今后各方面能力水平的发展。

本次试题以基础知识为主，既注意全面更注意突出重点，对主干知识的考查保证了较高的比例，并保持了必要的深度。

(2)贴近生活实际，体现应用价值。

“人人学有价值的数学，”这是新课标的一个基本理念。

本次试题依据新课标的要求，从学生熟悉的生活索取题材，把枯燥的知识生活化、情景化，通过填空、选择、解决问题等形式让学生从中体验、感受学习数学知识的必要性、实用性和应用价值。

(3)巧设开放题目，展现个性思维。

本次试题注意了开放意识的浸润，如在第26小题这一题。

本次考试抽取10名学生的考卷为样本进行分析。

样本分114分，样本最低分30分，样本平均分62.8分，及格率为65.0%，优生率16.3%。

初中数学试卷分析学校数学试卷分析模板一一、基本状况1、题型与题量全卷共有三种题型，分别为选择题、填空题和解答题。

其中选择题有8小题，每题3分，共24，空题有8个小题，每题3分，共24分;解答题有5个大题，共72分，全卷合计26题，满分120分，考试用时120分。

2、内容与范围从考查内容看，几乎掩盖了湘教版七年级上册册数学教材中全部主要的学问点，而且试题偏重于考查教材中的主要章节，如有理数、代数式、一元一次方程、一元一次不等式、数据的统计和分析。

试题所考查的学问点隶属于数与代数、空间与图形、统计与概率、实践与综合应用四个领域。

纵观全卷，全部试题所涉学问点均遵循《数学新课程标准》的要求。

3、试卷特点等方面：从整体上看，本次试题难度适中，符合同学的认知水平。

试题注意基础，内容紧密联系生活实际，注意了趣味性、实践性和创新性。

突出了学科特点，以力量立意命题，体现了数学课程标准精神。

有利于考察数学基础和基本技能的把握程度，有利于教学方法和学法的引导和培育。

有利于良好习惯和正确价值观形成。

其详细特点如下：(1)强化学问体系，突出主干内容。

考查同学基础学问的把握程度，是检验老师教与同学学的重要目标之一。

同学基础学问和基本技能水平的凹凸，关系到今后各方面力量水平的进展。

本次试题以基础学问为主，既留意全面更留意突出重点，对主干学问的考查保证了较高的比例，并保持了必要的深度。

(2)贴近生活实际，体现应用价值。

“人人学有价值的数学，”这是新课标的一个基本理念。

本次试题依据新课标的要求，从同学熟识的生活索取题材，把枯燥的学问生活化、情景化，通过填空、选择、解决问题等形式让同学从中体验、感受学习数学学问的必要性、有用性和应用价值。

(3)巧设开放题目，呈现共性思维。

本次试题留意了开放意识的浸润，如在第26小题这一题。

本次考试抽取10名同学的考卷为样本进行分析。

样本分114分，样本最低分30分，样本平均分62.8分，及格率为65.0%，优生率16.3%。

《 数学分析 》期末试卷 《 数学分析 》试卷（一）一、10分 用定义证明：数列⎥⎦⎤⎢⎣⎡+1n n 的极限是1，不是2。

二、10分 证明：若任意n ∈ N,有 | y n+1 - y n | ≤ cr n 其中c 是正常数，且0 < r < 1,则数列{ y n }收敛。

三、10分 证明不等式：当0 < a < b 时有不等式21b a b +- < arctg b - arctg a < 21aab +- 四、42分 求解下列各题：（每题6分） 1、210)sin (limx x xx +→； 2、()sin ,0,01,0b x x x f x a x b ax x ⎧>⎪⎪==⎨⎪+-<⎪⎩问：,?a b =()f x 连续； 3、设函数()y y x =由参数方程()2ln 1x t y arctgt t⎧=+⎪⎨=-⎪⎩ 给出，求22d y dx ；4、设x y xyb a e=确定()y f x = 求y ''；5、42cos 2limx xex x --→；6、设xx x x f 42)(2++=求f(x)的稳定点和斜渐近线；7、数列1，,...,...3,23n n 中那一项最大？五、10分 证明：若函数g(x)在[a, b] 可导(0<a<b)，则存在),(b a ∈ξ使ab g a g b g ln)()()(/ξξ=-。

六、9分 证明：设g(x)在[c, d]上有定义，且每一点处函数的极限存在，则g(x)在[c, d]上有界。

七、9分 设函数g(x)在开区间（c, d ）上有连续的导函数，且)(/limx g c x +→与)(/limx g d x -→均存在且有限，试证：(1) g(x)在（c, d ）上一致连续。

(2))(lim x g c x +→ ，)(lim x g d x -→均存在。

一.（1） 的充要条件是为任何以 为极限的数列 ，都有
（2）设函数 在区间 （或开，或闭，或半开半闭）内满足对任意的 ，可找到只与 有关而与 内的点 无关的 ，使得对 内任意两点 ，当 时，总有 ，就称 在 内一致连续.
二.（1） （2） （提示：利用夹逼准则，得到 ）（3）
三.（1） （2） （3）
五.（12分）设函数 四阶可导， ，且 ，证明： .
六.（12分）判别函数 在区间 内的一直连续性，并证明；再证明函数 在 上是一致续的.
七.（12分）设函数 ，求 .
八.（12分）设函数 在 上有二阶导数，且 ,又 ，证明在 内至少存在一点 ，使 ；另外，若 在区间 中有 成立，证明： 在 中一致连续.
一.(10分)（1）叙述“海涅归结原则”
（2）叙述“一致连续定义”
二.(18分)（1） ；
（2） ；
（3） .
三.求下列函数的导数（12分）
（1）
（2）
（3）求 的 阶导数
四.（12分）已知 在 上连续，在 内 存在，设连接 两点的直线与曲线 在异于 点的另一点 处相交， ，试证明：在 内至少有一点 ，使 .
五.证：由 ，可知 前两项均为零构成零比零型，第三项设为 ，易知 （感兴趣可以证明），对 在 处进行泰勒展开， ，两边同时除以 ，得到 ，由极限体现出的性质可知 ，又 ，两边同时取极限（ ），由极限保号性得到 .
六、七、八略
四.证：第一步：设函数 在 上连续，在 内可导，且 ，则设 ，可知在 内至少有一点 ，使得
第二步：设 都在 上连续，在 内二阶可导，且 ，则在 内至少存在一点 ，首先由第一步知，存在 ，同理可知在 上有一点 ；再记 ，在 上考虑这两个，易知 满足第一步条件，从而存在 使得 ，即是

xx0 g(x)
xx0 g (x)
xx0 g(x)
A、必要条件 B、充分条件 C、充分必要条件
三、计算题（每小题 6 分，共 30 分）
D、既非充分也非必要条件
14、 lim (1 a)(1 a2 )(1 a2n ),(| a | 1) n
15、求函数 y 2x 的单调区间 1 x2
16、 lim xln(1 x) ln x x
学院： 数学与计算机科学学院 适用班级：
题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九
分数
总分
评卷人
一、填空题（每空 2 分，共 20 分）
1、函数 f (x) ln 1 x 的定义域是 1 x
2、 lim sin 5x x0 3x
第
1
3、 lim
n
1n
4、若 f 可导，且 y f (2x), 则 dy =
17、已知 y ln(arccos 1 ) 求 y x
18、求 d
x 1
x2
四、证明题（每小题 10 分，共 20 分）
19、已知数列xn ，它由递推公式
xn1
1 2
(xn
a xn
) 确定， a
0 ，且 x1 可取任意正实数，
证明：数列
x
n
收敛，并求
lim
n
xn
20、 ex 1 x ， (x 0)
五、综合题（15 分）
21、并作图
学号
班级
专业
C、 f (x) 在 x 0的左右极限存在但不相等 D、 f (x) 在 x 0的左右极限不存在
页
n n 1
5、设 f (x) 在 x0 点可导，且在 x0 点取极大值，则 f (x0 ) =

数学分析考试题一、选择题1. 函数 $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ 的定义域是：A. $(-\infty, -1) \cup (-1, 1)$B. $(-\infty, 1) \cup (1, \infty)$C. $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$D. 全体实数集 $\mathbb{R}$2. 极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ 的值为：A. 0B. 1C. $\infty$D. 不存在3. 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $f(a) = f(b)$，则 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上：A. 必定有一个零点B. 必定有一个极值点C. 必定有一个拐点D. 必定有一个最大值和一个最小值4. 定积分 $\int_{0}^{1} x^n dx$ ($n \neq 1$) 的值为：A. $\frac{1}{n+1}$B. $\frac{1}{n}$C. $\frac{1}{n-1}$D. 不能确定5. 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 交错收敛的二、填空题6. 求函数 $g(x) = |x-2| + |x-4|$ 的最小值。

7. 计算极限 $\lim_{x \to 2} \frac{(x^2 - 4)}{(x-2)^2}$。

8. 求定积分 $\int_{0}^{\pi/2} \sin x \, dx$。

9. 求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 的和。

10. 设 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$，求 $f(x)$ 的单调递增区间。

三、计算题11. 求函数 $h(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ 的导数。

) ． 解：
∂ z ∂ z + 2 = ze 2 x 2 ∂y ∂x
2 2
∂z ∂z = f ′(u )e x sin y ， = f ′(u )e x cos y ∂y ∂x ∂2 z = f ′′(u )e 2 x sin 2 y + f ′(u )e x sin y ， ∂x 2
(
)
2 2 2 st′ = ( x′)t + ( y′)t + (z ′)t = 9 sin 2 t cos 4 t + 9 cos 2 t sin 2 t + 4 sin 2 2t = 5 sin t cos t ， G 1 所以， T = (− 3 cos t， 3 sin t， − 4 ) ， 5
Ω Σ1 Σ1
(
)
……5
(
)
= ∫∫∫ dxdydz + 16
Ω
x 2 + z 2 ≤2
∫∫ dzdx
=π∫
1
3
(
y − 1 dy + 32π
……8
)
2
= 34π
九． （本题满分 8 分） 设直线
P (1， − 2， 5) ，试求常数 a ， b ．
解：
⎧x + y + b = 0 2 2 在平面 π 上，而平面 π 与曲面 z = x + y 相切于点 ⎨ ⎩ x + ay − z − 3 = 0
工科数学分析（A）卷答案-1
3 ⎧ ⎪ f x ( x， y ) = 4 x − 2 x − 2 y = 0 ⎨ 3 ⎪ ⎩ f y (x， y ) = 4 y − 2 x − 2 y = 0 解得其驻点为 M 0 ( 0， 0 ) 、 M 1 ( 1， 1 ) 、 M 2 ( − 1， 1 ) ，则______________ ．

综合测试试卷一一、 计算题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）1、xx x tan 01lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→； 2、()x x x 2cot lim 0→ ；3、设a 为非零常数，则xx a x a x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→lim ；4、⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→n n n n n 3lim ； 5、xx x ex e111lim +-+→；6、⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞→x x x x 2sin 3553lim 2； 7、⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim ；8、()x x x sin 2031lim +→；9、⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x x x 11ln sin 31ln sin lim ； 10、()()x x x x x x +++→1ln cos 11cossin 3lim20 ； 11、20211limx x x x --++→； 12、⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x x tan 11lim 20； 13、()3021ln arctan limx xx x +-→ ；14、若0>a ，0>b 为常数，则xxx x ba 302lim ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+→；15、⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n n πππcos 12cos 1cos 11lim。

. 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）16、xx x x sin sinlim10→的值为（ ） A. 1； B. ∞; C.不存在; D. 0.17、=+--+→232231x x x x x lim （ ）A. 3；B. 4-;C. 1;D. 1-.18、 =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→xx x 211lim （ ）A.e 2;B. 2-e; C. 2e ； D.e2. 19、若22222=--++→x x bax x x lim ，则必有( ) A. 82==b a ,; B. 52==b a ,;C. 80-==b a ,； D. 82-==b a ,. 20、当+→0x 时，以下四式中为无穷小量的是（ ）A. x x 1sin ;B. x e 1; C. x ln ; D. x xsin 1.21、当+→0x 时，以下四式中为无穷大量的是（ ） A. 12--x; B.xx sec sin +1; C. xe -; D. x e 1. 22、=→xx x x cos sinlim10（ ） A.不存在; B. 0; C. 1; D. ∞.23、()=-→xx x cos tan lim 02π（ ）A.0;B. 1;C. ∞;D. 不存在. 24、=⎪⎭⎫⎝⎛--→1110x x e x lim （ ）A.0;B. 21;C. ∞;D.21-. 25、()=+→xx x ex 10lim （ ）A.e ;B. 1;C. 2e ; D. 2.三、计算题（本大题共3小题，每小题17分，共51分）26、623lim 2232--++-→x x xx x x ; 27、()11lim 22--+∞→x x x . 28、38231lim x x x +---→. 29、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--∞→1212lim 223x x x x x . 30、n n n n n !2lim ∞→. 31、()()()503020152332lim++-∞→x x x x . 32、设)(a f '存在，且0>)(a f ，求xx a f x a f ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→)(lim 1.33、xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→1lim . 34、11lim 31--→x x x . 35、xx x cos lim 00+→. 36、xx x x 10arcsin lim ⎪⎭⎫⎝⎛→. 37、()x x x x cos 1sin 1ln lim 0-+→. 38、201sin lim x x →. 39、21cos lim x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→. 40、121lim +∞→+++p p p p n n n ，0>p .41、()1ln lim0-+→xx e x.42、dx xx an nn ⎰+∞→1sin lim.（提示：先用积分中值定理：()()a b f dx x f ba-=⎰ξ)(，[]b a ,∈ξ）综合测试试卷一参考答案一、计算题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1、1； 2、21； 3、a e 2；4、2；5、1-；6、56；7、21；8、6e ；9、2；10、23；11、41-；12、31； 13、61-； 14、()23ab ； 15、22π。

数学分析1 期末考试试卷（A 卷）一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）1、设 82lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→xx a x a x ， 则 =a 。

2、设函数)2(1)(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是 ，第二类间断点是 。

3、设)1ln(2x x y ++=，则=dy 。

4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(10⎰+=，则=)(x f 。

5、xdx arctan 1⎰= 。

二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞→n n n y x ，则下列断言正确的是（ ）。

（A ）若n x 发散，则n y 必发散。

（B ）若n x 无界，则n y 必无界。

（C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。

（D ）若nx 1为无穷小，则n y 必为无穷小。

2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ ）。

（A ） 1。

（B ）不存在。

（C ） 0。

（D ） -1。

3、若),()()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则)(x f 在),0(+∞内有（ ）。

（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。

（B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。

（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。

（D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。

4、设)(x f 是连续函数，且⎰-=dt t f x F x e x)()(，则)(x F '等于（ ）。

（A ）())(x f e f e x x ----。

∑ ∑ 南京信息工程大学期末试卷2019-2020 学年 第 二 学期 数学分析 II 课程试卷( A 卷)本试卷共 2 页；考试时间 120 分钟；任课教师 出卷时间 2020 年 6 月学院 专业 班 学号 姓名一、填空题（共 10 分，每小题 2 分）1. 设 ，则其导函数 ；2. 如果，则；3. 设函数，则 的 Maclaurin 展开式为；4. 曲线 与轴所围平面图形的面积为； 5. 幂级数的收敛半径为.二、选择题（共 10 分，每小题 2 分）1. 关于函数的可积性，下列说法不正确的是 ()A. 黎曼函数 在 可积B.上的单调函数一定可积C.上的可积函数一定有界 D. 存在原函数的函数一定可积2. 关于广义积分，下列说法正确的是 ()A. 若 收敛，则B. 发散C. 若 收敛，且 存在，则D.收敛 3. 幂级数 在处收敛，则此幂级数在处()A. 发散B. 条件收敛C. 绝对收敛D. 可能收敛也可能发散4. 关于数项级数，其前n 项的和为 ，下列说法正确的是()+∞A. 若， 则收敛 B. 若 且 ，则un 收敛n =1C. 若 {S n } +∞有界，则un 收敛D. 若 收敛，则 绝对收敛n =15. 设 ，下列说法正确的是 ( )A. 不可导B. 可导且为的一个原函数C. 可导但不是的一个原函数D. 连续但不可导三、计算题（共30 分，每小题5 分）1． 2.3. 4.5.利用定积分计算极限.6.求星形线在上的弧长(图1).图 1 星形线四、解答题（共16 分，每小题8 分）1.求以为周期的函数的Fourier 展开式，其中2.求幂级数的和函数并利用和函数求级数的和.五、判断敛散性，如果收敛请指出是条件收敛还是绝对收敛（共18 分，每小题 6 分）1. 2. 3.六、证明题（共16 分）1.证明：函数列在上一致收敛，其中.（5 分）2.证明：函数项级数的和函数在上连续.（6 分）3.若是上的连续函数且对有则①是否存在使得；(3 分)②若这样的存在，则问是否唯一？请给出理由. （2 分）。

《工科数学分析》2014—2015学年第一学期期末考试试卷诚信应考，考试作弊将带来严重后果！华南理工大学本科生期末考试 《工科数学分析》2014—2015学年第一学期期末考试试卷（A ）卷注意事项：1. 开考前请将密封线内各项信息填写清楚；2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)；3．考试形式：闭卷； 4. 本试卷共 5个 大题，满分100分， 考试时间120分钟。

《工科数学分析》2014—2015学年第一学期期末考试试卷一、填空题（每小题3分，共15分） １. 函数()1212x xe ef x e e+=-的间断点及其类型为0x =是跳跃间断点，12x =是无穷间断点；２. 已知函数()y y x =由方程yxx y =所确定，则曲线()y y x =在点()1,1处的切《工科数学分析》2014—2015学年第一学期期末考试试卷线方程为0x y -= ；３. 设xy xe =，则()n d y =()xnx n e dx + ；４. 220x t d e dt dx -⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰42x xe - ；５. 反常积分()22ln dx x x +∞=⎰1ln 2．二、计算下列各题（每小题8分，共16分） 1. 求极限()11limxx x ex→+-《工科数学分析》2014—2015学年第一学期期末考试试卷解：()()()()()()()11ln 101ln 12001limlim1ln 1lim 41ln 1lim 6282x xxx x x x x x x eeexxx x x e x x x e x e +→→+→→+--=-++=⋅+-+==-分分分或()()()1ln 1110020011lim lim ln 1lim 4111lim 6282x x x x x x x e e x e x xx x e x x e x e +-→→→→⎡⎤-⎢⎥+-⎣⎦=+-=-+==-分分分2.计算定积分21dxx ⎰ 解：2321434tan,sec,cos4sin16sin t83x t dx tdttdttππππ===⎰⎰令则分＝－分分三、解答下列各题（每小题10分，共40分）1.设()1110,1,2,,nx x n+===试证明数列{}n x收敛，并求lim.nnx→∞证明：（1）()1110343,3,1,2,nx x x n=≥=≥≥=，用归纳法可证，即数列{}nx有下界；3分（2）1320,n n nx xx x x+-+-==<即，数列{}n x 单调减少。

x→a+0 x→b−0
八、证明方程 x sin x = 2010 在(−∞, +∞)内有无穷多个解.（8分） 九、设 f ( x )在[0, +∞)连续, 且 lim [ f ( x ) − x −1] = 0, 证明 f ( x )在[0, +∞)一致连续.（本
x → +∞
题8分） 十 、 设 函 数 f ( x )在 [a, b] 连 续, 在(a, b)可 导, 求 证 在(a, b)内 存 在 相 异 两 点 ξ 和 η 使 2 f (b) − f (a) 得 f (ξ) f (η) = .（本题8分） b−a
√ n 一、用极限的定义证明 lim 2010 = 1. （本题7分）
n →∞
二、求极限（共14分, 每小题7分） 1. lim x − √ x
x→∞
1 e−1
2.
ห้องสมุดไป่ตู้
x → +∞
lim
√ 5
x5 + x4 −
√ 3
x3 − x2
三、求不定积分（共14分, 每小题7分） 1. e ax sin bx d x (其中a, b为常数) 2. cos x dx sin x + cos x
华东理 工大 学 2009 - 2010 学 年第 一学 期
《 数 学 分 析 (上 )》 课 程 期 末 考 试 标 准答 案 A 2010. 1. 13
√ n 一、用极限的定义证明 lim 2010 = 1. （本题7分）
n →∞
(注: 不等式放缩3分, 定义4分) ln 2010 证：∀ε > 0, 令N = log1+ ε 2010 , 则 ∀n > N 有n > , 因此 ln(1+ ε) √ √ 1 n n ln(1− ε) < 0 < ln 2010 < ln(1+ ε), 即1− ε < 2010 < 1+ ε, 故 lim 2010 = 1. n →∞ n 二、求极限（共14分, 每小题7分） √ √ 5 3 1 5 + x4 − 1. lim x − √ 2. lim x x3 − x2 x x→∞ x → +∞ e−1 1 1 et − t − 1 1. 解: 原式= lim − t (2分) = lim t→0 t t → 0 t(e t − 1) e −1 et − t − 1 et − 1 et 1 = lim (2 分 ) = lim (1 分 ) = lim (1分) = (1分) 2 t→0 t→0 t→0 2 t 2t 2 1 1 1 1 5 3 2. 解: 原式= lim x 1 + − 1− (2分) x → +∞ x x 1 11 8 11 + o( ) − 1 − + o( 1 (1分) ) (4分) = = lim x 1 + x x → +∞ 5x x 3x 15 三、求不定积分（共14分, 每小题7分） cos x 1. e ax sin bx d x (其中a, b为常数) dx 2. sin x + cos x 1. 解: 设 I = e ax sin bx d x (1)当a 0时, 由分部积分 b b 1 1 1 sin bx d (e ax )= e ax sin bx− e ax cos bx d x (2分)= e ax sin bx− 2 cos bx d (e ax ) I= a a a a a b ax b b2 b2 1 ax 1 = e sin bx− 2 e cos bx− 2 e ax sin bx d x (2分)= e ax sin bx− 2 e ax cos bx− 2 I +C1 a a a a a a (a sin bx − b cos bx )e ax 故I = (2分) + C (1分) a2 + b2 (2)当a = 0, b 0时, 上述结果仍成立; (3)当a = 0, b = 0时, I = C . cos x − sin x x d(sin x + cos x) 1 1+ d x (3分) = + (2分) 2.解法一: 原式= 2 sin x + cos x 2 sin x + cos x x 1 = + ln | sin x + cos x | (1分) + C (1分) 2 2 dt 解法二: 设 t = tan x, 则 x = arctan t, d x = . (2分) 1 + t2 dt 2 dx 1 1 1 t 原式= = 1+t = + − d t (2分) 2 1 + tan x 1+ t 2 1+t 1+t 1 + t2 1 d (1 + t) 1 dt 1 d (1 + t 2 ) = + − 2 1+t 2 1 + t2 4 1 + t2 1 1 1 = ln |1 + t | + arctan t − ln(1 + t 2 ) + C (2分) 2 2 4 i