化归与转化思想

转化与化归思想在中学数学中的应用转化思想和化归思想是中学数学中非常重要的两个思想，它们在解决问题和证明定理过程中起着至关重要的作用。

本文将分别探讨转化思想和化归思想在中学数学中的应用。

一、转化思想在中学数学中的应用转化思想是指通过变换问题的形式或等效变形，使问题转化为熟悉的或易于处理的问题。

它就像是把难题中的棘手一面剥离，使问题变得简单易懂，进而更好地解决问题。

在中学数学中，转化思想主要体现在以下几个方面：1.利用等量代换简化方程式在代数运算中，我们会遇到很多组长方程式，而这些方程式中经常出现相同的项。

这时候，我们可以采用等量代换的方法，将其化简，使问题更容易解决。

例如，我们可以利用x+y=1这个式子，将x^3+y^3转化为(x+y)^3-3xy(x+y)，从而简化计算过程。

2.利用等式变形证明定理在证明数学定理时，通过大量变量之间的等式变形，可以大大简化证明过程。

例如，在证明勾股定理中，我们可以把原方程式a^2+b^2=c^2转化为a^2+b^2-c^2=0，继续变形成(a+c)(a-c)+(b+c)(b-c)=0，再变形成其它等式，最终证明了定理。

3.利用变量的代数变换简化问题有些问题需要建立函数关系式，但是常见的函数关系式过于复杂，不容易解决。

这时候，我们可以尝试采用代数变换的方法，将其变成简单的函数关系式。

例如，在解决极值问题时，我们可以利用三角函数的性质进行变量的代数变换，将复杂的函数关系式变得简单清晰。

二、化归思想在中学数学中的应用化归思想是指将问题按一定规律，通过变形而归约成一个与原问题相关的子问题，然后逐步化简子问题，最终解决原问题。

通过化归，我们可以更容易地理解问题，从而更好地解决问题。

在中学数学中，化归思想主要体现在以下几个方面：1.将高阶次问题化归为低阶次问题有些问题是高阶次或高维的，很难直接解决。

这时候，我们可以采用化归的方法，将其化归为低阶次问题。

例如，在解决n阶递推数列时，我们可以将n阶递推数列化归为n-1阶递推数列，从而简化问题的处理。

转化与化归思想转化与化归思想就是把那些待解决或难解决的问题，通过某种手段，使之转化为一类已解决或易解决的问题，最终使原问题获解．使用化归思想的原则是：化难为易、化生为熟、化繁为简、化未知为已知．转化与化归思想高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，它几乎可以渗透到所有的数学内容和解题过程中. 类型一 直接转化【典例1】 已知在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式．【答题模板】【解析】 ∵a n ＋1＝2a n a n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12.又a 1＝1，则1a 1＝1，∴{1a n}是以1为首项，12为公差的等差数列．∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12，∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．【对点练1】 求下列函数的值域：(1)y ＝sin x ＋cos x ；(2)y ＝sin 2x －cos x ＋1； (3)y ＝cos x2cos x ＋1；(4)y ＝1＋sin x 3＋cos x.【解析】 (1)∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，∴函数的值域为[－2，2]． (2)∵y ＝sin 2x －cos x ＋1＝2－cos 2x －cos x ＝－(cos x ＋12)2＋94，∴函数的值域为[0，94]． (3)由y ＝cos x 2cos x ＋1，得cos x ＝y1－2y .∵|cos x |≤1，∴解不等式|y 1－2y |≤1，得y ≤13或y ≥1.∴函数的值域为(－∞，13]∪[1，＋∞)．(4)由y ＝1＋sin x3＋cos x ，得sin x －y cos x ＝3y －1，即1＋y 2·sin(x －φ)＝3y －1.∴sin(x －φ)＝3y －11＋y 2.∵|sin(x －φ)|≤1，∴|3y －11＋y 2|≤1.平方化简得y ·(4y －3)≤0.∴0≤y ≤34，即函数值域为[0，34]．类型二 换元法【典例2】 求函数y ＝(4－3sin x )(4－3cos x )的最小值． 【答题模板】【解析】 y ＝16－12(sin x ＋cos x )＋9sin x cos x ，令t ＝sin x ＋cos x ，则t ∈[－2，2]且sin x cos x ＝t 2－12.∴y ＝16－12t ＋9×t 2－12＝12(9t 2－24t ＋23)． 故当t ＝43时，y min ＝72.【对点练2】 (2015·衡水调研)已知x ＋y ＝－1，且x ，y 都是负数，求xy ＋1xy 的最值． 【解析】 设x ＝－sin 2α(sin 2α≠0)，y ＝－cos 2α(cos 2α≠0)，则xy ＋1xy ＝sin 2αcos 2α＋1sin 2αcos 2α＝14sin 22α＋4sin 22α＝14(sin 22α＋16sin 22α)． ∵sin 22α＋16sin 22α在sin 22α∈(0,1]上是减函数，∴sin 22α＝1时，取得最小值，∴xy ＋1xy 的最小值为14(1＋161)＝174.【典例3】 若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________． 【答题模板】 可采用换元法，令t ＝3x ，将问题转化为关于t 的方程有正解进行解决． 【解析】 设t ＝3x ，则原命题等价于关于t 的方程 t 2＋(4＋a )t ＋4＝0有正解，分离变量a 得a ＋4＝－(t ＋4t )，∵t >0，∴－(t ＋4t )≤－4.∴a ≤－8，即实数a 的取值范围是(－∞，－8]． 【对点练3】 设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________． 【解析】 令2x ＋y ＝t ，则y ＝t －2x .则4x 2＋y 2＋xy ＝1变形为6x 2－3tx ＋t 2－1＝0. Δ＝9t 2－4·6·(t 2－1)≥0，t 2≤85.∴－2105≤t ≤2105，即2x ＋y 的最大值是2105.类型三 数形结合法【典例4】 求函数f (x )＝2－sin x2＋cos x 的值域．【解析】 函数f (x )＝2－sin x2＋cos x ，可看作点(2,2)，(－cos x ，sin x )两点连线的斜率．点(－cos x ，sin x )的轨迹为x 2＋y 2＝1.函数值域即为(2,2)与单位圆x 2＋y 2＝1上点连线斜率的范围，由图可知，过(2,2)且与单位圆相切的直线斜率存在，不妨设为k .∴切线方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y －2k ＋2＝0.∴满足|2－2k |1＋k 2＝1，解之得k ＝4±73.∴函数f (x )的值域为[4－73，4＋73]． 【对点练4】 设f (x )＝1＋x 2，求证：对于任意实数a ，b ，a ≠b ，都有|f (a )－f (b )|<|a －b |.【解析】 设A (x 1,1)，B (x 2,1)，则|OA |＝1＋x 21，|OB |＝1＋x 22，|AB |＝|x 1－x 2|.在△AOB 中，||OA |－|OB ||<|AB |，即有|1＋x 21－1＋x 22|<|x 1－x 2|，所以|f (x 1)－f (x 2)|<|x 1－x 2|，即|f (a )－f (b )|<|a －b |. 类型四 构造法【典例5】 在三棱锥P －ABC 中，PA ＝BC ＝234，PB ＝AC ＝10，PC ＝AB ＝241，则三棱锥P －ABC 的体积为________．【答题模板】 用常规方法利用三棱锥的体积公式求解体积时，无法求出三棱锥的高．但若换个角度来思考，注意到三棱锥的三对棱两两相等，我们可以构造一个特定的长方体，将问题转化为长方体中的某个问题．【解析】 如图所示，把三棱锥P －ABC 补成一个长方形AEBG －FPDC ，易知三棱锥P －ABC 的各棱分别是长方体的面对角线，不妨令PE ＝x ，EB ＝y ，EA ＝z ，则由已知有：⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝100，x 2＋z 2＝136，y 2＋z 2＝164，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝8，z ＝10.所以V P －ABC ＝V AEBG －FPDC －V P －AEB －V C －ABG －V B －PDC －V A －FPC ＝V AEBG －FPDC －4V P －AEB ＝6×8×10－4×16×6×8×10＝160.故所求三棱锥P －ABC 的体积为160.【对点练5】 已知正三棱锥P －ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上，若PA ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为________．【解析】先在一个正方体中找一个满足条件的正三棱锥，再利用正方体的性质解题．如图，满足题意的正三棱锥P －ABC 可以是正方体的一部分，其外接球的直径是正方体的体对角线，且面ABC 与体对角线的交点是体对角线的一个三等分点，所以球心到平面ABC 的距离等于体对角线长的16，故球心到截面ABC 的距离为16×23＝33. 类型七 参数法【典例8】 已知直线l 过点A (2,3)且与x 轴，y 轴的正半轴分别交于M ，N 两点，则当|AM |·|AN |最小时，直线l 的方程为________． 【解析】 设∠AMO 为θ，则θ∈(0，π2)， ∴|AM |＝3sin θ，|AN |＝2cos θ. ∴|AM |·|AN |＝6sin θ·cos θ＝12sin2θ≥12. 当且仅当sin2θ＝1，即θ＝π4时取“＝”号．此时k l ＝－1，∴l 的方程为x ＋y －5＝0. 【对点练8】 (2015·北京东城联考)已知点P (3,4)与圆C ：(x －2)2＋y 2＝4，A ，B 是圆C 上两个动点，且|AB |＝23，则OP →·(OA →＋OB →)(O 为坐标原点)的取值范围是( ) A ．[3,9] B ．[1,11] C ．[6,18] D ．[2,22]【解析】 设AB 的中点为D ，则OA →＋OB →＝2OD →，因为|AB |＝23，所以|CD |＝1，故点D在圆(x －2)2＋y 2＝1上，所以点D 的坐标为(2＋cos α，sin α)，故OP →·(OA →＋OB →)＝2OP →·OD →＝2(6＋3cos α＋4sin α)＝2[6＋5sin(α＋φ)]，而2≤2[6＋5sin(α＋φ)]≤22，则OP →·(OA →＋OB →)的取值范围是[2,22]．。

浅谈转换与化归思想转化思想就是数学中的一种基本却很重要的思想。

深究起来,转化两字中包含着截然不同的两种思想,即转换与化归。

这两者其实表达了不同的思想方法,可以说就是思维方式与操作方法的区别。

一、 转换思想(1)转换思想的内涵转换思想就是指解决问题时策略、方法、指导思想的跳跃性变化,能跳出现有领域的局限,联系相关领域,并用相关领域的思维方式来解决现有领域内的问题。

要做到这一点,对思维能力的要求相对更高,必须对各个领域分别都有透彻的了解,更必须对各领域之间的联系有较多的研究,在关键时刻才能随心所欲地运用。

(2)转换思想在同一学科中的应用转换思想可以就是在同一学科的不同知识模块之间的变换,在解决问题时改变解题方向。

象数学学科中,数与式的互相转换、数与形的互相转换、文字语言与符号语言的互相转换。

比如,函数、方程、不等式就是代数中的三大重要问题,而它们之间完全可以用三个知识模块的不同方法解决其她模块的各类问题。

不等式恒成立问题可以转换到用函数图象解决,或者就是二次方程根的分布,也可以转换到二次函数与x 轴的交点问题。

再比如,数列问题用函数观点来解释,那更就是我们数学课堂中一再强调的问题了。

瞧这样一个问题:已知:11122=-+-a b b a ,求证:122=+b a 。

[分析] 这就是一个纯粹的代数证明问题,条件的变形就是比较艰难的,所以希望把条件变形从而得到结论这条思路也有点令人望而生畏。

再仔细观察本题的条件、结论中所出现的形式,稍加联系,我们完全可以想到:21a -、21b -、122=+b a 这些特殊形式在另一知识模块——三角函数中经常出现,它们呈现出完全类似的规律性。

[解答]由题意1≤a 、1≤b ,则可设αsin =a ,αcos =b ,πα<≤0 11122=-+-a b b a 即为1sin 1cos cos 1sin 22=-+-αααα化简得1cos cos sin sin =+αααα所以0sin ≥=αa ,0cos ≥=αb则 1cos sin 2222=+=+ααb a[小结] 本题的解决了就是发现了不同知识模块中的类似规律,加以利用得到新的思路,本题的题设与结论中都没有出现三角函数的形式,最终却必须引进三角函数加以解决,思维已经具有跳跃性,对一般学生来说解决起来还就是比较棘手的。

数学思想之转化与化归总结在数学中，转化与化归是一种常用的思想方法。

通过转化问题的表达形式或者化简问题的复杂度，我们可以更容易地理解和解决数学问题。

转化与化归涉及到问题的等价转化、代数化简、几何转化、枚举化归等多个方面。

下面将从这几个方面对转化与化归进行总结。

首先，等价转化是一种常见的数学思想之一。

它意味着将一个问题转化为与之等价的另一个问题，以求得更容易解决的问题。

等价转化包括将问题的形式转化为更简单或者更具有可操作性的形式，或者将问题与已知的问题进行对应。

一个经典的例子是将一个复杂的代数方程转化为一个简单的一次方程或者二次方程，从而解决原方程。

在某些情况下，等价转化也可以是不可逆的，这意味着我们只能从简单的问题得到复杂的问题，但是这种转化仍然能够帮助我们更好地理解问题的本质和特点。

其次，代数化简是转化与化归的另一个重要方面。

代数化简是指通过运用代数运算的性质和规则，将一个复杂的代数表达式或者方程化简为更简单的形式。

代数化简的方法包括合并同类项、因式分解、配方法、三角函数的恒等变换等。

代数化简不仅可以减少问题的复杂度，还可以揭示问题的规律和特点，从而更好地解决数学问题。

几何转化是将几何问题转化为代数问题或者相反，通过几何图形的变换和变形，我们可以使得问题的解决更加直观和简单。

几何转化常常涉及到使用待定系数法、相似三角形的性质、勾股定理等几何知识，从而求得问题的解。

几何转化不仅能够帮助我们更好地理解和解决几何问题，还能够提高我们的思维能力和几何直观。

最后，枚举化归是一种将一个复杂的问题化归为若干个简单的情况，通过对每个简单情况的分析和解决，来解决原问题的方法。

枚举化归可以通过列举具体的例子，或者考虑特殊情况来进行。

枚举化归的优点是能够将一个复杂的问题简化为多个简单的情况，从而更好地理解和解决问题。

然而，枚举化归的缺点是可能需要计算大量的情况，耗费时间和精力。

综上所述，转化与化归是数学中一种重要的思想方法。

4 转化与化归思想主线—基础—方法—应用—例题—注意—总结知识清单：知识1 转化与化归思想概述知识2 转化与化归的原则知识1 转化与化归思想概述所谓化归思想就是通过转化，使所要解决的问题由难变易或变为已经解决的问题，以有利于解决的一种数学思想。

化归思想常常以变换题目的结构形状、变更问题、从反面探究结论等方式出现，前面所介绍的函数思想、方程思想、数形结合、分类讨论等都是重要的化归方法。

知识2 转化与化归的原则（1）目标简化原则将复杂的问题向简单的问题转化。

（2）和谐统一性原则即化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐，在量、形关系上趋于统一的方向进行，使问题的条件和结论更均匀和恰当。

（3）具体化原则即化归方向应由抽象到具体。

（4）低层次原则即将高维空间问题化归成低维空间问题。

（5）正难则反原则即当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。

方法清单：方法1 直接转化法方法2 换元转化法方法3 数形结合法转化方法4 构造法转化方法5 坐标法转化方法6 补集法转化方法7 空间与平面间的转化方法8 几何条件转化为向量关系的方法方法9 变更主元的转化法方法10一般式转化为标准式方法1 直接转化法把原问题转化为基本定理、基本公式或基本图形问题。

例1函数y=1+a x(0<a<1)的反函数的图象大致是（）方法2 换元转化法运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题。

例2 设20≤≤x ，求函数523421+⋅-=-x x y 的最大值和最小值。

方法3 数形结合法转化研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）的关系，通过互相变化获得转化途径。

例3 已知1,0,0=+≥≥b a b a ，求证225)2()2(22≥+++b a 方法4 构造法转化 “构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题。

新高考数学大一轮复习专题：第4讲 转化与化归思想 思想概述 转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时，思维受阻或试图寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情形使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式．方法一 特殊与一般的转化一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案．例1 (1)(2020·青岛模拟)“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C ：x 2a ＋1＋y 2a ＝1(a >0)的离心率为12，则椭圆C 的蒙日圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2＝9B ．x 2＋y 2＝7 C ．x 2＋y 2＝5D ．x 2＋y 2＝4 答案 B 解析 因为椭圆C ：x 2a ＋1＋y 2a ＝1(a >0)的离心率为12， 所以1a ＋1＝12，解得a ＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1， 所以椭圆的上顶点A (0，3)，右顶点B (2,0)，所以经过A ，B 两点的切线方程分别为y ＝3，x ＝2，所以两条切线的交点坐标为(2，3)，又过A ，B 的切线互相垂直，由题意知交点必在一个与椭圆C 同心的圆上，可得圆的半径r ＝22＋32＝7，所以椭圆C 的蒙日圆方程为x 2＋y 2＝7.(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C 1＋cos A cos C等于( )A.45B.15C.35D.25 思路分析 求cos A ＋cos C 1＋cos A cos C→考虑正三角形ABC 的情况 答案 A 解析 令a ＝b ＝c ，则△ABC 为等边三角形，且cos A ＝cos C ＝12，代入所求式子，得cos A ＋cos C 1＋cos A cos C＝12＋121＋12×12＝45. 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.方法二 命题的等价转化将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决．一般包括数与形的转化、正与反的转化、常量与变量的转化、图形形体及位置的转化．例2 (1)由命题“存在x 0∈R ，使01ex -－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的值是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2)C ．1D ．2 思路分析 命题：存在x 0∈R ，使01ex -－m ≤0是假命题→任意x ∈R ，e |x －1|－m >0是真命题→m <e |x －1|恒成立→求m 的范围→求a答案 C解析 由命题“存在x 0∈R ，使01ex -－m ≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x ∈R ，e |x －1|－m >0”是真命题，可得m 的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a )与(－∞，1)为同一区间，故a ＝1.(2)若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________．思路分析 g x 在t ，3上总不为单调函数→先看g x 在t ，3上单调的条件→补集法求m 的取值范围答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5 解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立， 所以m ＋4≥2t－3t 恒成立，则m ＋4≥－1， 即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x－3x 在x ∈(t,3)上恒成立， 则m ＋4≤23－9，即m ≤－373. 所以使函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5. 根据命题的等价性对题目条件进行明晰化是解题常见思路；对复杂问题可采用正难则反策略，也称为“补集法”；含两个变量的问题可以变换主元.方法三 函数、方程、不等式之间的转化函数与方程、不等式紧密联系，通过研究函数y ＝f (x )的图象性质可以确定方程f (x )＝0，不等式f (x )>0和f (x )<0的解集．例3 (2020·全国Ⅱ)若2x －2y <3－x －3－y ，则( )A ．ln(y －x ＋1)>0B ．ln(y －x ＋1)<0C ．ln|x －y |>0D ．ln|x －y |<0 答案 A解析 ∵2x －2y <3－x －3－y ，∴2x －3－x <2y －3－y. ∵y ＝2x －3－x ＝2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上单调递增， ∴x <y ，∴y －x ＋1>1，∴ln(y －x ＋1)>ln1＝0.例4 已知函数f (x )＝eln x ，g (x )＝1ef (x )－(x ＋1)．(e ＝2.718……) (1)求函数g (x )的极大值；(2)求证：1＋12＋13＋ (1)>ln(n ＋1)(n ∈N *)． 思路分析 g x 的极值→ln x <x －1→赋值叠加证明结论(1)解 ∵g (x )＝1e f (x )－(x ＋1)＝ln x －(x ＋1)， ∴g ′(x )＝1x－1(x >0)． 令g ′(x )>0，解得0<x <1；令g ′(x )<0，解得x >1.∴函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴g (x )极大值＝g (1)＝－2.(2)证明 由(1)知x ＝1是函数g (x )的极大值点，也是最大值点，∴g (x )≤g (1)＝－2，即ln x －(x ＋1)≤－2⇒ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时等号成立)，令t ＝x －1，得t ≥ln(t ＋1)(t >－1)．取t ＝1n(n ∈N *)时， 则1n >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ， ∴1>ln2，12>ln 32，13>ln 43，…，1n >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ， ∴叠加得1＋12＋13＋…＋1n >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×32×43×…×n ＋1n ＝ln(n ＋1)．即1＋12＋13＋ (1)>ln(n ＋1)(n ∈N *)． 借助函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值值域问题，从而求出参变量的范围.。