整式的乘法和乘法公式(普通难度教师版)

龙文教育个性化辅导教案学生 学校 年级 课次 科目教师日期时段课题 整式乘法及乘法公式教学目标 考点分析1、单项式与单项式、单项式与多项式、多项式与多项式相乘除的法则，熟练运用；2、熟练运用平方差公式、完全平方公式。

教学重点 难点1、运用乘法法则熟练进行计算；2、平方差公式与完全平方公式的应用；3、平方差公式与完全平方公式的逆用。

教学内容 乘法法则回顾：1.单项式乘法：单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘；2.单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，就是单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加（根据乘法对加法的分配率）。

3.多项式与多项式相乘法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的乘积相加(注意符号，不要漏算，最后结果不含同类项)【例1】计算：22(1)(3)(821)a a a --+ 22231(2)(2)()42x y xy xy -•-【例2】化简：(1)()(2)(2)()a b a b a b a b +--+- 2(2)5(21)(23)(5)x x x x x ++-+-【例3】若22(3)(3)x nx x x m ++-+的乘积中不含2x 和3x 项，求m 和n 的值新课讲授：乘法公式（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，即 （a ＋b ）（a －b ）＝a 2-b2注意：上式中a ，b 可以表示单项式，也可以表示多项式。

【例4】运用平方差公式计算：2211(1)()()22x y x y -+ (2)(41)(41)a a ---+(3)()()m n m n a b a b +- (4)()()a b c a b c -+++【例5】利用平方差公式简化计算：(1)59.860.2;⨯ (2)10298;⨯ 2(3)123461234512347;-⨯ 2(4)2008【拓展】计算：242(1)(21)(21)(21)(21)n ++++23221111(2)(1)(1)(1)(1)23410----2222222(3)1009998979621-+-++-【例6】观察下列等式：9-1=8，16-4=12，，36-16=20…这些等式反映出自然数间的某种规律，设n 表示正整数，用关于n 的等式表示_____________（2）完全平方公式：两个单项式的和（或者差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的两倍，即： （a ±b ）2＝a 2±2ab+b 2*注意完全平方和（差）公式的逆应用【例7】计算：2(1)(4)m n + 21(2)()2x -2(3)(32)x y - 21(4)(4)4y --【例8】计算：2(1)()a b c ++ 2(2)(23)a b c -+ 2(3)()a b c --【例9】（1）若2414039x x -+=，则x=________ （2）若228x xy k ++是一个完全平方式，则k=________ （3）若224m kmn n ++是一个完全平方式，则k=________ （4）若x+y=8,xy=7,则22x y +=_______,x-y=_______【例10】已知a+b=3,ab= -12，求下列各式的值22(1)a b +；22(2)a ab b -+；2(3)()a b -【例11】（1）已知12x x -=，求221x x+的值（2）已知22114x x +=，求1x x+的值【例12】解方程：22(23)(4)(2)6x x x x +--+=+【课堂练习】1. 在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ） A ．2222)(b ab a b a ++=+ B ．2222)(b ab a b a +-=- C ．))((22b a b a b a -+=-D ．222))(2(b ab a b a b a -+=-+ 2、化简：322)3(x x -的结果是A ．56x -B ．53x -C ．52xD ．56x 3.当31x y ==、时，代数式2()()x y x y y +-+的值是 ． 4、若221m m -=，则2242007m m -+的值是 ． 5、化简：（x －y ）（x+y ）+（x －y ）+（x+y ）.6、计算：()()2121x x ++-7、已知2514x x -=，求()()()212111x x x ---++的值8、先化简，再求值：22()()()2a b a b a b a +-++-，其中133a b ==-，．aa bba bb图甲 图乙学生总结评定1.学生本次课对老师的评价：○特别满意○满意○一般○差2.本次课我学到了什么知识：学生签字：教师总结评定1.学生上次作业完成情况：2.学生本次上课表现情况:3.老师对本次课的总结：教师签字：课前审阅：课后检查：龙文教育课后作业学生 科目 教师 课次完成时间完成 情况1、下列运算正确的是（ ）A ．b a b a --=--2)(2B ．b a b a +-=--2)(2C ．b a b a 22)(2--=--D ．b a b a 22)(2+-=--2．计算： ⎪⎭⎫⎝⎛-⋅23913x x =________；24(2)a --=________． 3．已知：32a b +=，1ab =，化简(2)(2)a b --的结果是 ． 4、计算：31(2)(1)4a a -⋅- = ．5、如图，沿正方形的对角线对折，•把对折后重合的两个小正方形内的单项式相乘，乘积是___________（只要写出一个结论）a 2ab-2b6、若a-1a =3，求a 2+21a的值．7、计算：()()()2312x x x +---8、先化简，再求值：(2)(2)(2)a a a a -+--，其中1a =-．教师签字： 审阅签字： 时间：龙文教育课后测试卷学生科目教师课次完成时间得分/测试内容试卷分析教师签字：审阅签字：时间：。

1.同底数幂相乘，底数不变，指数相加.一般形式：m n a m a n a +=⋅2.幂的乘方，底数不变，指数相乘.一般形式：（n ，m 为正整数)mn n m aa =)((m ,n 为正整数)3.积的乘方等于各因数乘方的积.一般形式：(n 为正整数)n n aab =)(n b 知识回顾：整式的乘法二、练习计算:3122210)())((+-⋅n n a a 32239)())((x x -⋅-(1) a 3·a 4(2) -a · a 3(3)a · (-a )3· (-a )5(4) a 8 + (a 2)4 (5) a 3 . (a 5)2(6) (x 2 . x 3)3(7) (a 2 . a )3 . (a 2)3(8) (-a 3)2 . a -2a 7433211])[(]))[((y x y x +⋅+练习计算(12) (-3n )3(13) (5xy )332)(h 23)3(a -43)21(c a (14)(15)(17)(16)42)(y a 323)(y x -(18)让我们一起来回顾：2.单项式与单项式相乘单项式×单项式＝(系数×系数)(同底数幂相乘)(单独的幂)32223322232233232451)()()())(()())((yz x xy a a c b b a -⋅-⋅--⋅-)(c b a m ++mcmb ma ++=m (a +b+c )=ma mb mc ++2a 2(3a 2-5b )=2a 2.3a 22a 2.(-5b)+=6a 4-10a 2b (-2a 2)(3ab 2-5b )=(-2a 2).3ab 2(-2a 2).(-5b)+=-6a 3b 2+10a 2b类似的:3.单项式与多项式相乘乘法分配律⑴⑵2.()()32-2x y ×3xy -3xy +1()()322x -x 4x +1化简：()()22x x -1+2x x+11.计算：(a +b )(m +n )=a m +a n +b m +b n多项式的乘法法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.4.多项式与多项式相乘练习计算：(1)(x+2)(x −3),(2)(3x -1)(2x +1)。

整式的乘法教案一、教学目标1. 能够理解整式的乘法规则，掌握整式的乘法方法。

2. 能够应用整式的乘法方法解决实际问题。

二、教学内容1. 整式的乘法规则2. 整式的乘法方法3. 应用整式的乘法解决实际问题三、教学重难点1. 整式的乘法规则的掌握2. 整式的乘法方法的运用四、教学方法1. 讲授法2. 练习法五、教学过程1. 整式的乘法规则首先，对于两个单项式相乘，应用成分分解方法进行计算，即把两个单项式中的系数和字母分开，然后对系数和字母分别相乘：例如：(3a)(4b) = 3 × 4 × a × b = 12ab对于两个多项式相乘，利用分配律，把两个多项式的各项依次相乘，然后将结果合并：例如：(3a + 2b)(4a − 5b) = 3a × 4a − 3a × 5b + 2b × 4a − 2b × 5b = 12a^2 − 15ab + 8ab − 10b^2= 12a^2 − 7ab − 10b^22. 整式的乘法方法步骤一：分解整式将整式按照单项式分解的方式分解为单项式的乘积。

例如：2x^2 − 3xy + y^2 = (2x − y)(x − y)步骤二：按照公式进行运算根据乘法公式，在相应的位置上写下对应的系数和字母，然后合并同类项。

例如：(2x − y)(x − y) = 2x^2 − 2xy − xy + y^2 = 2x^2 − 3xy + y^2步骤三：检查结果检查结果是否合理，是否有错漏。

3. 应用整式的乘法解决实际问题例题一：甲、乙两人从甲地到乙地需要上车，车费7元，甲要付5元，乙付2元，求甲、乙两人到车站乘车的路程相差3千米，则甲、乙两人到车站乘车的路程分别是多少千米？解题方法：设甲的路程为x千米，则乙的路程为(x + 3)千米。

由题意可得：5/x + 2/(x + 3) = 7/x(x + 3)将上式通分并整理得：3x^2 − 2x − 15 = 0将上式分解得：(3x + 5)(x − 3) = 0得出x = −5/3，3因为路程不能为负数，所以甲的路程为3千米，乙的路程为6千米。

学之导教育中心教案 学生: 陈林茵 授课时间： 月 日 课时： 2 年级： 八年级 教师： 陆老师课 题 整式的乘法和乘法公式教案构架 ：一、 知识回顾二、 知识检验三、 知识新授四、 知识小结教案内容：一、知识回顾二、知识检验三、知识新授22222()(,,)()()()():()()()2m n m n m n mn n n n a a a a a m n a b ab a b m a b ma mb m n a b ma mb na nb a b a b a b a b a ab b +⎧⎫⋅⎪⎪=⎨⎬⎪⎪=⋅⎩⎭⨯⎧⎪⨯+=+⨯++=+++⎨⎧+-=-⎪−−−→⎨±=±+⎪⎩特殊的=幂的运算法则为正整数，可为一个单项式或一个式项式单项式单项式单项式多项式:多项式多项式：整式的乘法平方差公式 乘法公式完全平方公式：⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩本次内容掌握情况总结 教 务 老 师 签 字 学 生 签 字整式的乘法1、同底数幂的乘法例：计算。

()()432a a a -∙-∙- ()()()x y x y y x -∙-∙-32 ()()122--∙-m m x y y x例：已知568122222⨯⨯=-x ，1211101010=∙+-y y ，求y x +的值。

练一练：已知1112x x x n n m =∙+-，且541y y y n m =∙--，求2mn 的值。

例：已知510=a ，610=b ，求b a 3210+的值。

2、幂的乘方例：计算。

()()31212+-∙n n a a ()()3223x x -∙- 归纳： 1、当a ＞0，m 为奇数时，()m m a a -=-，当m 为偶数时，()m m a a =-； 2、对于()m b a -，当m 为奇数时，()()m m a b b a --=-，当m 为偶数时，()()m m a b b a -=-。

第三讲 整式的乘法与除法一、 基础知识●整式的加减整式的加减涉及到许多概念，准确地把握这些概念并注意它们的区别与联系是解决有关问题的基础，概括起来就是要掌握好以下两点：1．透彻理解“三式”和“四数”的概念“三式”指的是单项式、多项式、整式；“四数”指的是单项式的系数、次数和多项式的次数、项数．2．熟练掌握“两种排列”和“三个法则”“两种排列”指的是把一个多项式按某一字母的升幂或降幂排列，“三个法则”指的是去括号法则、添括号法则及合并同类项法则．物以类聚，人以群分．我们把整式中那些所含字母相同、并且相同字母的次数也相同的单项式作为一类——称为同类项，一个多项式中的同类项可以合聚在一起——称为合并同类型．这样，使得整式能大为简化，整式的加减实质就是合并同类项● 整式的乘法与除法 指数运算律是整式乘除的基础，有以下4个：.,(),()m n m n m mn a a aa a ab +==n =,.n n m n m n a b a a a -÷=学习指数运算律应注意：1．运算律成立的条件；2．运算律字母的意义：既可以表示一个数，也可以是一个单项式或者多项式；3．运算律的正向运用、逆向运用、综合运用．多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展，方法与多位数除以多位数的演算方法相似，基本步骤是：1．将被除式和除式按照某字母的降幂排列，如有缺项，要留空位；2．确定商式，竖式演算式，同类项上下对齐；3．演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止．二、 例题第一部分 基础概念与整式加减法例1. 若2x+5y-3=0,则432_____x y= (2002年绍兴市竞赛题)解：8例2. 已知单项式0.25x b y c 与单项式-0．125x 1-m y 12-n 的和为0．625ax n y m，求abc 的值． 解：12 提示：由题意得b=m-1=n,c=2n-1=m,0.625a=0.25+(-0.125)例3. 同时都含有字母a ，b ，c ，且系数为1的7次单项式共有( )．(A)4个 (B)12个 (D)25个(北京市竞赛题)解：C 提示：设满足条件的单项式为m n p a b c 的形式，其中m 、n 、p 为自然数，且m+n+p=7.例4. 把一个正方体的六个面分别标上字母A 、B 、C 、D 、E 、F 并展开如图 所示，已知：A=2234y xy x +-,C=2223y xy x --,B=)(21A c -, E=B －2C ，若正方体相对的两个面上的多项式的和都相等，求D 、F ． (第9题) 解：2222374,9112D x xy y F x xy y =-+=-+例5. 已知 22276(2)()x xy y x y x y A x y B -----=-+++.求A 、B 的值. 思路点拨 等号左右两边的式子是恒等的，它们的对应项系数对应项系数对应相等，从而可以通过比较对应项系数来解.解：A=-3，B=2。

整式的乘法与因式分解全章教案第一章：整式的乘法1.1 整式乘法的基本概念理解整式的定义及表示方法掌握整式乘法的基本原理1.2 整式的乘法法则学习整式乘法的基本法则练习整式乘法的计算方法1.3 多项式乘多项式理解多项式乘多项式的概念掌握多项式乘多项式的计算方法1.4 单项式乘多项式理解单项式乘多项式的概念掌握单项式乘多项式的计算方法第二章：平方差公式与完全平方公式2.1 平方差公式推导平方差公式练习应用平方差公式解题2.2 完全平方公式推导完全平方公式练习应用完全平方公式解题2.3 平方根与乘方理解平方根与乘方的概念掌握平方根与乘方的计算方法第三章：因式分解3.1 因式分解的概念理解因式分解的定义及意义掌握因式分解的基本方法3.2 提取公因式法学习提取公因式法的方法练习提取公因式法解题3.3 公式法学习公式法的方法练习公式法解题3.4 分组分解法学习分组分解法的方法练习分组分解法解题第四章：应用题与综合练习4.1 应用题解法学习应用题的解法练习解决实际问题4.2 综合练习综合运用所学知识解决实际问题提高解题能力与思维水平第五章：复习与总结5.1 复习重点知识复习整式的乘法与因式分解的重点知识巩固所学内容5.2 总结全章内容总结整式的乘法与因式分解的主要概念和方法提高学生的综合运用能力第六章：多项式的乘法与除法6.1 多项式乘多项式理解多项式乘多项式的概念掌握多项式乘多项式的计算方法6.2 单项式乘多项式与多项式乘单项式理解单项式乘多项式与多项式乘单项式的概念掌握单项式乘多项式与多项式乘单项式的计算方法6.3 多项式除以单项式理解多项式除以单项式的概念掌握多项式除以单项式的计算方法6.4 多项式除以多项式理解多项式除以多项式的概念掌握多项式除以多项式的计算方法第七章：分式与分式方程7.1 分式的概念与性质理解分式的定义及表示方法掌握分式的基本性质7.2 分式的运算学习分式的运算规则练习分式的计算方法7.3 分式方程理解分式方程的定义及解法掌握解分式方程的方法7.4 应用题与综合练习学习解决实际问题中涉及分式与分式方程的问题提高解决实际问题的能力第八章：二次三项式的因式分解8.1 二次三项式的概念理解二次三项式的定义及表示方法掌握二次三项式的性质8.2 二次三项式的因式分解学习二次三项式的因式分解方法练习二次三项式的因式分解技巧8.3 应用题与综合练习学习解决实际问题中涉及二次三项式的因式分解的问题提高解决实际问题的能力第九章：方程的解法与应用9.1 方程的解法学习方程的解法掌握解一元二次方程的方法9.2 方程的应用理解方程在实际问题中的应用练习解决实际问题中涉及方程的问题9.3 应用题与综合练习学习解决实际问题中涉及方程的问题提高解决实际问题的能力第十章：复习与总结10.1 复习重点知识复习本章的重点知识巩固所学内容10.2 总结全章内容总结本章的主要概念和方法提高学生的综合运用能力重点和难点解析1. 整式乘法的基本概念和原理：理解整式乘法的定义和表示方法，掌握整式乘法的原理是学习整式乘法的基础，需要重点关注。

A．x（1﹣2x）2B．x（2x﹣1）（2x+1）C．x（1﹣2x）（2x+1）D．x（1﹣4x2）2.设b＞0，a2﹣2ab+c2=0，bc＞a2，则实数a、b、c的大小关系是（A）A．b＞c＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．b＞a＞c3.若（x+2）是多项式4x2+5x+m的一个因式，则m等于（ A ）A．–6B．6C．–9D．9三、课堂练习1．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（D）A．﹣1B．﹣1或﹣11C．1D．1或112．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（A）A．25B．20C．15D．103．已知三个实数a，b，c满足a﹣2b+c＝0，a+2b+c＜0，则（D）A．b＞0，b2﹣ac≤0B．b＜0，b2﹣ac≤0C．b＞0，b2﹣ac≥0D．b＜0，b2﹣ac≥04．已知a＝，b＝，c＝，则代数式2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）的值是 6 ．5．若a﹣b＝3，b﹣c＝2，那么a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc＝19 ．6．已知x2﹣2x﹣1＝0，则3x2﹣6x＝ 3 ；则2x3﹣7x2+4x﹣2019＝-2022 ．7．已知x2﹣2x﹣3＝0，则x3﹣x2﹣5x+12＝15 ．8．若a＝2009x+2007，b＝2009x+2008，c＝2009x+2009，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为 3 ．9．已知2x2﹣ax﹣2＝0，则下列结论中正确的是124 ．①其中x的值不可能为0；②当x＝2时，；③若a＝1时，；④若a＝2时，x3﹣4x2+2x＝﹣3．10．设n为整数，则（2n+1）2﹣12.5一定能被（B）A．2整除B．4整除C．6整除D．8整除11．248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（B）A．61和63B．63和65C．65和67D．64和6712．对于算式20183﹣2018，下列说法错误的是（C）A．能被2016整除B．能被2017整除C．能被2018整除D．能被2019整除13．如图①，是一个棱长为a的正方体中挖去一个棱长为b的小正方体（a＞b）（1）如图①所示的几何体的体积是a3-b3．（2）用另一种方法表示图①的体积：把图①分成如图②所示的三块长方体，将这三块长方体的体积相加后得到的多项式进行因式分解．比较这两种方法，可以得出一个代数恒等式（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3．14．若a2﹣b﹣1＝0，且（a2﹣1）（b+2）＜a2b．（Ⅰ）求b的取值范围；（Ⅱ）若a4﹣2b﹣2＝0，求b的值．15．已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC的形状是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形三角形．16．△ABC的两边a，b满足a4+b4﹣2a2b2＝0，且∠A＝60°，则△ABC的形状是等边三角形三角形．17．阅读下列文字：我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式；（2）利用（1）所得结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个边长分别为a、b的长方形纸片，①请按要求利用所给的纸片拼出一个几何图形，并画在图3所给的方框中，要求所拼出的几何图形的面积为2a2+5ab+2b2，②再利用另一种计算面积的方法，可将多项式2a2+5ab+2b2分解因式．即2a2+5ab+2b2＝．18．阅读理解材料一：若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除；反之也能够成立．材料二：两位数p和三位数q，它们各个数位上的数字都不为0，将数p任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数q的任意一个数位上的数字作为该新数的两位数的个位数字，技照这种方式产生的所有新的两位数的和记为T（p，q）例如：T（12，123）＝11+12+13+21+22+23＝102，T（33，456）＝34+35+36+34+35+36＝210．（1）填空T（15，345）＝．（2）求证：当q能够被3整除时T（p，q）一定能够被6整除．（3）若一个两位数m＝2la+b，一个三位数n＝12la+b+199，（其中1≤a≤4，1≤b≤5，a，b为整数），交换三位数n的百位数字和个位数字得到新数n′，当m的个位数字的3倍与n′的和能被11整除时，称这样的两个数m和n为“和谐数对”，求所有和谐数对中T（m，n）的最大值．四、课堂小结重难点：多项式乘多项式；乘法公式；因式分解的方法。

整式的乘除法综合在整式及其加减运算后，进一步学习整式的乘除，是对整式运算的延展和补充.整式的乘除法的基础是同底数籍的乘法和除法，籍的乘方和积的乘方，单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘，单项式除以单项式、多项式除以单项式等运算.通过这节课的学习，一方面加强对整式乘除运算的进一步理解，另一方面也为后期学习分式的运算奠定基础.P［整式的乘法整式的乘除法1、单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数籍分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式.注：单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按”先乘方、再乘法的顺序进行例如•2xv2 23X2v 4X2v43X2v 12X4v51XA H J //」乂 L |」•\/ .4/'H •c x y u x y *t x y u x y ic x y.2、单项式与多项式相乘法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项.再把所得的积相加.例如：m a b c=ma mb mc.3、多项式乘以多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.用公式表示为: (m n)(a b) (m n)a (m n)b ma na mb nb .4、同底数籍的除法法则：同底数籍相除，底数不变，指数相减.用式子表不■为：a m a n a m n (m、n都是正整数且m n , a 0).5、规定a0 1 a 0 ; a p $ (a 0 , p是正整数).6、单项式除以单项式的法则：两个单项式相除，把系数、同底数籍分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.7、多项式除以单项式的法则:多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加.(1)多项式除以单项式，商式与被除式的项数相同，不可丢项.(2)要求学生说出式子每步变形的依据.(3)让学生养成检验的习惯，利用乘除逆运算，检验除的对不对.一、选择题1.下列运算中结果正确的是( ).- - - 一一一 3 _A 336D 224八 2 5 cx x x ； B、3x 2x 5x ； C、x x ； D 、2 2 2x y x y .【难度】★【答案】A【解析】B正确答案为：3x2 2x2 5x2；C正确答案为x23 x6；D正确答案为x y 2x22xy y2 .【总结】本题主要考查对整式的运算法则的理解和运用.2.在下列的计算中正确的是（).A 2x 5y 5xy B、a a 2 a2 4G a2 ab a3b 2x 6x 9【答案】C【解析】A的两个单项式不能合并; 正确答案为D正确答案为x 32 x2 6x 9【总结】本题主要考查对整式的运算法则的理解和运用.3.下列运算中正确的是（).A 6 c 3 c 2 A、6x 3x 2x B、8x8,2 c 64x 2x2xy xyC、3xy 23x yA 、 abB. abC. D.b【解析】A 正确答案为6x 6 3x 3 2x 3 ;C 正确答案为223xy 3x 3xy ;D 正确答案为x 2y 2 xy 2 1.【总结】本题主要考查对整式的除法则的理解和运用.【总结】本题属于混合运算，计算时注意对相关运算法则的准确运用.5.如果4a 2 3ab M 4a 3b ，那么单项式M 等于（）.4.计算 4ab 的结果是（).A 、4B 、A 2ab【答案】C【解析】原式=a 2 b 22ab a 2 b 2 2ab 4ab4ab 4ab 1【难度】【答案】C【解析】4a 2 3ab a 4a 3b a 4a 3b , /. M a .【总结】本题主要考查对整式的除法则的理解和运用.6.设M 是一个多项式，且M 5 x 2y2x 2y 4 —x ，那么M 等于（）.32【难度】★★【答案】Cf 皿 士匚 1…2 43 5 2 2 45 23 5 2 104 55 3M 2x y — x -x y 2xy — xy-x-xy— x y -x y2332332【总结】本题主要考查对整式的除法则的理解和运用.645943x y —x y B 、6 3 -y 55 2xy10 4 5 3xy2xy10 4 5i xy2xy7.已知x2 kxy 64y2是一个完全平方式，贝U k的值是（）.【难度】★★【答案】D【总结】本题主要考查对完全平方公式的理解和运用.8.如下图（1）,边长为a 的大正方形中一个边长为b 的小正方形, 小明将图（1）的阴影部分拼成了一个矩形，如图（2）.这一过程 可以验证（）.【解析】图1中，阴影部分的面积为a 2 b 2,图2中，阴影部分为长方形，长为a b ,宽为a b ,A 、8B 、±8C 、16【解析】X 2 kxy 64 y 2 x 2 kxy228y =x 28 xy28yA a 2 b 2 2abB 、a 2 b 2 2ab a b 2 ;G 2a 2 3ab b 22a b a- bDk a 2 b 2 a b a b【难度】★★【答案】D面积为【总结】本题通过图形面积的转化加强对平方差公式的理解.9.如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式:b n 2a b ；④ 2am 2an bm bn ,你认为其中正确的有（）A、①②B、③④C、①②③ D>①②③④【难度】★★【答案】D【解析】图中①②③④中各个代数中表示图中长方形的面积.【总结】本题主要是通过图形的面积加强对整式乘法的理解.10.已知P — m 1 , Q m2—m （m为任意实数），则P、Q的大小关系15 15Dk不能确B、P Q【难度】★★★【答案】C【解析】Q P m28 —m 7 —m 1 m2m 1 m 1 2 3 015 15 2 4【总结】本题主要考查通过作差法来比较两个数的大小.二、填空题11.若5x 3y 2 0 , I05x 103y .【难度】★【答案】100【解析】；5x 3y 2 0 , 5x 3y 2 , /. 105x 103y=105x3y 102【总结】本题主要考查对同底数籍相除的法则的逆用.12.已知m n 2, mn 2，贝!j 1 m 1 n .【难度】★【答案】-3【解析】1 m 1 n 1 m n mn 1 mn 1 2 2【总结】本题一方面考查整式的乘法，另一方面考查整体代入思想的运用.13.若m2 n2 6 ,且m n 3 ,贝!J m n .【难度】★【答案】2.【解析］•/ m2 n2 m n m n 6 , m n 3 , m n 2 .【总结】本题主要考查对平方差公式的运用.14.方程x 3 2x 5 2x 1 x 8 41 的解是.【难度】★【答案】x 3.【解析】x 3 2x 5 2x 1 x 8 41 ,二2x2 5x 6x 15 2x2 16x x 8 41 ,即16x 48【总结】本题通过利用整式的乘法来进行方程的求解.15.已知x2 5x 1，那么x2 W x【难度】★★【答案】272【解析】x2 5x 1 , x 1 5 . x 125,x xx2二 2 25 . x2 4 27 .x x【总结】当两个数互为倒数时，已知它们的和或者差，都可以利用完全平方公式求出它们的平方和.16.设4x2 2 m 3 x 121是一个完全平方式，贝m=.【难度】【答案】19或-25【解析】•/ 4x2 2 m 3 x 121 2x 2 2 m 3 x 11 2 ,. 2m 3 44 , m为19 或-25 .【总结】本题主要考查对完全平方公式的理解和运用.17.计算2x 3xy 2 x2y ‘的结果是.【难度】★★【答案】18x9y5f础居，c c 223CC22 6 3 . o 9 5I用牛忻1 2x 3xy x y 2x 9x y x y 18x y .【总结】本题主要考查对单项式乘以单项式法则的理解和运用.18.已知5x与一个整式的积是25x2 15x3y 20x4 ,则这个整式= ______________________【难度】★★【答案】5x 3x2y 4x3 .x 3和 x 1 满足 4x 3 9x 2 mx n 0 .【解析】 - 2 3 4 - 2 325x 15x y 20x 5x 5x 3x y 4x .【总结】本题主要考查对整式的除法的法则的理解和运用.19.若一三角形的底为4a 2 ［，高为16a 4 2a 2【，则此三角形的面积为2 4【难度】★★★ 【答案】 6 132a16 【解析】 1 4a 2 - 16a 4 2a 2 1 1 64a 6 8a 4 a 2 8a 4 a 2 -32a 6 — 2 2 4 2 816【总结】本题主要是利用整式的乘法来求解几何图形的面积.20.已知x 2 2x 3能整除4x 3 9x 2 mx n,求n\ n 的值.【难度】★★★【答案】m 10, n 3.1【解析】..• 4x39x2mx n x22x 3 A x 3 x 1 A, x 3和x 1 满足4x3 9x2 mx n 0 .4 3 3 93 2 3m n 0 则 』c 』2 c '4191 m n 0 【总结】本题是一道综合性比较强的题目，计算时要注意方法的选择.三、简答题21.计算：x2y 2【总结】本题主要考查对整式运算中的相关法则的运用.22.计算:32 2x y 2xy 1m 10 n 3 【解析】原式 =x 2y 2 2xy x 2 y 2 2y 2 2xy . 2x 3y 3(2) 6m 2n 6m 2n 23m 2 3m 2【难度】【答案】(1) 6x7y3 ; (2) 2n 2n2 1 .2 3T角贫*斥】＜1、百7^ —2X3V2XV2X3V2X24X6V22xvRx'v32x2L用牛仙1 V 1 / 赛工J —2x y 2xy 2x y 2x4x y 2x y 8x y2x73 73 732x y 4x y 6x y -(2)原式—6m2n 3m26m2n23m23m23m22n 2n2 1 .【总结】本题主要考查对整式运算中的相关法则的运用.23.计算: x25x 6 x 6【难度】★【答案】x 1【解析】x 6 x 1 x 6 x 1 .【总结】本题主要是利用因式分解进行多项式除以多项的计算.24.计算：(1)x 4y 2x 3y (xy) ；(2) 6a b c 3a b c 2a b c .【难度】★【答案】(1) 6x7y3 ; (2) 2n 2n2 1 .【答案】(1) 2x25xy 12y2x y; (2) -1 .【解析】(1)原式—2x23xy 8xy 12y2x y 2x2 5xy 12y2x y；(2)原式=2a3b3c3 2a3b3c31.【总结】本题是整式的混合运算，计算时注意法则的准确运用.25.计算：2 2 2(1) a 2b 1 ; (2) 2x 3x 4x 1 3x 2x 3 ;2 2(3)2a 3b 2a b 2a b ; (4) x y y 2x y 8x 2x【难度】★【答案】(1) a2 4ab 4b2 2a 4b 1 ; (2) x2 2x ;1(3)10b212ab ; (4) §x 4 .【解析】(1)原式=a 2b2 2 a 2b 1 a2 4ab 4b2 2a 4b 1 ;(2)原式=6x38x2 2x 6x39x2 6x3 8x2 2x 6x3 9x2x22x;(3)原式=4a2 9b2 12ab 4a2 b210b2 12ab ;(4)原式=x2y22xy 2xy y28x 2x x2 8x 2x —x 4 .2【总结】本题是整式的混合运算，计算时注意法则的准确运用.26.计算下列各题:(1) m na3m 2namn 5a(2)2 3 2 5xy37xy2 3 3y2 2 3y【难度】 ★★【答案】(1)2mn .a ，(2)3x 3 521 —xy 2y •【解析］(1)原式=a mn a 6mn a 5mn a 2mn ;【总结】本题是整式的混合运算，计算时注意法则的准确运用.27.若 3m 6,9n 2 求 32m4n1 的值.【难度】★★【答案】27【解析】32m 4n 132m 34n 3 3m 2 9n 2 3 62 22 3 27 .【总结】本题是对籍的运算的综合运用.(2)原式斗y27xy 32 3 2 23 3 21-y -y -x 3 —xy y .3 3 5 228.解不等式: x 1 x 3 8x x 5 x 5 2【难度】★★【答案】x 52【解析】x2 x 3x 3 8x x2 25 2 ,512x 30 , x 5 .2【总结】本题主要是利用整式的乘法来求解不等式的解集.29.已知：2x 3 0 ,求代数式x x2 x +x25 x 9的值.【难度】★★【答案】0【解析】... 2x 3 0 . •，.原式=x3 x2 5x2 x3 9 4x2 9 (2x 3)(2x 3) 0 .【总结】本题主要是对整体代入思想的运用.30.先化简，再求值：xy 2 xy 2 2x 2y 2 4 xy （其中 X =10, y —）.25【难度】★★【答案】z5【解析】原式=x 2y 2 4 2x 2 y 2 4 xy x 2y 2 xy xy .1 2当X =10, y 云时，原式=1025 5 .【总结】本题是求代数式值的问题，在计算时注意相关运算法则的准 确运用.【答案】1331.先化简，再求值：2a b 2 a 1 ba 1b a 1 2 其中 a - , b 2 .2【解析】原式=4a2 b2 4ab a 1 2 b2 a 1 2 4a2 2b2 4ab)2当 a ! , b 2 时，原式=4 1 2 2 2 4 1 2 13.【总结】本题是求代数式值的问题，在计算时注意相关运算法则的准确运用.32.先化简，再求值：a -b 2 b a -b ,其中a 2 , b -.2【难度】★★【答案】5【解析】原式=a2 2ab b2 ab b2 a2 ab ,当 a 2 , b ；时，原式=22 2 2 5 .【总结】本题是求代数式值的问题，在计算时注意相关运算法则的准确运用.33.先化简，再求值: 3x 2 3x 2 5x x 1 2x 1 2,其中x【难度】★★【答案】-8【解析】原式=9x2 4 5x2 5x 4x2 4x 1 9x 5 ,1当x:时，原式=9o 5 8 .3 3【总结】本题是求代数式值的问题，在计算时注意相关运算法则的准确运用.2 c3 »34.先化简，再求值：2x y 2x y y 2x ,其中x 2, y 1【难度】★★【答案】5【解析】原式=2x y13 2x y6 2x y 6 2x y ,当x 2,y 1时，原式=2 2 1 5 .【总结】本题是求代数式值的问题，在计算时注意相关运算法则的准确运用.35. 一个多项式除以x2 2x 3,得商为x 1,余式为2x 5,求这个多项式.【难度】★★【答案】x3 x2 3x 2 .，左刀2 3 2 2 3 2【解初J x22x 3 x 1 2x 5 x3x22x2 2x 3x 3 2x 5 x3x23x 2 . 【总结】本题主要是考查对题目的理解能力.36.已知一个三角形的面积是4a3b 6a2b212ab3, 一边长为2ab ,求该边上的高. 【难度】★★【答案】4a2 6ab 12b2 .224a 6ab 12b .即该边上的高为4a2 6ab 12b2 .，左刀3223 3 2 23【角牛析】2 4a3b 6a2b212ab32ab 8a3b 2ab 12a2b2 2ab 24ab32ab【总结】本题主要是考查对题目的理解能力.37.若3x 2y 10 0无意义，且2x y 5 ,求x,y的值.【难度】★★【答案】x 0, y 5.【解析】由题意可知：3x 2y 10 0.又2x y 5 , x 0 , y 5 .【总结】本题主要考查a0有意义的条件.38.若x2mx 8 x23x n的展开式中不含x2和x3项，求m和n的值.【难度】★★【答案】m 3, n 17.【解析】原式=x4 3x3 nx2 mx3 3mx2 mnx 8x2 24x 8n 4 3 2x m 3 x n 3m 8 x mn 24 x 8n .,展开式中不含x2和x3项，m 3 0 , n 3m 8 0 , m3, n 17.【总结】本题主要考查多项式的乘法运算结果中不含有某一项的意义.39.若a=2005, b=2006, c=2007,求a2 b2 c2 ab bc ac 的值.【难度】★★【答案】3【解析】原式=1 a b2 a c2 c b2 1 6 3.2 2【总结】本题主要是对完全平方公式的综合运用.40.说明代效式(x y)2 x y x y 2y y的值，与y的值无关.【难度】★★【答案】见解析.【解析】原式x2 y2 2xy x2 y22y y 2y2 2xy 2y y y x y x ,. ••此代数式的值与y的值无关.【总结】本题主要考查多项式的乘法运算结果中不含有某一项的意义.41.一个正方形的边长增加3cm,它的面积增加了45cm2.求这个正方形原来的边长.若边长减少3cmi它的面积减少了45cm,这时原来边长是多少呢【难度】★★【答案】6cm 6cm【解析】设原来正方形的边长为x cm则x 3 2 x2 45 ,解得：x 6 .正方形原来的边长为6 cm.设原来正方形的边长为ycm则y 32 y2 45 ,解得：y 6 .正方形原来的边长为6 cm.【总结】本题主要考查整式的乘法在实际问题中的运用.42.如图所示，长方形ABCDT阳光小区”内一块空地，已知AB=2a,BG3b,且E为AB边的中点，CF 1BC ,现打算在阴影部分种植一3片草坪，求这片草坪的面积.【难度】★★【答案】2ab .【解析】1 2a 3b 1 a 2b 2ab .2 2【总结】本题主要考查整式的乘法在实际问题中的运用.43.如图，某市有一块长为3a b米，宽为2a b米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化, 的面积是多少平方米并求出当a 的绿化面积. 【难度】★★【答案】5a2 3ab; 63.【解析】3a b 2a b a b 2_2_ 2 2 26a23ab 2ab b2a22ab b2_ 2 —5a 3ab .当a 3 , b 2时，原式=5 32 3 3【总结】本题主要考查整式的运算在实际问题中的运用.2 63.44.“光明”中学为了改善校园建设，计划在长方形的校园中间修一个正方形的花坛，预计正方形花坛的边长比场地的长少8米，比它的宽少6米，并且场地的总面积比花坛的面积大104平方米，求长方形的长和宽.【难度】★★★【答案】场地的长为12米，宽为10米.【解析】设正方形的边长为X,则场地的长为X 8米，宽为x 6米.则x 8 x 6 x2 104 ?解得：x 4场地的长为12米，宽为10米.【总结】本题主要考查整式的运算在实际问题中的运用.45.某城市为了鼓励居民节约用水，对白来水用户按如下标准收费：若每月每户用水不超过a吨，每吨m元；若超过a吨，则超过的部分以每吨2 m元计算.现有一居民本月用水x吨，则应交水费多少元【难度】★★★【答案】见解析.【解析】当x a ,应交水费为am ；当x a ,应交水费为am x a 2m 2mx am .【总结】本题主要考查整式的运算在实际问题中的运用.46.求证：无论x、y为何值，4x2 12x 9y2 3 30y 35的值恒为正.21 1 2n2 n34 2n 1 n 1 〔222 1 3 2 3侦牛忻 1 - 一xyz m -x y z 5x y z , - - -xyz m 一x y z .3 3 9 15【难度】★★★【答案】见解析.v A-i-t r w 2 2 2 2【命军析］•/ 4x 12x 9y 30 y 35= 2x 3 3y+5 1 0,无论x、y为何值，4x2 12x 9y2 30y 35的值恒为正.【总结】本题主要利用配方来说明代数式的正负性.四、解答题1 12n2 n34 2n1n1 口、，甲._.x z 147.U 大口 : - xyz m - x y z 5x yz , F. I「.修钗x、z 7两人E: 2 372 ,3 3求m的值.【难度】★★【答案】玄.5m -1x3y2z3 1x2y2z2 2xz15 9 5..•正整数x、z 满足：2x 3z 1 72 , x 3 , z 1 2 .x 3, z 3, m § 3 3 27 .5 5【总结】本题是整式的混合运算，计算时注意法则的准确运用.48. 已知f x 5 39x 8x 12x2 , g x 5 6 -x64—x9求: f x 3x g x5 2一x的值.57 4一x12【答案】8 3 143 -x x5 30 2 4x【解析】f x 3x g x 5 2 —x189x58x3 12x23x 5x66 4 5—x93x48 2x2 4x33x48x35L108x3 5 143 2 』——x4x .305 2 —x 187 —x12【总结】本题是整式的混合运算，计算时注意法则的准确运用.49.已知关于x的三次多项式除以x2 1时，余式是2x 5 ；除以x2 4时，余式是3x 4,求这个三次多项式.【难度】★★【答案】5x3 3x2 ^x 8.3 3【解析】设关于x的三次多项式为：f (x) ax3 bx2 cx d(a 0),且f (x)除以x2 1与除以x2 4后，所得的商式分别为：ax m与ax n .贝(J ax3bx2cx d x21 (ax m) 2x 5 ①ax3bx2cx d x24 (ax n) 3x 4 ②. ••把x 1代入①可得：a b c d 3 , a b c d 7 .JE x 2 代入②可得:8a 4b 2c d 2 , 8a 4b 2c d 10 .解得：a - , b 3 , c 11 , d 8 .3 3关于x的三次多项式为5x3 3x2 11x 8.3 3【总结】本题是一道综合性比较强的题目，计算时要注意方法的选择.50.阅读下列题目的解题过程：已知a、b、c为ABC的三边，且满足2 2 2 2 4 4 二-fx业业匕 "一八c a c b a b ,试判断ABC日勺形状.22 22 4 4用牛. c a c b a bc2(a2b2) (a2b2)(a2b2) (B)c2a2b2(C)ABC是直角三角形问：(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误请写出该步的代号:(2)错误的原因为：________________________________________________(3)本题正确的结论为:【答案】见解析.【解析】(1) (C);(2)因为a4 b2不能确定能不能为零.(3) AABC为直角三角形或等腰三角形.・ 2 2.2 2.2 2.2• •ca b a b a b 0 .a2 b2或a b或a b . .'a、b、c为ABC的三边,c2a2 b20 或a2 b22 2 .2caba2 b20 .. 3BC为直角三角形或等腰三角形.【总结】本题主要是对等式的基本性质的考查，等式两边同除的数一定不为零.。

整式的乘法内容分析本节课能够需要同学理解整式乘法的法则，能够熟练地进行单项式，多项式之间的乘法计算．通过与有理数乘法的分配律进行类比，加深对这些法则的理解．重点是熟练掌握单项式、多项式之间的乘法法则以及推导，并能够灵活应用．难点是分清单项式与单项式相乘中，幂的运算法则，单项式与多项式相乘时结果的符号的确定。

知识结构模块一：单项式与单项式相乘知识精讲1、单项式与单项式相乘的运算法则单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式．2、单项式与单项式相乘的运算步骤（1）系数相乘的结果作为积的因数．（2）相同字母运用同底数幂的乘法法则计算．（3）把只在一个单项式里含有的字母连同它的指数作为积的一个因式．3、单项式与单项式相乘，积还是单项式．⎣ ⎦【例1】计算： 2x 2 ⋅ (-3x 3 ) 的结果是（）．A . -6x 5【难度】★ 【答案】AB . 6x 5C . -2x 6D . 2x 6【解析】原式= 2 ⨯ (-3) ⋅ x 2 ⋅ x 3 = -6x 5 ，故选择 A ．【总结】本题考察了单项式与单项式的乘法．【例2】-2xyz ⋅ ⎛ - 1 xy 2 z ⎫⋅ (3xyz 2 )=．6 ⎪⎝ ⎭ 【难度】★ 【答案】 x 3 y 4 z 4 ．【解析】原式= (-2) ⨯ (- 1) ⨯ 3⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ y ⋅ y 2 ⋅ y ⋅ z ⋅ z ⋅ z 3 = x 3 y 4 z 4 ．6 【总结】本题考察了单项式与单项式的乘法．【例3】计算：（1） (-x )5⋅ (xy )2⋅ x 3 y ；（2） ⎛ 1 p 2 q ⎫⋅ (-2 pq ) ⋅ (6 pq 3 )2 ；4 ⎪ ⎝ ⎭（3） (-2a 3b )3⋅ ⎡-b ⋅ (-2a )2⎤ ⋅ (ab 2 )3． 【难度】★★【答案】（1） -x 10 y 3 ； （2） -18 p 5q 8 ；（3） 32a 14b 10 ．【解析】（1）原式= -x 5 ⋅ x 2 y 2 ⋅ x 3 y = -x 10 y 3 ；（2）原式= - 1p 2 q ⋅ 2 pq ⋅ 36 p 2q 6 = -18 p 5q 8 ；4（3）原式= -8a 9b 3 ⋅ (-4a 2b ) ⋅ a 3b 6 = 32a 14b 10 ．【总结】本题考察了单项式的乘法和幂的运算．例题解析【例4】先化简，后求值： 4x 3 y 3 ⋅ ⎛ - 3 ⎫2 x 2 y ⎪ + ⎛ - 1 ⎫3 x 2 y ⎪ ⋅16xy 2 ，其中 x = 0.4 ， y = -2.5 ． ⎝ 4 ⎭ ⎝ 4 ⎭【难度】★★ 【答案】-0.32 ．【解析】原式= 4x 3 y 3 ⋅ 9x 4 y 2 -1 x 6 y 3 ⋅16xy2 16 64 = 9 x 7 y 5 - 1 x 7 y 5 4 4= 2x 7 y 5 ；当 x = 0.4 ， y = -2.5 时，原式= 2 ⨯ 0.47 ⨯ (-2.5)5 = 2 ⨯ 0.42 ⨯ (-2.5⨯ 0.4)5 = -0.32 ．【总结】本题考察了整式的混合运算．【例5】若 x 2 y 3 < 0 ，化简： -2xy ⋅ - 1x 5 (- y )7 ．2【难度】★★★ 【答案】 x 6 y 8 ．【解析】 x 2 y 3 < 0 ，∴ y < 0，x ≠ 0 ．原式= -2xy ⋅ 1x 5 ⋅ (- y 7 )2= x 6 y 8 ．【总结】本题考察单项式与单项式的乘法，注意法则的准确运用．师生总结1、在做乘法运算时，运算顺序是什么呢？模块二：单项式与多项式相乘知识精讲1、单项式与多项式相乘法则用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相乘．2、单项式与多项式相乘的注意事项：（1）单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同（2）单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号的确定：同号相乘得正，异号相乘得负．例题解析【例6】下列计算中，正确的是（）．A . x(3x - 2y)= 3x2 - 6xy +xB . -2m(2m2 + 8m - 3) =-4m3 +16m - 6mC. -y(7x2+6x-1)=-7x2y-6xy+y D . a n (a2 -1) =a2n -a n【难度】★【答案】C．【解析】A 选项：结果多了x．B 选项：去括号时，后两项没有变号．D 选项：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，结果应为a n+2 -a n ．【总结】本题考察了单项式与多项式的乘法．【例7】解方程：2x(x -1) -x(2x - 5) =12 ，x 的值是（）．A ．2B ．1C ．4D ．0【难度】★【答案】C．【解析】去括号得：2x2 - 2x - 2x2 + 5x = 12 ，化简，得：3x = 12 ，解得：x = 4 ．【总结】本题考察了去括号，注意括号前是负数时，括号内各项都要变号．【例8】计算：（1） ⎛ - 1 x ⎫⎛ 2 x 2 - 5 x + 1 ⎫ ；（2） a 3 - 2a ⎡ 1 a 2 - 3⎛ 1 a -1⎫⎤．6 ⎪ 3 6 2 ⎪ ⎢ 23 ⎪⎥ ⎝ ⎭⎝ ⎭⎣⎝ ⎭⎦【难度】★【答案】（1） - 1 x 3 + 5 x 2 - 1x ； （2） 2a 2 - 6a ．9 36 12【解析】（1）原式= - 1 x 3 + 5 x 2 - 1x ；9 36 12（2）原式= a 3 -2a (1 2a 2- a + 3) a = 0 = a 3 - a 3 + 2a 2 - 6a = 2a 2 - 6a ．【总结】本题考察了单项式与多项式想乘．【例9】要使(ax + 5 + x 2 )(-6x 3 )的展开式中不含 x 4 项，则 a = ．【难度】★★ 【答案】0．【解析】展开得：原式= -6x 5 - 6ax 4 - 30x 3 ，∵展开式中不含 x 4 项， ∴ a = 0 ．【总结】本题考察了单项式乘以多项式以及项与系数的概念．【例10】设 P 是一个多项式，且 P ÷ 5 x 2 y = -2x 2 y 4 + 3x ，求 P ．3 2【难度】★★【答案】-10 x 4 y 5 + 5x 3 y ．3 2【解析】 P = (-2x 2 y 4 + 3 x ) ⋅ 5x 2 y2 3= -10 x 4 y 5 + 5x 3 y ．3 2【总结】本题考察了单项式与多项式相乘．【例11】已知单项式M、N 满足2x(M + 3x) = 6x2 y2 +N ，求M、N ．【难度】★★【答案】M = 3xy2，N = 6x2 或M =-3x，N =-6x2 y2 ．【解析】去括号得：2Mx + 6x2 = 6x2 y2 +N2Mx + 6x2 - 6x2 y2 -N = 0易得：6x2 ≠ 6x2 y2 ．（1）2Mx - 6x2 y2 = 6x2 -N = 0 ，解得：M = 3xy2，N = 6x2 ．（2）2Mx + 6x2 = 6x2 y2 +N = 0 ，解得：M =-3x，N =-6x2 y2 ．综上：M = 3xy2，N = 6x2 或M =-3x，N =-6x2 y2 ．【总结】本题考察了单项式与多项式的乘法，注意分类讨论．【例12】已知a2 -a -1 = 0 ，求代数式a3 - 2a + 2016 的值．【难度】★★【答案】2017．【解析】由已知得：a2 =a+1．原式= a(a +1) - 2a+ 2016= a2 +a - 2a + 2016= (a +1) +a - 2a + 2016= 2017 ．【总结】本题考察了降次法求代数式的值．【例13】已知(m -x)⋅(-x)+n(x +m) =x2 +5x -6 对于任意数x 都成立，求m(n -1) +n(m +1) 的值．【难度】★★★【答案】－7．【解析】化简得：-mx +x2 +nx +mn =x2 + 5x - 6-(m -n + 5)x +mn + 6 = 0代数式对任意x 都成立∴m -n =-5 ，mn =-6 ，∴原式= mn -m +mn +n =-7 ．【总结】本题考察了整式的乘法和项与系数的意义．【例14】已知a + 2b = 0 ，求a3 + 2ab(a +b) + 4b3 - 8 的值．【难度】★★★【答案】－8．【解析】由已知得： a =-2b ，代入得：原式= -8b 3 -4b2 (-2b +b) + 4b3 - 8 =-8 ．【总结】本题考察了整式的混合运算．师生总结1、求代数式的值时需要注意些什么？2、哪些题目适用于整体代入法？1、多项式与多项式相乘法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．【例15】关于 x 的二次三项式(x - m )(x + 7) 中的常数项为14 ，则m 的值是（）．A . 2B . -2 【难度】★ 【答案】B ．【解析】原式= x 2 + (7 - m )x - 7mC . 7D . -7∴-7m = 14解得： m = -2 ．【总结】本题考察了多项式常数项的概念．【例16】(2x n - 3y n )(4x n + 5y n )= ．【难度】★【答案】8x 2n - 2x n y n -15y 2n ．【解析】原式= 8x 2n +10x n y n -12x n y n -15y 2n= 8x 2n - 2x n y n -15y 2n ．【总结】本题考察了多项式与多项式相乘，注意法则的准确运用．模块三：多项式与多项式相乘知识精讲例题解析⎩ ⎩【例17】多项式 x 3 - 2x +1与3x 2 + 5x - 7 的乘积中含 x 3 的系数是（）．A . -13 【难度】★★ 【答案】A ．B .13C . -11D .11【解析】方法一： (x 3 - 2x +1)(3x 2 + 5x - 7)= 3x 5 + 5x 4 -13x 3 - 7x 2 +19x - 7∴ x 3 的系数为： -13 ．方法二： x 3 的系数为：1⨯ (-7) + (-2) ⨯ 3 = -13 ．【总结】本题考察了多项式与多项式想乘，注意法则的准确运用．【例18】若(x + 7)(x - 5) = x 2 + Ax + B ，则 A = ， B = ．【难度】★★ 【答案】2 ，- 35 ．【解析】化简为： x 2+ 2x - 35 = x 2+ Ax + B ，∴ A = 2，B = -35 ．【总结】本题考察了多项式与多项式相乘，注意法则的准确运用．【例19】已知(x 2 + px + 8)(x 2 - 3x + q )的展开式中不含 x 2、x 3 项，则 p =，q = ．【难度】★★【答案】q - 3p + 8 ．-3 + p ．【解析】 x 2 的系数为： q + (-3) ⨯ p + 8 = q - 3p + 8 ， x 3 的系数为：1⨯ (-3) + p ⨯1 = -3 + p ．因为结果中不含 x 2、x 3 项，所以⎧q - 3 p + 8 = 0 ， 解得： ⎧ p = 3．⎨ p - 3 = 0 ⎨q = 1【总结】本题考察了多项式与多项式相乘，注意法则的准确运用．⎨ab = 12【例20】先化简，再求值： 3 - 2(x +1)(x - 2) - x 2 + 3(x + 2)(x - 3) ，其中 x = 2016 ．【难度】★★ 【答案】-2027 ．【解析】原式= 3 - 2(x 2 - x - 2) - x 2 + 3(x 2 - x - 6)= 3 - 2x 2 + 2x + 4 - x 2 + 3x 2 - 3x -18 = -x -11 ，当 x = 2016 时，原式= -2027 ．【总结】本题考察了整式的混合运算．【例21】解方程： (x +1)(x 2 + x +1)- (x -1)(x 2 - x +1)= (4x + 3)(x - 2) ． 【难度】★★ 【答案】 x = -2 ．【解析】(x +1)(x 2 + x +1) - (x -1)(x 2 + x +1- 2x ) = 4x 2 - 5x - 6（x +1）（x 2+x +1）-（x -1）（x 2+x +1）+2x （x -1）=4x 2-5x -62(x 2 + x +1) + 2x (x -1) = 4x 2 - 5x - 65x = -8x =- 85【总结】本题考察了利用多项式与多项式相乘的法则求方程的解．【例22】已知a 、b 、m 均是整数，且(x + a )(x + b ）= x 2 + mx +12 ，求m 的所有可能值．【难度】★★★【答案】m = ±3或m = ±8或m = ±7 ．【解析】化简得： x 2 + (a + b )x + ab = x 2 + mx +12∴⎧a + b = m ． ⎩12 =1⨯ 2 = 2 ⨯ 6 = 3⨯ 4 = (-1) ⨯ (-2) = (-2) ⨯ (-6) = (-3) ⨯ (-4) ， m = ± 3 或 m = ± 8 或 m = ± 7．【总结】本题考察了整式的乘法，注意多种情况的考虑．⎨ pq = -8【例23】如果 p 、q 、a 均为整数， p > q 且(x + p )(x + q ) = x 2 - ax - 8 ，求所有可能的a 值及对应的 p 、q 的值．【难度】★★★【答案】a = 7或2或- 2或- 7 ．⎧ p = 8 ⎨q = -1； ⎧ p = 4 ⎨q = -2 ； ⎧ p = 2 ⎨q = -4 ； ⎧ p = 1 ⎨q = -8 ．⎩ ⎩ ⎩ ⎩【解析】化简得： x 2 + ( p + q )x + pq = x 2 - ax - 8∴⎧ p + q = -a ． ⎩a =7 或 2 或-2 或-7又 p 、q 、a 均为整数且 p > q⎧ p = 8 ∴ ⎨q = -1； ⎧ p = 4 ⎨q = -2 ； ⎧ p = 2 ⎨q = -4 ； ⎧ p = 1 ⎨q = -8 ．⎩ ⎩ ⎩ ⎩【总结】本题考察了整式的乘法，注意多种情况的考虑．【例24】阅读解答题：有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答后面的问题．例：若 x =123456789 ⨯123456786 ， y =123456788⨯123456787 ，试比较 x 、y 的大小． 设123456788 = a ，那么 x = (a +1)(a - 2) = a 2 - a - 2 ， y = a (a -1) = a 2 -a ． 因为 x - y = (a 2 - a - 2)- (a 2 - a )= -2 < 0 ，所以 x < y ．看完后，你学到了这种方法吗？再亲自试一试吧！若 x = 20072007 ⨯ 20072011- 20072008⨯ 20072010 ，y = 20072008⨯ 20072012 - 20072009⨯ 20072011，试比较 x 、y 的大小．【难度】★★★【答案】 x = y ．【解析】设20072010 = a ，则： x = (a - 3)(a +1) - (a - 2)a = -3 ，y = (a - 2)(a + 2) - (a -1)(a +1) = -3 ，∴ x = y ．【总结】本题一方面考察了整式的乘法的运用，另一方面考查了通过阅读理解新的运算方法．2【习题1】下列式子计算结果是 x 2 - 5x - 6 的是（）． A . (x - 6)(x +1)B ． (x - 2)(x + 3)C . (x + 6)(x -1)D . (x + 2)(x - 3) 【难度】★【答案】A【解析】A 选项正确．B 选项： (x - 2)(x + 3) = x 2 + x - 6 ；C 选项： (x + 6)(x -1) = x 2 + 5x - 6 ；D 选项： (x + 2)(x - 3) = x 2 - x - 6 ．【总结】本题考察了多项式的乘法．【习题2】⎛ - 1 x 2 y ⎫ (2xy 2 )2 =． 2 ⎪⎝ ⎭【难度】★【答案】 x 6 y 6 ．【解析】原式= 1 x 4 y 2 ⋅ 4x 2 y 4 = x 6 y 6 ．4【总结】本题考察了单项式的乘法．【习题3】一个三项式与一个二项式相乘，在合并同类项之前，积的项数是（）． A ．五项B ．六项C ．三项D ．四项【难度】★【答案】B【解析】两个多项式想乘，在合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数之积．【总结】本题考察了多项式的乘法．随堂检测3【习题4】若 n 2 + n +1 = 2 ，则(5 - n )(6 + n ) = ．【难度】★【答案】29．【解析】由已知得： n 2 + n = 1，所以(5 - n )(6 + n ) = 30 + n - n 2 = 30 -1 = 29 ．【总结】本题考察了多项式的乘法以及整体代入思想的运用．【习题5】若(y 2 + my + 4)(y 2 - 2y + n )的乘积中不含 y 2 和 y 3 项，则m =， n = ．【难度】★★【答案】m = 2，n = 0 ．【解析】 y 2 的系数为： n - 2m + 4 ， y 3 的系数为： -2 + m ，∵乘积不含 y 2 和 y 3 项，∴ n - 2m + 4 = 0 ， -2 + m = 0解得： m = 2，n = 0 ．【总结】本题考察了多项式的乘法，若题中说明乘积中不含某项，则该项的系数为零．【习题6】计算： （1） ⎛ 2 ab 2 - 4⎫ ⋅ 1 ab - 1 (ab )2 ⋅ b ； 3 ⎪ 2 3⎝ ⎭（2） x (x 2 - x -1)+ 2(x 2 +1)- 1 x (3x 2 + 6x ) ； （3） (3x + 2y )(2x + 3y ) - (x - 3y )(3x + 4y ) ．【难度】★★【答案】（1） -2ab ； （2） -x 2 - x + 2 ； （3） 3x 2 +18xy +18y 2 ．【解析】（1）原式= 1 a 2b 3 - 2ab - 1 a 2b 3 = -2ab ； 3 3（2）原式= x 3 - x 2 - x + 2x 2 + 2 - x 3 - 2x 2 = -x 2 - x + 2 ；（3）原式= 6x 2 +13xy + 6x 2 - (3x 2 - 5xy -12y 2 ) = 3x 2 +18xy +18y 2 ．【总结】本题考察了整式的混合运算，注意法则的准确运用．【习题7】先化简，再求值：(-a3 )⋅(-2ab)3 - 3a2b ⎛a4b2 +1 ab2 -1⎫，其中a=-1，b=2．2 ⎪⎝⎭【难度】★★【答案】58．【解析】原式= -a3 (-8a3b3 ) - 3a2b(a4b2 +1ab2 -1) = 8a6b3 - 3a6b3 -3a3b3 + 3a2b 2 2= 5a6b3 -3a3b3 + 3a2b ．2当a =-1， b = 2 时，原式= 5 ⨯1⨯ 8 -3⨯ (-1) ⨯ 8 + 3⨯1⨯ 2 = 58 ．2【总结】本题考察了整式的混合运算，注意法则的准确运用．【习题8】试证明代数式(2x + 3)(3x + 2)- 6x (x + 3)+ 5x +16 的值与x 的值无关．【难度】★★【答案】略．【解析】原式= 6x2 +13x + 6 - 6x2 -18x + 5x +16 = 22 ．∵结果中不含有x ，∴该代数式的值与x 无关．【总结】本题考察了整式的混合运算以及对代数式的值与字母无关的正确理解．【习题9】计算：20033 - 2002 ⨯ 2003⨯ 2004 ．【难度】★★★【答案】2003．【解析】设2003 =a ．则：原式= a3 - (a -1) ⋅a ⋅ (a +1) = a3 - (a3 -a) = a ．∴原式=2003．【总结】本题考察了换元法的运用，结合整式的乘法完成相关运算．【习题10】已知(x +ay)(x +by)=x2 - 4xy - 6y2 ，求代数式3(a +b)- 2ab 的值．【难度】★★★【答案】0．【解析】化简为：x2 + (a +b)xy +aby2 =x2 - 4xy - 6y2 ，∴a +b =-4，ab =-6 ，∴原式= 3⨯ (-4) - 2⨯ (-6) = 0 ．【总结】本题考察了整式的乘法以及整体思想的运用．⎩ ⎩【习题11】一个长方形的长增加 4 厘米，宽减少1 厘米。

整式的乘法与因式分解全章教案第一章：整式的乘法1.1 单项式乘以单项式教学目标：了解单项式乘以单项式的运算法则。

掌握单项式乘以单项式的计算方法。

教学重点：单项式乘以单项式的运算法则。

教学难点：如何正确计算单项式乘以单项式。

教学准备：教材、黑板、投影仪。

教学过程：导入：回顾整数乘法的运算法则。

讲解：讲解单项式乘以单项式的运算法则，举例说明。

练习：学生独立完成练习题，教师批改并讲解。

1.2 单项式乘以多项式教学目标：了解单项式乘以多项式的运算法则。

掌握单项式乘以多项式的计算方法。

教学重点：单项式乘以多项式的运算法则。

教学难点：如何正确计算单项式乘以多项式。

教学准备：教材、黑板、投影仪。

教学过程：导入：回顾整数乘法的运算法则。

讲解：讲解单项式乘以多项式的运算法则，举例说明。

练习：学生独立完成练习题，教师批改并讲解。

第二章：因式分解2.1 提公因式法教学目标：了解提公因式法的概念。

掌握提公因式法的运用。

教学重点：提公因式法的概念和运用。

教学难点：如何正确运用提公因式法进行因式分解。

教学准备：教材、黑板、投影仪。

教学过程：导入：回顾整式的乘法。

讲解：讲解提公因式法的概念和运用，举例说明。

练习：学生独立完成练习题，教师批改并讲解。

2.2 公式法教学目标：了解公式法的概念。

掌握公式法的运用。

教学重点：公式法的概念和运用。

教学难点：如何正确运用公式法进行因式分解。

教学准备：教材、黑板、投影仪。

教学过程：导入：回顾整式的乘法。

讲解：讲解公式法的概念和运用，举例说明。

练习：学生独立完成练习题，教师批改并讲解。

第六章：十字相乘法6.1 十字相乘法的原理教学目标：理解十字相乘法的原理。

掌握十字相乘法的步骤。

教学重点：十字相乘法的原理和步骤。

如何正确运用十字相乘法分解因式。

教学准备：教材、黑板、投影仪。

教学过程：导入：回顾提公因式法和公式法。

讲解：讲解十字相乘法的原理和步骤，举例说明。

练习：学生独立完成练习题，教师批改并讲解。

人教版八年级上第十四章14.1整式的乘法、14.2乘法公式必背重点公式考点归纳黎平县地坪附中80（2）班、80（4）班 姓名14.1整式的乘法1、同底数幂的乘法：p n m p n ma a a a ++=∙∙ 例如：621323x x x x x ==∙∙++2、幂的乘方：()mnnm aa = 例如：()()[]24342342126262;x xxm mm ====⨯⨯⨯3、积的乘方：()m m mb a ab =例如：()()()242222223333422;y x y x y xc b a abc ===4、单项式⨯单项式（单单）：①有乘方先算乘方；②系数乘系数；③同底数幂相乘；④单独的字母连同它的指数作为积的一个因式。

例如：()()()255322432222232212343232z y x xy z y x xy zy x xy yz x =⨯=⨯-=⨯-5、单项式⨯多项式（单多）：()cx bx ax c b a x ++=++（类似乘法分配律）例如：6、多项式⨯多项式（多多）：bn bm an am n m b a +++=++))((例如：4)3(5)3(4252)45)(32(∙-+∙-+∙+∙=+-y x y x y x1215810)12()15(810--+=-+-++=y x xy y x xy7、同底数幂的除法：),(n m n m aa anm nm＞都是正整数，-=÷)0(10≠=a a 重点公式： 例如：()12020114.3;1)2019(;052727-=-=-=-==÷-；πx xx x8、单项式÷单项式：①有乘方先算乘方；②系数除系数；③同底数幂相除；④对于被除式里单独的字母连同它的指数作为商的一个因式。

（也可以变成分数的约分来理解）5)3(4)3(23)542)(3(2222⨯--⨯-+⨯-=-+-ab ab ab a ab ab a ab abb a b a ab b a b a 15126)15()12(6323323+--=---+-=例如：333364332343234686)()2(6)2(b a a b a a b a a b a -=÷-=÷-=÷-9多项式÷单项式：m c m b m a m c b a ÷+÷+÷=÷++)(（类似乘法分配律）例如：124333)6(3123)3612(22323+-=÷+÷-+÷=÷+-a a a a a a a a a a a a 14.2乘法公式10、平方差公式：22))((b a b a b a -=-+11、完全平方公式：①完全平方和公式：2222)(bab a b a ++=+②完全平方差公式：2222)(bab a b a +-=-12、整式的加减乘除混合运算：①有乘方先算乘方；②再算乘除；③最后算加减说明：整式的加减乘除混合运算必须要以以上11个公式为运算工具，所以必须掌握上面11个公式。