九、化归与转化思想专题(刘成宏)

化归与转化思想在高考数学解题中的运用作者：***来源：《广东教育·高中》2021年第02期化歸与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图像、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法.1.化归与转化的思想方法：解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的.2.化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则;（2）简单化原则;（3）和谐化原则;（4）直观化原则;（5）正难则反原则3.化归与转化的途径：（1）从问题的反面思考;（2）局部向整体的转化;（3）未知向已知转化;（4）固定向重组的转化;（5）抽象向具体转化;（6）个别向一般的转化;（7）数向形的转化;（8）定量向定性的转化;（9）主元向辅元的转化.以下结合一些经典试题，谈谈化归与转化思想在高三解题中的运用.题型一：化归与转化思想简单化原则的体现化归与转化思想简单化原则在解题中的体现主要有：（1）将比较代数式的大小的问题，运用同构法，通过构造函数，化归为利用函数的单调性根据自变量的大小比较函数值的大小或者根据函数值的大小比较自变量的大小;（2）将概率与统计问题化归为集合间的基本关系与基本运算问题.例1. 若2a+log2a=4b+2log4b，则（）A. a>2bB. ab2 D. a【解析】由指数幂的运算性质和对数的运算性质可得，2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b，又因为22b+log2b所以2a+log2a令f（x）=2x+log2x，由指数函数和对数函数性质以及函数单调性的性质可得f（x）在（0，+∞）上单调递增，由f（a）【评析】本题考查了指数幂和对数的运算，函数的单调性的性质，构造函数后，把问题化归与转化为根据函数单调性，由函数值的大小比较自变量的大小，体现了化归与转化思想的简单化原则.例2. 设命题p ∶ 4x-3≤1，命题 q∶ x2-（2a+1）x+a（a+1）≤ 0. 若？劭 p是？劭 q的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__________.【解析】由4x-3≤1，得■≤x≤1，记A={x│■≤x≤1};由 x2-（2a+1）x+a（a+1）≤0，可得a≤x≤a+1，记B={x│a≤x≤a+1}.因为？劭 p是？劭 q的必要不充分条件，所以q是p的必要不充分条件，所以p是q的充分不必要条件，所以A？芴B，所以a≤■，a+1≥1，解得0≤a≤■，所以实数a的取值范围是[0，■].【评注】本题的解答中，先把两个命题中的不等式的解集分别用集合A和集合B表示，再由？劭 p是？劭 q是的必要不充分条件转化为p是q的充分不必要条件，再转化为集合A为集合B的真子集，解得a的范围.题型二：化归与转化思想直观化原则的体现化归与转化思想直观化原则在解题中的体现主要有：（1）画出函数图像后，利用函数图像研究函数的性质，进而直观的解决与函数有关的问题;（2）立体几何问题中，将立体问题平面化，画出轴截面或者中截面，利用平面几何问题破解题目.例3. 设a， b∈R，则|“a>b”是“aa>bb”的（）A. 充要不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充要也不必要条件【解析】构造函数f（x）=xx=x2，x≥0-x2，x由图像可知f（x）=xx在R上单调递增.当a>b时，f（a）>f（b），即aa>bb，a>b？圯aa>bb.当f（a）>f（b），即aa>bb时， a>b，aa>bb？圯a>b，所以a>b？圳aa>bb，“a>b”是“aa>bb”的充要条件，故选C.【评注】本题是一道比较复杂的充分必要条件问题，通过观察题目，通过类比和联想，运用化归与转化思想，构造函数f（x）=xx后，画出这个函数的图像，运用图像法判断这个函数在其定义域R上为单调递增函数，把a和b看成这个函数的两个自变量，aa和bb分别看成这个函数的函数值f（a）和f（b），由增函数的性质可以得出，a>b？圳aa>bb，所以a>b是aa>bb的充分必要条件，体现了化归与转化思想的简单化和直观化原则.例4. 已知某个机械零件是由两个有公共底面的圆锥组成的，且这两个圆锥有公共点的母线互相垂直，把这个机械零件打磨成球形，该球的半径最大为1，设这两个圆锥的高分别为h1，h2，则h1+h2的最小值为________.【答案】2■.【解析】由题意可知，打磨后所得半径最大的球是由这两个圆锥构成的组合体的内切球，内切球的半径R=1，如图为这个组合体的轴截面示意图，圆O为内切球的轴截面， E， F，G， H分别为切点，连接OA， OB， OC， OD， OE， OF， OG， OH，由题意可知AB⊥BC， AD⊥DC，AC=h1+h2，R=OE=OF=OG=OH=1，则S四边形ABCD=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD，即AB×BC=■R×AB+■R×BC+■R×CD+■R×AD =■R（2AB+2BC）=R（AB+BC），所以AB×BC=AB+BC.由基本不等式可得AB×BC=AB+BC≥2■，则AB×BC≥4，当且仅当AB=BC时等号成立.所以（h1+h2）2=AC2=AB2+BC2≥2AB×BC≥8，当且仅当AB=BC时等号成立，故h1+h2 的最小值为2■.【评注】本题的解答运用了化归与转化的思想，通过研究组合体和其内切球的轴截面，把空间立体几何问题化归为平面几何问题，做到了把问题直观化的原则.题型三：化归与转化思想熟悉化原则的体现化归与转化思想熟悉化原则在解题中的体现主要有：（1）不等式题目中，把含一个参数的不等式恒成立问题，通过分离变量，化归为求函数在给定区间上的最值问题;（2）立体几何题目中，利用长方体或者正方体模型，把一些三棱锥、四棱锥和三棱柱的外接球问题化归为熟悉的长方体或者正方体的外接球问题.例5. 若对任意的x∈（0，+∞），ax-ln（2x）≥1恒成立，则实数a的最小值是_______【解析】由已知可得，对任意的x∈（0，+∞），a≥■恒成立，令g（x）=■，g′（x）=■=■，令g′（x）=0，则1-ln（2x）=0，则x=■，当00，g（x）单调递增;当x>■时，g′（x）所以当x=■时， g（x）取得最大值 g（x）max =g（■）=■=■，所以a≥■，所以a的最小值为■.【评注】本题的解答运用了分离变量法，分离变量后，构造函数后，把a≥g（x）在（0，+∞）上恒成立等价转化为a≥[g（x）]max（x∈（0，+∞）），转化为求函数g（x）在（0，+∞）上的最大值问题，g （x）的最大值即为a的最小值，本题体现了化归与转化思想的熟悉化原则.例6. 设数列 {an} 的前n项为Sn，a1=1，当n≥2时，an=2anSn-2S2n.（1）求数列 {an} 的通项公式;（2）是否存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+Sn）≥k■对一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由.解：（1）因为当n≥2时，an=2anSn-2S2n，所以an=■，n≥2，所以（Sn-Sn-1）（2Sn-1）=2S2n，所以Sn-Sn-1=-2SnSn-1，所以■-■=2，n≥2，所以数列{■}是以■=1为首项，以2为公差的等差数列，所以■=1+2（n-1）=2n-1，所以Sn=■，所以，當n≥2时，an=Sn-Sn-1=■-■=-■，因为a1=S1=1，所以an=1， n=1-■. n≥2（2）设f（n）=■，则■=■=■>1，所以f（n）在 n∈N？鄢上递增，要使f（n）≥k恒成立，只需要f（n）min≥k，因为f（n）min =f（1）=■，所以0【评注】第（1）问运用了数列的前n项和Sn与通项an之间的关系an=Sn-Sn-1（n≥2），把an 转化为Sn-Sn-1，再合并同类项后运用取倒数法，再根据等差数列的定义得出数列{■}的通项公式，再得出数列{an}的通项公式;第（2）问分离变量后构造函数f（n），用作商法判断f（n）的单调性，把不等式f（n）≥k在n∈N？鄢上恒成立等价转化为f（n）min≥k（n∈N？鄢），两问都运用到了化归与转化思想.题型四：化归与转化思想和谐化原则的体现化归与转化思想和谐化原则在解题中的体现主要有：（1）解三角形问题中利用正弦定理实现边角的互化;（2）在三角函数问题中，将形如y=asinx+bcosx的函数问题利用辅助角公式化归为形如y=Asin（？棕x+？渍）的函数问题;（3）解析几何中，将两直线垂直化归为斜率乘积为-1或者方向向量的数量积为0;（4）将形如？滋=■形式的最值问题，转化为动直线斜率的最值问题.例7. △ABC的内角A， B， C的对边分别为a， b， c，已知b-c=a·cosC-c·cosA.（1）求角A;（2）若a=3，求b+2c的最大值.【解析】（1）因为b-c=a·cosC-c·cosA，由正弦定理可得，sinB-sinC=sinAcosC-sinCcosA，所以sinB-sinC=sin（A-C）所以sin（A+C）-sinC=sin（A-C），所以sinAcosC+cosAsinC-sinC=sinAcosC-cosAsinC，所以cosA=■，因为0（2）由（1）可得，C=■-B，由正弦定理得，■=■=■=2R，所以■=■=■，所以b=2■sinB，c=2■sin（■-B），所以b+2c=2■sinB+4■sin（■-B）=2■（2sinB+■cosB）=2■sin（B+？渍），其中tan？渍=■，？渍∈（0，■），由B∈（0，■），存在B使得B+？渍=■，所以sin（B+？渍）的最大值为1，所以b+2c的最大值为2■.【评注】第（1）问运用正弦定理实现边转化为角，再逆用两角差的正弦公式，运用内角和定理以及诱导公式，再运用两角和的正弦公式和两角差的正弦公式，得出cosA的值，得出角A的值;第（2）问运用了正弦定理将关于边的最值问题化为角的最值问题，运用三角形内角和定理以及诱导公式，再运用辅助角公式，化为三角函数在给定范围上的最值问题;两问都运用了化归与转化思想，体现了和谐化原则.由基本不等式可得AB×BC=AB+BC≥2■，则AB×BC≥4，当且仅当AB=BC时等号成立.所以（h1+h2）2=AC2=AB2+BC2≥2AB×BC≥8，当且仅当AB=BC时等号成立，故h1+h2 的最小值为2■.【评注】本题的解答运用了化归与转化的思想，通过研究组合体和其内切球的轴截面，把空间立体几何问题化归为平面几何问题，做到了把问题直观化的原则.题型三：化归与转化思想熟悉化原则的体现化归与转化思想熟悉化原则在解题中的体现主要有：（1）不等式题目中，把含一个参数的不等式恒成立问题，通过分离变量，化归为求函数在给定区间上的最值问题;（2）立体几何题目中，利用长方体或者正方体模型，把一些三棱锥、四棱锥和三棱柱的外接球问题化归为熟悉的长方体或者正方体的外接球问题.例5. 若对任意的x∈（0，+∞），ax-ln（2x）≥1恒成立，则实数a的最小值是_______【解析】由已知可得，对任意的x∈（0，+∞），a≥■恒成立，令g（x）=■，g′（x）=■=■，令g′（x）=0，则1-ln（2x）=0，则x=■，当00，g（x）单调递增;当x>■时，g′（x）所以当x=■时， g（x）取得最大值 g（x）max =g（■）=■=■，所以a≥■，所以a的最小值为■.【评注】本题的解答运用了分离变量法，分离变量后，构造函数后，把a≥g（x）在（0，+∞）上恒成立等价转化为a≥[g（x）]max（x∈（0，+∞）），转化为求函数g（x）在（0，+∞）上的最大值问题，g （x）的最大值即为a的最小值，本题体现了化归与转化思想的熟悉化原则.例6. 设数列 {an} 的前n项为Sn，a1=1，当n≥2时，an=2anSn-2S2n.（1）求数列 {an} 的通项公式;（2）是否存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+Sn）≥k■對一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由.解：（1）因为当n≥2时，an=2anSn-2S2n，所以an=■，n≥2，所以（Sn-Sn-1）（2Sn-1）=2S2n，所以Sn-Sn-1=-2SnSn-1，所以■-■=2，n≥2，所以数列{■}是以■=1为首项，以2为公差的等差数列，所以■=1+2（n-1）=2n-1，所以Sn=■，所以，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=■-■=-■，因为a1=S1=1，所以an=1， n=1-■. n≥2（2）设f（n）=■，则■=■=■>1，所以f（n）在 n∈N？鄢上递增，要使f（n）≥k恒成立，只需要f（n）min≥k，因为f（n）min =f（1）=■，所以0【评注】第（1）问运用了数列的前n项和Sn与通项an之间的关系an=Sn-Sn-1（n≥2），把an 转化为Sn-Sn-1，再合并同类项后运用取倒数法，再根据等差数列的定义得出数列{■}的通项公式，再得出数列{an}的通项公式;第（2）问分离变量后构造函数f（n），用作商法判断f（n）的单调性，把不等式f（n）≥k在n∈N？鄢上恒成立等价转化为f（n）min≥k（n∈N？鄢），两问都运用到了化归与转化思想.题型四：化归与转化思想和谐化原则的体现化归与转化思想和谐化原则在解题中的体现主要有：（1）解三角形问题中利用正弦定理实现边角的互化;（2）在三角函数问题中，将形如y=asinx+bcosx的函数问题利用辅助角公式化归为形如y=Asin（？棕x+？渍）的函数问题;（3）解析几何中，将两直线垂直化归为斜率乘积为-1或者方向向量的数量积为0;（4）将形如？滋=■形式的最值问题，转化为动直线斜率的最值问题.例7. △ABC的内角A， B， C的对边分别为a， b， c，已知b-c=a·cosC-c·cosA.（1）求角A;（2）若a=3，求b+2c的最大值.【解析】（1）因为b-c=a·cosC-c·cosA，由正弦定理可得，sinB-sinC=sinAcosC-sinCcosA，所以sinB-sinC=sin（A-C）所以sin（A+C）-sinC=sin（A-C），所以sinAcosC+cosAsinC-sinC=sinAcosC-cosAsinC，所以cosA=■，因为0（2）由（1）可得，C=■-B，由正弦定理得，■=■=■=2R，所以■=■=■，所以b=2■sinB，c=2■sin（■-B），所以b+2c=2■sinB+4■sin（■-B）=2■（2sinB+■cosB）=2■sin（B+？渍），其中tan？渍=■，？渍∈（0，■），由B∈（0，■），存在B使得B+？渍=■，所以sin（B+？渍）的最大值为1，所以b+2c的最大值为2■.【评注】第（1）问运用正弦定理实现边转化为角，再逆用两角差的正弦公式，运用内角和定理以及诱导公式，再运用两角和的正弦公式和两角差的正弦公式，得出cosA的值，得出角A的值;第（2）问运用了正弦定理将关于边的最值问题化为角的最值问题，运用三角形内角和定理以及诱导公式，再运用辅助角公式，化为三角函数在给定范围上的最值问题;两问都运用了化归与转化思想，体现了和谐化原则.。

高三数学浅谈化归与转化的数学思想罗田县胜利中学吕志宏众所周知，在复杂的数学咨询题，差不多上由以下简单的命题复合而成或通过适当的演化而成的，假如我们学会了将复杂的数学咨询题化解为简单的差不多咨询题，我们就能解决任何困难的、复杂的以及能够化解为初等数学题的〝杂题〞，因此我们总的解题策略是化归，即设法将我们待解决的或未解决的咨询题，通过某种转化，归结到一类差不多解决或容易解决的咨询题中去，最终将咨询题给予圆满解答的一种手段和方法叫化归法。

化归与转化的思想是解决数学咨询题的全然思想，解题的过程实际确实是转化的过程。

应用化归与转化的思想，运用数学变换的方法去灵活地解决有关的数学咨询题，是提高思维能力的有效保证。

常用的化归与转化方法有等价变换、数形结合法、函数与方程的思想、换元法、反证法、专门值法等。

数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵于知识的发生、进展和应用的过程，是知识转化为能力的桥梁。

而数学科的考试，是按照〝考查基础知识的同时，注重考查能力〞的原那么，测试中学数学基础知识、差不多技能、差不多思想和方法，考查思维能力、运算能力、空间想象能力、解决实际咨询题的能力。

因此，历年高考均十分重视考查数学思想方法，把对数学思想方法的考查融合在对〝三基〞的检测和能力的考核之中。

化归与转化的思想确实是将未知解法或难以解决的咨询题，通过观看、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换，化归为在知识范畴内差不多解决或容易解决的咨询题的数学思想。

化归与转化的思想是解决数学咨询题的全然思想，解题的过程实际确实是转化的过程。

数学中的转化比比皆是，如：未知向的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维的转化，多元向一元的转化，高次向低次的转化等，差不多上转化思想的表达。

应用化归与转化的思想，运用数学变换的方法去灵活地解决有关数学咨询题，是提高思维能力的有效保证，那么，我们应该如何在平常解题过程中注意培养化归与转化意识，以进一步提高解题能力呢？下面结合例题谈一谈如何实现数学咨询题的转化。

例3图数学高考永恒的话题————转化与化归思想方法的应用转化与化归的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。

等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法。

转化有等价转化与不等价转化。

等价转化后的新问题与原问题实质是一样的。

等价转化要求转化过程中的前因和后果既是充分的，又是必要的，以保证转化后所得结果为原题的结果；不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。

非等价转化不要求转化过程具有充要性。

应用转化、化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽可能是等价转化。

常见的转化形式有：繁与简的转化、一般与特殊的转化、数与形的转化、主与次的转化、正与反的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面的转化、函数与方程的转化、三角与圆锥曲线的转化、常量与变量的转化、数学语言的转化等。

本文就转化的方式及转化中应注意的问题举例分析如下。

一、转化的方式 1、繁与简的转化有些问题的条件、结论比较复杂，或者一般解题方法过于笨拙，此时，可对条件、结论进行变形，化归为简单形式，对常规解法进行反思，寻找简捷解法。

例1、化简22222sin sin 2cos cos cos2cos2θϕθϕθϕ+-。

[解析] 原式=2222222sin sin 2cos cos (2cos 1)(2cos 1)θϕθϕθϕ+--- =2222222sin sin 2cos cos 2cos 2cos 1θθθθθθ-++- =222222sin sin 2cos (1cos )2cos 1θθθθθ+-+-=22222sin(sin cos )2cos 1θθθθ++-=222sin 2cos 1θθ+-=1.[评析] 本题中出现的角的形式多，故应先变角。

“化归”思想及其在小学数学教学中的渗透最近翻阅了《小学教学》2008年第一期至第五期有关刘家霞老师写的几篇文章，刘老师着重谈了“数形结合”和“函数”两种数学思想在小学数学教学中的渗透，我看了之后受益颇丰，也想来谈谈另一种重要的数学思想方法----“化归”思想在我们小学数学教学中的渗透。

本文重点分析“化归”思想的内涵及其在小学数学教学过程中的渗透。

一、“化归”思想的内涵“化归”思想，是世界数学家们都十分重视的一种数学思想方法，从字面意思上讲，“化归”理解为“转化”和“归结”两种含义，即不是直接寻找问题的答案，而是寻找一些熟悉的结果，设法将面临的问题转化为某一规范的问题，以便运用已知的理论、方法和技术使问题得到解决。

而渗透化归思想的核心，是以可变的观点对所要解决的问题进行变形，就是在解决数学问题时，不是对问题进行直接进攻，而是采取迂回的战术，通过变形把要解决的问题，化归为某个已经解决的问题。

从而求得原问题的解决。

化归思想不同于一般所讲的“转化”或“变换”。

它的基本形式有：化未知为已知，化难为易，化繁为简，化曲为直。

二、“化归”思想在小学数学教学中的渗透1、感知形成阶段----在简单计算中体验“化归”人们学习新知识之前往往会利用已有的知识去认识，从而形成新的经验，变成自己的知识，而这一过程其实就是一个“化归”的过程。

小学伊始，虽然学生们年纪还小，但利用旧知识来解决新问题，在现实生活中肯定实践过，所以人教版一年级课标教材中，就可以渗透“化归”的思想来指导学生的学习。

例如，人教版课标教材一年级上册。

一年级开始，孩子们就相继开始学习“10以内的加减法”、“20以内的进位加法”，对于一年级孩子来说，通过对“1-20”各数的认识，特别是学习了1-10的组成之后，学生对“拆小数，凑大数”和“拆大数，凑小数”这种方法比较容易接受，这也是学习后来的“20以内的进位加法”重要基础之一。

20以内进位加法的口算方法不只一种，教材中呈现了多种计算方法，如“点数”，“接着数”和“凑十法”等等，而“凑十法”则是其中最重要的方法，“凑十法”通过将大数拆成小数（或者小数拆成大数），和其它另一小数（大数）凑成十，使得20以内进位加法转化成一题简单的十加几计算题，从而使计算变得比较简便。

《转化与化归思想》——数学思想方法在高中数学解题中的应用《转化与化归思想》——数学思想方法在高中数学解题中的应用客观世界中事物之间的转化时时都在发生，白天与黑夜之间的转化、水的三种状态之间的转化等，这是客观世界中事物存在和发展的必然规律．这些转化中，有些是不为人们的意志而转移的，有些则可以在人们的能动作用下实现有目的的转化，使转化成为人们认识和改造客观世界的手段．何为数学转化思想？布鲁姆在《教育目标分类学》明确指出：数学转化思想是“把问题元素从一种形式向另一种形式转化的能力”，其实，数学问题的解决过程就是一系列的转化的过程，数学中的转化是有其特定的目的和方向的，这种目的和方向性往往表现为由难到易、由繁到简、由未知到已知．也就是说，将一个复杂的陌生的问题通过适当的转化，化归为一个简单的熟悉的问题，转化与化归的思想就在这一转化过程中产生了，其原则包括：熟悉化原则、简单化原则、和谐化原则、直观化原则、特殊化原则、标准化原则和正难则反原则．在高中数学解题中，转化与化归是最基本的思想方法，数学中的一切问题的解决都离不开转化与化归．数形结合思想体现了数与形的相互转化；分类讨论思想体现了整体与局部的相互转化，体现了动与静的相互转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不等式之间的相互转化，以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现．转化与化归的思想存在于高中数学中的各个部分，比如：不等式恒成立问题可以通过分离变量转化为函数的最值问题，或者利用函数的思想转化为函数问题来处理；有关三角函数性质的问题大部分能够转化为y=Asin(ωx+φ)这个熟悉的问题来处理；解析几何问题的本质就是利用坐标系，将几何问题转化为代数问题来处理；立体几何的相关问题往往转化为平面几何的问题来处理，或者是依靠空间向量转化为代数问题来处理．本文从转化与化归的六种主要策略：陌生与熟悉的转化、常量与变量的转化、一般与特殊的转化、正面与反面的转化、方程与函数的转化、数与形的转化来例谈转化与化归思想在高中数学解题中的应用．1．陌生与熟悉的转化在高中数学解题过程中，难免会遇到陌生的条件、未知的问题，给我们的解题增加了较大的难度．针对这种情况，我们要运用熟知的知识、公式和经验，将陌生的条件转化成熟悉的条件，将未知的问题转化成已知的问题，从而达到事半功倍的效果．2．常量与变量的转化在处理多变元的数学问题时，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元。

⾼中数学思想之转化与化归的思想（⾮常重要）【⾼考展望】解决数学问题时，常遇到⼀些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类⽐、联想等思维过程，选择运⽤恰当的数学⽅法进⾏变换，将原问题转化为⼀个新问题（相对来说，对⾃⼰较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的⽬的，这⼀思想⽅法我们称之为“转化与化归的思想⽅法”转化与化归思想在⾼考中占有相当重要的地位，可以说⽐⽐皆是，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题转化等等.各种变换、具体解题⽅法都是转化的⼿段，转化的思想⽅法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中.⾼考对本讲的考查为：（1）常量与变量的转化：如分离变量，求范围等。

（2）数与形的互相转化：若解析⼏何中斜率、函数中的单调性等。

（3）数学各分⽀的转化：函数与⽴体⼏何、向量与解析⼏何等的转化。

（4）出现更多的实际问题向数学模型的转化问题。

【知识升华】转化与化归思想⽅法，就是在研究和解决有关数学问题时采⽤某种⼿段将问题通过变换使之转化，进⽽得到解决的⼀种⽅法.⼀般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题变换转化为已解决的问题.解题的过程就是“化归”的过程，不断地改变待解决的问题，重新叙述它，变换它，直到最后成功地找到某些有⽤的东西为⽌.1．转化与化归应遵循的原则（1）熟悉化原则：将陌⽣的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运⽤熟知的知识、经验和⽅法来解决.（2）简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的⽬的，或获得某种解题的启⽰和依据.（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所呈现的和谐统⼀的形式，或者转化命题，使其有利于运⽤某种数学⽅法或符合⼈们的思维规律.（4）直观化原则：将⽐较抽象的问题转化为⽐较直观的问题来解决.（5）正难则反原则：当问题正⾯讨论遇到困难时，可考虑问题的反⾯，设法从问题的反⾯去探求，使问题获解.2．转化与化归的基本类型（1）正与反、⼀般与特殊的转化，即正难则反，特殊化原则.（2）常量与变量的变化，即在处理多元问题时，选取其中的变量（或参数）当“主元”，其他的变量看作常量.（3）数与形的转化，即利⽤对数量关系的讨论来研究图形性质，也可利⽤图形直观提供思路，直观地反映函数或⽅程中的变量之间的关系.（4）数学各分⽀之间的转化，如利⽤向量⽅法解⽴体⼏何问题，⽤解析⼏何⽅法处理平⾯⼏何、代数、三⾓问题等.（5）相等与不等之间的转化，如利⽤均值不等式、判别式等.（6）实际问题与数学模型的转化.3．常见的转化⽅法（1）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.（2）换元法：运⽤“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、⽅程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.（3）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换、获得转化途径.（4）参数法：引进参数，使原问题的变换具有灵活性，易于转化.（5）构造法：“构造”⼀个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题.（6）坐标法：以坐标系为⼯具，⽤计算⽅法解决⼏何问题.（7）类⽐法：运⽤类⽐推理，猜测问题的结论.（8）特殊化⽅法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的结论适合原问题.（9）⼀般化⽅法：当原问题是某个⼀般化形式问题的特殊形式且⼜较难解决时，可将问题通过⼀般化的途径进⾏转化.（10）等价问题法：把原问题转化为⼀个易于解决的等价命题，达到转化⽬的.（11）加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往把命题的结论加强，即把命题的结论加强为原命题的充分条件，反⽽能将原命题转化为⼀个较易证明的命题，加强命题法是⾮等价转化⽅法.（12）补集法：如果正⾯解决原问题有困难，可把原问题结果看作集合A，⽽把包含该问题的整体问题的结果类⽐为全集U，通过解决全集U及补集获得原问题的解决.以上所列的⼀些⽅法是互相交叉的，不能截然分割.4．利⽤转化与化归的思想解决问题的模式可图⽰如下：注：本⽂节选⾃⾼中数学归纳总结精析。

例析化归与转化思想在数学解题中的活用化归与转化思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图像、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而形成解决问题的思想。

等价转化有一些模式可以遵循，总是将抽象转化为具体、化复杂为简单（高维向低维的转化、多元向一元的转化、高次向低次的转化等）、化未知为已知。

化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。

除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。

从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程，是一步步转化的过程。

等价转化思想在历年的高考中都有体现。

下面是笔者尝试将化归与转化思想和方法渗透融合在解题教学中，实现方法与内容的整合。

一一般问题与特殊问题的化归特殊问题往往比一般问题显得简单、直观和具体，容易解决，并且在特殊问题的解决过程中，常常包含着一般问题的解决方法。

有些数学问题由于其特殊数量或位置关系，孤立地考查问题本身，造成我们“只见树木不见森林”，难以解决。

因此解题时，我们常常将一般问题与特殊问题进行转化。

评注：本题化抽象为具体，设出等差数列的通项，再针对客观选择题题型的特点，结合选项选取特殊值，这种解法体现出思维的灵活性和敏捷性。

例2：（2012年山东）如图1所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为线段AA1、B1C上的点，则三棱锥D1-EDF 的体积为。

解析：虽然E、F分别为线段AA1、B1C上的任意点，但从题设可以得到这样的信息：尽管三棱锥的“形状”不定，而其体积应为定值，所以可以针对E、F的某一特定位置进行求解，而不失一般性。

取E、F分别位于A、C的特殊位评注：当问题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，利用一般到特殊的转化就能收到事半功倍的效果。

二正向思维与逆向思维的化归在数学解题中，通常的思维方式是从已知到结论，然而有些数学题按照这种思维方式解则比较困难，而且常常运算量较大，有时甚至无法解决。

高三数学知识点：化归与转化思想化归与转化的思想在解题中的应用
一、知识整合
1.解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题(相对来说，对自己较熟悉的问题)，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为"化归与转化的思想方法"。

2.化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。

除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的。

从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程。

化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程。

数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现。

3.转化有等价转化和非等价转化。

等价转化前后是充要条
件，所以尽可能使转化具有等价性;在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证。

卜人入州八九几市潮王学校化归与转化的思想在解题中的应用一、知识整合1．解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进展变换，将原问题转化为一个新问题〔相对来说，对自己较熟悉的问题〕，通过新问题的求解，到达解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法〞。

3．转化有等价转化和非等价转化。

等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进展不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或者对所得结论进展必要的验证。

4．化归与转化应遵循的根本原那么：〔1〕熟悉化原那么：将生疏的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经历和问题来解决。

〔2〕简单化原那么：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，到达解决复杂问题的目的，或者获得某种解题的启示和根据。

〔4〕直观化原那么：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决。

〔5〕正难那么反原那么：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。

二、例题分析例1．某厂2021年消费利润逐月增加，且每月增加的利润一样，但由于厂方正在改造建立，元月份投入资金建立恰好与元月的利润相等，随着投入资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率一样，到12月投入建立资金又恰好与12月的消费利润一样，问全年总利润m 与全年总投入N 的大小关系是〔〕A.m>NB.m<NC.m=N[分析]每月的利润组成一个等差数列{a n }，且公差d ＞0，每月的HY 额组成一个等比数列{b n }，且公比q ＞1。

11a b =，且1212a b =，比较12S 与12T 的大小。

假设直接求和，很难比较出其大小，但注意到等差数列的通项公式a n =a 1+〔n-1〕d 是关于n 的一次函数，其图象是一条直线上的一些点列。

等比数列的通项公式b n =a 1q n-1是关于n 的指数函数，其图象是指数函数上的一些点列。

一、 考点回顾化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。

转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。

化归转化思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中。

转化有等价转化与不等价转化。

等价转化后的新问题与原问题实质是一样的，不等价转则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。

应用化归转化思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化。

常见的转化有： 1、等与不等的相互转化等与不等是数学中两个重要的关系，把不等问题转化成相等问题，可以减少运算量，提高正确率；把相等问题转化为不等问题，能突破难点找到解题的突破口。

2、正与反的相互转化对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较难的问题，可先攻其反面，从而使正面问题得以解决。

3、特殊与一般的相互转化对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题，可先用特殊情形探求解题思路或命题结论，再在一般情况下给出证明，这不失为一种解题的明智之举。

4、整体与局部的相互转化整体由局部构成，研究某些整体问题可以从局部开始。

5、高维与低维的相互转化事物的空间形成，总是表现为不同维数且遵循由低维想高维的发展规律，通过降维转化，可把问题有一个领域转换到另一个领域而得以解决，这种转化在复数与立体几何中特别常见。

6、数与形的相互转化通过挖掘已知条件的内涵，发现式子的几何意义，利用几何图形的直观性解决问题，使问题简化。

7、函数与方程的转化 二、经典例题剖析例1、设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>．（Ⅰ）令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．解析：（Ⅰ）讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值只需求出()F x 的导数'()F x 即可解决；（Ⅱ）要证当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+，可转化为证1x >时2ln 2ln 10x x a x -+->，亦即转化为1x >时()0f x >恒成立；因(1)0f =，于是可转化为证明()(1)f x f >，即()f x 在(1,)+∞上单调递增，这由（Ⅰ）易知。

化归与转化思想在中小学数学解题中的应用研究
首先，归纳总结是学习数学解题和掌握知识的基本步骤。

把多种解法联系在一起，分析他们的异同之处，施以归纳抽象，就可以在数学思维中形成抽象的系统图解，一目了然，这种理论体系为进行数学解题奠定了基础。

其次，转化思想在中小学数学解题中有着十分重要的地位。

经过归纳总结出的理论体系可以转换为解题技巧，可以解决具体的数学问题，从而掌握有用的数学技巧，提高数学解题的能力。

最后，归纳与转化思想也可以应用到数学解答中，不仅可以把问题分解成可以求解的多个子问题，而且可以分析对问题的转化，通过对新的问题的解答可以得到原问题的解决方案，从而达到掌握学习数学知识和解决数学问题的双重目的。

总之，归纳与转化思想在中小学数学解题中如果得到充分的应用，可以充分发挥数学思维的能力，使学生能够更好的学习学习，勤加总结归纳，从而更加深入的掌握数学知识，扎实的解决难题，以获得更高的解题能力。

化归与转化思想在解高考数学题中的应用陕西师范大学数学系罗增儒教授曾说过，如果要用一句话回答“怎样解答高考数学题？”我认为最实用也最重要的是：化归为课本已经解决的问题。

众所周知数学高考命题的宏观依据是数学课程标准，数学高考命题的直接依据是数学考试大纲，数学高考命题的最具体、最方便依据是现行数学教材．在近年的全国考试大纲以及各省的考试说明中均说到对数学思想方法的考查，是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必然要与数学知识相结合，通过对数学知识的考查，反映考生对数学思想方法的掌握程度．考查时，应从学科整体意义和思想含义上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧。

高考主要考查的有七个基本数学思想方法：函数与方程的基本数学思想（通过函数题）、数形结合的基本数学思想（通过函数题，解析几何综合题，构造图形等）、分类与整合的基本数学思想（通过综合题，排列组合题，参数讨论题）、化归与转化的基本数学思想（通过综合题）、特殊与一般的基本数学思想（通过综合题）、有限与无限的基本数学思想（通过极限、微积分函数题）、或然与必然的基本数学思想（通过概率、统计题）。

罗增儒教授所说的化归为课本已经解决的问题就体现出化归与转化思想在解决高考题的作用。

本文将结合历年的高考题探讨一下化归与转化思想在解高考数学题中的应用。

一、什么是化归与转化的思想化归与转化的思想是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某些知识，将问题进行等价转化，使抽象问题具体化，复杂问题简单化、未知问题已知化等，进而达到解决问题的数学思想。

这种化归思想在一套高考卷中都是适用的。

二、用化归与转化的思想解高考题实例1、化归成教材上的题解高考题题型一：（2006年陕西省理科21题）如图1，三定点；三动点D，E，M满足（1）求动直线DE斜率的变化范围；（2）求动点M的轨迹方程．评析：该题目对应的教材背景为：如图2，在中，直线的方程为，直线的方程为，．在斜边上取点，使满足求点的轨迹方程.人教版高中《数学》第一册（下）第109页例5为通过该题的背景我们要明白课本是学生知识资源的基本来源，也是学生解题体验的主要引导。

高考数学二轮复习专题 9 思想方法专题第四讲化归与转变思想文化归与转变的思想在2016 年高考取必定考到，较大的可能是出此刻立体几何的大题中，可将空间立体几何的问题转变为平面几何问题，若出此刻分析几何大题中，应将分析几何大题中求范围问题的题转变为求函数值域范围问题，总之将复杂问题转变为简单问题是高考取解决问题的重要思想方法．化归与转变的思想方法解决数学识题时，常碰到一些直接求解较为困难的问题，经过察看、剖析、类比、联想等思想过程，选择运用适合的数学方法进行变换，将原问题转变为一个新问题( 相对来说，是自己较熟习的问题) ，经过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转变的思想方法”．化归与转变的思想方法应用的主要方向化归与转变思想的本质是揭露联系，实现转变．除极简单的数学识题外，每个数学识题的解决都是经过转变为已知的问题实现的．从这个意义上讲，解决数学识题就是从未知向已知转变的过程．化归与转变思想是解决数学识题的根本思想，解题的过程本质上就是一步步转变的过程．数学中的转变俯拾皆是，如未知向已知的转变、复杂问题向简单问题的转变、新知识向旧知识的转变、命题之间的转变、数与形的转变、空间向平面的转变、高维向低维的转变、多元向一元的转变、高次向低次的转变、超越式向代数式的转变、函数与方程的转化等，都是转变思想的表现．等价转变和非等价转变转变有等价转变和非等价转变之分．等价转变前后是充要条件，因此尽可能使转变拥有等价性；在不得已的状况下，进行不等价转变，应附带限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必需的考证．判断下边结论能否正确( 请在括号中打“√”或“×”) ．1(1)函数 y＝ x＋x的最小值是 2.(×)a＋ b2(2)ab≤建立的条件是ab>0.(× )2(3)函数 f ( x)＝cos4， x∈0，πx＋x的最小值等于 4.( × ) cos2(4)目标函数 z＝ ax＋ by( b≠0)中， z 的几何意义是直线ax＋ by－ z＝0在 y 轴上的截距．(×)1．若动直线x＝ a 与函数 f ( x)＝sin x 和 g( x)＝cos x 的图象分别交于M， N两点，则| MN|的最大值为 ( B)A． 1 B. 2 C.3D．2分析： || ＝ |sin－ cos| ＝πx x 2 sin x－，最大值为 2.MN42．下列图所示的韦恩图中，A，B 是非空会合，定义会合A#B为暗影部分表示的会合．若x， y∈R， A＝{ x| y＝2x－x2} ，B＝ { y| y＝ 3x( x＞ 0)} ，则A#B为 ( D)A． { x|0 ＜x＜ 2} B ． { x|1 ＜x≤2}C． { x|0 ≤x≤ 1 或x≥2}D． { x|0 ≤x≤ 1 或x＞ 2}分析： A＝|y ＝ 2 －2}＝ { x|2 x－x2≥ 0} ＝ { x|0 ≤x≤ 2} ，B＝ { y| y＝ 3x( x＞ 0)} ＝{ x x x{ y| y＞ 1} ，则A∪B＝ { x| x≥0} ，A∩B＝{x|1＜x≤ 2} ．依据新运算，得A#B＝?A∪B( A∩ B)＝{ x|0 ≤x≤1或x＞ 2} ．a， a≤ b，25π3．定义一种运算a?b＝，令 f ( x)＝(cos x＋sin x) ?4，且 x∈0，2 ，则函，＞b a b数 f x－π的最大值是 ( A) 255A.4 B ．1 C ．－1 D ．－4分析：设＝2＋＝－2＋125 y cos x sin x sin x sin x＋＝－ sin x－＋，142π∵ x∈0，2，∴ 0≤ sin x≤1，525∴ 1≤y≤4，即1≤ cos x＋ sin x≤4.π，∴ f x－π＝－根据新定义的运算可知 f ( x)＝cos2x ＋sin x ， x ∈0，22sin x－π－125＝－ cos x＋125， x∈π22＋2＋4，π .42π5∴函数 f x－2的最大值是4.4．若f ( x) ＝－1x2＋ b ln( x＋2) 在 ( － 1，＋∞ ) 上是减函数，则 b 的取值范围是( C)2A． [ －1，＋∞ ) B． ( －1，＋∞)C． ( －∞，－ 1] D． ( －∞，－ 1)12b 分析：∵ f ( x)＝－2x＋ b ln( x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，∴ f ′( x)＝－ x＋x＋2＜0 在 ( － 1，＋∞ ) 上恒建立，即b＜ x( x＋2)在(－1，＋∞)上恒建立．设 g( x)＝ x( x＋2)＝( x＋1)2－1在(－1，＋∞)上单一递加，∴g( x)＞－1，1 2∴当 b≤－1时，b＜ x( x＋2)在(－1，＋∞)上恒建立，即 f ( x)＝－x ＋b ln( x＋2)在(－1，＋∞ ) 上是减函数．。

二轮复习专题——转化与化归思想刘际成一、有关概念及考纲要求1、转化与化归思想 通过观察、分析、类比、联系,将待求问题转化为一个新问题的策略。

2、转化化归解题的原则 化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化3、常见的转化有 正与反的转化、常量与变量的转化、整体与局部的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、空间与平面相互转化、数学语言的转化等等4．另外还有三个思想方法分别是：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想。

5．考纲要求 理解转化与化归思想是高中数学的重要思想方法，会运用转化与化归思想解决问题．6．考情分析数学问题的解答离不开转化与化归．它既是一种数学思想又是一种数学能力．高考对这种思想方法的考查所占比重很大，是历年高考考查的重点．诸如常量与变量的转化、数与形的转化、实际问题向数学模型的转化、以及数学各分支之间的转化都是高考的热点问题．特别是实施新课标之后，高考考题不再向数学知识的纵深发展，而是以基础知识为出发点，转化与化归思想在解决问题中起到了更大的作用．二、转化与化归思想在高中数学知识体系中的具体体现 1、函数复合函数的最值、单调区间求法转化为初等函数来处理；作比较复杂的函数图形是比较简单的图形通过对称、平移等转化而来；两角和可推导出二倍角、半角等公式等 如11-+=x x y 求对称中心、求单调区间等；又如函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ≤2π)的部分图象如图所示，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π4教材高一下P 64例4、高二下P 17线面平行定理及证明。

（用投影仪打出）2、立体几何三个语言的转化、空间问题平面化、几何问题代数化（建系）、三视图与直观图等 3、解析几何方程与图形转化、不等式与图形转化、求曲线交点与方程组间转化、与平面向量间转化等 4、算法文字转化为程序、程序转化为程序框图 5、数列不少数列问题最后转化到等差、等比数列问题上来 6、概率 对立事件 7、不等式 反证法三、考向解析1、正与反的转化对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较繁的问题，可先攻其反面，运用补集思想从而使正面得以解决。

化归与转化思想在解中学数学习题时的重要性一中雷蕾摘要：“数学是使人变聪明的一门学科〞.数学思想方法是数学的灵魂,是数学精神和科学世界观的重要组成局部,而化归与转化思想又是数学思想的核心和精华,真正的数学高手过招,比拼的往往就是数学思想.本文根据前人的研究成果,首先概述了化归与转化思想的含义、联系、区别,使用化归与转化思想所遵循的原那么、与化归与转化的几种常见形式；然后结合自己的实习经历探讨怎样实施化归与转化思想在教学中的渗透,最后通过例题分析浅谈自身学习化归与转化思想的经历.关键词：数学思想；化归与转化；化归与转化思想；化归思想；转化思想1引言数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括,它蕴涵于知识的发生、开展和应用的过程,是知识转化为能力的桥梁,是在研究和解决数学问题的过程中所采用的手段、途径和方式.数学思想和数学方法是密不可分的.化归与转化思想方法是最根本、最常用的两大数学思想方法之一.1.1化归与转化的含义转化思想是指在研究和解决数学学问题时由一种教学对象转化为另一种数学对象时所采用的数学方法的指导思想.转化有等价转化和非等价转化.化归是“转化归结〞的简称,是转化的一种.简单的化归思想就是把那些陌生的或不易解决的问题转化成熟悉、易解决的问题的思想,即把数学中待解决或未解决的问题,通过观察、分析、联想、类比等思维过程,遵循简单化、熟悉化、具体化、和谐化的原那么选择恰当的方法进展变换、转化,归结到某个或某些已经解决或比拟容易解决的问题是上去,最终解决原问题的解决问题的思想,称为化归思想.两者根本上是同一个东西,只是侧重点有一些细微的差异而已.化归是把未解决问题转化归结到已经解决的问题上去,而转化一般是把较难解决的问题转化为相比照拟容易解决的问题上去.化归是找到我们研究的问题是属于哪一类型,属于哪一个知识围.转化是我们找到解题的思路之后所进展的有目的的一项工作.化归与转化思想是解决数学问题的根本且典型的数学思想.解题的过程实际上就是化归与转化的过程.几乎所有问题的解决都离不开化归与转化,我认为运用化归与转化的思想,有这样的三个问题必须明确：(1) 化归的对象：解题中需要变更的局部；(2) 化归的目标：把化归的对象化为熟知的问题,规性的问题；(3) 化归的途径[1]：从未知到熟知,从多元到少元,从空间到平面,从高维道低维,从复杂到简单.数学的解题过程,就是从未知向、从复杂到简单的化归转换过程.它不仅需要有敏锐的洞察力和观察力,更需要有丰富的知识储藏.1.2化归与转化在解题时应遵循的原那么(1)熟悉化原那么将陌生的问题转化为熟悉的问题,以便于我们运用熟知的知识、经历和问题来解决待解决的问题[2]；(2)简单化原那么将复杂的问题化归为简单问题,通过对简单问题的解决,到达解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据；(3)和谐化原那么通过化归问题的条件或结论,使其表现形式更符合数与形部所表示的和谐的形式,或者转化命题,使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律.和谐统一性原那么是化归与转化思想的一项重要原那么；(4)回归原那么(5)具体化原那么化归的方向一般应由抽象到具体,即分析问题和解决问题时,应着力将问题向较具体的问题转化,以使其中的数量关系更易把握,如尽可能将抽象的式用具体的形来表示；将抽象的语言描述用具体的式或形表示,以使问题中的各种概念以与概念之间的相互关系具体明确；(6)标准形式化原那么将待解问题在形式上向该类问题的标准形式化归,标准形式是指已经建立起来的数学模式；(7)低层次原那么解决数学问题时,应尽量将高维空间的待解问题化归成低维空间的问题,高次数的问题化归成低次数的问题,多元问题化归为少元问题解决,这是因为低层次问题比高层次问题更直观,更简单.1.3化归与转化的几种常见策略陌生向熟悉的转化[3]例1函数()f x ＝11(1)x x --的最大值是(). A 、45 B 、54 C 、34D 、43分析该题学生比拟陌生,我们应该“化生为熟〞.首先讨论分母1(1)x x --的取值围221331(1)1244x x x x x ⎛⎫--=-+=-+≥ ⎪⎝⎭.∴有1401(1)3x x <≤--, 所以 ()f x 的最大值是43,故应选〔D 〕. 数形结合把函数、方程、不等式等代数形式中的量与量的关系,同几何图形的位置关系相结合,以形论数以数论形.著名的数学家华罗庚教授曾在一首诗中写道：数形结合百般好,两家别离万事休.这一句话道出了数形结合的重要性.例2如果实数y x ,满足3)2(22=+-y x ,那么x y 的最大值是(). A.21 B.33 C.23 D.3 分析由于方程3)2(22=+-y x 表示的曲线以)0,2(A 为圆心,以3为半径的圆(如图1所示),满足方程的y x ,是圆上的点),(y x P ；而xy 是坐标原点)0,0(与圆上各点连线的斜率,所以题目可转化为求原点)0,0(与圆上各点连线的斜率的最大值.结合图像,易知直线kx y =与圆3)2(22=+-y x 相切的时候,直线OP 的斜率 k 就是所求斜率的最大值.图1解32||,3||π=∠⇒==POA OP AP ∴tan 3POA ∠=即所求x y 的最大值是3,应选D.特殊和一般之间的转化例3求证995099!<〔一般到特殊〕分析此题直接证明显然不易,假设将其看作特殊形式,观察可知,一般性的结论为：21!2n n +⎛⎫> ⎪⎝⎭(),1n N n ∈>,这个结论一旦证明了,原题自然获解. 证明先证一般性的结论：当11,!2n n n n +⎛⎫>> ⎪⎝⎭时,有：()1122n n n n++=>= 即 21!2n n +⎛⎫> ⎪⎝⎭(),1n N n ∈>成立.所以,当99n =时,有995099!<. 正难那么反易原那么〔反证法〕当问题正面讨论遇到困难时,可考虑问题的反面,设法从问题的反面去探求,使问题获解[3]；例4设三个方程22x 4mx 4m 2m 30++++=,22x (2m 1)x m 0+++=,()2m 1x 2mx m 10-++-=,中至少有一个方程有实数根,求m 的取值围.分析题设中给了三个方程,并且其中至少有一个方程有实数根,要求m 的取值围,可以根据题意将满足条件的情况分别讨论,以求出相应的m 的取值围,最后加以归纳、总结.但是,通过进一步分析,我们却发现“三个方程中至少有一个方程有实数根〞具体应分为七种情况加以讨论,其中步骤的烦琐可想而知,因此可否换一个角度来思考呢？如从“三个方程中至少有一个方程有实数根〞的反面考虑,即“三个方程都没有实数根〞时求出m 的取值围,然后再从实数中排除它,就是所要求的取值围.解(1)当m 1=时,方程()2m 1x 2mx m 10-++-=化为一次方程20x =,它有一个实数根x 0=,故m 1=符合题意.(2)当m 1≠时,假设三个方程都没有实数根,那么有：△22116m 4(4m 2m 3)0=-++<△222(2m 1)4m 0=+-<△()2234m 4m 10=--< 解得31<m<24--.从m 1≠的实数中除去31<m<24--,即得31m m 24≤-≥-或,且m 1≠.综上所述,得31m m 24≤-≥-或. 空间向平面的转化[4]在数学解题中,对立体几何问题常常需要化归到熟知的平面几何问题,化归的手段主要有平移、旋转、展开、射影和截面等.例5设长方体1111ABCD A B C D -的三条棱1,A A a =11,A B b =11A D c =,,,M N ,P Q 分别是1111,,,A B A D BC CD 的中点.求AMN ∆和CPQ ∆的重心间的距离.1D图2(a) 图2(b)分析这是一个空间距离问题,直接求解可能有一些困难,我们试图把空间距离转化为平面距离.解设长方体的对角面1AC 分别与平面AMN ∆,CPQ ∆交于1,AE C F ,那么,AE 1C F 分别是AMN ∆和CPQ ∆的中线,如图2(a).设AMN ∆,CPQ ∆的重心分别为,G H .于是空间的问题转化为平面1AC 的问题.如图2(b),只要求出矩形11AAC C 中,,G H 的距离即可.设,G H 在1,AC C C 上的射影是1122,,,G H G H ,那么2211133G H A A a ==,111143G H AC CH G A AC CF =--=-. 因为AC 14CF AC =.于是11412333G H AC CF AC AC AC =-=-==所以GH ==. 高次与低次的转化〔因式分解〕在解高次方程时,一般都是设法将未知数的次数降低,以到达便于求解的目的.例6解方程2222222(61)5(61)(1)2(1)0x x x x x x -++-++++=.分析这是一个高次方程,直接展开求解是相当复杂的,假设采取换元法,那么可把高次方程转化为低次方程.解因为210x +≠,那么原方程可化为：2222261612()52011x x x x x x -+-++⋅+=++ 设22611x x y x -+=+,那么原方程转化为22520y y ++=,求出y 代入所设即可求出x .命题的等价转化例7f(x)为定义在实数R 上的奇函数,且f(x)在[0,+∞)上是增函数.当02πθ≤≤时,是否存在这样的实数m,使(cos 23)(42cos )(0)f f m m f θθ-+->对所有的[0,]2πθ∈均成立？假设存在,求出所有适合条件的实数m ；假设不存在,请说明理由.分析由奇偶性与单调性→f(x)单调性→关于cos θ的不等式→一元二次不等式恒成立→函数最值→m 的围.解由f(x)是R 上的奇函数可得f(0)=0.又在[0,+∞)上是增函数,故f(x)在R 上为增函数.由题设条件可得(cos 23)(42cos )0f f m m θθ-+->.又由f(x)为奇函数,可得(cos 23)(2cos 4)f f m m θθ->-.∵f(x)在R 上为增函数,∴cos232cos 4m m θθ->-,即2cos cos 220m m θθ-+->.令cos t θ=,∵02πθ≤≤,∴01t ≤≤.于是问题转化为:对一切0≤t ≤1,不等式t 2-mt+2m-2＞0恒成立.又∵222(2)442222t t t t -=-++≤---∴422m >-. ∴存在实数m 满足题设的条件422m >-函数与方程例8〔1997年理科24题〕设二次函数()f x ＝a 2x 十bx 十c 〔a >0〕,方程()f x －x =0的两个根满足0<1x <2x <a1.(1)当1(0,)x x ∈时,证明：1()x f x x <<；(2) 设函数()f x 的图像关于直线0x x =对称,证明102x x <. 分析本例要分清函数()f x 与方程()0f x x -=是两个不同的条件,0x x =是函数()f x 的对称轴,1x ,2x 那么是方程()0f x x -=的根,它们之间的联系通过a ,b ,c 隐蔽地给出,因而充分利用二次函数的性质,引进辅助函数()()g x f x x =-,凸现条件的联系,是解题的关键.证明(1)令()()g x f x x =-,因为1x ,2x 是方程()0f x x -=的根,所以不妨设 12()()()g x a x x x x =--.当(0,)x a ∈时,由于12x x <,∴12()()0x x x x -->.又0a >, ∴12()()()0g x a x x x x =-->,即()x f x <,而：111()()()x f x x x x f x x x g x -=-+-=--112()()x x a x x x x =----12()[1()]x x a x x =-+- 又∵1210x x x a<<<< ∴10x x ->, 2221()110a x x ax ax ax +-=+->->, 得1()0x f x ->.∴1()f x x <即1()x f x x <<；(2)由题意知 0x =－ab 2.∵1x ,2x 是方程()0f x x -=的根,即 1x ,2x 是方程2(1)20ax b x +-+=的根.那么：121b x x a-+=,12012()1111()2222a x x b x x x a a a +-=-==+-. ∵21x a<, ∴102x x <.多元向一元的转化〔消元法〕例9123,,a a a 成等差数列()10a ≠,234,,a a a 成等比数列,345,,a a a 的倒数也成等差数列,问135,,a a a 之间有什么关系？分析题目中有5个元素12345,,,,a a a a a ,而解题目标是探讨135,,a a a 之间有什么关系,因此24,a a 对求解目标是多余的,需要从多元向少元化归,即在解题时,设法把24,a a 消去.解由题设1322324435,2,211.a a a a a a a a a ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩ 为消去24,a a ,从方程组中解出1322a a a +=和354352a a a a a =+,代入2324a a a =得2133533522a a a a a a a +=⋅+.因为30a ≠,那么 ()135335a a a a a a +=+, 整理得2315a a a =.因此135,,a a a 成等比数列. 语言的转化例10 对任意函数()f x , x D ∈,可按右图构造一个数列发生器,其工作原理如下：①输入数据0x D ∈,经数列发生器输出10()x f x =；②假设1x D ∉,那么数列发生器完毕工作；假设1x D ∈,那么将1x 反应回输入端,再输出21()x f x =,并依此规律继续下去.现定义42()1x f x x -=+,(1)假设输入04965x =,那么由数列发生器产生数列{}n x ,请写出{}n x 的所有项；(2)假设要数列发生器产生一个无穷的常数列,试求输入的初始数据0x 的值；(3)假设输入0x 时,产生的无穷数列{}n x ,满足对任意正整数n 均图3有1n n x x +<；求0x 的取值围.分析此题主要考察学生的阅读审题,综合理解与逻辑推理的能力.解题的关键就是应用转化思想将题意条件转化为数学语言,函数求值的简单运算、方程思想的应用,解不等式与化归转化思想的应用.解(1)∵()f x 的定义域为(,1)(1,)D =-∞-⋃-+∞∴数列{}n x 只有三项,123111,,1195x x x ===-. (2)∵42()1x f x x x -==+,即2320X X -+=.∴1X =或2X =.即01x =或2时,有1421n n n n x x x x +-==+.故当01x =时,1n x =；当02x =时,2n x =*()n N ∈. (3)解不等式421x x x -<+,得1X <-或12X <<.要使12X X <,那么21X <-或112X <<.对于函数426()411x f x x x -==-++, 假设11X <-,21()4x f x =>,322()X f X X =<；假设112X <<时,211()X f X X =>且112X <<.依次类推可得数列{}n x 的所有项均满足：1n n x x +<*()n N ∈.综上所述,1(1,2)X ∈,由10()X f X =,得0(1,2)X ∈.合与分的转化〔分论讨论〕例11 集合2{,1,3},M a a =+-2{3,21,1},N a a a =--+ 假设{3}M N ⋂=-,那么a 的值为〔 〕.分析该题结合集合的运算考察了分类讨论思想,分类的标准结合集合的性质：无序性、互异性、确定性.解∵{3}M N ⋂=-,∴23{3,21,1}N a a a -∈=--+.假设33a -=-, 那么a=0,此时{0,1,3}M =-,{3,1,1}N =--,那么：{3,1}M N ⋂=-,故不符合集合元素的互异性.假设213a -=-,那么1a =-,此时{0,1,3}M =-,{4,3,2}N =--.假设213a +=-,此方程无实数解.复数与实数的转化例12 复数z ,解方程_313z i z i -⋅=+.分析设出复数的代数形式,利用复数相等的充要条件,建立实数方程,化虚为实,解方程组,可以求出复数.解设(,)z x yi x y R =+∈,那么方程可化为(3)(3)13x y y x i i -+-=+.由复数相等,有3133x y y x -=⎧⎨-=⎩,解得5434x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.∴z=－54－34i. 常量与变量的转化例132()log f t t =,t ∈.对于()f t 值域的所有实数m ,不等式2424x mx m x ++>+恒成立,x 的取值围是________.分析根据条件,建立以参数为主元的不等式是一个转化的数学思想,通过转化就可利用一次函数()g m 的单调性通过数形结合解决问题,表达了函数与不等式之间的转化关系.解∵t ∈,∴1()[,3]2f t ∈,原题转化为：(2)(2)0m x x -+->恒成立,为m 的一次函数.当2x =时,不等式不成立.∴2x ≠.令2()(2)(2)g m m x x =-+-,1[,3]2m ∈,问题转化为： ()g m 在1[,3]2m ∈上恒大于0,那么1()0,(3)02g g >>,解得2x >或1x <-. 等与不等的转化相等与不等是数学解题中矛盾的两方面,但是它们在一定的条件下可以互相转化,例如有些题目,外表看来似乎只具有相等的数量关系,根据这些相等关系又难以解决问题,但假设能挖掘其中的不等关系,建立不等式〔组〕去转化,往往能获得简捷求解的效果.例14 b a ,都是实数,且11122=-+-a b b a ,求证：122=+b a .分析利用均值不等式先得到一个不等关系,再结合中的相等关系寻求a 与b 之间的关系.利用等与不等之间的辩证关系,相互转化,往往可以使问题得到有效解决.解∵,2)1(1222b a b a -+≤-2)1(1222a b a b -+≤-, ∴11122≤-+-a b b a . 又11122=-+-a b b a ,21b a -=且21a b -=,即122=+b a .整体与局部的转化例15函数()f x 满足对任意x ,y 都有()()()1x y f x f y f xy++=+,且当x <0时,都有()f x >0,求证211()()232f f n n >++. 分析观察对应法那么的结构特征,局部对通项变形.整体把握不等式左端数列和“裂项相消法求和〞化简,创造使用题设完成证明.解赋值易知f(x)为奇函数,且当x >0时,都有()f x <0. 由于211(1)(2)32n n n n =++++且()()()1x y f x f y f xy ++=+,故有：211111211(1)(2)321()12n n n n n n n n -++==+++++-++. 所以局部处理通项逆用对应法那么有2111()()()1232f f f n n n n =-++++,整体处理 不等式左端数列和有：2111()()()51132f f f n n ++⋅⋅⋅+++ 111111(()())(()())(()())233512f f f f f f n n =-+-+⋅⋅⋅+-++ 11()()22f f n =-+. 由题设102n >+, 恒有1()02f n <+,那么111()()()222f f f n ->+. 故所证不等式211()()232f f n n >++成立.2运用化归思想的经历(1)熟练、扎实地掌握根底知识、根本技能和根本方法是化归与转化的根底；丰富的联想、机敏细微的观察、比拟、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法那么有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼,要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系.“抓根底,重转化〞是学好中学数学的金钥匙[5].(2)有目的的实施有效的化归与转化思想,既可以变更问题的条件,也可以变更问题的结论,既可以变换问题的部结构,又可以变换问题的外部形式,既可以从代数的角度去认识问题,又可以从几何的角度去解决问题.(3)注意紧盯化归与转化目标,保证化归与转化的有效性、规性.化归与转化作为一种思想方法,应包括化归与转化的对象、目标、途径三个要素.因此,化归思想方法的实施应有明确的对象、设计好目标、选择好方法,而设计目标是问题的关键.在解题过程中,必须始终紧紧盯住化归的目标,即应该始终考虑这样的问题：怎样才能到达解原问题的目的.在这个大前提下实施的化归才是卓有成效的,盲目地选择化归的方向与方法必将走入死胡同.(4)转化的等价性,确保逻辑上的正确.转化包括等价转化和非等价转化,等价转化后的新问题与原问题实质是一样的,不等价转化那么局部地改变了原对象的实质,需对所得结论进展必要的修正.高中数学中的转化大多要求等价转化,等价转化要求转化过程中的前因后果既是充分的,又是必要的,以保证转化后的结果为原题的结果.如果在解题过程中没有注意转化的等价性,就会犯不合实际或偷换论题、偷换概念、以偏概全等错误.数学思想方法的学习是一个潜移默化的过程,没有一个统一的模式可以遵循,而是在多方领悟、反复应用的根底上形成的,化归与转化也不例外.学生在解题过程中,必须根据问题本身提供的信息,利用动态的思维,多方式、多途径、有计划、有步骤地反复渗透,要善于反思解题过程,分析解题思维,回味解题中所使用的思想,去寻求有利于问题解决的化归途径和方法.3完毕语数学思想方法是数学的精华,在中学数学中,化归与转化不仅是一种重要的解题思想,也是一种最根本的思维策略.知道了什么是化归与转化,了解化归与转化的实质,掌握如何进展化归与转化,那么,很多数学问题就迎刃而解了.对于即将毕业走上讲台的我来说,重要的不单是教授学生知识,而且要教会学生透过现象看本质,掌握了数学的思想方法,那么万变不离其宗,在教与学的过程中教师才能很好的把握教材,引导学生灵活处理数学问题,使学生轻松学习.参考文献[1]侯敏义.数学思维与数学方法论[M](1991年版).：东北师大学,1991,79～86.[2]志淼.数学学习与数学思想方法[M](2006年版).：大学,2006,21～35.[3]小云,叶立军.数学化归思维论[M](2001年版).：科学,2006,91～100.[4]青.谈中学数学中的构造性思维[J].师专学报,1996,1 (2):35-39.[5]黄文斐,徐凡等.思维点拔与能力训练[M](2000年版).：大学 2000,16～28.。