第十章各向异性材料的屈服条件和流动理论一 各向异性材料的初始屈服对于各向异性材料，其初始屈服条件需用下列一般形式的屈服函数来表示：12(,,,,,;,,......)0x y z xy yz zx n f c c c σσστττ= （1）式中12,,......n c c c 为与材料性质相关的参数。
取应力分量的二次齐次式作为屈服函数，从而将式（1）表示成2111213141516()ij x x y x z x yz x zx f K K K K K K σσσσσσστστσ=+++++2222324......yy z y yz K K K σσσστ++++233......zK σ++.........266xy K τ+const =（2）上式共包含21个独立系数。
现考虑正交异性材料，设材料性质对称于x 、y 、z 轴，显然，当坐标轴转至相反方向时（即旋转180°），例如，将x 、y 、z 坐标系转换到ξ、η、ζ坐标系，ξ=x 、η=y 、ζ= -z ，则屈服函数()ij f σ应该不变。
因为，对于ξ、η、ζ坐标系，应力分量为,x ξσσ=,y ησσ=,z ζσσ=,xy ξηττ= ,yz ηξττ= ,zx ζξττ=根据()ij f σ保持不变的条件，由（2）得14152425343546560K K K K K K K K ========同样的，如果取,x ξ=- ,y η= ,z ζ=以及,x ξ= ,y η=-,z ζ=则可进一步得到162636460K K K K ====可见，对于各向异性材料，（ 2）中的独立系数由21个减少至9个，从而该式可写成：222222112233445566()ij x y z yz zx xyf K K K K K K σσσστττ=+++++122313x y y z x z K K K σσσσσσ+++const=（3）如果屈服函数不受各向等压力（-p ）（球量）的影响，那么，我们可以用()x p σ-、()y p σ-、()z p σ-来代替方程（3）中的x σ、y σ、z σ，而等式仍然成立。
弹性体的应力与应变弹性体是一种在受力作用下可以发生形变，但当受力停止时，能够恢复原来形状和大小的材料。
了解弹性体的应力与应变关系对于工程设计和材料科学具有重要意义。
在本文中，我们将探讨弹性体的应力与应变之间的关系，分析材料的弹性性质以及应力与应变的计算方法。
1. 应力的概念与计算方法应力是指单位面积上作用的力，合理地计算应力是分析弹性体性质的关键。
在计算应力时，常用到两种基本的力学概念：张力和压力。
张力是指沿一维方向的受力情况，通常用F表示，单位为牛顿。
而压力是指在一个平面上均匀分布的力，用P表示，单位是帕斯卡。
应力的计算公式如下：应力 = 受力 / 横截面积2. 应变的概念与计算方法应变是指材料在受力作用下发生的形变，一般用ΔL / L表示。
其中，ΔL是材料长度的变化量，L是材料的初始长度。
应变可以分为线性弹性应变和非线性应变。
线性弹性应变是指材料在受力作用下，形变与受力成正比的状态。
计算线性弹性应变的方法如下：应变 = 形变 / 初始长度而非线性应变则需要更复杂的计算方法来进行分析，涉及到材料的本构关系等。
3. 应力与应变的关系应力与应变之间存在一定的关系，即应力-应变曲线。
弹性体的应力-应变曲线通常可以分为三个阶段：弹性阶段、屈服点和塑性阶段。
在弹性阶段，材料受力时会产生应变，但当受力停止时，材料会完全恢复到原来的状态。
这是因为材料内部的原子或分子只发生了相对位移，而没有发生永久性的结构变化。
当应力超过材料的屈服点时，就进入了屈服点阶段。
在这个阶段中，材料开始发生塑性变形，不再能够完全恢复到原来的状态，具有一定的永久性形变。
塑性阶段是材料的应力与应变不再成正比，继续增加应力会导致更大的应变。
这是由于材料的内部结构发生了永久性的改变，无法恢复原状。
4. 弹性模量和刚度弹性模量是描述材料抵抗形变的能力，可以用来评估材料的刚度。
弹性模量越大，表示材料越难发生形变，具有较高的刚度。
常用的弹性模量有三种：杨氏模量、剪切模量和体积模量。
