华罗庚学校数学教材(五年级上)第15讲 综合题选讲

第十五讲综合题选讲小学数学竞赛综合题，主要包括以下几个方面：①逻辑关系较复杂的问题；②数与形相结合的问题；③较复杂的应用题；④较灵活的组合、搭配问题；⑤与“最多”、“最少”有关的问题。

解答小学数学竞赛的综合题，首先要能熟练、正确解答有关的基本题，同时要认真读题，准确理解题意，在分析题目条件，设计解题程序上下功夫。

例1 一个正方体的八个顶点处分别标上1、2、3、4、5、6、7、8.再把各棱两端上所标的二数之和写在这条棱的中点，问：在棱的中点最少能标出几种数值？分析对于1、2、3、4、5、6、7、8这些数中两两之和，有下列情形：有4种形成9的和：1+8=2+7=3+6=4+5；有3种形成8的和：1+7=2+6=3+5；有3种形成10的和：2+8=3+7=4+6；有3种形成7的和：1+6=2+5=3+4；有3种形成11的和：3+8=4+7=5+6；有2种形成6的和：1+5=2+4；有2种形成5的和：1+4=2+3；有2种形成12的和：4+8=5+7；有2种形成13的和：5+8=6+7；此外还有1+2=3，1+3=4，6+8=14，7+8=15各一种。

首先指出棱的中点处不可能仅出现3种数，理由是：3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15中的数，如果只用其中3个数（标在棱的中点处），那么这三个数不能写成共12种不同形式的（取自于1、2、…、8之中的两数）和，而正方体棱数有12个。

再说明，棱的中点处不可能只标有4种不同数值，为证明这一点，可以分下列情况说明。

如果在12条棱上有3个“7”、3个“8”、3个“10”、3个“11”，那么在正方体顶点处要出现4次“6”进行运算.这是不可能.因为每个顶点处的数只参加3次加法运算。

如果在12条棱上有3个“9”，此外，必定还有7、8、10、11中的某三个数字（各三次），那么棱上数之和只能是（9+7+8+10）×3=102，（9+8+10+11）×3=114，（9+7+10+11）×3=111，（9+7+8+11）×3=105。

第十五讲综合题选讲小学数学竞赛综合题，主要包括以下几个方面：1．逻辑关系较复杂的问题；2．数与形相结合的问题；3．较复杂的应用题；4．较灵活的组合、搭配问题；5．与“最多”、“最少”有关的问题。

解答小学数学竞赛的综合题，首先要能熟练、正确解答有关的基本题，同时要认真读题，准确理解题意，在分析题目条件下，设计解题程序上下功夫。

例1：一个正方体的八个顶点处分别标上1、2、3、4、5、6、7、8，再把各棱两端上所标的二数之和写在这条棱的中点，问：在棱的中点最少能标出几种数值？分析对于1、2、3、4、5、6、7、8这些数中两两之和，有下列情形：有4种形成9的和：1＋8=2＋7=3＋6=4＋5；有3种形成8的和：1＋7=2＋6=3＋5；有3种形成10的和：2＋8=3＋7=4＋6；有3种形成7的和：1＋6=2＋5=3＋4；有3种形成11的和：3＋8=4＋7=5＋6；有2种形成6的和：1＋5=2＋4；有2种形成5的和：1＋4=2＋3；有2种形成12的和：4＋8=5＋7；有2种形成13的和：5＋8=6＋7。

此外还有1＋2=3，1＋3=4，6＋8=14，7＋8=15各一种。

首先指出棱的中点处不可能仅出现3种数，理由是：3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15中的数，如果只用其中3个数（标在棱的中点处），那么这三个数不能写成共12种不同形式的（取自1、2、3、…、8之中的两数）和，而正方体棱数有12个。

再说明，棱的中点处不可能有4种不同数值，为证明这一点，可以分下列情况说明。

如果在12条棱上有3个“7”、3个“8”、3个“10”、3个“11”，那么在正方体顶点处要出现4次“6”进行运算，这是不可能的。

因为每个顶点处的数只参加3次加法运算。

如果在12条棱上有3个“9”，此外，必定还有7、8、10、11中的某三个数字（各三次），那么棱上数之和只能是：（9＋7＋8＋10）×3=102（9＋8＋10＋11）×3=114（9＋7＋10＋11）×3=111（9＋7＋8＋11）×3=105它们都与棱上所有数之和应当是（1＋2＋3＋…＋8）×3=108矛盾，这说明棱上的数不可能是3个“9”以及7、8、10、11中某3个各出现3次。

第十五讲综合题选讲小学数学竞赛综合题，主要包括以下几个方面：①逻辑关系较复杂的问题；②数与形相结合的问题；③较复杂的应用题；④较灵活的组合、搭配问题；⑤与“最多”、“最少”有关的问题。

解答小学数学竞赛的综合题，首先要能熟练、正确解答有关的基本题，同时要认真读题，准确理解题意，在分析题目条件，设计解题程序上下功夫。

例1 一个正方体的八个顶点处分别标上1、2、3、4、5、6、7、8.再把各棱两端上所标的二数之和写在这条棱的中点，问：在棱的中点最少能标出几种数值？分析对于1、2、3、4、5、6、7、8 这些数中两两之和，有下列情形：有 4 种形成9 的和：1+8=2+7=3+6=4+5；有 3 种形成8 的和：1+7=2+6=3+5；有 3 种形成10 的和：2+8=3+7=4+6；有 3 种形成7 的和：1+6=2+5=3+4；有 3 种形成11 的和：3+8=4+7=5+6；有 2 种形成 6 的和：1+5=2+4；有 2 种形成 5 的和：1+4=2+3；有 2 种形成12 的和：4+8=5+7；有 2 种形成13 的和：5+8=6+7；此外还有1+2=3，1+3=4，6+8=14，7+8=15 各一种。

首先指出棱的中点处不可能仅出现3种数，理由是：3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15 中的数，如果只用其中3 个数（标在棱的中点处)，那么这三个数不能写成共12种不同形式的(取自于1、2、…、8 之中的两数)和，而正方体棱数有12 个。

再说明，棱的中点处不可能只标有4种不同数值，为证明这一点，可以分下列情况说明。

如果在12 条棱上有3个“7”、3个“8”、3个“10”、3个“11”，那么在正方体顶点处要出现4次“6”进行运算.这是不可能.因为每个顶点处的数只参加 3 次加法运算。

如果在12 条棱上有3个“9”，此外，必定还有7、8、10、11 中的某三个数字(各三次)，那么棱上数之和只能是(9+7+8+1C JX 3=102,(9+8+10+11)X 3=114,(9+7+10+11)X 3=111,( 9+7+8+11)X 3=105。

第十五讲综合题选讲小学数学比赛综合题，主要包含以下几个方面：①逻辑关系较复杂的问题；②数与形相联合的问题；③较复杂的应用题；④较灵巧的组合、搭配问题；⑤与“最多”、“最少”相关的问题。

解答小学数学比赛的综合题，第一要能娴熟、正确解答相关的基此题，同时要仔细读题，正确理解题意，在剖析题目条件，设计解题程序上下功夫。

例 1 一个正方体的八个极点处罚别标上 1、2、3、4、5、6、7、8. 再把各棱两头上所标的二数之和写在这条棱的中点，问：在棱的中点最少能标出几种数值？剖析关于 1、2、3、4、5、6、7、8 这些数中两两之和，有以下情况：有 4 种形成 9 的和： 1+8=2+7=3+6=4+5；有 3 种形成 8 的和： 1+7=2+6=3+5；有 3 种形成 10 的和： 2+8=3+7=4+6；有 3 种形成 7 的和： 1+6=2+5=3+4；有 3 种形成 11 的和： 3+8=4+7=5+6；有 2 种形成 6 的和： 1+5=2+4；有 2 种形成 5 的和： 1+4=2+3；有 2 种形成 12 的和： 4+8=5+7；有 2 种形成 13 的和： 5+8=6+7；别的有 1+2=3，1+3=4， 6+8=14，7+8=15 各一种。

第一指出棱的中点不行能出 3 种数，原因是： 3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、 14、15 中的数，假如只用此中 3 个数（在棱的中点），那么三个数不可以写成共 12 种不一样形式的（取自于 1、2、⋯、 8 之中的两数）和，而正方体棱数有 12 个。

再明，棱的中点不行能只有 4 种不一样数，明一点，能够分以下状况明。

假如在 12 条棱上有 3 个“7”、3 个“ 8”、3 个“10”、3 个“11”，那么在正方体点要出 4 次“ 6” 行运算 . 是不行能 . 因每个点的数只参加 3 次加法运算。

假如在 12 条棱上有 3 个“ 9”，别的，必然有 7、 8、 10、11 中的某三个数字（各三次），那么棱上数之和只好是（9+7+8+10）× 3=102，（9+8+10+11）× 3=114，（9+7+10+11）× 3=111，（9+7+8+11）× 3=105。

五年级上册奥数第十五讲综合题选讲_通用版(例题含答案）第十五讲综合题选讲小学数学竞赛综合题，主要包括以下几个方面：①逻辑关系较复杂的问题；②数与形相结合的问题；③较复杂的应用题；④较灵活的组合、搭配问题；⑤与“最多”、“最少”有关的问题。

解答小学数学竞赛的综合题，首先要能熟练、正确解答有关的基本题，同时要认真读题，准确理解题意，在分析题目条件，设计解题程序上下功夫。

例1 一个正方体的八个顶点处分别标上1、2、3、4、5、6、7、8.再把各棱两端上所标的二数之和写在这条棱的中点，问：在棱的中点最少能标出几种数值？分析对于1、2、3、4、5、6、7、8这些数中两两之和，有下列情形：有4种形成9的和：1+8=2+7=3+6=4+5；有3种形成8的和：1+7=2+6=3+5；有3种形成10的和：2+8=3+7=4+6；有3种形成7的和：1+6=2+5=3+4；有3种形成11的和：3+8=4+7=5+6；有2种形成6的和：1+5=2+4；有2种形成5的和：1+4=2+3；有2种形成12的和：4+8=5+7；有2种形成13的和：5+8=6+7；此外还有1+2=3，1+3=4，6+8=14，7+8=15各一种。

例2 一组互不相同的自然数，其中最小的是1，最大的是25，除去1之外，这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于另外两个数之和.在满足要求的所有可能的数组中，寻找出使得组内各数之和最大及最小的数组，并求这组数之和的最大值、最小值。

分析很自然猜想并容易验证数组1，2，3，…，24，25符合题目要求，显然这个数组的和是最大的，这个最大的和是1+2+3+…+24+25=325。

困难在于搜寻最小的数组。

把数组中的数由小到大排起来，容易看出：1后边的数一定是2；2后边可以是3，也可以是4；3后边可能是4、5、6；4后边可能是5、6、8.把它们列出来就是1，2，3，4， (25)1，2，3，5， (25)1，2，3，6， (25)1，2，4，5， (25)1，2，4，6， (25)1，2，4，8， (25)25是奇数，它只能是另外两个数之和，容易验证在上述数列的“…”处不能只加入一个数，也就是说，在上述六种数列的每个“…”中，至少要再加入两个数.而且，还推知后加入的数中至少有两个数，这两个数的和不小于25.理由是，如果后加入的任意两个数之和都小于25，那么就不可能得到最后的25这个数。

五年级上册奥数第十五讲综合题选讲_通用版(例题含答案）小学数学竞赛综合题，主要包括以下几个方面：①逻辑关系较复杂的问题；②数与形相结合的问题；③较复杂的应用题；④较灵活的组合、搭配问题；⑤与“最多”、“最少”有关的问题。

解答小学数学竞赛的综合题，首先要能熟练、正确解答有关的基本题，同时要认真读题，准确理解题意，在分析题目条件，设计解题程序上下功夫。

例1 一个正方体的八个顶点处分别标上1、2、3、4、5、6、7、8.再把各棱两端上所标的二数之和写在这条棱的中点，问：在棱的中点最少能标出几种数值？分析对于1、2、3、4、5、6、7、8这些数中两两之和，有下列情形：有4种形成9的和：1+8=2+7=3+6=4+5；有3种形成8的和：1+7=2+6=3+5；有3种形成10的和：2+8=3+7=4+6；有3种形成7的和：1+6=2+5=3+4；有3种形成11的和：3+8=4+7=5+6；有2种形成6的和：1+5=2+4；有2种形成5的和：1+4=2+3；有2种形成12的和：4+8=5+7；有2种形成13的和：5+8=6+7；此外还有1+2=3，1+3=4，6+8=14，7+8=15各一种。

首先指出棱的中点处不可能仅出现3种数，理由是：3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15中的数，如果只用其中3个数（标在棱的中点处），那么这三个数不能写成共12种不同形式的（取自于1、2、…、8之中的两数）和，而正方体棱数有12个。

再说明，棱的中点处不可能只标有4种不同数值，为证明这一点，可以分下列情况说明。

如果在12条棱上有3个“7”、3个“8”、3个“10”、3个“11”，那么在正方体顶点处要出现4次“6”进行运算.这是不可能.因为每个顶点处的数只参加3次加法运算。

如果在12条棱上有3个“9”，此外，必定还有7、8、10、11中的某三个数字（各三次），那么棱上数之和只能是（9+7+8+10）×3=102，（9+8+10+11）×3=114，（9+7+10+11）×3=111，（9+7+8+11）×3=105。

华罗庚学校数学教材（五年级上）目录上册第01讲数的整除问题第02讲质数、合数和分解质因数第03讲最大公约数和最小公倍数第04讲带余数的除法第05讲奇数与偶数及奇偶性的应用第06讲能被30以下质数整除的数的特征第07讲行程问题第08讲流水行船问题第09讲“牛吃草”问题第10讲列方程解应用题第11讲简单的抽屉原理第12讲抽屉原理的一般表述第13讲染色中的抽屉原理第14讲面积计算第15讲综合题选讲下册第01讲不规则图形面积的计算（一）第02讲不规则图形面积的计算（二）01 第03讲巧求表面积第04讲最大公约数和最小公倍数第05讲同余的概念和性质第06讲不定方程解应用题第07讲从不定方程的整数解谈起第08讲时钟问题第09讲数学游戏第10讲逻辑推理（一）第11讲逻辑推理（二）第12讲容斥原理第13讲简单的统筹规划问题第14讲递推方法第15讲综合题选讲1.有三根绳子，第一根长24米，第二根长36米，第三根长48米，现在要把三根长绳截成长度相等的小段。

每段最长是多少米？一共可以截多少段？2.一张长方形的纸，长40厘米，宽28厘米，要把它裁成正方形纸片，正方形的边长最大可以是几厘米？一共可以裁多少块？3.一个班学生人数不足50人，分别按6、8和12人分组，学生都正好分完。

这个班共有多少人？4.三个朋友每人隔不同的天数到图书馆一次，甲3天一次，乙4天一次，丙5天一次，上次三个人是星期二在图书馆相逢，至少还要过多少天才能在图书馆重逢？重逢时是星期几？5.有一条道路，左边每隔5米种一棵杨树，右边每隔6米种一棵柳树，两端都种上树，连两端共有5处是杨树与柳树相对。

这条道路长多少米？6.从甲地到乙地原来每隔45米要装一根电线杆，加上两端的两根，一共有53根电线杆，现在改成每隔60米装一根电线杆，除两端的两根不需要移动外，中途还有多少根不必移动？7.大雪后的一天，大亮和爸爸共同步测一个圆形花圃的周长，他俩的起点和走的方向完全相同，大亮每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，由于两人脚印有重合的，所以各走完一圈后雪地上只留下60个脚印，求花圈的周长。

本系列共15讲第十五讲综合题选讲.文档贡献者：与你的缘在数学竞赛试题中渗透数学思想、方法、观念，有时还通过试题介绍或渗透某种新知识，这是数学竞赛的发展趋势。

因此必须加强思维能力的训练，培养学生严谨的逻辑推理能力，灵活的技巧方法，并且通过解题培养创造性。

例1如下图，我们规定在边长为1的正方形方格纸上，从格点O到与它相邻的格点A、B、C、D、E、F、G、H的共有8种直线运动形成线段，这8种运动依次分别记为数码0、1、2、3、4、5、6、7。

如以O为起点，数码2代表形成线段OC的运动，数码7代表形成线段OH的运动等等。

在图(a)中画出了从P点出发，数码序列001223355的轨迹图形。

请你在图(b)的边长为1的正方形方格纸上，从点M出发，依次按数码序列006756442312画出相应的轨迹图形。

以这轨线图形周界和内部的格点为顶点可画出面积不小于2的正方形个数是多少？分析此题关键是看懂题目，即线段分别记为数码0、1、2、3、4、5、6、7的意义，如下图：数码0代表线段OA，数码1代表线段OB，数码2代表线段OC，数码3代表线段OD，数码4代表线段OE，数码5代表线段OF，数码6代表线段OG，数码7代表线段OH。

这样，006756442312所对应的轨迹图形为封闭折线，为清楚起见标上字母，即为S=MM1M2M3M4M5M6M7M8M9M10M11M，如下图。

因为在S边界上有12个格点（M，M1～M11），内部有5个格点，为N1、N2、N3、N4、N5。

这17个点中可形成面积大于等于2的正方形顶点的四点组共有13个。

分类（1）面积为2的共有5个：（M1M3N3M11）（M3M4M5N3）（M5M7M9N3）（M9N3M11M10）（N1N2N5N4）。

（2）面积为4的共有3个：（MM2N4N2）（M3M5M9M11）（N4M6M8N2）（3）面积为5的共有4个：（MM3N5M10）（M2M11N5M4）（N1M10M8M5）（N1M9M6M4）（4）面积为8的共有1个：（M1M10M7M4）例2一个自然数若能表示为两个自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”。

五年级上册奥数第十五讲综合题选讲通用版(例题含答案）小学数学竞赛综合题，主要包括以下几个方面：①逻辑关系较复杂的效果；②数与形相结合的效果；③较复杂的运用题；④较灵敏的组合、搭配效果；⑤与〝最多〞、〝最少〞有关的效果。

解答小学数学竞赛的综合题，首先要能熟练、正确解答有关的基此题，同时要仔细读题，准确了解题意，在剖析标题条件，设计解题顺序上下功夫。

例1 一个正方体的八个顶点处区分标上1、2、3、4、5、6、7、8.再把各棱两端上所标的二数之和写在这条棱的中点，问：在棱的中点最少能标出几种数值？剖析关于1、2、3、4、5、6、7、8这些数中两两之和，有以下情形：有4种构成9的和：1+8=2+7=3+6=4+5；有3种构成8的和：1+7=2+6=3+5；有3种构成10的和：2+8=3+7=4+6；有3种构成7的和：1+6=2+5=3+4；有3种构成11的和：3+8=4+7=5+6；有2种构成6的和：1+5=2+4；有2种构成5的和：1+4=2+3；有2种构成12的和：4+8=5+7；有2种构成13的和：5+8=6+7；此外还有1+2=3，1+3=4，6+8=14，7+8=15各一种。

首先指出棱的中点处不能够仅出现3种数，理由是：3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15中的数，假设只用其中3个数〔标在棱的中点处〕，那么这三个数不能写成共12种不同方式的〔取自于1、2、…、8之中的两数〕和，而正方体棱数有12个。

再说明，棱的中点处不能够只标有4种不同数值，为证明这一点，可以分以下状况说明。

假设在12条棱上有3个〝7〞、3个〝8〞、3个〝10〞、3个〝11〞，那么在正方体顶点处要出现4次〝6〞停止运算.这是不能够.由于每个顶点处的数只参与3次加法运算。

假设在12条棱上有3个〝9〞，此外，肯定还有7、8、10、11中的某三个数字〔各三次〕，那么棱上数之和只能是〔9+7+8+10〕×3=102，〔9+8+10+11〕×3=114，〔9+7+10+11〕×3=111，〔9+7+8+11〕×3=105。

华罗庚学校数学课本（五年级·修订版）上册第一讲数的整除问题数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。

它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。

一、基本概念和知识1.整除——约数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。

记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作b a。

如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。

例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。

2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。

例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。

性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。

性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。

即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。

例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。

性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。

例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。

3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。