生存分布与生命表

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第一章生存分布理论基础

第一节寿命与生存分布
一、寿命的概率分布与生存函数新生儿在x岁之前死亡的概率
F (x) Pr( X x), x 0.
假定寿命极限为w，满足：
(1)F (0) 0;
(2)F(w) 1.
寿命的生存函数随机变量X 的生存函数
S(x) Pr( X x) 1 F (x), x 0.
e0 0 S(t)dt
例.已知 S (x) (1 x ) 0 x 100 计算： 100
（1）（30）岁的人在60岁内死亡的概率；（2）（40）岁的人至少还能再活10年的概率；（3）（30）岁的寿命在60岁到80岁之间的概率；（4）（30）岁的平均寿命。
三、整数年龄的概率分布 (x)未来存活的完整年数（整值余寿），简记
假定寿命极限为w，满足：
(1)S(0) 1;
(2)S(w) 0.
新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率
Pr(x X z) S(x) S(z)
寿命的密度函数
f (x) F(x) S(x).
概率意义为在x点附近极小区间失效的速率；
满足属性：
(1) f (x) 0;
x
w
二、余命的概念分布与生存函数
x岁的人（简记(x)），继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x) . 剩余寿命分布函数
FT (t) Pr(T (x) t) t qx , t 0.
t qx Pr(T (x) t) Pr( X x t X x)
S(x) S(x t) S(x)
寿命变量和剩余寿
命变量的区别？
前者是无条件概率，后者是条件概率；
特别地.
(1)t q0 F (t); (2)1qx记为qx ; (3) t|u qx Pr(t T ( X ) t u) Pr(x t X x t u X x)

流行病学中的生存分析与生命表计算

流行病学中的生存分析与生命表计算在流行病学研究中，生存分析和生命表计算是两个重要的统计方法，用于评估人群中发病率和死亡率的模式和趋势。

本文将介绍生存分析和生命表计算的原理和应用，并探讨其在流行病学研究中的重要性。

生存分析是一种研究个体从某个特定时间点到达某个特定事件的时间的统计方法。

在流行病学中，我们通常关心的特定事件可以是死亡、罹患某种疾病或其他特定的健康事件。

生存分析的目的是评估这些特定事件发生的概率和时间，并探索相关的影响因素。

在生存分析中，一个重要的概念是生存函数（Survival Function），它描述了个体在特定时间点之前生存下来的概率。

生存函数通常用Kaplan-Meier曲线来表示，它能够显示出随时间的推移，个体生存下来的比例。

通过比较不同人群的生存曲线，我们可以评估不同因素对生存的影响。

除了生存函数，另一个常用的统计量是累积风险（Cumulative Risk），它表示在某个时间点之前发生某个特定事件的概率。

累积风险通常用来比较不同人群在特定时间点之前罹患某种疾病的风险。

生命表是一种用于评估人群中死亡率和生存率的方法。

生命表主要包括年龄特定死亡率（Age-specific Death Rate）和年龄特定生存率（Age-specific Survival Rate）。

年龄特定死亡率表示在特定年龄段内，平均每单位人口中死亡的人数。

而年龄特定生存率则表示在特定年龄段内生存下来的人数占总人口的比例。

生命表计算可以帮助我们了解不同年龄段的人群死亡率和预期寿命。

通过比较不同群体或不同地区的生命表，可以评估不同因素对寿命的影响，并制定相关的健康政策。

生存分析和生命表计算在流行病学研究中具有广泛的应用。

在疾病流行病学研究中，生存分析可以帮助我们评估疾病的发展和预后，并了解不同因素对疾病生存率的影响。

在干预措施评估中，生存分析可以帮助我们评估干预措施对生存时间的影响，并比较不同干预组的效果。

临床研究中的生存分析与生命表计算

临床研究中的生存分析与生命表计算生存分析和生命表计算是临床研究中常用的统计方法，旨在探究患者的生存状况和预测其生存期。

本文将对生存分析和生命表计算两个方法进行详细介绍，并探讨其在临床研究中的应用。

一、生存分析生存分析是考察个体是否发生某一事件（如死亡、复发、治愈等）的统计方法，适用于无法精确测量时间的患者，如癌症患者的死亡时间。

生存分析常用的统计方法包括生存曲线、生存率、风险比等。

1. 生存曲线生存曲线是反映患者存活时间的统计图形，通常采用Kaplan-Meier 法来估计。

该方法基于观察到的患者生存时间数据，可绘制出生存曲线，展示出不同时间点的生存率。

通过观察曲线的下降情况，可以初步判断治疗效果是否显著。

2. 生存率生存率是指在一定时间段内存活下来的个体占总体的比例，可以通过生存曲线估计得出。

常见的生存率有1年生存率、3年生存率等，可以提供一定时间点上的患者存活情况，对治疗效果进行评估。

3. 风险比风险比是比较两组或多组患者生存时间的指标，用来评估不同治疗方法的效果。

通常采用Cox回归模型来计算，得出的风险比越大，说明在某一组患者中发生事件的风险越高，治疗效果越差。

二、生命表计算生命表计算是用来评估某一特定人群的生存概率和预测其实际寿命的方法。

生命表常用于人口学研究和流行病学研究中，可提供人群的整体生存情况和相应的死亡风险。

1. 准备数据生命表计算需要搜集大量的人口统计学数据，如人口年龄分布、死亡人数等。

根据这些数据，可以绘制出一个人口的年龄-死亡情况表。

2. 表格内容生命表中通常包含每个年龄组的人口数量、死亡数量、生存人数、死亡率、存活比率等。

通过统计和计算，可以得出各个年龄组的生存概率和死亡风险。

3. 应用和意义生命表计算可用于评估人口的整体生存情况和预测特定年龄组的死亡风险。

在临床研究中，生命表计算可以帮助医生预测患者的存活期，从而指导治疗方案的制定。

结语生存分析和生命表计算是临床研究中常用的统计方法，它们对于评估患者的生存情况和预测生存期具有重要意义。

3.1生存模型与生命表教案资料

（1）一个50岁的人下一年死亡的概率是多少？
（2）假如有1000名50岁的人中，下一年可能死去多少人？
（3）如果某50岁的人，投保了一个10年定期的某种人寿保险，那么应该向他收取多少保费？（即定价问题！）
（4）一些特定因素（如一天吸60根烟卷）对50岁男性公民未来的生存时间有怎样的影响？
二、新生婴儿的生存分布
tq x P ( T x t ) 1 P ( T x t ) 1 tp x ; 又由条件概率公式，有
u|tqxP(uTxtu) P(Txu)P(Txtu|Txu) P ( T x u ) P ( T x u t) u p x tq x u ;
u|t qx P(Tx t u,Tx u)
所以有，
S0(xt)S0(x)Sx(t) S x ( t u ) S x ( t ) S x t( u ) S x ( u ) S x u ( t )
■例1 设生存分布函数为
S0(t)et,t0
其中 0 为参数，求 Fx(t)和fx(t) 。
解：Fx
(t)
1
S0(x t) S0 ( x)
1
et
fx (t) Fx(t) 1 et 些国际通用精算表示法）
（一）未来一年的生存与死亡概率
1）pxSx(1)P (T x1)个体(x)在x+1岁仍然生存
的概率；被称为生存概率。
2）qxF x(1)P(Tx1)个体(x)在未来一年内死亡
的概率；称为死亡概率。
与密度函数的关系： f0(t)S0(t) 新生儿将在m岁至n岁之间死亡的概率：
n
Pr(mXn)F 0(n)F 0(m ) f0(t)dt
m
注：生存函数 S 0 ( t ) 的性质

3.1生存模型与生命表

■定理证明:
(1)
t
px Pr(Tx t ) Pr( X x t X x)
s( x t ) s ( x)
(2)由 t qx 的定义可知
t
qx P(Tx t ) 1 P(Tx t ) 1 t px ;
又由条件概率公式，有
u|t
qx P(u Tx t u ) P(Tx u ) P(Tx t u | Tx u )
S0 ( x) S ( x t ) f0 ( x t ) f x (t ) Fx (t ) 0 ; S0 ( x) S0 ( x)
xt
(2) S x (t )
S0 ( x t ) e S0 ( x)

s ds
x
e
xs ds
0

t
.
(3) f 0 ( x) S0 ( x) x , S0 ( x t ) S0 ( x) S x (t ), f x (t ) f0 ( x t ) S x (t ) x t t px x t S0 ( x)
S0 (64) 1 ) S0 (51) 8
□例3已知18岁的小王，再生存10年的概率为
0.95，再生存30年的概率为0.75.则其现年28岁在48岁之前的死亡概率为。
□解:已知
10
p18 0.95， 30 p18 0.75
30
p18 10 p18 20 p28
0.75 0.2105 0.95
m n

注：生存函数 S0 (t ) 的性质
1
2
S0 (0) 1
S0 ( x)单调下降，右连续

寿险精算学-ch2

未来寿命的生存函数示意图
• t p0 =S0 (t)
• 1 px 简记为 px
特别符号
• t u qx t px tu px
• tu px t px u pxt
未来寿命生存函数的性质
• 定理1： 0 px 1
•
定理2：
d dt
t
px
0
,t 0
•
定理3：
lim
t x
t
px
0
• 由于死亡是必然发生的, 所以还可以得到如下两个引理:
• 在新生婴儿时期寿命的密度函数有一个递减趋势。这是因为新生婴儿是脆弱的,各种先天不足都会在刚出生时暴露, 所以新生婴儿阶段死亡概率是偏高的。经过医学治疗和自然淘汰, 婴儿死亡率迅速下降。
• 青少年时期是人一生中死亡率最低的一段时期。这段时期是人类的健康黄金期。
• 从40 岁左右开始, 随着年龄的增长, 人的器官逐渐老化, 开始罹患各种疾病,身体进入失效期, 死亡率开始递增。 60 岁前后进入加速失效期, 80 岁前后达到死亡率的顶峰。
– 中老年时期属于人类的加速失效时期。在这段时间里, 身体各器官逐渐老化,开始罹患各种疾病。通常一种疾病治好了, 不久又会产生另外一种疾病。人类进入加速失效期之后, 健康维持成本将变得越来越大。
例2.5
• 假设某人群每10万个新生婴儿, 能活到40 岁的人数为 97369, 能活到85 岁的人数为33851, 而在85~86 岁这一年死亡的人数为3758。
• 所以本例中, 40 岁的人在85 岁时未来寿命的密度函数和死亡力函数（以年为最小计量单位）为：
f40 (45)
3758 97369
0.0386

寿险精算第一章资料

uxt
整值剩余寿命
定义：(x未) 来存活的完整年数，简记 K (x)
K(X ) k, k T (x) k 1, k 0,1,
概率函数
Pr(K ( X ) k) Pr(k T (x) k 1) q k1 x k qx k px p k 1 x k px qxk k qx
1
S0x t S0x
S0
x S0x S0x
t
精算符号
剩余寿命的生存函数 t p：x
t px Pr T x
t
Sx
t
S0 x S0
t x
1
t
qx
特别：
x p0 S0 x
精算符号
px ：x岁的人至少能活到x+1岁的概
率
px 1 px
qx
：x岁的人将q在x 11年qx内死亡的概率
t u qx
剩余寿命的期望与方差
完全平均余寿：(x)剩余寿命的期望值(均值),简
记
o
ex
o
ex E(T (x)) td (1 t px ) t pxdt
0
0
剩余寿命的方差
o2
Var(T (x)) E(T (x)2) E(T (x))2 2 t t pxdt ex
0
整值剩余寿命的期望与方差
定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。
分布函数
定义
F0 (t) Pr[T 0 t]
意义：新生儿在 t岁之前死亡的概率。
定义： Fx (t) PrT x t
意义：x在年t 之内死亡的概率。
定义：密度函数 f (x) F(x)
De Moivre模型(1724)

精算师考试大纲

A1数学考试时间：3小时考试形式：选择题考试要求：本科目是关于风险管理和精算中随机数学的基础课程。

通过本科目的学习，考生应该掌握基本的概率统计知识，具备一定的数据分析能力，初步了解各种随机过程的性质。

考生应掌握概率论、统计模型和应用随机过程的基本概念和主要内容。

考试内容：A、概率论（分数比例约为35%）1. 概率的计算、条件概率、全概公式和贝叶斯公式 (第一章)2. 联合分布律、边缘分布函数及边缘概率密度的计算 (第二章)3. 随机变量的数字特征 (§3.1、§3.2、§3.4)4. 条件期望和条件方差 (§3.3)5. 大数定律及其应用 (第四章)B、数理统计（分数比例约为25%）1. 统计量及其分布 (第五章)2. 参数估计 (第六章)3. 假设检验 (第七章)4. 方差分析 (§8.1)C、应用统计（分数比例约为10%）1. 一维线性回归分析 (§8.2)2. 时间序列分析(平稳时间序列及ARIMA模型) (第九章)D、随机过程（分数比例约为20%）1. 随机过程一般定义和基本数字特征 (第十章)2. 几个常用过程的定义和性质（泊松过程、更新过程、马氏过程、鞅过程和布朗运动） (第十一章)E、随机微积分（分数比例约为10%）1. 关于布朗运动的积分 (§11.5、第十二章)2. 伊藤公式 (§12.2)考试指定教材：中国精算师资格考试用书：《数学》肖宇谷主编，李勇权主审，中国财政经济出版社 2010版，所有章节A2 金融数学考试时间：3小时考试形式: 选择题考试要求:本科目要求考生具有较好的数学知识背景。

通过学习本科目, 考生应该熟练掌握利息理论、利率期限结构与随机利率模型、金融衍生工具定价理论、投资组合理论的主要内容，在了解基本概念、基本理论的基础上，掌握上述几部分内容涉及的方法和技巧。

考试内容：A、利息理论 (分数比例约为30%)1. 利息的基本概念（分数比例约为4%）2. 年金（分数比例约为6%）3. 收益率（分数比例约为6%）4. 债务偿还（分数比例约为4%）5. 债券及其定价理论（分数比例约为10%）B、利率期限结构与随机利率模型(分数比例约为 16%)1. 利率期限结构理论（分数比例约为10%）2. 随机利率模型（分数比例约为6%）C、金融衍生工具定价理论(分数比例约为26%)1. 金融衍生工具介绍（分数比例约为16%）2. 金融衍生工具定价理论（分数比例约为10%）D、投资理论(分数比例约为28%)1. 投资组合理论（分数比例约为12%）2. 资本资产定价（CAPM）与套利定价（APT）理论（分数比例约为16%）考试指定教材:中国精算师资格考试用书：《金融数学》徐景峰主编，杨静平主审，中国财政经济出版社2010年版，所有章节。

《寿险精算学》实验指导书

《寿险精算学》实验指导书李新统计学院保险教研室山东工商学院目录实验一生存分布与生命表实验二人寿保险趸缴纯保费实验三人寿保险年缴均衡纯保费实验四寿险责任准备金的计算实验一生存分布与生命表实验目的：通过本次实验使学生学会如何利用Excel软件来计算各类死亡概率、生存概率及一些其它的生命表函数。

实验内容：Excel的基本用法；中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）非养老金业务（混合表）（CL3）的输入；利用中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）非养老金业务（混合表）（CL3）计算整数年龄各种死亡概率、生存概率；利用中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）非养老金业务（混合表）（CL3）计算分数年龄各种死亡概率、生存概率；利用中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）非养老金业务（混合表）（CL3）计算各类生命表函数。

实验步骤：1、在Excel输入中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）非养老金业务（混合表）（CL3）；2、利用生命表基础函数计算各整数年龄段的生存概率nx p 和死亡概率nx q 、x m n q 等。

如计算x 岁的人未来5年内死亡的概率，可以用5年内死亡人数比例来近似死亡概率，计算公式应为：55x x x xl l q l +-=。

先计算0岁的人未来5年内死亡的概率50q ，在单元格F2中输入公式“=(C2-C7)/C2”，按回车键得到结果；再拖动F2单元格右下角的填充柄，向下填充，就可以得到F 列所有整数年龄存活人在未来5年内的死亡概率。

结果如下图所示：其它两种死亡概率n x q 、x m n q 的计算方法类似。

3、在死亡均匀分布假设和常数死亡力假设的前提下计算分数年龄死亡率和生存率,,(0,1)t x tx q p t ∈。

比如计算死亡均匀分布假设下0.2x +的个体在未来0.5年内死亡的概率，公式为0.50.20.510.2xx xq q q +=-。

保险精算模型寿险精算---熊福生

生命表
原理
在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。（用频数估计频率）
常用符号
新生生命组个体数：l0
年龄：x 极限年龄：
生命表
l0 个新生生命能生存到年龄X的期望个数：lx
lx l0 பைடு நூலகம் s(x)
l0 个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期望
K(X ) k, k T (x) k 1, k 0,1, K (x)
整数余命K的概率函数
Pr(K ( X ) k) Pr(k T (x) k 1) q k 1 x k qx k px p k 1 x k px qxk k qx
t
px
寿命与生存分布
剩余寿命的生存函数 t px ：
t px Pr(T (x) t) Pr( X x t X t)
s(x t) s(x)
Sx (t)
特别： S0 (x) x p0 s(x)
寿命与生存分布
px ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率
1693年，Edmund Halley,《根据Breslau城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把Halley称为生命表的创始人。
生命表的特点
构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方法）
k 0
k 0
整值剩余寿命的方差

Var(K (x)) E(K 2 ) E(K )2 (2k 1) k1 px ex2 k 0
第一章
生存分布理论基础

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令L(x)表示这群人在x岁还活着的人数。用j=1,2,…,l0来记这些人，则有
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因为新生儿在x和x+n岁之间死亡的概率为s(x)-s(x+n)，所以有
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下面讨论几个概念的关系：
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所以
于是
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作业：F(x),f(x),S(x)和死力的关系
F(x)
分布函数密度函数生存函数死力 x
F(x)
f(x)
S(x)
f(x)
S(x)
x
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第二节生命表
对于具体含义为人的寿命（或未来生命时间长度）的随机变量而言，想要找到一个简单的函数作为其分布函数（或密度函数）几乎是不可能的。需要利用其它描述随机变量的方法，来描述我们所要研究的特定的随机变量X和T(x)。
F (x)描述了随机变量X的分布函数，且假设F (0) 0。
可以用F(X)表示连续型和离散型的死亡年龄分布函数
用T(x)表示(x)从现在直到死亡之间的时间长度，显然， (x)在何时死亡是未知的、是不确定的，因此T(x)不是一个确定的数，而是一个随机变量，我们称T(x)为(x)的未来生命时间长度随机变量。
10000
1,
x0
sX
(
x)
(100 x)2 10000
,
0
x 100
பைடு நூலகம்0,
x 100
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4
（2）Pr(70<X≤80)= sX (70)- sX (80) 考虑一些概率分布
(x)将在y（>x）岁仍然生存的概率为：
-
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5
其在y岁之前死亡的概率为：
或者
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生命表就是一种行之有效的描述随机变量X和 T(x)近似特征的方法。
生命表函数与生存函数
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生命表函数
生存人数 l x 死亡人数 d x
生存人年数（Lx)与累积生存人年数（Tx） o
平均余命，记作 e x
平均生存函数
考虑一群新生婴儿，共L0=100000名。每个婴儿的死亡情况是相互独立并且具有相同的概率分布，他们的生存情况由生存函数给出。
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1
第一节引言（简单模型）
符号(x)表示x岁的生命；用X表示(x)死亡时的年龄，显然，X也是一个随机变量
记X的分布函数为FX(x)
FX(x)=Pr(X≤x) x≥0
显然，{X≤x}表示新生儿将于x岁之前死亡的随机事件。于是，概率分布函数FX(x)对应的是一种死亡概率。
6
引言
精算学里，通常用符号p、q来表示生存和死亡的概率
t p x 表示x岁的人在x+t岁时仍然生存的概率
t qx 表示x岁的人在未来t年内死亡的概率。
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7
特别地，t=1时，可以将上述符号左下角的t 省略不写
qx= Pr[(x)将在未来1年内死亡]=Pr(T(x)≤1)
px= Pr[(x)将活到年龄x +1]= Pr(T(x)>1)
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生命表举例，看书
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25
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26
对于表1-2，我们将其看成是一群生命的生存情况表，其中：
1．这群生命在开始时由l0个0岁生命组成； 2．该生命群是封闭的。其它任何生命不准进入，成
员减少的唯一原因是死亡；
3．lx是该群生命在x岁还活着的成员的个数；
这样，再根据上述有关生命表函数的讨论，我们有：
另外，用t|来表示延期t（年）。因此，对于 (x)将在t年后的u年内死亡的概率，我们可以用t|uqx来表示，即
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8
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9
将连续型随机变量T(x)的整数部分用K(x)表示，即 K(x)=[T(x)]。
令S(x)=T(x)-K(x)。分别称K(x)和S(x)为(x)的简略未来生命时间长度随机变量和(x)的死亡年残余时间长度随机变量
有 Pr[K(x)=k]=Pr[k≤T(x)<k+1]
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10
k
h| qx
h0
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在(1-5)用生存函数给出了0岁的人在活到x岁的前提下，在(x,y)之间死亡的概率
该条件概率（已到达x岁的人在接下来y-x年内死亡的概率）可以看成x的函数，利用微积分的技术，考虑yx为无穷小量（令y-x=∆x），则该概率可以成为一个瞬间的死亡率
死亡概率对应，定义函数SX(x) 为：
1-FX(x)= Pr(X>x)
x≥0
{X>x}表示新生儿将于x岁之后死亡——即新生儿
将在x岁还生存的随机事件，所以，为新生儿将在x
岁仍然活着的概率
2020/5/7 称其为生存函数 ,简记为S(x)
2
F(x)的概念及其分布函数
F(x) Pr X x x 0
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事实上，生命表的编制是通过利用最近的一段时期的数据
如中国人寿保险业经验生命表(2000-2003) 所使用的是2000-2003年期间中国人寿保险业有关的数据
对于任意的年龄x，对应的X在x时的条件概率密度
函数的值，我们将该函数记为μ(x)
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概念：表示年龄为岁的人将在某一瞬间死亡
的概率。 x
或称为瞬间死亡率，死亡密度
死力的性质以及F(x),f(x),s(x)和死力的关系
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13
由上式，可以得到
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因为
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3
引言
例1-1 假设某地区人群的寿命随机变量分布函数为
f
X
(
x)
2(100 x) 10000
,
0 x 100
0,
其它
求：（1）该地区人群的生存函数；（2）该地区某人将在（70，80）之间死亡的概率。
解（1）当0<x<100时，S(x) = Pr(X>x)=1-F(x)=...= (100 x)2
第一章生存分布与生命表
第一节引言（简单模型）
一、生存状况与生存模型
例如，我们考虑一个人30岁的人购买一份期限为10年的生存保险，保额为10 000元。也就是说，如果他活到40 岁，将得到10 000元的保险金；如果他在10年内死亡，保险公司不会有任何给付。
二、新生婴儿的未来生存时间
一个刚刚出生的个体（0岁），其死亡年龄(或称存活时间) 可作为一个随机变量，我们用F(x)表示。