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整式乘除知识点在数学的学习中，整式乘除是一个重要的部分，它不仅是后续学习代数运算的基础，也在解决实际问题中有着广泛的应用。
下面就让我们一起来深入了解整式乘除的相关知识点。
一、整式的乘法（一）单项式乘以单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例如：3x²y × 5xy³＝ 15x³y⁴（二）单项式乘以多项式法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
例如：2x(3x² 5x ＋ 1) ＝ 6x³ 10x²＋ 2x（三）多项式乘以多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
例如：（x ＋ 2)（x 3) ＝ x² 3x ＋ 2x 6 ＝ x² x 6二、整式的除法（一）单项式除以单项式法则：把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
例如：18x⁴y³z² ÷ 3x²y²z ＝ 6x²yz（二）多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加。
例如：（9x³y 18x²y²＋ 3xy³) ÷ 3xy ＝ 3x² 6xy ＋ y²三、乘法公式（一）平方差公式（a ＋ b)（a b) ＝ a² b²例如：（3x ＋ 2)（3x 2) ＝ 9x² 4（二）完全平方公式（a ＋ b)²＝ a²＋ 2ab ＋ b²（a b)²＝ a² 2ab ＋ b²例如：（x ＋ 5)²＝ x²＋ 10x ＋ 25四、整式乘除的应用（一）几何图形中的应用在求解长方形、正方形等图形的面积和周长时，经常会用到整式的乘除。
整式乘法与乘法公式主讲教师：郭艳敏【知识精讲】（一）本节课知识点1. 同底数幂的乘法(,)m n m n a a a m n +⋅=都是正整数 即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2. 幂的乘方()(,)nm mn a a m n =都是正整数 即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3．积的乘方()()nn n ab a b n =是正整数 积的乘方，等于把积的每一个因式别离乘方，再把所得的幂相乘.4．单项式乘单项式单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母别离相乘，关于只在一个单项式里含有的字母，那么连同它的指数作为积的一个因式.整式运算的注意事项：(1)运算顺序是先乘方，后乘法，最后加减.(2)做每一步运算时都要自觉地注意有理有据，也确实是幸免知识上的混淆及符号等错误.5．单项式与多项式相乘的乘法法那么单项式与多项式相乘，确实是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.6．多项式相乘的乘法法那么多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所 得的积相加.7. 平方差公式()22()a b a b a b +-=-两个数的和与两个数的差的积，等于这两个数的平方差.8. 完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+ 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍.9. 同底数幂的除法(0)m n m n a a a a -÷=≠ 即同底数幂相除，底数不变，指数相减.()01a a =≠，0 任何非零数的零次幂都得110. 单项式除以单项式单项式相除，把系数与同底数幂别离相除作为商的因式，关于只在被除式里含有的字母，那么连同它的指数作为商的一个因式.11. 多项式除以单项式多项式除以单项式，先把那个多项式的每一项除以那个单项式，再把所得的商相加.（二）本节课的重、难点1. 重点：依照法那么正确进行整式乘除法运算2. 难点：法那么的逆用、乘法公式的灵活运用、添括号时括号中符号的处置（三）本节课的易错点1. 学生容易混淆乘法公式的结构特点和公式中字母的普遍含义2. 添括号时，括号中符号的处置易错【典例剖析】例1. 下面是某同窗在一次考试中的计算摘录：①()523623x x x -=-⋅；②()a b a b a 22423-=-÷；③()523a a =；④()()23a a a -=-÷-. 其中正确的个数有( ) 个 个 个 个例2. 已知==-=-yx y x y x ，则，21222（ ） A ．1 B ． ±2 C ． -2 D ． 2例3. （1）若35,37m n ==，那么3m n +=________ （2）已知339n n +=，那么n =（3）假设3x +5y =3, 832x y ⋅=__________例4.（1）要使23()254x x a b x x +-=++恒成立，那么a = ,b =（2）要使22()23x x ax x +-+中不含2x 项，那么a =例5. 若n 为自然数，试说明n (2n +1)-2n (n -1)的值必然是3的倍数.例6. 计算2323(1)()[()]y y y -⋅-⋅- (2)3222(2)()a a --例7. 计算（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅32235425y x y x xy （2）(y +2)(y -2)-(3-y )(3+y )(3)()()a b c a b c +--+ （4）22232[()()]3x x y xy y x x y x y ---÷例8. 简便计算（1）103×97 （2）1022【王牌例题】例1. x 2+ax +121是一个完全平方式，那么a =例2. 已知x ²+y ²+4x -2y +5=0，求x +y 的值例3.已知2=+b a ，1=ab ，求22b a +，a -b 的值例4.解不等式组()()()()()⎩⎨⎧--+>+++-->-255831432522x x x x x x x x x例5.已知m 2+m -1=0，求m 3+2m 2+2004的值例6.观看以劣等式：3211=332123+=33321236++=33332123410+++=……想一想，等式左侧各项的底数与等式右边的底数有什么关系？猜一猜，能够得出什么规律？【课堂回忆】1. 同底数幂的乘法(,)m n m n a a a m n +⋅=都是正整数2. 幂的乘方()(,)nm mn a a m n =都是正整数 3. 积的乘方()()nn n ab a b n =是正整数 4. 单项式乘单项式单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母别离相乘，关于只在一个单项式里含有的字母，那么连同它的指数作为积的一个因式.5. 单项式与多项式相乘的乘法法那么单项式与多项式相乘，确实是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.6. 多项式相乘的乘法法那么多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的 积相加.7. 平方差公式()22()a b a b a b +-=- 8. 完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+.9. 同底数幂的除法(0)m n m n a a a a -÷=≠10.单项式除以单项式单项式相除，把系数与同底数幂别离相除作为商的因式，关于只在被除式里含有的字母， 那么连同它的指数作为商的一个因式.11.多项式除以单项式多项式除以单项式，先把那个多项式的每一项除以那个单项式，再把所得的商相加.。
一、整式的乘法1.几个常用公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²(a+b)(a-b)=a²-b²(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³2.整式的乘法法则：(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd加减混合运算：(a+b)(c-d) = ac - ad + bc - bd3.多项式的乘法：(a₁+a₂+...+aₙ)(b₁+b₂+...+bₙ)=a₁b₁+a₁b₂+...+a₁bₙ+a₂b₁+a₂b₂+...+a₂bₙ+...+aₙb₁+aₙb₂+...+aₙb ₙ4.整式的乘法性质：交换律：a·b=b·a结合律：(a·b)·c=a·(b·c)分配律：a·(b+c)=a·b+a·c5.整式的乘法应用：展开、计算、化简等二、因式分解1.因式分解的基本概念：将一个整式分解为两个或多个因式的乘积的过程。
2.因式分解的方法：a.公因式提取法：找出整个整式和各项中的公因式，并提取出来。
b.公式法：利用已知的一些公式对整式进行因式分解。
c.分组法：将整式中各项按一定的规则分组，然后在每组内部进行因式分解。
d.辗转相除法：若整式中存在因式公共因式，可以多次使用辗转相除法进行因式分解。
3.一些常见的因式分解公式：a.二次差平方公式：a²-b²=(a+b)(a-b)b. 平方差公式：a² + 2ab + b² = (a+b)²c. 平方和公式：a² - 2ab + b² = (a-b)²d. 三次和差公式：a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)、a³-b³ = (a-b)(a²+ab+b²)e. 四次和差公式：a⁴+b⁴ = (a²+b²)(a²-ab+b²)、a⁴-b⁴ = (a+b)(a-b)(a²+b²)4.因式分解的应用：简化计算、寻找整式的根、列立方程等。
第一讲 整式及乘法公式第一部分 知识梳理一、基本概念1．同底数幂乘法法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即n m n m a a a +=⋅（m 、n 都是正整数） 2．幂的乘方法则幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即()mn nm a a =（m 、n 都是正整数）3．积的乘方积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即()nn nb a ab = （n为整数）二、平方差公式及完全平方公式（1）平方差公式：（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2；（2）完全平方公式：（a+b ）2=a 2+2ab+b 2;（a-b ）2=a 2-2ab+b 2，其中a 、b 可以是正数，也可以是负数，既可以是单项式，也可以是多项式。
三、整式的乘法1．单项式相乘，把它们的________分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则________．2．单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘________，再把所得的积________． 3．多项式与多项式相乘，先用________乘以________，再把所得的积________．第二部分 例题与解题思路方法归纳【例题1】 阅读下列材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘个n a a a ⋯⋅记为a n ．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log 28（即log 28=3）．一般地，若a n=b （a ＞0且a ≠1，b ＞0），则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log a b=n ）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log 381（即log 381=4）．（1）计算以下各对数的值：log24=，log216=，log264=．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？log a M+log a N=；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）根据幂的运算法则：a n•a m=a n+m以及对数的含义证明上述结论．〖选题意图〗本题是开放性的题目，难度较大．借考查对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．〖解题思路〗首先认真阅读题目，准确理解对数的定义，把握好对数与指数的关系．（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，不难找到规律：4×16=64，log24+log216=log264；（3）有特殊到一般，得出结论：log a M+log a N=log a（MN）；（4）首先可设log a M=b1，log a N=b2，再根据幂的运算法则：a n•a m=a n+m以及对数的含义证明结论．〖参考答案〗解：（1）log24=2，log216=4，log264=6；（2）4×16=64，log24+log216=log264；（3）log a M+log a N=log a（MN）；（4）证明：设log a M=b1，log a N=b2，则=M，=N，∴MN=，∴b1+b2=log a（MN）即log a M+log a N=log a（MN）．【课堂训练题】1．已知2a•5b=2c•5d=10，求证：（a﹣1）（d﹣1）=（b﹣1）（c﹣1）．〖参考答案〗证明：∵2a•5b=10=2×5，∴2a﹣1•5b﹣1=1，∴（2a﹣1•5b﹣1）d﹣1=1d﹣1，①同理可证：（2c﹣1•5d﹣1）b﹣1=1b﹣1，②由①②两式得2（a﹣1）（d﹣1）•5（b﹣1）（d﹣1）=2（c﹣1）（b﹣1）•5（d﹣1）（b﹣1），即2（a﹣1）（d﹣1）=2（c﹣1）（b﹣1），∴（a﹣1）（d﹣1）=（b﹣1）（c﹣1）．2．若a m=a n（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m=n．你能利用上面的结论解决下面的2个问题吗？试试看，相信你一定行！①如果2×8x×16x=222，求x的值；②如果（27﹣x）2=38，求x的值．〖参考答案〗解：（1）∵2×8x×16x=21+3x+4x=222，∴1+3x+4x=22，解得，x=3（2）∵（27﹣x）2=3﹣6x=38，∴﹣6x=8，解得x=﹣【例题2】设m=2100，n=375，为了比较m与n的大小。
整式的乘法与因式分解所有知识点总结一、整式的乘法1.乘法法则：(1)两个整系数多项式相乘，按照分配律逐项相乘再相加即可。
(2)对于整式的乘幂，将底数相乘，指数相加。
(3)进行乘法时，可以将同类项合并。
2.乘法的性质：(1)乘法交换律：a*b=b*a(2)乘法结合律：(a*b)*c=a*(b*c)(3)乘法的分配律：a*(b+c)=a*b+a*c3.乘法公式：(1) 平方公式：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(2)平方差公式：(a+b)(a-b)=a^2-b^2(3) 三项平方和公式：a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + ac + bc)4.乘法的运用：(1)计算多项式的立方和高次幂。
(2)将多项式与常数相乘。
(3)将多项式乘以一个多项式。
二、因式分解1.因式分解的定义：因式分解是指将一个多项式表示为几个乘积的形式，其中每个乘积称为因式。
2.因式分解的方法：(1)公因式提取法：将多项式的所有项提取出一个最高公因式，然后将剩余部分因式分解。
(2)公式法：利用数学公式，如平方公式、立方公式等进行因式分解。
(3)分组分解法：将多项式分成若干组，每组提取公因式后进行因式分解。
3.公式法的常见因式分解：(1)平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)(2) 完全平方公式：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2(3) 差平方公式：a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2(4) 立方和公式：a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)(5) 三项平方和公式：a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + ac + bc)4.分组分解法的常见因式分解：(1)将多项式分成两组，每组提取公因式后进行因式分解。
(2)将多项式分成三组，每组提取公因式后进行因式分解。
