【步步高通用(理)】高三《考前三个月》专题复习篇【配套】专题二第一讲PPT课件

第二讲 不等式1． 不等式的基本性质(1)对称性：a >b ⇔b <a . (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c . (3)加法法则：a >b ⇔a ＋c >b ＋c . (4)乘法法则：a >b ，c >0⇒ac >bc .a >b ，c <0⇒ac <bc .(5)同向不等式可加性：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d . (6)同向同正可乘性：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd . (7)乘方法则：a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)． (8)开方法则：a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)． 2． 一元二次不等式的解法解一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)或ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)，可利用一元二次方程，一3． 基本不等式：a ＋b2≥ab (a >0，b >0)利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”． 4． 二元一次不等式(组)和简单的线性规划(1)线性规划问题的有关概念：线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等； (2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤：①画出可行域；②根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点；③求出目标函数的最大值或者最小值．5． 不等式的恒成立，能成立，恰成立等问题(1)恒成立问题若不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f (x )min >A ； 若不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上f (x )max <B . (2)能成立问题若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立，则等价于在区间D 上f (x )max >A ； 若在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )<B 成立，则等价于在区间D 上f (x )min <B . (3)恰成立问题若不等式f (x )>A 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f (x )>A 的解集为D ； 若不等式f (x )<B 在区间D 上恰成立，则等价于不等式f (x )<B 的解集为D .1． (2013·安徽)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2} 答案 D解析 由已知条件0<10x <12，解得x <lg 12＝－lg 2.2． (2012·福建)下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确； 当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确； 由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．3． (2013·浙江)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，2x －y －4≤0.若z 的最大值为12，则实数k ＝________. 答案 2解析 作出可行域如图阴影部分所示：由图可知当0≤－k <12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2(舍去)；当－k ≥12时，直线y ＝－kx ＋z 经过点(0,2)时z 最大，此时z 的最大值为2，不合题意；当－k <0时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2，符合题意．综上可知，k ＝2.4． (2013·湖南)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________．答案 12解析 方法一 ∵(x ＋y ＋z )2＝x 2＋y 2＋z 2＋2xy ＋2yz ＋2zx ≤3(x 2＋y 2＋z 2)，∴a 2＋4b 2＋9c 2≥13(a ＋2b ＋3c )2＝363＝12.∴a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12. 方法二 ∵a ＋2b ＋3c ＝6， ∴1×a ＋1×2b ＋1×3c ＝6. 由柯西不等式，可得(a 2＋4b 2＋9c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋2b ＋3c )2， 即a 2＋4b 2＋9c 2≥12.当且仅当1a ＝12b ＝13c，即a ＝2，b ＝1，c ＝23时取等号．5． (2013·四川)已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x＋2)<5的解集是________． 答案 {x |－7<x <3}解析 令x <0，则－x >0，∵x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )＝x 2＋4x ，又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴x <0时，f (x )＝x 2＋4x ，故有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x ＜0.再求f (x )<5的解，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，x 2－4x <5，得0≤x ＜5；由⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x 2＋4x <5，得－5<x <0，即f (x )<5的解集为(－5,5)．由于f (x )向左平移两个单位即得f (x ＋2)，故f (x ＋2)<5的解集为{x |－7<x <3}．题型一 不等式的解法例1 (1)不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A.⎝⎛⎦⎤－12，1 B.⎣⎡⎦⎤－12，1 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) (2)(2012·江苏)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．审题破题 (1)可以将不等式转化为等价的二次不等式求解；(2)已知二次不等式的解集，可以利用根与系数的关系． 答案 (1)A (2)9解析 (1)x －12x ＋1≤0等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≤0，2x ＋1>0，①或⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，2x ＋1<0.②解①得－12<x ≤1，解②得x ∈∅，∴原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－12，1. (2)由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24.∵f (x )的值域为[0，＋∞)，∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22.又∵f (x )<c .∴⎝⎛⎭⎫x ＋a22<c ， 即－a 2－c <x <－a2＋c .∴⎩⎨⎧－a2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9.反思归纳 解不等式的基本思路是将原不等式转化为一次或二次不等式，然后求解；和函数有关的不等式，可利用函数的单调性，含参数的不等式，要进行分类讨论．变式训练1 (1)已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0.若p ∧q 为真命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[－2,0)C ．(－2,0)D ．[0,2]答案 C解析 p ∧q 为真命题，等价于p ，q 均为真命题．命题p 为真时，m <0；命题q 为真时， Δ＝m 2－4<0，解得－2<m <2.故p ∧q 为真时，－2<m <0.(2)已知f (x )是定义域为实数集R 的偶函数，∀x 1≥0，∀x 2≥0，若x 1≠x 2，则f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0.如果f ⎝⎛⎭⎫13＝34，4f (x )>3，那么x 的取值范围为 ( ) A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫12，2 C.⎝⎛⎦⎤12，1∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫0，18∪⎝⎛⎭⎫12，2 答案 B解析 由已知可得当x ≥0时，f (x )是减函数． 又f (x )为偶函数， ∴f (x )＝f (|x |)．由f (|x |)>34＝f ⎝⎛⎭⎫13，得|x |<13， ∴－13<x <13，∴12<x <2. 题型二 线性规划问题例2 (1)已知O 是坐标原点，点A (－1，1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2](2)设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围为( )A ．(1,1＋2)B ．(1＋2，＋∞)C ．(1,3)D ．(3，＋∞) 审题破题 (1)将OA →·OM →用坐标表示，转化为线性规划问题；(2)找到目标函数取最大值时经过可行域内的点，求出最大值，解关于m 的不等式求得m 的取值范围． 答案 (1)C (2)A解析 (1)作出可行域，如图所示，由题意OA →·OM →＝－x ＋y . 设z ＝－x ＋y ，作l 0：x －y ＝0，易知，过点(1,1)时z 有最小值，z min ＝－1＋1＝0；过点(0,2)时z 有最大值，z max ＝0＋2＝2， ∴OA →·OM →的取值范围是[0,2]．(2)变形目标函数为y ＝－1m x ＋z m ，由于m >1，所以－1<－1m<0，不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．根据目标函数的 几何意义，只有直线y ＝－1m x ＋zm在y 轴上的截距最大时，目标函数取得最大值．显然在点A 处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ，x ＋y ＝1，得交点A ⎝⎛⎭⎫11＋m ，m 1＋m ，所以目标函数的最大值是11＋m ＋m 21＋m<2，即m 2－2m －1<0， 解得1－2<m <1＋2，故m 的取值范围是(1,1＋2)．反思归纳 (1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，利用数形结合找到目标函数的最优解．(3)对于应用问题，要准确地设出变量，确定可行域和目标函数．变式训练2 (1)(2012·辽宁)设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．55答案 D解析 不等式组表示的区域如图所示，所以过点A (5,15)时 2x ＋3y 的值最大，此时2x ＋3y ＝55.(2)(2013·广东)给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4x ＋y ≤4x ≥0.令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线． 答案 6解析 线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0,1)，最大值时点为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故共可确定6条．题型三 利用基本不等式求最值例3 (1)已知a >0，b >0，函数f (x )＝x 2＋(ab －a －4b )x ＋ab 是偶函数，则f (x )的图象与y 轴交点纵坐标的最小值为________．(2)已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4审题破题 (1)由f (x )为偶函数得出a ，b 的关系式，再利用基本不等式，列出关于ab 乘积的不等关系，求ab 乘积的最小值．(2)求λ的最小值，即求x ＋22xyx ＋y 的最大值．答案 (1)16 (2)B解析 (1)根据函数f (x )是偶函数可得ab －a －4b ＝0，函数f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为ab .由ab －a －4b ＝0，得ab ＝a ＋4b ≥4ab ，解得ab ≥16(当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立)，即f (x )的图象与y 轴交点纵坐标的最小值为16. (2)∵x >0，y >0，∴x ＋2y ≥22xy (当且仅当x ＝2y 时取等号)．又由x ＋22xy ≤λ(x ＋y )可得λ≥x ＋22xyx ＋y，而x ＋22xy x ＋y ≤x ＋(x ＋2y )x ＋y＝2，∴当且仅当x ＝2y 时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22xy x ＋y max ＝2.∴λ的最小值为2.反思归纳 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项，创造应用基本不等式的条件．变式训练3 设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b 的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．1 D.14答案 B解析 因为3a ·3b ＝3，所以a ＋b ＝1.1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2 b a ·a b ＝4，当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时“＝”成立．典例 (2012·福建)若函数y ＝2x 图象上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A.12B ．1C.32D ．2解析 在同一直角坐标系中作出函数y ＝2x的图象及⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0所表示的平面区域，如图阴影部分所示． 由图可知，当m ≤1时，函数y ＝2x 的图象上存在点(x ，y )满足约束条件， 故m 的最大值为1. 答案 B得分技巧 由运动变化的观点让目标函数所表示的曲线过可行域上的某点，求线性约束条件中的某一参数值，是逆向思维，用数形结合的思想方法，即可破解．阅卷老师提醒 本题要正确理解“存在”这个关键词，只要函数y ＝2x 和可行域有公共点即可．1． (2013·湖北)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |(12)x ≤1，B ＝{}x |x 2－6x ＋8≤0，则A ∩∁R B 等于( )A ．{x |x ≤0}B ．{x |2≤x ≤4}C ．{x |0≤x <2或x >4}D ．{x |0<x ≤2或x ≥4} 答案 C解析 A ＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}， ∴A ∩∁R B ＝{x |x ≥0}∩{x |x >4或x <2} ＝{x |0≤x <2或x >4}．2． 已知log (x ＋y ＋4)<log (3x ＋y －2)，若x －y <λ恒成立，则λ的取值范围是 ( )A ．(－∞，10]B ．(－∞，10)C ．[10，＋∞)D ．(10，＋∞)答案 C解析 x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋4>3x ＋y －2⇔x <33x ＋y －2>0画出可行域如图， 设z ＝x －y ，易知z 的范围是(－∞，10)， 故λ≥10. 3． 若函数f (x )＝x ＋1x －2 (x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( )A ．1＋ 2B ．1＋ 3C ．3D ．4答案 C解析 ∵x >2，∴f (x )＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，即a ＝3，f (x )min ＝4.4． (2012·陕西)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a <v <abB ．v ＝abC.ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2答案 A解析 设甲、乙两地之间的距离为s .∵a <b ，∴v ＝2s s a ＋s b＝2sab (a ＋b )s ＝2ab a ＋b <2ab2ab ＝ab .又v －a ＝2aba ＋b －a ＝ab －a 2a ＋b >a 2－a 2a ＋b＝0，∴v >a .5． 若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫15，＋∞ 解析 ∵a ≥x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3对任意x >0恒成立，设u ＝x ＋1x ＋3，∴只需a ≥1u 恒成立即可．12 12∵x >0，∴u ≥5(当且仅当x ＝1时取等号)．由u ≥5知0<1u ≤15，∴a ≥15.6． 如果实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2＝1，那么y ＋3x －1的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎭⎫43，＋∞解析 设k ＝y ＋3x －1，则y ＝kx －(k ＋3)表示经过点P (1，－3)的直线，k为直线的斜率．所以求y ＋3x －1的取值范围就等价于求同时经过点P (1，－3)和圆上的点的直线中斜率的最大、最小值．从图中可知：当过P 的直线与圆相切时斜率取最大、最小值，此时对应的直线斜率分别为k PB 和k P A ，其中k PB 不存在，由圆心C (2,0)到直线y ＝kx －(k ＋3)的距离|2k －(k ＋3)|k 2＋1＝r ＝1，解得k ＝43，所以y ＋3x －1的取值范围是⎣⎡⎭⎫43，＋∞.专题限时规范训练一、选择题1． 设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a <b <ab <a ＋b 2B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b 2D ．ab <a <a ＋b2<b答案 B解析 ∵0<a <b ，∴ab >a ·a ＝a ， ab <b ·b ＝b ，b ＝b ＋b 2>a ＋b2，又ab <a ＋b 2，所以a <ab <a ＋b2<b ，故选B.2． 已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A ．14B ．4C ．12D ．2答案 C解析 由2a ＋b ＝4，得22ab ≤4，即ab ≤2，又a >0，b >0，所以1ab ≥12，当且仅当2a ＝b ，即b ＝2，a ＝1时，1ab 取得最小值12.故选C.3． 在R 上定义运算a *b ＝a (1－b )，则满足(x －2)*(x ＋2)>0的实数x 的取值范围为( ) A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)答案 D解析 根据定义：(x －2)*(x ＋2)＝(x －2)[1－(x ＋2)]＝－(x －2)(x ＋1)>0，即(x －2)(x ＋1)<0.解得－1<x <2，所以所求实数x 的取值范围为(－1,2)． 4． 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73 B.37C.43D.34答案 A解析 不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43， 所以k ＝73.5． 已知x >0，y >0，若2y x ＋8xy>m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2<m <4D ．－4<m <2答案 D解析 因为x >0，y >0，所以2y x ＋8xy≥216＝8.要使原不等式恒成立，只需m 2＋2m <8，解得－4<m <2.6． 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (x ≥0)x 2 (x <0)， 则f [f (x )]≥1的充要条件是( )A ．x ∈(－∞，－2]B ．x ∈[42，＋∞)C ．x ∈(－∞，－1]∪[42，＋∞)D ．x ∈(－∞，－2]∪[4，＋∞) 答案 D解析 当x ≥0时，f [f (x )]＝x4≥1，所以x ≥4；当x <0时，f [f (x )]＝x 22≥1，所以x 2≥2，x ≥2(舍)或x ≤－ 2.所以x ∈(－∞，－2]∪[4，＋∞)．故选D.7． 已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝x －2(x ≥12)，则m 与n 之间的大小关系为( )A ．m <nB ．m >nC ．m ≥nD ．m ≤n答案 C解析 m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥4(a >2)，当且仅当a ＝3时，等号成立．由x ≥12得x 2≥14，∴n ＝x －2＝1x 2≤4即n ∈(0,4]，∴m ≥n .8． 设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则3a ＋2b 的最小值为( )A.256 B.83C.113D ．4答案 A解析 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax ＋by ＝z (a >0，b >0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值12，即4a＋6b ＝12，即2a ＋3b ＝6，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·2a ＋3b 6＝136＋(ba＋a b )≥136＋2＝256，故选A. 二、填空题9． 若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．答案 18解析 ∵x >0，y >0,2x ＋y ＋6＝xy ， ∴22xy ＋6≤xy ， 即xy －22xy －6≥0， 解得xy ≥18.10．(2013·陕西)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为________． 答案 －4解析 如图，曲线y ＝|x －1|与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，作直线y ＝2x ，在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ，当经过点(－1,2)时，z 取得最小值，此时z ＝2×(－1)－2＝－4.11．若关于x 的不等式(2x －1)2<ax 2的解集中整数恰好有3个，则实数a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎦⎤259，4916解析 因为不等式等价于(－a ＋4)x 2－4x ＋1<0，其中(－a ＋4)x 2－4x ＋1＝0中的Δ＝4a >0，且有4－a >0，故0<a <4，不等式的解集为12＋a <x <12－a ，14<12＋a <12，则一定有{1,2,3}为所求的整数解集．所以3<12－a ≤4，解得a 的范围为⎝⎛⎦⎤259，4916. 12．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是__________．答案 (－∞，－5]解析 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立⇒m <－x 2＋4x＝－⎝⎛⎭⎫x ＋4x 在x ∈(1,2)上恒成立，设φ(x )＝－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ，φ(x )＝－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ∈(－5，－4)，故m ≤－5. 三、解答题 13．已知函数f (x )＝2x x 2＋6. (1)若f (x )>k 的解集为{x |x <－3，或x >－2}，求k 的值； (2)对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围． 解 (1)f (x )>k ⇔kx 2－2x ＋6k <0.由已知{x |x <－3，或x >－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2.由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－25.(2)∵x >0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x≤226＝66.由已知f (x )≤t 对任意x >0恒成立，故t ≥66.即t 的取值范围为⎣⎡⎭⎫66，＋∞.14．(2012·江苏)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程．(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解 (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0，故x ＝20k 1＋k2＝20k ＋1k ≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a >0，所以炮弹可击中目标⇔存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根 ⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔a ≤6. 所以当a 不超过6千米时，可击中目标．。

专题七概率与统计第一讲计数原理1．两个计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都是关于完成一件事的不同方法种数的问题．“分类”与“分步”的区别：关键是看事件完成情况，如果每种方法都能将事件完成则是分类；如果必须要连续若干步才能将事件完成则是分步．分类要用分类加法计数原理将种数相加；分步要用分步乘法计数原理将种数相乘．2．排列、组合(1)排列数公式A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)，A m n＝n！(n－m)！，A n n＝n！，0！＝1(n∈N*，m∈N*，m≤n)．(2)组合数公式及性质C m n＝A m nA m m＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！，C m n＝n！m！(n－m)！，C0m＝1，C m n＝C n－mn，C m n＋1＝C m n＋C m－1n.(3)应用题①解排列、组合问题应遵循的原则：先特殊后一般，先选后排，先分类后分步．②常用策略：(a)相邻问题捆绑法；(b)不相邻问题插空法；(c)多排问题单排法；(d)定序问题倍缩法；(e)多元问题分类法；(f)有序分配问题分步法；(g)交叉问题集合法；(h)至少或至多问题间接法；(i)选排问题先取后排法；(j)局部与整体问题排除法；(k)复杂问题转化法．3．二项式定理(1)定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n－1nab n－1＋C n n b n(n∈N*)．通项(展开式的第r＋1项)：T r＋1＝C r n a n－r b r，其中C r n(r＝0,1，…，n)叫做二项式系数．(2)二项式系数的性质①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C0n＝C n n，C1n＝C n－1n ，C2n＝C n－2n，…，C r n＝C n－rn.②二项式系数的和等于2n，即C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.③二项式展开式中，偶数项的二项式系数和等于奇数项的二项式系数和，即C1n＋C3n＋C5n ＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1.(3)赋值法解二项式定理有关问题，如3n ＝(1＋2)n ＝C 0n ＋C 1n ·21＋C 2n ·22＋…＋C n n ·2n等．1． (2013·山东)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 ( )A ．243B ．252C ．261D ．279答案 B解析 不重复的三位数字有：A 39＋A 12A 29＝648个．则有重复数字的三位数有：900－648＝252个．2． (2013·福建)满足a ，b ∈{－1,0,1,2}，且关于x 的方程ax 2＋2x ＋b ＝0有实数解的有序数对(a ，b )的个数为 ( )A ．14B ．13C ．12D ．10答案 B解析 由已知得ab ≤1.若a ＝－1时，b ＝－1,0,1,2，有4种可能； 若a ＝0时，b ＝－1,0,1,2，有4种可能； 若a ＝1时，b ＝－1,0,1，有3种可能； 若a ＝2时，b ＝－1,0，有2种可能． ∴共有(a ，b )的个数为4＋4＋3＋2＝13.3． (2013·江西)⎝⎛⎭⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为 ( )A ．80B ．－80C ．40D ．－40答案 C解析 T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ⎝⎛⎭⎫－2x 3r ＝C r 5(－2)r x 10－5r， 令10－5r ＝0得r ＝2.∴常数项为T 3＝C 25(－2)2＝40.4． (2013·浙江)将A 、B 、C 、D 、E 、F 六个字母排成一排，且A 、B 均在C 的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)． 答案 480解析 分类讨论：A 、B 都在C 的左侧，且按C 的左侧分别有两个、三个、四个、五个字母这4类计算，再考虑右侧情况．所以共有：2(A 22·A 33＋C 13A 33·A 22＋C 23A 44＋A 55)＝480.5． (2013·上海)设常数a ∈R ，若⎝⎛⎭⎫x 2＋ax 5的二项展开式中x 7项的系数为－10，则a ＝________. 答案 －2解析 T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r (a x)r，2(5－r )－r ＝7⇒r ＝1，故C 15a ＝－10⇒a ＝－2.题型一计数原理及应用例1(1)(2012·辽宁)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为() A．3×3! B．3×(3！)3C．(3！)4D．9!(2)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)审题破题(1)直接利用分步计数乘法原理；(2)含“至少”，可以利用间接法．答案(1)C(2)14解析(1)把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种．(2)先求出2,3组成的所有四位数的个数，再减去不符合要求的四位数的个数．因为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是2或3的情况不合题意，所以符合题意的四位数有24－2＝14(个)．反思归纳分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．变式训练1(1)某次活动中，有30人排成6行5列，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人不同行也不同列，则不同的选法种数为________(用数字作答)．答案7 200解析其中最先选出的一个人有30种方法，此时不能再从这个人所在的行和列上选人，还剩一个5行4列的队形，故选第二个人有20种方法，此时不能再从该人所在的行和列上选人，还剩一个4行3列的队形，此时第三个人的选法有12种，根据分步乘法计数原理，总的选法种数是30×20×12＝7 200.(2)如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有()A．288种B．264种C．240种D．168种答案 B解析分两类：第一类，涂三种颜色，先涂点A，D，E有A34种方法，再涂点B，C，F有2种方法，故有A34×2＝48(种)方法；第二类，涂四种颜色，先涂点A，D，E有A34种方法，再涂点B，C，F有3C13种方法，故共有A34·3C13＝216(种)方法．由分类加法计数原理，共有48＋216＝264(种)不同的涂法．题型二排列组合的应用例2(1)(2012·大纲全国)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有() A．12种B．18种C．24种D．36种(2)某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为() A．85 B．86 C．91 D．90审题破题(1)每行每列互不相同，可分步来排，先排第一列；(2)可按男生甲、女生乙是否入选分类．答案(1)A(2)B解析(1)先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A33种不同的排法．再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A12种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有A33·A12·1＝12(种)不同的排列方法．(2)可分三类考虑：①男生甲入选，女生乙不入选：C13C24＋C23C14＋C33＝31；②男生甲不入选，女生乙入选：C14C23＋C24C13＋C34＝34；③男生甲入选，女生乙入选：C23＋C14C13＋C24＝21，∴共有入选方法种数为31＋34＋21＝86.反思归纳解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．变式训练2(1)在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有() A．34种B．48种C．96种D．144种答案 C解析 B 和C 捆在一起，和除A 以外的3个数字排列A 44，B 和C 排列A 22，A 排在第一或最后，2种，所以共有2A 44A 22＝96(种)．(2)5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．(以数字作答) 答案 48解析 ①只有1名老队员的排法有C 12·C 23·A 33＝36种；②有2名老队员的排法有C 22·C 13·C 12·A 22＝12种． 所以共48种．题型三 二项式定理及应用例3 (1)若⎝⎛⎭⎫x ＋2x 2n 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( ) A ．360B ．180C ．90D ．45 (2)如果⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －13x 2n 的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中1x 3的系数是 ( ) A ．7B ．－7C ．21D ．－21审题破题 (1)从第六项二项式系数最大可得n 的值，再利用展开式的通项公式即可；(2)从二项式系数和可求得n . 答案 (1)B (2)C解析 (1)依题意知：n ＝10，∴T r ＋1＝C r 10(x )10－r ·⎝⎛⎭⎫2x 2r ＝C r 102r·x ， 令5－52r ＝0，得r ＝2，∴常数项为C 21022＝180.(2)由已知2n ＝128，n ＝7，由T r ＋1＝C r 7(3x )7－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 2r＝C r 7·37－r (－1)r ·x ， 令7－53r ＝－3，得r ＝6，故1x3的系数为C 67·31·(－1)6＝21，故选C. 反思归纳 (1)二项式定理是一个恒等式，求二项展开式中某指定项的系数、二项式系数或指定项问题，是二项式定理的常考问题，通常用通项公式来解决．(2)在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．变式训练3 已知⎝⎛⎭⎫12＋2x n . 5－52r 7－52r(1)若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解 (1)因为C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，所以n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5.所以T 4的系数为C 37⎝⎛⎭⎫124×23＝352， T 5的系数为C 47⎝⎛⎭⎫123×24＝70. 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8.所以T 8的系数为C 714⎝⎛⎭⎫12727＝3 432. (2)因为C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，所以n ＝12或n ＝－13(舍去)．设T k ＋1项的系数最大．因为⎝⎛⎭⎫12＋2x 12＝⎝⎛⎭⎫1212(1＋4x )12， 所以⎩⎪⎨⎪⎧C k 124k ≥C k －1124k －1C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1，所以9.4≤k ≤10.4. 又因为0≤k ≤12且k ∈N ，所以k ＝10. 所以展开式中系数最大的项为T 11.T 11＝⎝⎛⎭⎫1212C 1012410x 10＝16 896x 10.典例 (1)(2012·山东)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( )A ．232B ．252C ．472D ．484解析 分两类：第一类，含有1张红色卡片，共有不同的取法C 14C 212＝264(种)； 第二类，不含有红色卡片，共有不同的取法C 312－3C 34＝220－12＝208(种)．由分类加法计数原理知不同的取法有264＋208＝472(种)． 答案 C(2)若(1＋x )(2－x )2 011＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 011x 2 011＋a 2 012x 2 012，则a 2＋a 4＋…＋a 2 010＋a 2 012等于( )A ．2－22 011B ．2－22 012C ．1－22 011D ．1－22 012解析 采用赋值法，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 011＋a 2 012＝2，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 2 011＋a 2 012＝0，把两式相加，得2(a 0＋a 2＋…＋a 2 012)＝2，所以a 0＋a 2＋…＋a 2 012＝1，又令x ＝0，得a 0＝22 011，所以a 2＋a 4＋…＋a 2 010＋a 2 012＝1－22 011.故选C. 答案 C得分技巧 (1)排列、组合问题的解题关键是深刻透彻理解题意，分类时不重不漏；也可利用正难则反思想：间接法；(2)二项式系数和的解题策略就是“赋值”．阅卷老师提醒 (1)排列、组合问题题意理解不准确是出错的主要原因，分类标准不明确产生“漏”、“重”是常见问题．(2)求二项展开式系数和时，赋值的原则是能整体出现所求式子，x ＝1，x ＝－1，x ＝0是常用值．1． (2013·四川)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lga －lgb 的不同值的个数是 ( )A ．9B ．10C ．18D ．20答案 C解析 由于lg a －lg b ＝lg a b (a >0，b >0)，从1,3,5,7,9中任取两个作为a b 有A 25种，又13与39相同，31与93相同，∴lg a －lg b 的不同值的个数有A 25－2＝20－2＝18，选C. 2． (2013·辽宁)使⎝⎛⎭⎫3x ＋1x x n(n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为 ( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 B解析 展开式的通项公式T r ＋1＝C r n(3x )n －r ⎝⎛⎭⎫1x x r， ∴T r ＋1＝3n －r C r n x ，r ＝0,1,2，…，n .令n －52r ＝0，n ＝52r ，故最小正整数n ＝5.3． 若(1－2x )2 013＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 013x 2 013(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2答案 C解析 ∵(1－2x )2 013＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 013x 2 013(x ∈R )，∴令x ＝0，则a 0＝1，令x ＝12，则⎝⎛⎭⎫1－2×12 2 013＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝0， 其中a 0＝1所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝－1.故选C.4． (x 2＋2)⎝⎛⎭⎫1x 2－15的展开式的常数项是( )n －52rA ．－3B ．－2C ．2D ．3答案 D解析 二项式⎝⎛⎭⎫1x 2－15展开式的通项为 T r ＋1＝C r 5⎝⎛⎭⎫1x 25－r ·(－1)r ＝C r 5·x 2r －10·(－1)r . 当2r －10＝－2，即r ＝4时，有x 2·C 45x －2·(－1)4＝C 45×(－1)4＝5；当2r －10＝0，即r ＝5时，有2·C 55x 0·(－1)5＝－2. ∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D.5． (2013·北京)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________． 答案 96解析 将5张参观券分成4堆，有2个联号有4种分法，每种分法再分给4人，各有A 44种分法，∴不同的分法种数共有4A 44＝96.6． (2012·浙江)若将函数f (x )＝x 5表示为f (x )＝a 0＋a 1(1＋x )＋a 2(1＋x )2＋…＋a 5(1＋x )5，其中a 0，a 1，a 2，…，a 5为实数，则a 3＝________. 答案 10解析 将f (x )＝x 5进行转化，利用二项式定理求解． f (x )＝x 5＝(1＋x －1)5，它的通项为T r ＋1＝C r 5(1＋x )5－r ·(－1)r ， T 3＝C 25(1＋x )3(－1)2＝10(1＋x )3，∴a 3＝10.专题限时规范训练一、选择题1． 从甲、乙等10名同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选方法共有 ( )A ．70种B ．112种C ．140种D ．168种答案 C解析 ∵从10名同学中挑选4名参加某项公益活动有C 410种不同方法；从甲、乙之外的8名同学中挑选4名参加某项公益活动有C 48种不同方法； ∴所求的不同挑选方法共有C 410－C 48＝140(种)．2． 如图所示，使电路接通，开关不同的开闭方式有 ( )A ．11种B ．20种C ．21种D ．12种答案 C解析 当第一组开关有一个接通时，电路接通为C 12(C 13＋C 23＋C 33)＝14种方式；当第一组有两个接通时，电路接通有C 22(C 13＋C 23＋C 33)＝7种方式．所以共有14＋7＝21种方式，故选C.3． 现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是 ( )A ．420B ．560C ．840D ．20 160答案 C解析 从下层8件中取2件，有C 28种取法，放到上层时，若这两件相邻，有A 15A 22种放法，若这两件不相邻，有A 25种放法，所以不同调整方法的种数是C 28(A 15A 22＋A 25)＝840.故选C.4． 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 ( )A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种答案 A解析 分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C 12＝2(种)选派方法； 第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C 24＝6(种)选派方法． 由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2×6＝12(种)．5． 2014年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有 ( )A ．1 440种B ．1 360种C ．1 282种D ．1 128种答案 D解析 采取对丙和甲进行捆绑的方法：如果不考虑“乙不在正月初一值班”，则安排方案有：A 66·A 22＝1 440(种)， 如果“乙在正月初一值班”，则安排方案有：C 11·A 14·A 22·A 44＝192(种)，如果“甲在除夕值班”，则“丙在初一值班”，则安排方案有：A 55＝120(种)． 则不同的安排方案共有1 440－192－120＝1 128(种)．6． 设⎝⎛⎭⎫5x －1x n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M －N ＝240，则展开式中x 的系数为( )A ．－150B ．150C ．300D ．－300答案 B解析 M ＝⎝⎛⎭⎫5×1－11n ，N ＝2n ⇒4n －2n ＝240⇒2n ＝16⇒n ＝4，T r ＋1＝(－1)r C r 4·54－r ·x 4－3r 2⇒r ＝2，则(－1)2C 24·52＝150. 7． (2012·湖北)设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 012＋a 能被13整除，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．11D ．12答案 D解析 化51为52－1，用二项式定理展开．512 012＋a ＝(52－1)2 012＋a ＝C 02 012522 012－C 12 012522 011＋…＋C 2 0112 012×52×(－1)2 011＋C 2 0122 012×(－1)2 012＋a . 因为52能被13整除，所以只需C 2 0122 012×(－1)2 012＋a 能被13整除， 即a ＋1能被13整除，因为0≤a <13，所以a ＝12.8． 设f (x )是⎝⎛⎭⎫x 2＋12x 6展开式的中间项，若f (x )≤mx 在区间⎣⎡⎦⎤22，2上恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，5)B ．(－∞，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)答案 D解析 由于T r ＋1＝C r 6⎝⎛⎭⎫12r x 12－3r ，故展开式中间的一项为T 3＋1＝C 36·⎝⎛⎭⎫123·x 3＝52x 3，f (x )≤mx ⇔52x 3≤mx 在⎣⎡⎦⎤22，2上恒成立，即m ≥52x 2，又52x 2≤5，故实数m 的取值范围是m ≥5. 二、填空题9． (2013·大纲全国)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种．(用数字作答) 答案 480解析 方法一 先把除甲、乙外的4个人全排列， 共有A 44种方法．再把甲、乙两人插入这4人形成的五个空位中的两个， 共有A 25种不同的方法．故所有不同的排法共有A 44·A 25＝24×20＝480(种)． 方法二 6人排成一排， 所有不同的排法有A 66＝720(种)，其中甲、乙相邻的所有不同的排法有A 55A 22＝240(种)，所以甲、乙不相邻的不同排法共有720－240＝480(种)．10．(2013·浙江)设二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________.答案 －10解析 T r ＋1＝C r 5(x )5－r ⎝⎛⎭⎫－x －13r ＝C r 5(－1)r x 15－5r 6， 令15－5r ＝0，则r ＝3.∴A ＝T 4＝C 35(－1)3＝－10.11．(2012·上海)在⎝⎛⎭⎫x －2x 6的二项展开式中，常数项等于________． 答案 －160解析 方法一 利用计数原理及排列、组合知识求解．常数项为C 36x 3⎝⎛⎭⎫－2x 3＝20x 3⎝⎛⎭⎫－8x 3＝－160. 方法二 利用二项展开式的通项求解．T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫－2x r ＝(－2)r C r 6x 6－2r ， 令6－2r ＝0，得r ＝3.所以常数项为T 4＝(－2)3C 36＝－160.12．若对于任意实数x ，有x 5＝a 0＋a 1(x －2)＋…＋a 5(x －2)5，则a 1＋a 3＋a 5－a 0＝________.答案 89解析 令x ＝3得a 0＋a 1＋…＋a 5＝35，令x ＝1得a 0－a 1＋…－a 5＝1，两式相减得a 1＋a 3＋a 5＝35－12＝121，令x ＝2得a 0＝25＝32，故a 1＋a 3＋a 5－a 0＝121－32＝89.三、解答题13．现安排甲、乙等5名同学去参加3个运动项目，要求每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，求满足上述要求且甲、乙两人不参加同一个项目的安排方法种数．解 5个人分别参加三个项目有两种可能：1人＋1人＋3人；2人＋2人＋1人．(1)当按1人＋1人＋3人参加时，可按以下方式分类考虑：①甲乙都是一人的，则有A 33＝6(种)情况；②甲乙中有一个是一人的，则有2·C 23A 33＝36(种)．(2)当按2人＋2人＋1人参加时，可按以下方式分类考虑：①甲乙中有一个是一人的，则有2·C 13A 33＝36(种)；②甲乙都是两人的，则有C 13C 12A 33＝36(种)．综上可知：共有排法6＋36＋36＋36＝114(种)．14．已知(1＋2x )n 的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一项系数的56. (1)求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和；(2)求展开式中的有理项．解 根据题意，设该项为第r ＋1项，则有⎩⎪⎨⎪⎧ C r n 2r ＝2C r －1n 2r －1，C r n 2r ＝56C r ＋1n 2r ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧C r n ＝C r －1n ，C r n ＝53C r ＋1n ，亦即⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝2r －1，n ！r ！(n －r )！＝53×n ！(r ＋1)！(n －r －1)！， 解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，n ＝7. (1)令x ＝1得展开式中所有项的系数之和为 (1＋2)7＝37＝2 187.所有项的二项式系数之和为27＝128.(2)展开式的通项为T r ＋1＝C r 72r x r 2，r ≤7且r ∈N . 于是当r ＝0,2,4,6时，对应项为有理项，即有理项为T 1＝C 0720x 0＝1，T 3＝C 2722x ＝84x ，T 5＝C 4724x 2＝560x 2，T 7＝C 6726x 3＝448x 3.。

专题三 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量第一讲 三角函数的图象与性质1．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tanα＝y x .(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 23． y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质(1)五点作图法：五点的取法：设X ＝ωx ＋φ，X 取0，π2，π，3π2，2π时求相应的x 值、y值，再描点作图．(2)给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是φ，一般是从“五点法”中的第一点(－φω，0)作为突破口． (3)图象变换y ＝sin x ―――――――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)――――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)．1． (2013·江西)函数y ＝sin 2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________．答案 π解析 y ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3， ∴T ＝π.2． (2013·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )A.3π4B.π4C ．0D ．－π4答案 B解析 把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ＝π4. 3． (2013·四川)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3答案 A解析 34T ＝5π12－⎝⎛⎭⎫－π3，T ＝π，∴ω＝2， ∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π3，k ∈Z .又φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴φ＝－π3，选A. 4． (2012·课标全国)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12D ．(0,2]答案 A解析 取ω＝54，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫54x ＋π4，其减区间为⎣⎡⎦⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ， 显然⎝⎛⎭⎫π2，π⊆⎣⎡⎦⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C. 取ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 其减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ， 显然⎝⎛⎭⎫π2，π⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D. 5． (2011·安徽)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且 f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 答案 C解析 由∀x ∈R ，有f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6知，当x ＝π6时f (x )取最值，∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1， ∴π3＋φ＝±π2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π(k ∈Z )，又∵f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，∴sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)，∴－sin φ>sin φ，∴sin φ<0.∴φ取－5π6＋2k π(k ∈Z )．不妨取φ＝－5π6，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6. 令－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，∴π3＋2k π≤2x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )， ∴π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．题型一 三角函数的概念问题例1 如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，已知点P 的坐标为(－35，45)．(1)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值；(2)若OP →·OQ →＝0，求sin(α＋β)． 审题破题 (1)先根据三角函数的定义求sin α，cos α，代入求三角函数式子的值；(2)根据OP →⊥OQ →和β范围可求sin β，cos β.解 (1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos α(sin α＋cos α)sin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×(－35)2＝1825.(2)∵OP →·OQ →＝0，∴α－β＝π2，∴β＝α－π2，∴sin β＝sin(α－π2)＝－cos α＝35，cos β＝cos(α－π2)＝sin α＝45.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×45＋(－35)×35＝725. 反思归纳 (1)三角函数的定义是求三角函数值的基本依据，如果已知角终边上的点，则利用三角函数的定义，可求该角的正弦、余弦、正切值．(2)同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式应用的条件．变式训练1 (1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x上，则cos 2θ等于( )A ．－45B ．－35C.35D.45答案 B解析 依题意得tan θ＝2，∴cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35. (2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4,3)，则cos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (－π－α)cos ⎝⎛⎭⎫11π2－αsin ⎝⎛⎭⎫9π2＋α的值为________．答案 －34解析 原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义，得tan α＝y x ＝－34，所以原式＝－34.题型二 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用例2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)设0<x <π，且方程f (x )＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个根的和．审题破题 (1)先由函数图象确定A ，ω，再代入点⎝⎛⎭⎫π6，2求φ；(2)利用转化思想先把方程问题转化为函数问题，再利用数形结合法求解．解 (1)由图象知：A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，则T ＝π，所以ω＝2.又图象过点⎝⎛⎭⎫π6，2，所以2×π6＋φ＝π2，即φ＝π6.所以所求的函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)在同一坐标系中画出y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6和y ＝m (m ∈R )的图象，如图所示，由图可知，－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，故m 的取值范围为－2<m <1或1<m <2.当－2<m <1时，两根之和为4π3；当1<m <2时，两根之和为π3.反思归纳 (1)已知图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的解析式时，常用的方法是待定系数法．由图中的最大、最小值求出A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ(代点时尽量选最值点，或者搞清点的对应关系)；(2)利用数形结合思想从函数图象上可以清楚地看出当－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，利用图象的对称性便可求出两根之和．变式训练2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4 B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4 C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4 D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －3π4 答案 B解析 由图象可知A ＝2，T 2＝3π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝2π，即T ＝4π.又T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，所以函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ.又f ⎝⎛⎭⎫－π2＝2sin ⎣⎡⎦⎤12×⎝⎛⎭⎫－π2＋φ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ＝1，即－π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝3π4＋2k π，k ∈Z ，因为－π<φ<π，所以φ＝3π4，所以函数为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4，选B. 题型三 三角函数的性质例3 已知函数f (x )＝4sin ωx cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋3(ω>0)的最小正周期为π. (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π6上的最大值和最小值及取得最值时x 的值． 审题破题 利用和差公式、倍角公式将f (x )化为A sin(ωx ＋φ)的形式，然后求三角函数的最值．解 (1)f (x )＝4sin ωx ⎝⎛⎭⎫cos ωx cos π3－sin ωx sin π3＋ 3 ＝2sin ωx cos ωx －23sin 2ωx ＋ 3 ＝sin 2ωx ＋3cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3. ∵T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)∵－π4≤x ≤π6，∴－π6≤2x ＋π3≤2π3，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，即－1≤f (x )≤2， 当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f (x )min ＝－1，当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝2.反思归纳 (1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，然后再求解． (2)对于y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型的三角函数，要通过引入辅助角化为y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)(cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b 2)的形式来求．(3)讨论y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，可以利用换元思想设t ＝ωx ＋φ，转化成函数y ＝A sin t ＋B 结合函数的图象解决．变式训练3 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x (x ∈[0，π])为增函数的区间是( )A.⎣⎡⎦⎤0，π3 B.⎣⎡⎦⎤π12，7π12 C.⎣⎡⎦⎤π3，5π6D.⎣⎡⎦⎤5π6，π答案 C解析 因为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z ，即函数的增区间为⎣⎡⎦⎤π3＋k π，5π6＋k π(k ∈Z )，所以当k ＝0时，增区间为⎣⎡⎦⎤π3，5π6，选C.(2)设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则( ) A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数 B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数 C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上为增函数 D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎫0，π4上为减函数 答案 B解析 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋φ，其图象关于直线x ＝0对称， ∴f (0)＝±2，∴π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴φ＝k π＋π6，又|φ|<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos 2x .∴y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数． 题型四 三角函数的应用例4 已知函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx ＋3cos 2ωx －32(ω>0)，直线x ＝x 1，x ＝x 2是y ＝f (x )图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π4.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．审题破题 (1)首先化简f (x )再根据题意求出最小正周期，然后可求ω，即可得f (x )的表达式；(2)根据图象平移求出g (x )，然后利用换元法并结合图形求解．解 (1)f (x )＝12sin 2ωx ＋31＋cos 2ωx 2－32＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3， 由题意知，最小正周期T ＝2×π4＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π6的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象． 所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 令2x －π6＝t ，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤t ≤5π6.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数g (x )＝sin t 与y ＝－k 在区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上有且只有一个交点．如图， 由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1.所以－12<k ≤12或k ＝－1.反思归纳 确定函数y ＝g (x )的解析式后，本题解法中利用两个数学思想：整体思想(设t ＝2x －π6，将2x －π6视为一个整体)．数形结合思想，将问题转化为g (x )＝sin t 与y ＝－k在⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上只有一个交点的实数k 的取值范围．互动探究 在例4(2)中条件不变的情况下，求函数y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调区间． 解 g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .又0≤x ≤π2，∴函数y ＝g (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π3. 令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋32π，k ∈Z ，得k π＋π3≤x ≤k π＋56π，k ∈Z .又0≤x ≤π2，∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π3，π2.变式训练4 (2013·天津一中高三月考)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3(x ∈R )的图象为C ，以下结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①图象C 关于直线x ＝11π12对称；②图象C 关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，5π12内是增函数； ④由y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .答案 ①②③解析 当x ＝11π12时，f ⎝⎛⎭⎫11π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2×11π12－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫11π6－π3＝sin 3π2＝－1，为最小值，所以图象C 关于直线x ＝11π12对称，所以①正确；当x ＝2π3时，f ⎝⎛⎭⎫2π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3－π3＝sin π＝0，图象C 关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称，所以②正确；当－π12≤x ≤5π12时，－π2≤2x －π3≤π2，此时函数单调递增，所以③正确；y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，所以④错误，所以正确的是①②③.典例 (12分)已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ(0<φ<π)，其图象过点⎝⎛⎭⎫π6，12. (1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π4上的最大值和最小值． 规范解答解 (1)f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x ＋12cos φ－12cos φ＝12(sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ) ＝12cos(2x －φ)． [3分] 又∵f (x )过点⎝⎛⎭⎫π6，12，∴12＝12cos ⎝⎛⎭⎫π3－φ，cos(π3－φ)＝1. 由0<φ<π知φ＝π3. [5分](2)由(1)知f (x )＝12cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3.[7分] 将f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到g (x )＝12cos(4x －π3)．[9分]∵0≤x ≤π4，∴－π3≤4x －π3≤2π3.当4x －π3＝0，即x ＝π12时，g (x )有最大值12；当4x －π3＝2π3，即x ＝π4时，g (x )有最小值－14. [12分]评分细则 (1)将点⎝⎛⎭⎫π6，12代入解析式给1分；从cos ⎝⎛⎭⎫π3－φ＝1，由0<φ<π，得φ＝π3得1分；(2)4x －π3范围计算正确，没有写出x 取何值时g (x )有最值不扣分．阅卷老师提醒 (1)解决此类问题时，一般先将函数解析式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)或f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的形式，然后在此基础上把ωx ＋φ看作一个整体，结合题目要求进行求解．(2)解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误．1． (2013·江苏)函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期为 ________. 答案 π解析 ω＝2，T ＝2π|ω|＝π.2． (2013·湖北)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是 ( )A.π12B.π6C.π3D.5π6答案 B解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )，它关于y 轴对称可得sin(π3＋m )＝±1， ∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵m >0，∴m 的最小值为π6.3． 若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α等于( )A ．－34 B.34 C.43 D ．－43答案 D解析 cos α＝39＋y 2＝35，∴y 2＝16. ∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43.4． 设函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x ) ( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤－π，－π2上是减函数 B ．在区间⎣⎡⎦⎤2π3，7π6上是增函数C ．在区间⎣⎡⎦⎤π8，π4上是增函数D ．在区间⎣⎡⎦⎤π3，5π6上是减函数答案 B解析 当2π3≤x ≤7π6时，2π3＋π3≤x ＋π3≤7π6＋π3，即π≤x ＋π3≤3π2，此时函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3单调递减，所以y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3在区间⎣⎡⎦⎤2π3，7π6上是增函数，选B. 5． 已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ等于( )A.π4B.π3C.π2D.3π4答案 A解析 由题意得周期T ＝2⎝⎛⎭⎫5π4－π4＝2π， ∴2π＝2πω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝±1，∵0<φ<π，∴π4<φ＋π4<5π4，∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4.6． 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g (x )＝sin 3x 的图象，则只要将f (x )的图象( )A ．向右平移π4个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向左平移π12个单位长度答案 B解析 由题意，得函数f (x )的周期T ＝4⎝⎛⎭⎫5π12－π4＝2π3，ω＝3，所以sin ⎝⎛⎭⎫3×5π12＋φ＝－1，又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4＝sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x ＋π12，所以将函数f (x )的图象向右平移π12个单位长度可以得到函数g (x )＝sin 3x 的图象．专题限时规范训练一、选择题1． 已知sin θ＝k －1，cos θ＝4－3k ，且θ是第二象限角，则k 应满足的条件是( )A ．k >43B ．k ＝1C ．k ＝85D ．k >1答案 C解析 根据已知(k －1)2＋(4－3k )2＝1，即5k 2－13k ＋8＝0，解得k ＝1或k ＝85，由于sin θ>0，cos θ<0，所以k >43，可得k ＝85.2． 设tan α＝33，π<α<3π2，则sin α－cos α的值为( )A ．－12＋32B ．－12－32C.12＋32D.12－32答案 A解析 由tan α＝33，π<α<3π2，不妨在角α的终边上取点P (－3，－3)，则|OP |＝23，于是由定义可得sin α＝－12，cos α＝－32，所以sin α－cos α＝－12＋32，故选A.3． 函数y ＝log 2sin x 在x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π4时的值域为( )A ．[－1,0] B.⎣⎡⎦⎤－1，－12 C ．[0,1)D ．[0,1]答案 B解析 由x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π4，得12≤sin x ≤22， ∴－1≤log 2sin x ≤－12.4． 设函数y ＝3sin(2x ＋φ) (0<φ<π，x ∈R )的图象关于直线x ＝π3对称，则φ等于 ( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 D解析 由题意知，2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π－π6(k ∈Z )，又0<φ<π，故当k ＝1时，φ＝5π6，选D.5． 将函数f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小正值为 ( )A.π8B.38πC.34πD.π2答案 B解析 依题意可得y ＝f (x )⇒y ＝－4sin[2(x －φ)＋π4]＝－4sin[2x －(2φ－π4)]⇒y ＝g (x )＝－4sin[4x －(2φ－π4)]，因为所得图象关于直线x ＝π4对称，所以g ⎝⎛⎭⎫π4＝±4， 得φ＝k 2π＋38π(k ∈Z )，故选B.6． 已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f (π24)等于( )A ．－ 3B ．－1 C. 3D ．1答案 C解析 由图形知，T ＝πω＝2(3π8－π8)＝π2，ω＝2.由2×3π8＋φ＝k π，k ∈Z ，得φ＝k π－3π4，k ∈Z .又∵|φ|＜π2，∴φ＝π4.由A tan(2×0＋π4)＝1，知A ＝1，∴f (x )＝tan(2x ＋π4)，∴f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.7． (2012·课标全国)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13 B ．3 C ．6D ．9答案 C解析 由题意可知，nT ＝π3(n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.8． 已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈ZB ．[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈ZC ．[k π－π3，k π＋π6]，k ∈ZD ．[k π＋π6，k π＋2π3]，k ∈Z答案 C解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin (ωx ＋π6)(ω＞0)．∵f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f (x )的一个周期，∴2πω＝π，ω＝2.∴f (x )＝2sin (2x ＋π6)．故其单调增区间应满足2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )．解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．二、填空题9． 函数f (x )＝3cos 25x ＋sin 25x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．答案 5π2解析 f (x )＝3cos 25x ＋sin 25x ＝2sin(25x ＋π3)，∴周期为T ＝2π25＝5π，则相邻的对称轴间的距离为T 2＝5π2.10．将函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象向左平移π3个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω、φ的值分别为________．答案 2、－π3解析 由图可知T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2.把(7π12，－1)代入y ＝sin (2(x ＋π3)＋φ) 得sin (7π6＋2π3＋φ)＝－1，∴11π6＋φ＝2k π＋3π2(k ∈Z )，φ＝2k π－π3(k ∈Z )，∵|φ|＜π2，∴φ＝－π3.11．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6 (ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的取值范围是__________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－32，3 解析 ∵f (x )和g (x )的对称轴完全相同， ∴二者的周期相同，即ω＝2，f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴f (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，3. 12．关于函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 有下列命题：①y ＝f (x )的周期为π；②x ＝π4是y ＝f (x )的一条对称轴；③⎝⎛⎭⎫π8，0是y ＝f (x )的一个对称中心；④将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin 2x 的图象，其中正确命题的序号是______(把你认为正确命题的序号都写上)． 答案 ①③解析 由f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4， 得T ＝2π2＝π，故①对；f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin π4≠±2，故②错； f ⎝⎛⎭⎫π8＝2sin 0＝0，故③对；y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，得y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 故④错．故填①③. 三、解答题13．(2013·湖南)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3，g (x )＝2sin 2x 2. (1)若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值；(2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．解 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3 ＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ，g (x )＝2sin 2x2＝1－cos x .(1)由f (α)＝335，得sin α＝35，又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15.(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1，于是sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≥12. 从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．14．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0，在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6. 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象． 所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个交点， 由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1. 所以－32<k ≤32或k ＝－1.。

专题二　集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数第一讲　集合与常用逻辑用语1．集合的概念、运算(1)集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性，是判断某些对象能否构成一个集合或判断两集合是否相等的依据．(2)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)集合间的关系：子集、真子集、空集、集合相等，在集合间的运算中要注意空集的情形．(4)重要结论A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ；A ∪B ＝A ⇔B ⊆A .2．命题(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)含有量词的命题的否定：∀x ∈M ，p (x )的否定是∃x ∈M ，綈p (x )；∃x ∈M ，p (x )的否定是∀x ∈M ，綈p (x )．3．充要条件设集合A ＝{x |x 满足条件p }，B ＝{x |x 满足条件q }，则有从逻辑观点看从集合观点看p 是q 的充分不必要条件(p ⇒q ，q ⇒p )A B p 是q 的必要不充分条件(q ⇒p ，p ⇒q )B A p 是q 的充要条件(p ⇔q )A ＝B p 是q 的既不充分也不必要条件(p ⇒q ，q ⇒p )A 与B 互不包含1． (2013·辽宁)已知集合A ＝{x |0＜log 4x ＜1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B 等于( )A ．(0,1) B ．(0,2]C ．(1,2)D ．(1,2]答案　D 解析　A ＝{x |1＜x ＜4}，B ＝{x |x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |1＜x ≤2}．2． (2013·北京)“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( )通过管线敷设技术不仅可以解决吊顶层配置不规范高中资料试卷问题，而且可保障各类管路习题到位料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案　A 解析　当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋φ)＝－sin 2x 过原点．当曲线过原点时，φ＝k π，k ∈Z ，不一定有φ＝π.∴“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过原点”的充分不必要条件．3． (2013·四川)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∈B B ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉B C ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈B D ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B 答案　D 解析　命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定綈p 应为∃x ∈A,2x ∉B ，选D.4． (2013·天津)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；1218②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝相切．12其中真命题的序号是( )A ．①②③ B ．①②C ．①③ D ．②③答案　C 解析　对于命题①，设球的半径为R ，则π3＝·πR 3，故体积缩小到原来的，命题正43(R 2)184318确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x 2＋y 2＝的圆心(0,0)到12直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝＝，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．12225． (2013·四川)设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点P 1，P 2，…，P n 的距离之和最小，则称点P 为点P 1，P 2，…，P n 的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点A 、B 的中位点．现有下列命题：①若三个点A ，B ，C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点；②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一；④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)答案　①④，要加与过度安全，解析　∵|CA |＋|CB |≥|AB |，当且仅当点C 在线段AB 上等号成立，即三个点A ，B ，C ，∴点C 在线段AB 上，∴点C 是A ，B ，C 的中位点，故①是真命题．如图(1)，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，P 是AB 的中点，CH ⊥AB ，点P ，H 不重合，则|PC |>|HC |.又|HA |＋|HB |＝|PA |＋|PB |＝|AB |，∴|HA |＋|HB |＋|HC |<|PA |＋|PB |＋|PC |，∴点P 不是点A ，B ，C 的中位点，故②是假命题．如图(2)，A ，B ，C ，D 是数轴上的四个点，若P 点在线段BC 上，则|PA |＋|PB |＋|PC |＋|PD |＝|AD |＋|BC |，由中位点的定义及①可知，点P 是点A ，B ，C ，D 的中位点．显然点P 有无数个，故③是假命题．　如图(3)，由①可知，若点P 是点A ，C 的中位点，则点P 在线段AC 上，若点P 是点B ，D 的中位点，则点P 在线段BD 上，∴若点P 是点A ，B ，C ，D 的中位点，则P 是AC ，BD 的交点，∴梯形对角线的交点是梯形四个顶点的唯一中位点，故④是真命题．题型一　集合的概念与运算问题例1　(1)(2012·湖北)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，若M ＝{1,2,3,4,5}，N ＝{2,3,6}，则N －M 等于( )A ．M B ．N C ．{1,4,5} D ．{6}审题破题　(1)先对集合A 、B 进行化简，注意B 中元素的性质，然后根据子集的定义列举全部适合条件的集合C 即可．(2)透彻理解A －B 的定义是解答本题的关键，要和补集区别开来．答案　(1)D (2)D解析　(1)由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．(2)N －M ＝{x |x ∈N 且x ∉M }．∵2∈N 且2∈M ，∴2∉N －M ；3∈N 且3∈M ，∴3∉N －M ；6∈N 且6∉M ，∴6∈N －M .∴故N －M ＝{6}．反思归纳　(1)解答集合间关系与运算问题的一般步骤：先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解．(2)两点提醒：①要注意集合中元素的互异性；②当B ⊆A 时，应注意讨论B 是否为∅.变式训练1　(2013·玉溪毕业班复习检测)若集合S ＝{x |log 2(x ＋1)>0}，T ＝，则{x |2－x 2＋x <0}S ∩T 等于( )A ．(－1,2) B ．(0,2)C ．(－1，＋∞)D ．(2，＋∞)答案　D 解析　S ＝{x |x ＋1>1}＝{x |x >0}，T ＝{x |x >2或x <－2}．∴S ∩T ＝{x |x >2}．题型二　命题的真假与否定问题例2　下列叙述正确的个数是( )①l 为直线，α、β为两个不重合的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥α；②若命题p ：∃x 0∈R ，x －x 0＋1≤0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0；20③在△ABC 中，“∠A ＝60°”是“cos A ＝”的充要条件；12④若向量a ，b 满足a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角．A ．1 B ．2 C ．3 D ．4审题破题　判定叙述是否正确，对命题首先要分清命题的条件与结论，再结合涉及知识进行判定；对含量词的命题的否定，要改变其中的量词和判断词．答案　B 解析　对于①，直线l 不一定在平面α外，错误；对于②，命题p 是特称命题，否定时要写成全称命题并改变判断词，正确；③注意到△ABC 中条件，正确；④a ·b <0可能〈a ，b 〉＝π，错误．故叙述正确的个数为2.反思归纳　(1)命题真假的判定方法：①一般命题p 的真假由涉及到的相关知识辨别；设技艺高中资料试②四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律；③形如p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假根据真值表判定．(2)区分命题的否定和否命题；含一个量词的命题的否定一定要改变量词．变式训练2　给出下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3均成立；②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③“若a >b >0且c <0，则>”的逆否命题；c a c b ④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2－x －1≤0，则命题p ∧綈q 是真命题．其中真命题只有( )A ．①②③ B ．①②④C ．①③④ D ．②③④答案　A解析　①中不等式可表示为(x －1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可变为log 2x ＋≥2，1log2x 得x >1；③中由a >b >0，得<，而c <0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④1a 1b 中綈q ：∀x ∈R ，x 2－x －1>0，由于x 2－x －1＝2－，则存在x 值使x 2－x －1≤0，故(x －12)54綈q 为假命题，则p ∧綈q 为假命题．题型三　充要条件的判断问题例3　(1)甲：x ≠2或y ≠3；乙：x ＋y ≠5，则( )A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件(2)设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A. B.[0，12](0，12)C ．(－∞，0)∪ D ．(－∞，0)∪[12，＋∞)(12，＋∞)审题破题　(1)利用逆否命题判别甲、乙的关系；(2)转化为两个集合间的包含关系，利用数轴解决．答案　(1)B (2)A解析　(1)“甲⇒乙”，即“x ≠2或y ≠3”⇒“x ＋y ≠5”，其逆否命题为：“x ＋y ＝5”⇒“x ＝2且y ＝3”显然不正确．同理，可判断命题“乙⇒甲”为真命题．所以甲是乙的必要不充分条件．(2)綈p ：|4x －3|>1；綈q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)>0，解得綈p ：x >1或x <；綈q ：x >a ＋1或x <a .12若綈p ⇐綈q ，则Error!或Error!，即0≤a ≤.12反思归纳　(1)充要条件判断的三种方法：定义法、集合法、等价命题法；(2)判断充分、必要条件时应注意的问题：①要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A ；②要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．变式训练3　(1)(2012·山东)设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案　A 解析　由题意知函数f (x )＝a x 在R 上是减函数等价于0<a <1，函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数等价于0<a <1或1<a <2，∴“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件．(2)设A ＝{x |<0}，B ＝{x |0<x <m }，若B 是A 成立的必要不充分条件，则m 的取值x x －1范围是( )A ．m <1 B ．m ≤1C ．m ≥1 D ．m >1答案　D 解析　<0⇔0<x <1.x x －1由已知得，0<x <m⇒0<x <1，但0<x <1⇒0<x <m 成立．∴m >1.典例　设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题：①若m ＝1，则S ＝{1}；②若m ＝－，则≤l ≤1；1214③若l ＝，则－≤m ≤0.1222其中正确命题的个数是( )A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析　①m ＝1时，l ≥m ＝1且x 2≥1，∴l ＝1，故①正确．②m ＝－时，m 2＝，故l ≥.121414又l ≤1，∴②正确．③l ＝时，m 2≤且m ≤0，则－≤m ≤0，121222∴③正确．答案　D 得分技巧　创新性试题中最常见的是以新定义的方式给出试题，这类试题要求在新的情境中使用已知的数学知识分析解决问题，解决这类试题的关键是透彻理解新定义，抓住新定义的本质，判断给出的各个结论，适当的时候可以通过反例推翻其中的结论．阅卷老师提醒　在给出的几个命题中要求找出其中正确命题类的试题实际上就是一个多项选择题，解答这类试题时要对各个命题反复进行推敲，确定可能正确的要进行严格的证明，确定可能错误的要举出反例，这样才能有效避免答错试题．1． 已知集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}，若A ∩B ＝B ，则a 等于( )A ．－或1 B ．2或－112C ．－2或1或0 D ．－或1或012答案　D 解析　依题意可得A ∩B ＝B ⇔B ⊆A .因为集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}＝{－2,1}，当x ＝－2时，－2a ＝1，解得a ＝－；12当x ＝1时，a ＝1；又因为B 是空集时也符合题意，这时a ＝0，故选D.2． (2013·浙江)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝”的( )π2A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案　B 解析　φ＝⇒f (x )＝A cos ＝－A sin ωx 为奇函数，π2(ωx ＋π2)∴“f (x )是奇函数”是“φ＝”的必要条件．π2又f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇒f (0)＝0⇒φ＝＋k π(k ∈Z )⇒φ＝.π2π2∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝”的充分条件．π23． (2012·辽宁)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( )A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0答案　C 解析　根据全称命题的否定是特称命题知．綈p ：∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0.4． 已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)答案　C 解析　由P ＝{x |x 2≤1}得P ＝{x |－1≤x ≤1}．由P ∪M ＝P 得M ⊆P .又M ＝{a }，∴－1≤a ≤1.5． 下列命题中错误的是( )A ．命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”B ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≤2中等号成立”的充要条件(x ＋y 2)C ．已知命题p 和q ，若p ∨q 为假命题，则命题p 与q 中必一真一假D ．对命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0答案　C 解析　易知选项A ，B ，D 都正确；选项C 中，若p ∨q 为假命题，根据真值表，可知p ，q 必都为假，故C 错．专题限时规范训练一、选择题1． (2013·陕西)设全集为R ，函数f (x )＝的定义域为M ，则∁R M 为( )1－x 2A ．[－1,1]B ．(－1,1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案　D 解析　由题意得M ＝[－1,1]，则∁R M ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2． (2013·山东)给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( )A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案　A 解析　由题意知：綈p ⇐q ⇔(逆否命题)p ⇒綈q .3． (2012·湖南)命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是( )π4A ．若α≠，则tan α≠1 B ．若α＝，则tan α ≠1π4π4C ．若tan α≠1，则α≠ D ．若tan α≠1，则α＝π4π4答案　C 解析　由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题是：若tan α≠1，则α≠.π44． (2012·湖北)命题“∃x 0∈∁R Q ，x ∈Q ”的否定是( )30A ．∃x 0D ∈∁R Q ，x ∈Q 30B ．∃x 0∈∁R Q ，x D ∈Q 30C ．∀xD ∈∁R Q ，x 3∈Q D ．∀x ∈∁R Q ，x 3D ∈Q 答案　D 解析　“∃”的否定是“∀”，x 3∈Q 的否定是x 3D ∈Q .命题“∃x 0∈∁R Q ，x ∈Q ”的否定是“∀x ∈∁R Q ，x 3D ∈Q ”．305． 设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案　C 解析　A ＝{x |x －2>0}＝{x |x >2}＝(2，＋∞)，B ＝{x |x <0}＝(－∞，0)，∴A ∪B ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，C ＝{x |x (x －2)>0}＝{x |x <0或x >2}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)．A ∪B ＝C .∴“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的充要条件．6． 下列关于命题的说法中错误的是( )A ．对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”D ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题答案　D解析　对于A ，命题綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0，因此选项A 正确．对于B ，由x ＝1可得x 2－3x ＋2＝0；反过来，由x 2－3x ＋2＝0不能得知x ＝1，此时x 的值可能是2，因此“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件，选项B 正确．对于C ，原命题的逆否命题是：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”，因此选项C 正确．7． 已知p ：<1，q ：(x －a )(x －3)>0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取2x x －1值范围是( )A ．(－∞，1) B ．[1,3]C ．[1，＋∞) D ．[3，＋∞)答案　C 解析　－1<0⇒<0⇒(x －1)(x ＋1)<0⇒p ：－1<x <1.当a ≥3时，q ：x <3或x >a ；当2x x －1x ＋1x －1a <3时，q ：x <a 或x >3.綈p 是綈q 的必要不充分条件，即p 是q 的充分不必要条件，即p ⇒q 且q ⇒p ，从而可推出a 的取值范围是a ≥1.8． 下列命题中是假命题的是( )A ．存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan βB ．对任意x >0，有lg 2x ＋lg x ＋1>0C ．△ABC 中，A >B 的充要条件是sin A >sin B D ．对任意φ∈R ，函数y ＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数答案　D解析　对于A ，当α＝β＝0时，tan(α＋β)＝0＝tan α＋tan β，因此选项A 是真命题；对于B ，注意到lg 2x ＋lg x ＋1＝2＋≥>0，因此选项B 是真命题；对于C ，在△ABC (lg x ＋12)3434中，由A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B (其中R 是△ABC 的外接圆半径)，因此选项C 是真命题；对于D ，注意到当φ＝时，y ＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 是偶函数，因此选项π2D 是假命题．综上所述，选D.二、填空题9．已知集合A ＝{x ∈R ||x －1|<2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中所有元素的和等于________．答案　3解析　A ＝{x ∈R ||x －1|<2}＝{x ∈R |－1<x <3}，集合A 中包含的整数有0,1,2，故A ∩Z ＝{0,1,2}．故A ∩Z 中所有元素之和为0＋1＋2＝3.10．设集合M ＝{y |y －m ≤0}，N ＝{y |y ＝2x －1，x ∈R }，若M ∩N ≠∅，则实数m 的取值范围是________．答案　(－1，＋∞)解析　M ＝{y |y ≤m }，N ＝{y |y >－1}，结合数轴易知m >－1.11． 已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－ln x －a ≥0”是真命题，则实数a 的取值范围是12________．答案　(－∞，12]解析　命题p ：a ≤x 2－ln x 在[1,2]上恒成立，令f (x )＝x 2－ln x ，f ′(x )＝x －＝12121x ，当1<x <2时，f ′(x )>0，∴f (x )min ＝f (1)＝，∴a ≤.(x －1)(x ＋1)x 121212．给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件；④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝，则3“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)答案　①④解析　对于①，当数列{a n }是等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列；但当数列{a n a n ＋1}是等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确．对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确．对于③，当m ＝3时，相应的两条直线垂直；反过来，当这两条直线垂直时，不一定能得出m ＝3，也可能得出m ＝0，因此③不正确．对于④，由题意，得＝＝，当B ＝60°时，有sin A ＝，注意到b >a ，故b a sin B sin A 312A ＝30°；但当A ＝30°时，有sinB ＝，B ＝60°或B ＝120°，因此④正确．32三、解答题13．已知函数f (x )＝ 的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集6x ＋1－1合B .(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解　A ＝{x |－1<x ≤5}，(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，故4是方程－x 2＋2x ＋m ＝0的一个根，∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8.此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意．因此实数m 的值为8.14．设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求a 的取值范围．解　由命题p ：1∈A ，得Error!解得a >1.由命题q ：2∈A ，得Error!解得a >2.又∵p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，即p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假时，Error!即1<a ≤2，当p 假q 真时，Error!无解．故所求a 的取值范围为(1,2]．。

第三讲空间向量与立体几何1. 直线与平面､平面与平面的平行与垂直的向量方法设直线l的方向向量为a=(a1,b1,c1).平面α,β的法向量分别为μ=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3)(以下相同).(1)线面平行l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥μ⇔a=kμ⇔a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2.(3)面面平行α∥β⇔μ∥v⇔μ=λv⇔a2=λa3,b2=λb3,c2=λc3.(4)面面垂直α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v=0⇔a2a3+b2b3+c2c3=0.2. 空间角的计算(1)两条异面直线所成角的求法设直线a,b的方向向量为a,b,其夹角为θ,则cos φ=|cos θ|=|a·b||a||b|(其中φ为异面直线a,b所成的角).(2)直线和平面所成角的求法如图所示,设直线l的方向向量为e,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为φ,两向量e与n的夹角为θ,则有sin φ=|cos θ|=|e·n| |e||n|.(3)二面角的求法①利用向量求二面角的大小,可以不作出平面角,如图所示,<m,n>即为所求二面角的平面角.②对于易于建立空间直角坐标系的几何体,求二面角的大小时,可以利用这两个平面的法向量的夹角来求.如图所示,二面角α-l-β,平面α的法向量为n1,平面β的法向量为n2,<n1,n2>=θ,则二面角α-l -β的大小为θ或π-θ.1. (2012·陕西)如图所示,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC -A 1B 1C 1,CA =CC 1=2CB ,则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A.55 B.53 C.255D.35 答案 A解析 不妨令CB =1,则CA =CC 1=2.可得O (0,0,0),B (0,0,1),C 1(0,2,0),A (2,0,0),B 1(0,2,1), ∴BC →1=(0,2,-1),AB →1=(-2,2,1),∴cos<BC →1,AB →1>=BC →1·AB →1|BC →1||AB →1|=4－15×9=15=55>0.∴BC →1与AB →1的夹角即为直线BC 1与直线AB 1的夹角,∴直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为55.2. (2013·辽宁)如图,AB 是圆的直径,P A 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点.(1)求证:平面P AC ⊥平面PBC ;(2)若AB =2,AC =1,P A =1,求二面角C -PB -A 的余弦值. (1)证明 由AB 是圆的直径,得AC ⊥BC , 由P A ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,得P A ⊥BC . 又P A ∩AC =A ,P A ⊂平面P AC ,AC ⊂平面P AC , 所以BC ⊥平面P AC . 因为BC ⊂平面PBC , 所以平面PBC ⊥平面P AC .(2)解 方法一 过C 作CM ∥AP ,则CM ⊥平面ABC .如图,以点C 为坐标原点,分别以直线CB ､CA ､CM 为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.在Rt △ABC 中,因为AB =2,AC =1,所以BC = 3. 因为P A =1,所以A (0,1,0),B (3,0,0),P (0,1,1). 故C B →=(3,0,0),C P →=(0,1,1). 设平面BCP 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),则⎩⎪⎨⎪⎧C B →·n 1＝0，C P →·n 1＝0，所以⎩⎨⎧3x 1＝0，y 1＋z 1＝0，不妨令y 1=1,则n 1=(0,1,-1). 因为A P →=(0,0,1),A B →=(3,-1,0), 设平面ABP 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2),则⎩⎪⎨⎪⎧A P →·n 2＝0，AB →·n 2＝0，所以⎩⎨⎧z 2＝0，3x 2－y 2＝0，不妨令x 2=1,则n 2=(1,3,0).于是cos<n 1,n 2>=322=64.所以由题意可知二面角C -PB -A 的余弦值为64. 方法二 过C 作CM ⊥AB 于M ,因为P A ⊥平面ABC ,CM ⊂平面ABC ,所以P A ⊥CM ,又P A ∩AB =A ,故CM ⊥平面P AB .所以CM ⊥PB . 过M 作MN ⊥PB 于N ,连接NC , 所以PB ⊥面MNC ,所以CN ⊥PB , 所以∠CNM 为二面角C -PB -A 的平面角. 在Rt △ABC 中,由AB =2,AC =1,得BC =3,CM =32,BM =32,在Rt △P AB 中,由AB =2,P A =1,得PB = 5. 因为Rt △BNM ∽Rt △BAP , 所以MN 1= 32 5,故MN =3510.又在Rt △CNM 中,CN =305, 故cos ∠CNM =64.所以二面角C -PB -A 的余弦值为64.题型一 利用空间向量证明平行与垂直例1 如图所示,平面P AC ⊥平面ABC ,△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形,E ､F ､O 分别为P A ､PB ､AC 的中点,AC =16,P A =PC =10.(1)设G 是OC 的中点,证明:FG ∥平面BOE ; (2)证明:在△ABO 内存在一点M ,使FM ⊥平面BOE .审题破题 以O 点为原点,OB ､OC ､OP 所在直线分别为x 轴､y 轴､z 轴建立空间直角坐标系,利用向量法可求解.(1)证明 如图所示,连接OP ,以O 为坐标原点,分别以OB ,OC ,OP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系O —xyz ,则O (0,0,0),A (0,-8,0),B (8,0,0),C (0,8,0),P (0,0,6),E (0,-4,3),F (4,0,3),由题意得,G (0,4,0),因OB →=(8,0,0),OE →=(0,-4,3),因此平面BOE 的一个法向量n =(0,3,4),FG →=(-4,4,-3),得n ·FG →=0,又直线FG 不在平面BOE 内,因此有FG ∥平面BOE . (2)设点M 的坐标为(x 0,y 0,0), 则FM →=(x 0-4,y 0,-3),因为FM ⊥平面BOE ,所以有FM →∥n ,因此有x 0=4,y 0=-94,即点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫4，－94，0, 在平面直角坐标系xOy 中,△AOB 的内部区域可表示为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x >0y <0x －y <8,经检验,点M的坐标满足上述不等式组,所以,在△ABO 内存在一点M ,使FM ⊥平面BOE .反思归纳 (1)空间中线面的平行与垂直的证明有两种思路:一是利用相应的判定定理和性质定理去解决;二是利用空间向量法来论证.(2)用向量法来证明平行与垂直,避免了繁杂的推理论证,直接计算就行了,把几何问题代数化.尤其是在正方体､长方体､直四棱柱中相关问题的证明用向量法更简捷,但是向量法要求计算必须准确无误.变式训练1 如图,在直三棱柱ADE —BCF 中,面ABFE 和面ABCD 都是正方形且互相垂直,M 为AB 的中点,O 为DF 的中点.运用向量方法证明:(1)OM ∥平面BCF ; (2)平面MDF ⊥平面EFCD .证明 (1)由题意,AB ,AD ,AE 两两垂直,以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系.设正方形边长为1,则A (0,0,0),B (1,0,0),C (1,1,0),D (0,1,0),F (1,0,1),M ⎝⎛⎭⎫12，0，0,O ⎝⎛⎭⎫12，12，12.(1)OM →=⎝⎛⎭⎫0，－12，－12,BA →=(-1,0,0), ∴OM →·BA →=0, ∴OM →⊥BA →. ∵棱柱ADE —BCF 是直三棱柱,∴AB ⊥平面BCF ,∴BA →是平面BCF 的一个法向量, 且OM ⊄平面BCF ,∴OM ∥平面BCF .(2)设平面MDF 与平面EFCD 的一个法向量分别为n 1=(x 1,y 1,z 1),n 2=(x 2,y 2,z 2). ∵DF →=(1,-1,1),DM →=⎝⎛⎭⎫12，－1，0,DC →=(1,0,0), 由n 1·DF →=n 1·DM →=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－y 1＋z 1＝0，12x 1－y 1＝0，令x 1=1,则n 1=⎝⎛⎭⎫1，12，－12. 同理可得n 2=(0,1,1).∵n 1·n 2=0,∴平面MDF ⊥平面EFCD . 题型二 利用向量求空间角例2 如图,三棱锥P -ABC 中,PB ⊥平面ABC .PB =BC =CA =4,∠BCA =90°,E 为PC 的中点.(1)求证:BE ⊥平面P AC ;(2)求二面角E -AB -C 的余弦值.审题破题 本题的关键是在平面ABC 内找到两条互相垂直的直线,可以过点B 作BC 的垂线BT ,分别以BC ,BT ,BP 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系. (1)证明⎭⎪⎬⎪⎫PB ⊥面ABC ⇒PB ⊥AC BC ⊥AC ⇒⎭⎪⎬⎪⎫AC ⊥面PBC ⇒AC ⊥BE PB ＝BC ，E 为中点⇒BE ⊥PC⇒BE ⊥面P AC .(2)解 如图,在平面ABC 内过点B 作BT ⊥BC ,分别以BC ,BT ,BP 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则B (0,0,0),C (4,0,0),A (4,4,0),P (0,0,4),E (2,0,2),则BA →=(4,4,0),BE →=(2,0,2),平面ABC 的法向量为n 1=(0,0,1),设平面ABE 的法向量为n 2=(x ,y ,z ).则BA →·n 2=0,BE →·n 2=0,即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋4y ＝02x ＋2z ＝0.令z =1,得x =-1,y =1,即n 2=(-1,1,1).设二面角E -AB -C 为θ,则cos θ=n 1·n 2|n 1|·|n 2|=33.反思归纳 利用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为:(1)建立恰当的空间直角坐标系.(2)求出相关点的坐标.(3)写出向量坐标.(4)结合公式进行论证､计算.(5)转化为几何结论.变式训练 2 (2012·课标全国)如图,直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AC =BC =12AA 1,D 是棱AA 1的中点,DC 1⊥BD .(1)证明:DC 1⊥BC ;(2)求二面角A 1-BD -C 1的大小.(1)证明 由题设知,三棱柱的侧面为矩形.由于D 为AA 1的中点,故DC =DC 1.又AC =12AA 1,可得DC 21+DC 2=CC 21,所以DC 1⊥DC .而DC 1⊥BD ,CD ∩BD =D ,所以DC 1⊥平面BCD .因为BC ⊂平面BCD ,所以DC 1⊥BC .(2)解 由(1)知BC ⊥DC 1,且BC ⊥CC 1,则BC ⊥平面ACC 1A 1,所以CA ,CB ,CC 1两两相互垂直.以C 为坐标原点,CA →的方向为x 轴的正方向,|CA →|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz . 由题意知A 1(1,0,2),B (0,1,0),D (1,0,1),C 1(0,0,2). 则A 1D →=(0,0,-1),BD →=(1,-1,1),DC 1→=(-1,0,1). 设n =(x ,y ,z )是平面A 1B 1BD 的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·A 1D →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋z ＝0，z ＝0，可取n =(1,1,0).同理,设m =(x ,y ,z )是平面C 1BD 的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BD →＝0，m ·DC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋z ＝0，－x ＋z ＝0，可取m =(1,2,1).从而cos <n ,m >=n ·m |n |·|m |=32.故二面角A 1-BD -C 1的大小为30°. 题型三 利用向量求空间距离例3 如图所示,在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,BA =BC =2,BA →·BC →=0,异面直线A 1B 与AC 成60°的角,点O ､E 分别是棱AC 和BB 1的中点,点F 是棱B 1C 1上的动点.(1)求证:A 1E ⊥OF ;(2)求点E 到面AB 1C 的距离; (3)求二面角B 1—A 1C —C 1的大小.审题破题 在已知三棱柱中,直线BA ,BC ,BB 1两两垂直,已有空间直角坐标系的框架.(1)证明 设棱柱的高为h ,以B 为坐标原点,以BA ､BC ､BB 1所在直线分别为x ､y ､z 轴建立空间直角坐标系,则B (0,0,0),A (2,0,0),C (0,2,0),O (1,1,0),A 1(2,0,h ),∴BA 1→=(2,0,h ),CA →=(2,-2,0),∴cos<BA 1→,CA →>=BA 1→·CA →|BA 1→||CA →|=422×4＋h 2,即cos 60°=12=422×4＋h 2,解得h =2.∴E (0,0,1),A 1(2,0,2),∴A 1E →=(-2,0,-1).∵F 是B 1C 1上的动点,∴设F (0,y,2),∴OF →=(-1,y -1,2), ∴A 1E →·OF →=(-2,0,-1)·(-1,y -1,2)=0, ∴A 1E →⊥OF →, 即A 1E ⊥OF .(2)解 易求面AB 1C 的法向量为n =(1,1,1), EA →=(2,0,-1),所以E 到面AB 1C 的距离为d =|n ·EA →||n |=13=33.(3)解 ∵平面A 1CC 1的一个法向量是BO →=(1,1,0). 设平面A 1B 1C 的一个法向量是n =(x ,y ,z ),A 1C →=(-2,2,-2),A 1B 1→=(-2,0,0),则n ·A 1C →=(x ,y ,z )·(-2,2,-2) =-2x +2y -2z =0, ①n ·A 1B 1→=(x ,y ,z )·(-2,0,0)=-2x =0,∴x =0.②代入①并令z =1得y =1,∴n =(0,1,1),∴cos<n ,BO →>=n ·BO →|n |·|BO →|=12×2=12,∴<n ,BO →>=60°,即二面角B 1—A 1C —C 1的大小为60°.反思归纳 求点面距的常用方法:①直接法:即寻找或作出与该距离相对应的垂线段,此法的关键是确定垂足的位置,然后借助于直角三角形求解;②等体积法:把所求的距离转化为三棱锥的高,再通过变换三棱锥的顶点,由同一棱锥的体积是不变的,求出相应的距离. 变式训练3 如图所示,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,平面PBC ⊥底面ABCD ,且PB =PC = 5.(1)求证:AB ⊥CP ;(2)求点B 到平面P AD 的距离;(3)设面P AD 与面PBC 的交线为l ,求二面角A -l -B 的大小.(1)证明 以BC 的中点O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则B (1,0,0),A (1,-2,0),C (-1,0,0),P (0,0,2),D (-1,-2,0). AB →=(0,2,0),CP →=(1,0,2),则有AB →·CP →=0,∴AB →⊥CP →. 即AB ⊥CP .(2)解 设平面P AD 的法向量为n =(x ,y ,z ), PD →=(-1,-2,-2),AD →=(-2,0,0),则由⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD →＝0，n ·AD →＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧－x －2y －2z ＝0，－2x ＝0.则x =0,令z =1=-y ,得n =(0,-1,1),又BP →=(-1,0,2),∴点B 到平面P AD 的距离d =|BP →·n ||n |=|0＋0＋2|2= 2.(3)解 由(2)知平面P AD 的法向量n =(0,-1,1), 而平面PBC ⊥平面ABCD ,∴平面PBC 的法向量m =(0,1,0). ∴二面角A -l -B 的余弦值为|m ·n ||m ||n |=22.由图形知二面角A -l -B 为锐二面角, ∴二面角A -l -B 的大小为45°.典例 (12分)如图,在三棱锥P —ABC 中,AC =BC =2,∠ACB =90°,AP =BP =AB ,PC ⊥AC ,点D 为BC 的中点.(1)求二面角A —PD —B 的余弦值;(2)在直线AB 上是否存在点M ,使得PM 与平面P AD 所成角的正弦值为16,若存在,求出点M的位置;若不存在,说明理由. 规范解答解 (1)∵AC =BC ,P A =PB ,PC =PC ,∴△PCA ≌△PCB , ∴∠PCA =∠PCB , ∵PC ⊥AC ,∴PC ⊥CB , 又AC ∩CB =C ,∴PC ⊥平面ACB ,且PC ,CA ,CB 两两垂直,[2分]故以C 为坐标原点,分别以CB ,CA ,CP 所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,则C (0,0,0),A (0,2,0),D (1,0,0),P (0,0,2),∴AD →=(1,-2,0),PD →=(1,0,-2),[3分]设平面P AD 的一个法向量n =(x ,y ,z ),∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AD →＝0n ·PD →＝0,即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x －2z ＝0,∴取n =(2,1,1),平面PDB 的一个法向量为CA →=(0,2,0),[5分]∴cos<n ,CA →>=66,设二面角A —PD —B 的平面角为θ,且θ为钝角,∴cos θ=-66,∴二面角A —PD —B 的余弦值为-66.[6分] (2)方法一 存在,M 是AB 的中点或A 是MB 的中点.[7分]设M (x,2-x,0) (x ∈R ),∴PM →=(x,2-x ,-2),[8分]∴|cos<PM →,n >|=|x |x 2＋(2－x )2＋4·6=16,解得x =1或x =-2,∴M (1,1,0)或M (-2,4,0),[10分]∴在直线AB 上存在点M ,且M 是AB 的中点或A 是MB 的中点,使得PM 与平面P AD 所成角的正弦值为16. [12分]方法二 存在,M 是AB 的中点或A 是MB 的中点.[7分]设AM →=λAB →, 则AM →=λ(2,-2,0)=(2λ,-2λ,0) (λ∈R ), ∴PM →=P A →+AM →=(2λ,2-2λ,-2),[8分]∴|cos<PM →,n >|=|2λ|(2λ)2＋(2－2λ)2＋4·6=16.解得λ=12或λ=-1.[10分]∴M 是AB 的中点或A 是MB 的中点.∴在直线AB 上存在点M ,且M 是AB 的中点或A 是MB 的中点,使得PM 与平面P AD 所成角的正弦值为16. [12分]评分细则 (1)没有指明CA ､CB ､CD 两两垂直,直接建系的扣1分;(2)求出平面的法向量给1分;法向量写成其他形式不扣分;(3)二面角余弦值写成66的扣1分;(4)第(2)问最后不写结论的扣1分.阅卷老师提醒 (1)利用空间向量求二面角的平面角时,应注意观察二面角是锐角还是钝角.如果两个平面的法向量分别是m ,n ,两个平面所成的锐二面角的大小为θ,则cosθ=|cos<m ,n >|=|m ·n ||m ||n |.在一般的二面角大小计算中要根据这个二面角的实际大小,确定其余弦值的正､负号的选取. (2)探索性问题一定要写出结论.1. 在空间中,已知AB →=(2,4,0),DC →=(-1,3,0),则异面直线AB 与DC 所成角θ的大小为( )A.45°B.90°C.120°D.135°答案 A解析 ∵AB →=(2,4,0),DC →=(-1,3,0),cos<AB →,DC →>=AB →·DC →|AB →||DC →|=12－225·10=22.∵<AB →,DC →>∈(0°,90°],∴<AB →,DC →>=45°. 故选A.2. 在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AB =AA 1,则AC 1与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为( )A.22B.155C.64D.63答案 C解析 建立如图所示的空间直角坐标系,设AB =2,则C 1(3,1,0),A (0,0,2),AC 1→=(3,1,-2),平面BB 1C 1C 的一个法向量为n =(1,0,0),所以AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角的正弦值为|AC 1→·n ||AC 1→||n |=38=64.故选C. 3.如图所示,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,M ､N 分别为A 1B 和AC 上的点,A 1M =AN =23a ,则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A.相交B.平行C.垂直D.不能确定答案 B解析 分别以C1B 1､C 1D 1､C 1C 所在直线为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示.∵A 1M =AN =23a ,∴M ⎝⎛⎭⎫a ，23a ，a 3, N ⎝⎛⎭⎫23a ，23a ，a ,∴MN →=⎝⎛⎭⎫－a 3，0，23a . 又C 1(0,0,0),D 1(0,a,0),∴C 1D 1→=(0,a,0), ∴MN →·C 1D 1→=0,∴MN →⊥C 1D 1→.∵C 1D 1→是平面BB 1C 1C 的法向量,且MN ⊄平面BB 1C 1C ,∴MN ∥平面BB 1C 1C .4. 在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D 是侧面BB 1C 1C 的中心,则AD与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案 C解析 取BC 中点E ,连接AE ,则AE ⊥平面BCC 1B 1,故∠ADE 为直线AD与平面BB 1C 1C 所成的角.设各棱长为a ,则AE =32a ,DE =12a .∴tan ∠ADE = 3. ∴∠ADE =60°.5. 在一直角坐标系中已知A (-1,6),B (3,-8),现沿x 轴将坐标平面折成60°的二面角,则折叠后A ､B 两点间的距离为________. 答案 217解析 如图为折叠后的图形,其中作AC ⊥CD ,BD ⊥CD , 则AC =6,BD =8,CD =4,两异面直线AC ､BD 所成的角为60°,故由AB →=AC →+CD →+DB →, 得|AB →|2=|AC →+CD →+DB →|2=68, ∴|AB →|=217.6. 已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 为C 1D 1的中点,则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为________.答案 23解析 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AD ∥BC ,所以AE 与BC 所成的角即为AD 与AE 所成的角,即是∠EAD .连接DE ,在Rt △ADE 中,设AD =a ,则DE =52a ,tan ∠EAD =DEAD=52,cos ∠EAD =23,所以异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为23. 专题限时规范训练一､选择题1. 已知点G 是△ABC 的重心,O 是空间任一点,若OA →+OB →+OC →=λOG →,则λ的值为( )A.1B.2C.3D.4答案 C解析 OA →+OB →+OC →=λOG →⇔OG →=1λOA →+1λOB →+1λOC →,具体表示出向量OG →后,比较即可.如图所示.OG →=OA →+AG →=OA →+23AE →=OA →+13(AB →+AC →)=OA →+13[(OB →-OA →)+(OC →-OA →)]=OA →+13OB →+13OC →-23OA →=13OB →+13OC →+13OA → =1λOA →+1λOB →+1λOC →, 所以λ=3.2. 若不同直线l 1,l 2的方向向量分别为μ,ν,则下列直线l 1,l 2中既不平行也不垂直的是( )A.μ=(1,2,-1),ν=(0,2,4)B.μ=(3,0,-1),ν=(0,0,2)C.μ=(0,2,-3),ν=(0,-2,3)D.μ=(1,6,0),ν=(0,0,-4) 答案 B解析 A 项中μ·ν=0+4-4=0,∴l 1⊥l 2; C 项中μ=-ν,∴μ,ν共线,故l 1∥l 2; D 项中,μ·ν=0+0+0=0,∴l 1⊥l 2,故选B.3. 在四棱锥P —ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥平面ABCD ,AB =PD =a .点E 为侧棱PC 的中点,又作DF ⊥PB 交PB 于点F .则PB 与平面EFD 所成角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案 D解析 建立如图所示的空间直角坐标系D —xyz ,D 为坐标原点.则P (0,0,a ),B (a ,a,0),PB →=(a ,a ,-a ),又DE →=⎝⎛⎭⎫0，a 2，a 2,PB →·DE →=0+a 22-a 22=0,所以PB ⊥DE ,由已知DF ⊥PB ,且DF ∩DE =D ,所以PB ⊥平面EFD ,所以PB 与平面EFD 所成角为90°.4. 如图,在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠ACB =90°,AA 1=2,AC =BC =1,则异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值是( )A.63B.66C.33D.22答案 B解析 以C 为坐标原点,CA ､CB ､CC 1所在直线分别为x ､y ､z 轴建立空间直角坐标系,A 1(1,0,2),B (0,1,0),A (1,0,0),C (0,0,0), 则A 1B →=(-1,1,-2), AC →=(-1,0,0),cos<A 1B →,AC →>=A 1B →·AC →|A 1B →||AC →|=11＋1＋4=66. 5. 已知a =(1,1,0),b =(-1,0,3),且k a +b 与2a -b 垂直,则k 的值为( )A.125B.1C.75D.2 答案 A解析 k a +b =(k -1,k,3),2a -b =(3,2,-3),依题意,得:(k -1)×3+k ×2+3×(-3)=0,解得k =125.6. 如图,过正方形ABCD 的顶点A ,引P A ⊥平面ABCD .若P A =BA ,则平面ABP 和平面CDP 所成的二面角的大小是( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案 B解析 建立如图所示的空间直角坐标系,不难求出平面APB 与平面PCD 的法向量分别为n 1=(0,1,0),n 2=(0,1,1),故平面ABP 与平面CDP 所成二面角(锐角)的余弦值为|n 1·n 2||n 1||n 2|=22,故所求的二面角的大小是45°.7. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,点M 在AC 1上且AM →=12MC 1→,N 为B 1B 的中点,则|MN →|为 ( )A.216aB.66aC.156aD.153a答案 A解析 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ,则A (a,0,0),C 1(0,a ,a ),N ⎝⎛⎭⎫a ，a ，a 2. 设M (x ,y ,z ).∵点M 在AC 1上且AM →=12MC 1→,∴(x -a ,y ,z )=12(-x ,a -y ,a -z )∴x =23a ,y =a 3,z =a3.∴M ⎝⎛⎭⎫2a 3，a 3，a 3, ∴|MN →|= ⎝⎛⎭⎫a －23a 2＋⎝⎛⎭⎫a －a 32＋⎝⎛⎭⎫a 2－a 32=216a . 8. 将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A -BD -C ,则下面结论错误的为 ( )A.AC ⊥BDB.△ACD 是等边三角形C.AB 与平面BCD 所成的角为60°D.AB 与CD 所成的角为60° 答案 C解析 取BD 中点O ,连接AO ､CO ,则AO ⊥BD ,CO ⊥BD , ∴BD ⊥平面AOC ,∴AC ⊥BD ,又AC =2AO =AD =CD , ∴△ACD 是等边三角形,而∠ABD 是AB 与平面BCD 所成的角,应为45°. 又AC →=AB →+BD →+DC →(设AB =a ),则a 2=a 2+2a 2+a 2+2·a ·2a ·(-22)+2a ·2a ·(-22)+2a 2cos<AB →,DC →>,∴cos<AB →,DC →>=12,∴AB 与CD 所成的角为60°.二､填空题9. 到正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的三条棱AB ､CC 1､A 1D 1所在直线的距离相等的点:①有且只有1个;②有且只有2个;③有且只有3个;④有无数个.其中正确答案的序号是________. 答案 ④解析 注意到正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对角线B 1D 上的每一点到直线AB ,CC 1,A 1D 1的距离都相等,因此到ABCD -A 1B 1C 1D 1的三条棱AB ,CC 1,A 1D 1所在直线距离相等的点有无数个,其中正确答案的序号是④.10.如图所示,在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AA 1⊥底面ABC ,AB =BC =AA 1,∠ABC =90°,点E ､F 分别是棱AB ､BB 1的中点,则直线EF 和BC 1所成的角是________.答案 60°解析 以BC 为x 轴,BA 为y 轴,BB 1为z 轴,建立空间直角坐标系. 设AB =BC =AA 1=2,则C 1(2,0,2),E (0,1,0),F (0,0,1),则EF →=(0,-1,1),BC 1→=(2,0,2), ∴EF →·BC 1→=2,∴cos<EF →,BC 1→>=22×22=12,∴EF 和BC 1所成的角为60°.11.在四面体P -ABC 中,P A ,PB ,PC 两两垂直,设P A =PB =PC =a ,则点P 到平面ABC 的距离为________.答案 33a解析 根据题意,可建立如图所示的空间直角坐标系P —xyz , 则P (0,0,0),A (a,0,0),B (0,a,0),C (0,0,a ).过点P 作PH ⊥平面ABC ,交平面ABC 于点H ,则PH 的长即为点 P 到平面ABC 的距离.∵P A =PB =PC ,∴H 为△ABC 的外心.又∵△ABC 为正三角形,∴H 为△ABC 的重心,可得H 点的坐标为⎝⎛⎭⎫a 3，a 3，a 3. ∴PH =⎝⎛⎭⎫0－a 32＋⎝⎛⎭⎫0－a 32＋⎝⎛⎭⎫0－a 32=33a .12.底面是正方形的四棱锥A -BCDE 中,AE ⊥底面BCDE ,且AE =CD =a ,G ､H 分别是BE ､ED 的中点,则GH 到平面ABD 的距离是________.答案 3a6解析 建立如图所示的坐标系,则有A (0,0,a ),B (a,0,0),G ⎝⎛⎭⎫a2，0，0,D (0,a,0). 设平面ABD 的法向量为n =(x ,y ,z ). 由题意知,GH ∥BD ,则有GH ∥平面ABD ,∴GH 到平面ABD 的距离等于G 点到平面ABD 的距离,设为d . ∵AB →=(a,0,-a ),BD →=(-a ,a,0),GB →=⎝⎛⎭⎫a2，0，0, 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·BD →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ax －az ＝0，－ax ＋ay ＝0，∴n =(1,1,1).∴d =|GB →·n ||n |=⎪⎪⎪⎪a 23=a 23=3a 6.三､解答题13.如图所示,已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,△ABC 为等腰直角三角形,∠BAC =90°,且AB =AA 1,D ､E ､F 分别为B 1A ､C 1C ､BC 的中点.求证:(1)DE ∥平面ABC ; (2)B 1F ⊥平面AEF .证明 如图建立空间直角坐标系A —xyz ,令AB =AA 1=4,则A (0,0,0),E (0,4,2),F (2,2,0),B (4,0,0),B 1(4,0,4). (1)取AB 中点为N ,连接CN , 则N (2,0,0),C (0,4,0),D (2,0,2), ∴DE →=(-2,4,0), NC →=(-2,4,0), ∴DE →=NC →,∴DE ∥NC ,又∵NC ⊂平面ABC , DE ⊄平面ABC .故DE ∥平面ABC . (2)B 1F →=(-2,2,-4),EF →=(2,-2,-2),AF →=(2,2,0). B 1F →·EF →=(-2)×2+2×(-2)+(-4)×(-2)=0, B 1F →·AF →=(-2)×2+2×2+(-4)×0=0. ∴B 1F →⊥EF →,B 1F →⊥AF →,即B 1F ⊥EF ,B 1F ⊥AF , 又∵AF ∩EF =F ,∴B 1F ⊥平面AEF .14.(2013·重庆)如图,四棱锥P -ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,BC =CD =2,AC =4,∠ACB =∠ACD =π3,F为PC 的中点,AF ⊥PB .(1)求P A 的长;(2)求二面角B -AF -D 的正弦值. 解 (1)如图,连接BD 交AC 于点O ,因为BC =CD ,即△BCD 为等腰三角形,又AC 平分∠BCD ,故AC ⊥BD .以O 为坐标原点,OB →,OC →,AP →的方向分别为x 轴,y 轴, z 轴的正方向,建立空间直角坐标系O -xyz ,则OC =CD cos π3=1,而AC =4,得AO =AC -OC =3,又OD =CD sin π3= 3.故A (0,-3,0),B (3,0,0),C (0,1,0),D (-3,0,0). 因为P A ⊥底面ABCD ,可设P (0,-3,z ), 因为F 为PC 的中点,所以F ⎝⎛⎭⎫0，－1，z2. 又AF →=⎝⎛⎭⎫0，2，z 2,PB →=(3,3,-z ), 因为AF ⊥PB ,故AF →·PB →=0,即6-z22=0,z =23(舍去-23),所以|P A →|=23,所以P A 的长为2 3.(2)由(1)知,AD →=(-3,3,0),AB →=(3,3,0),AF →=(0,2,3).设平面F AD 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1),平面F AB 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2).由n 1·AD →=0,n 1·AF →=0得⎩⎨⎧－3x 1＋3y 1＝0，2y 1＋3z 1＝0，因此可取n 1=(3,3,-2). 由n 2·AB →=0,n 2·AF →=0得⎩⎨⎧3x 2＋3y 2＝0，2y 2＋3z 2＝0，故可取n 2=(3,-3,2). 从而法向量n 1,n 2的夹角的余弦值为cos<n 1,n 2>=n 1·n 2|n 1|·|n 2|=18.故二面角B -AF -D 的正弦值为378.。