【人教版】红对勾2020届高考一轮数学(理)复习：课时作业45

课时作业48 利用向量求空间角1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( B )A.12B.23C.33D.22解析：以A 为原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，设棱长为1，则A 1(0,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，D (0,1,0)，∴A 1D →＝(0,1，－1)，A 1E →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，0，－12，设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1，y ，z )．则有⎩⎨⎧A 1D →·n 1＝0，A 1E →·n 1＝0，即⎩⎨⎧y －z ＝0，1－12z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，z ＝2， ∴n 1＝(1,2,2)．∵平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)，∴cos 〈n 1，n 2〉＝23×1＝23，即所成的锐二面角的余弦值为23.2．(2019·大同模拟)设正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则点D 1到平面A 1BD的距离是( D )A.32B.22C.223D.233解析：如图，以点D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y轴，z 轴，建立坐标系，则D (0,0,0)，D 1(0,0,2)，A 1(2,0,2)，B (2,2,0)，D 1A 1→＝(2,0,0)，DB →＝(2,2,0)，DA 1→＝(2,0,2)，设平面A 1BD 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·DA 1→＝0，n ·DB →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2z ＝0，2x ＋2y ＝0， 令z ＝1，得n ＝(－1,1,1)．∴D 1到平面A 1BD 的距离d ＝|D 1A 1→·n ||n |＝23＝233.3．(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( A )A.334 B.233 C.324 D.32解析：由正方体的性质及题意可得，正方体共顶点的三条棱所在直线与平面α所成的角均相等．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，易知棱AB ，AD ，AA 1所在直线与平面A 1BD 所成的角均相等，所以α∥平面A 1BD ，当平面α趋近点A 时，截面图形的面积趋近于0；当平面α经过正方体的中心O 时，截面图形为正六边形，其边长为22，截面图形的面积为6×34×⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝334；当平面α趋近于C 1时，截面图形的面积趋近于0，所以截面图形面积的最大值为334，故选A.4．已知三棱锥P -ABC 的所有顶点都在表面积为16π的球O 的球面上，AC 为球O 的直径．当三棱锥P -ABC 的体积最大时，二面角P -AB -C 的大小为θ，则sin θ等于( C )A.23B.53C.63D.73解析：如图，设球O 的半径为R ，由4πR 2＝16π，得R ＝2，设点P 到平面ABC 的距离为d ， 则0＜d ≤2，因为AC 为球的直径， 所以AB 2＋BC 2＝AC 2＝16，则V 三棱锥P -ABC ＝16AB ·BC ·d ≤16·AB 2＋BC 22·2＝83，当且仅当AB ＝BC ＝22，d ＝2时，V 三棱锥P -ABC 取得最大值， 此时平面P AC ⊥平面ABC ，连接PO ，因为PO ⊥AC ，平面P AC ∩平面ABC ＝AC ，PO ⊂平面P AC ， 所以PO ⊥平面ABC ，过点P 作PD ⊥AB 于D ， 连接OD ，因为AB ⊥PO ，AB ⊥PD ，PO ∩PD ＝P ， 所以AB ⊥平面POD ，则AB ⊥OD ， 所以∠PDO 为二面角P -AB -C 的平面角，因为OD ＝12BC ＝2，所以PD ＝PO 2＋OD 2＝6， 则sin θ＝sin ∠PDO ＝PO PD ＝63，故选C.5．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是正方形A 1B 1C 1D 1和正方形ADD 1A 1的中心，则EF 和CD 所成的角的大小是 45° .解析：以D 为原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12，EF →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，－12，DC →＝(0,1,0)，∴cos 〈EF →，DC →〉＝EF →·DC →|EF →||DC →|＝－22，∴〈EF →，DC →〉＝135°，∴异面直线EF 和CD 所成的角的大小是45°.6．如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E ，F 分别为AB ，BC 的中点．设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ的最大值为 25 .解析：建立空间直角坐标系如图所示．设AB ＝1，则AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，12，0，E ⎝⎛⎭⎪⎫12，0，0. 设M (0，y,1)(0≤y ≤1)，则EM →＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，y ，1.∵θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2，∴cos θ＝|AF →·EM →||AF →||EM →| ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋12y 1＋14·14＋y 2＋1＝2(1－y )5·4y 2＋5. 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2(1－y )4y 2＋52＝1－8y ＋14y 2＋5. 令8y ＋1＝t ，1≤t ≤9， 则8y ＋14y 2＋5＝16t ＋81t －2≥15， 当且仅当t ＝1时取等号．∴cos θ＝2(1－y )5·4y 2＋5≤15×25＝25，当且仅当y ＝0时取等号． 7．如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设二面角D -AE -C 为60°，AP ＝1，AD ＝3，求三棱锥E -ACD 的体积． 解：(1)证明：连接BD 交AC 于点O ，连接EO . 因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点． 又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB .又因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直． 如图，以A 为坐标原点，AB →的方向为x 轴的正方向，|AP →|为单位长，建立空间直角坐标系A -xyz ，则D (0，3，0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，12，AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，32，12.设B (m,0,0)(m ＞0)，则C (m ，3，0)，AC →＝(m ，3，0)． 设n 1＝(x ，y ，z )为平面ACE 的法向量，则⎩⎨⎧n 1·AC →＝0，n 1·AE →＝0，即⎩⎨⎧mx ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，可取n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ，－1，3. 又n 2＝(1,0,0)为平面DAE 的法向量， 由题设得|cos 〈n 1，n 2〉|＝12， 即33＋4m 2＝12，解得m ＝32.因为E 为PD 的中点， 所以三棱锥E -ACD 的高为12.三棱锥E -ACD 的体积V ＝13×12×3×32×12＝38.8．(2019·江西六校联考)在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ABD ＝90°，EB ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，AB ＝2，EB ＝3，EF ＝1，BC ＝13，且M 是BD 的中点．(1)求证：EM ∥平面ADF ；(2)求二面角A -FD -B 的余弦值的大小．解：(1)证法一：取AD 的中点N ，连接MN ，NF .在△DAB 中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点，所以MN ∥AB ，MN ＝12AB ， 又因为EF ∥AB ，EF ＝12AB ， 所以MN ∥EF 且MN ＝EF .所以四边形MNFE 为平行四边形，所以EM ∥FN ， 又因为FN ⊂平面ADF ，EM ⊄平面ADF ，故EM ∥平面ADF .证法二：因为EB ⊥平面ABD ，AB ⊥BD ，故以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B -xyz.由已知可得EM →＝⎝⎛⎭⎪⎫32，0，－3，AD →＝(3，－2,0)，AF →＝(0，－1，3)，设平面ADF 的法向量是n ＝(x ，y ，z )．由⎩⎨⎧n ·AD →＝0，n ·AF →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝0，－y ＋3z ＝0，令y ＝3，则n ＝(2,3，3)． 又因为EM →·n ＝0，所以EM →⊥n ， 又EM ⊄平面ADF ，故EM ∥平面ADF .(2)由(1)中证法二可知平面ADF 的一个法向量是n ＝(2,3，3)． 易得平面BFD 的一个法向量是m ＝(0，－3，1)． 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝－34， 又二面角A -FD -B 为锐角，故二面角A -FD -B 的余弦值大小为34.9．(2019·河南郑州一模)如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，△DAB ≌△DCB ，E 为线段BD 上的一点，且EB ＝ED ＝EC ＝BC ，连接CE 并延长交AD 于F .(1)若G 为PD 的中点，求证：平面P AD ⊥平面CGF ；(2)若BC ＝2，P A ＝3，求平面BCP 与平面DCP 所成锐二面角的余弦值． 解：(1)证明：在△BCD 中，EB ＝ED ＝EC ＝BC ， 故∠BCD ＝π2，∠CBE ＝∠CEB ＝π3， 连接AE ，∵△DAB ≌△DCB ，∴△EAB ≌△ECB ，从而有∠FED ＝∠BEC ＝∠AEB ＝π3，AE ＝CE ＝DE . ∴∠AEF ＝∠FED ＝π3. 故EF ⊥AD ，AF ＝FD . 又PG ＝GD ，∴FG ∥P A .又P A ⊥平面ABCD ，故GF ⊥平面ABCD ， ∴GF ⊥AD ，又GF ∩EF ＝F ，故AD ⊥平面CFG . 又AD ⊂平面P AD ， ∴平面P AD ⊥平面CGF .(2)以点A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (3，3，0)，D (0，23，0)，P (0,0,3)． 故BC →＝(1，3，0)，CP →＝(－3，－3，3)，CD →＝(－3，3，0)． 设平面BCP 的一个法向量为n 1＝(1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋3y 1＝0，－3－3y 1＋3z 1＝0，解得⎩⎨⎧y 1＝－33，z 1＝23，即n 1＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－33，23.设平面DCP 的一个法向量为n 2＝(1，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧－3＋3y 2＝0，－3－3y 2＋3z 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝3，z 2＝2，即n 2＝(1，3，2)．从而平面BCP 与平面DCP 所成锐二面角的余弦值为|n 1·n 2||n 1||n 2|＝43169×8＝24.10．(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB ＝BC ＝12AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°，E 是PD 的中点．(1)证明：直线CE ∥平面P AB ；(2)点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M -AB -D 的余弦值．解：(1)取P A 的中点F ，连接EF ，BF . 因为E 是PD 的中点， 所以EF ∥AD ，EF ＝12AD .由∠BAD ＝∠ABC ＝90°得BC ∥AD ， 又BC ＝12AD ，所以EF 綊BC ， 四边形BCEF 是平行四边形，CE ∥BF ，又BF ⊂平面P AB ，CE ⊄平面P AB ，故CE ∥平面P AB .(2)由已知得BA ⊥AD ，以A 为坐标原点，AB →的方向为x 轴正方向，|AB →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，P (0,1，3)，PC →＝(1,0，－3)，AB →＝(1,0,0)．设M (x ，y ，z )(0＜x ＜1)，则BM →＝(x －1，y ，z )，PM →＝(x ，y －1，z －3)．因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°， 而n ＝(0,0,1)是底面ABCD 的法向量， 所以|cos 〈BM →，n 〉|＝sin 45°， |z |(x －1)2＋y 2＋z 2＝22， 即(x －1)2＋y 2－z 2＝0.①又M 在棱PC 上，设PM →＝λPC →， 则x ＝λ，y ＝1，z ＝3－3λ.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22，y ＝1，z ＝－62(舍去)，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22，y ＝1，z ＝62.所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1，62，从而AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22，1，62.设m ＝(x 0，y 0，z 0)是平面ABM 的法向量，则⎩⎨⎧m ·AM →＝0，m ·AB →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧(2－2)x 0＋2y 0＋6z 0＝0，x 0＝0，所以可取m ＝(0，－6，2)． 于是cos 〈m ，n 〉＝m·n |m ||n |＝105.易知所求二面角为锐角．因此二面角M -AB -D 的余弦值为105.11．如图，在四棱锥P -ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠P AB ＝90°，BC ＝CD＝12AD，E为棱AD的中点，异面直线P A与CD所成的角为90°.(1)在平面P AB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(2)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线P A与平面PCE所成角的正弦值．解：(1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行．如图，延长AB，DC，相交于点M(M∈平面P AB)，点M即为所求的一个点．理由如下：由已知，BC∥ED，且BC＝ED.所以四边形BCDE是平行四边形，从而CM∥EB.又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，所以CM∥平面PBE.(说明：延长AP至点N，使得AP＝PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)解法一：由已知，CD⊥P A，CD⊥AD，P A∩AD＝A，所以CD⊥平面P AD.从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角．所以∠PDA＝45°.设BC＝1，则在Rt△P AD中，P A＝AD＝2.过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知P A ⊥平面ABCD ，又CE ⊂平面ABCD ，从而P A ⊥CE . 于是CE ⊥平面P AH . 所以平面PCE ⊥平面P AH .过A 作AQ ⊥PH 于Q ，则AQ ⊥平面PCE . 所以∠APH 是P A 与平面PCE 所成的角． 在Rt △AEH 中，∠AEH ＝45°，AE ＝1， 所以AH ＝22.在Rt △P AH 中，PH ＝P A 2＋AH 2＝322，所以sin ∠APH ＝AH PH ＝13.解法二：由已知，CD ⊥P A ，CD ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ， 所以CD ⊥平面P AD . 于是CD ⊥PD .从而∠PDA 是二面角P -CD -A 的平面角． 所以∠PDA ＝45°.由P A ⊥AB ，可得P A ⊥平面ABCD . 设BC ＝1，则在Rt △P AD 中，P A ＝AD ＝2.作Ay ⊥AD ，以A 为原点，以AD →，AP →的方向分别为x 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，C (2,1,0)，E (1,0,0)， 所以PE →＝(1,0，－2)，EC →＝(1,1,0)，AP →＝(0,0,2)．设平面PCE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧n ·PE →＝0，n ·EC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝0，x ＋y ＝0， 设x ＝2，解得n ＝(2，－2,1)． 设直线P A 与平面PCE 所成角为α， 则sin α＝|n ·AP →||n |·|AP →|＝22×22＋(－2)2＋12＝13.所以直线P A 与平面PCE 所成角的正弦值为13.12．(2019·江西南昌二中月考)如图，在等腰梯形ABCD 中，∠ABC ＝60°，CD ＝2，AB ＝4，点E 为AB 的中点，现将该梯形中的三角形EBC 沿线段EC 折起，形成四棱锥B -AECD .(1)在四棱锥B -AECD 中，求证：AD ⊥BD ；(2)若平面BEC 与平面AECD 所成二面角的平面角为120°，求直线AE 与平面ABD 所成角的正弦值．解：(1)证明：由三角形BEC 沿线段EC 折起前，∠ABC ＝60°，CD ＝2，AB ＝4，点E 为AB 的中点，得三角形BEC 沿线段EC 折起后，四边形AECD 为菱形，边长为2，∠DAE ＝60°，如图，取EC 的中点F ，连接DF ，BF ，DE ，∵△BEC 和△DEC 均为正三角形， ∴EC ⊥BF ，EC ⊥DF , 又BF ∩DF ＝F ，∴EC ⊥平面BFD ，∵AD ∥EC ，∴AD ⊥平面BFD ， ∵BD ⊂平面BFD ，∴AD ⊥BD .(2)以F 为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系，由EC ⊥平面BFD ，知z 轴在平面BFD 内， ∵BF ⊥EC ，DF ⊥EC ，∴∠BFD 为平面BEC 与平面AECD 所成二面角的平面角， ∴∠BFD ＝120°，∴∠BFz ＝30°，又∵BF ＝3，∴点B 的横坐标为－32，点B 的竖坐标为32. 因D (3，0,0)，E (0,1,0)，A (3，2,0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫－32，0，32，故AE →＝(－3，－1,0)，BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫332，0，－32，AD →＝(0，－2，0)．设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，∴⎩⎪⎨⎪⎧BD →·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫332，0，－32·(x ，y ，z )＝0，AD →·n ＝(0，－2，0)·(x ，y ，z )＝0，得⎩⎨⎧332x －32z ＝0，－2y ＝0，令x ＝1，得y ＝0，z ＝3，∴平面ABD 的一个法向量为n ＝(1,0，3)， ∴cos 〈AE →，n 〉＝AE →·n|AE →||n |＝(－3，－1，0)·(1，0，3)2×2＝－34，∵直线AE 与平面ABD 所成角为锐角， ∴直线AE 与平面ABD 所成角的正弦值为34.。

课时作业40 数学归纳法1．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( D )A ．k 2＋1B ．(k ＋1)2 C.(k ＋1)4＋4(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2解析：观察可知，等式的左端是n 2个连续自然数的和，当n ＝k 时为1＋2＋3＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时为1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.2．如果命题P (n )(n ∈N *)对n ＝k (k ∈N *)成立，则它对n ＝k ＋1也成立，现已知P (n )对n ＝4不成立，则下列结论中正确的是( D )A ．P (n )对任意n ∈N *成立B ．P (n )对n ＞4成立C ．P (n )对n ＜4成立D ．P (n )对n ≤4不成立解析：由题意可知P (n )对n ＝3不成立(否则n ＝4也成立)，同理可推得P (n )对n ＝2，n ＝1也不成立，故选D.3．(2019·岳阳模拟)用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( B )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：左边求和可得1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，右边＝12764＝2－164，故2－12n －1＞2－164，即12n －1＜164＝126，所以2n －1＞26，解得n ＞7. 所以初始值至少应取8.4．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，利用归纳法假设证明n ＝k ＋1时，只需展开( A )A ．(k ＋3)3B ．(k ＋2)3C ．(k ＋1)3D ．(k ＋1)3＋(k ＋2)3解析：假设n ＝k 时，原式k 3＋(k ＋1)3＋(k ＋2)3能被9整除，当n ＝k ＋1时，(k ＋1)3＋(k ＋2)3＋(k ＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k 3即可．5．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：“当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( D )A ．若f (1)＜1成立，则f (10)＜100成立B ．若f (2)＜4成立，则f (1)≥1成立C ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立D ．若f (4)≥16成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立解析：由条件可知不等式的性质只对大于或等于号成立，所以A 错误；若f (1)≥1成立，则得到f (2)≥4，与f (2)＜4矛盾，所以B 错误；当f (3)≥9成立，无法推导出f (1)，f (2)，所以C 错误；若f (4)≥16成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立，正确．6．(2019·九江模拟)已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (4)＞2，f (8)＞52，f (16)＞3，f (32)＞72，则其一般结论为 f (2n)＞n ＋22(n ≥2，n ∈N *) .解析：观察规律可知f (22)＞2＋22，f (23)＞3＋22，f (24)＞4＋22，f (25)＞5＋22，…，故得一般结论为f (2n)＞n ＋22(n ≥2，n ∈N *)．7．设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (4)＝ 5 ；当n ＞4时，f (n )＝ 12(n ＋1)(n －2) (用n 表示)．解析：由题意知f (3)＝2，f (4)＝5，f (5)＝9，可以归纳出每增加一条直线，交点增加的个数为原有直线的条数，所以f (4)－f (3)＝3，f (5)－f (4)＝4， 猜测得出f (n )－f (n －1)＝n －1(n ≥4)． 有f (n )－f (3)＝3＋4＋…＋(n －1)， 所以f (n )＝12(n ＋1)(n －2)．8．已知f (m )＝1＋12＋13＋…＋1m (m ∈N *)，用数学归纳法证明f (2n )＞n 2时，f (2k ＋1)－f (2k)＝ 12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1 .解析：当n ＝k 时，f (2k)＝1＋12＋13＋…＋12k ，当n ＝k ＋1时，f (2k ＋1)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1，所以f (2k ＋1)－f (2k)＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋12k ＝12k＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1. 9．用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n (2n ＋2)＝n4(n ＋1)(n ∈N *)． 证明：(1)当n ＝1时，等式左边＝12×1×(2×1＋2)＝18，等式右边＝14(1＋1)＝18，等式左边＝等式右边，所以等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时等式成立，即有12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＝k4(k ＋1)，则当n ＝k ＋1时，12×4＋14×6＋16×8＋…＋12k (2k ＋2)＋12(k ＋1)[2(k ＋1)＋2]＝k 4(k ＋1)＋14(k ＋1)(k ＋2) ＝k (k ＋2)＋14(k ＋1)(k ＋2)＝(k ＋1)24(k ＋1)(k ＋2)＝k ＋14(k ＋2) ＝k ＋14[(k ＋1)＋1]. 所以当n ＝k ＋1时，等式也成立，由(1)(2)可知，对于一切n ∈N *，等式都成立．10．已知f (n )＝1＋123＋133＋143＋…＋1n 3，g (n )＝32－12n 2，n ∈N *. (1)当n ＝1,2,3时，试比较f (n )与g (n )的大小； (2)猜想f (n )与g (n )的大小关系，并给出证明． 解：(1)当n ＝1时，f (1)＝1，g (1)＝1， 所以f (1)＝g (1)；当n ＝2时，f (2)＝98，g (2)＝118， 所以f (2)＜g (2)；当n ＝3时，f (3)＝251216，g (3)＝312216， 所以f (3)＜g (3)．(2)由(1)猜想f (n )≤g (n )，下面用数学归纳法给出证明．①当n ＝1,2,3时，不等式显然成立， ②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时不等式成立， 即1＋123＋133＋143＋…＋1k 3＜32－12k 2. 那么，当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )＋1(k ＋1)3＜32－12k 2＋1(k ＋1)3.因为f (k ＋1)－g (k ＋1)＜32－12k 2＋1(k ＋1)3－⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－12(k ＋1)2＝12(k ＋1)2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12k 2－1(k ＋1)3＝k ＋32(k ＋1)3－12k2＝－3k －12(k ＋1)3k 2＜0，所以f (k ＋1)＜g (k ＋1)．由①②可知，对一切n ∈N *，都有f (n )≤g (n )成立．11．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝a n 2＋1a n－1且a n ＞0，n∈N *.(1)求a 1，a 2，a 3，并猜想{a n }的通项公式； (2)证明通项公式的正确性． 解：(1)当n ＝1时，由已知得a 1＝a 12＋1a 1－1，a 21＋2a 1－2＝0.所以a 1＝3－1(a 1＞0)．当n ＝2时，由已知得a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1，将a 1＝3－1代入并整理得 a 22＋23a 2－2＝0. 所以a 2＝5－3(a 2＞0)． 同理可得a 3＝7－ 5.猜想a n ＝2n ＋1－2n －1(n ∈N *)．(2)证明：①由(1)知，当n ＝1,2,3时，通项公式成立．②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时，通项公式成立，即a k ＝2k ＋1－2k －1.由a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝a k ＋12＋1a k ＋1－a k 2－1a k ，将a k ＝2k ＋1－2k －1代入上式并整理， 得a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0.解得a k ＋1＝2k ＋3－2k ＋1(负值舍去)． 即当n ＝k ＋1时，通项公式也成立．由①和②，可知对所有n ∈N *，a n ＝2n ＋1－2n －1都成立．12．已知函数f (x )＝a ln x ＋2x ＋1(a ∈R )．(1)当a ＝1时，求f (x )在[1，＋∞)上的最小值． (2)求证：ln(n ＋1)＞13＋15＋17＋…＋12n ＋1.解：(1)当a ＝1时，f (x )＝ln x ＋2x ＋1，定义域为(0，＋∞)．因为f ′(x )＝1x －2(x ＋1)2＝x 2＋1x (x ＋1)2＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以f (x )在x ∈[1，＋∞)内的最小值为f (1)＝1. (2)证明：当n ＝1时，ln(n ＋1)＝ln2， 因为3ln2＝ln8＞1，所以ln2＞13，即当n ＝1时，不等式成立． 假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时， ln(k ＋1)＞13＋15＋17＋…＋12k ＋1成立．那么，当n ＝k ＋1时，ln(k ＋2)＝ln(k ＋1)＋ln k ＋2k ＋1＞13＋15＋…＋12k ＋1＋ln k ＋2k ＋1.根据(1)的结论可知，当x ＞1时，ln x ＋2x ＋1＞1，即ln x ＞x －1x ＋1.令x ＝k ＋2k ＋1，所以ln k ＋2k ＋1＞12k ＋3，则有ln(k ＋2)＞13＋15＋…＋12k ＋1＋12k ＋3，即当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 综上可知不等式成立．13．设函数f (x )＝ln(1＋x )，g (x )＝xf ′(x )，x ≥0，其中f ′(x )是f (x )的导函数．(1)令g 1(x )＝g (x )，g n ＋1(x )＝g (g n (x ))，n ∈N *，求g n (x )的表达式； (2)若f (x )≥ag (x )恒成立，求实数a 的取值范围． 解：由题设得，g (x )＝x1＋x (x ≥0)．(1)由已知，g 1(x )＝x1＋x ，g 2(x )＝g (g 1(x ))＝x 1＋x 1＋x 1＋x ＝x1＋2x， g 3(x )＝x 1＋3x ，…，可猜想g n (x )＝x1＋nx .下面用数学归纳法证明．①当n ＝1时，g 1(x )＝x 1＋x ，结论成立．②假设n ＝k 时结论成立， 即g k (x )＝x1＋kx .那么，当n ＝k ＋1时，g k ＋1(x )＝g (g k (x ))＝g k (x )1＋g k (x )＝x 1＋kx 1＋x 1＋kx ＝x1＋(k ＋1)x ， 即结论成立．由①②可知，结论对n ∈N ＋成立． (2)已知f (x )≥ag (x )恒成立， 即ln(1＋x )≥ax1＋x 恒成立．设φ(x )＝ln(1＋x )－ax1＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝11＋x －a(1＋x )2＝x ＋1－a (1＋x )2，当a ≤1时，φ′(x )≥0(仅当x ＝0，a ＝1时等号成立)， ∴φ(x )在[0，＋∞)上单调递增． 又φ(0)＝0，∴φ(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a ≤1时，ln(1＋x )≥ax1＋x 恒成立(仅当x ＝0时等号成立)．当a >1时，对x ∈(0，a －1]有φ′(x )≤0， ∴φ(x )在(0，a －1]上单调递减， ∴φ(a －1)<φ(0)＝0，即a >1时，存在x >0，使φ(x )<0， ∴ln(1＋x )≥ax1＋x不恒成立．综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，1]．。

课时作业55 抛物线1．(2019·广东珠海模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，P A ⊥l ，垂足为A ，|PF |＝4，则直线AF 的倾斜角等于( B )A.7π12 B ．2π3 C.3π4D ．5π6解析：由抛物线y 2＝4x 知焦点F 的坐标为(1,0)，准线l 的方程为x ＝－1，由抛物线定义可知|P A |＝|PF |＝4，所以点P 的坐标为(3,23)，因此点A 的坐标为(－1,23)，所以k AF ＝23－0－1－1＝－3，所以直线AF的倾斜角等于2π3，故选B.2．(2019·湖北四地七校联考)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，点C (－4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是( D )A ．y 2＝4xB ．y 2＝－4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x解析：因为AB ⊥x 轴，且AB 过点F ，所以AB 是焦点弦，且|AB |＝2p ，所以S △CAB ＝12×2p ×⎝⎛⎭⎪⎫p 2＋4＝24，解得p ＝4或－12(舍)，所以抛物线方程为y 2＝8x ，所以直线AB 的方程为x ＝2，所以以直线AB 为准线的抛物线的标准方程为y 2＝－8x ，故选D.3．已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)，若直线y ＝2x 被抛物线所截弦长为45，则抛物线C 的方程为( C )A ．x 2＝8yB ．x 2＝4yC ．x 2＝2yD ．x 2＝y解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝2py ，y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4p ，y ＝8p ，即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p )，则(4p )2＋(8p )2＝45，得p ＝1(舍去负值)， 故抛物线C 的方程为x 2＝2y .4．(2019·河南百校联盟联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且|MO |＝|MF |＝32(O 为坐标原点)，则OM →·MF →＝( A )A ．－74 B ．74 C.94D ．－94解析：不妨设M (m ，2pm )(m ＞0)，易知抛物线C 的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，因为|MO |＝|MF |＝32， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2pm ＝94，m ＋p 2＝32，解得m ＝12，p ＝2，所以OM →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，2，MF →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，－2， 所以OM →·MF →＝14－2＝－74.故选A.5．如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( A )A.|BF |－1|AF |－1 B ．|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D ．|BF |2＋1|AF |2＋1解析：过A ，B 点分别作y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ， 则|AM |＝|AF |－1，|BN |＝|BF |－1.可知S △BCF S △ACF ＝12·|CB |·|CF |·sin ∠BCF12·|CA |·|CF |·sin ∠BCF ＝|CB ||CA |＝|BN ||AM |＝|BF |－1|AF |－1，故选A.6．(2019·江西六校联考)已知抛物线C ：y 2＝23x ，过焦点F 且斜率为3的直线与C 交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的射影分别为M ，N 两点，则S △MFN ＝( B )A ．8B ．2 3C ．4 3D ．8 3解析：法一：不妨设点P 在x 轴上方，如图，由抛物线定义可知|PF |＝|PM |，|QF |＝|QN |，设直线PQ 的倾斜角为θ，则tan θ＝3，所以θ＝π3， 由抛物线焦点弦的性质可知， |PF |＝p 1－cos θ＝31－cos π3＝23， |QF |＝p1＋cos θ＝31＋cos π3＝233， 所以|MN |＝|PQ |·sin θ＝(|PF |＋|QF |)·sin π3＝833×32＝4， 所以S △MFN ＝12×|MN |×p ＝12×4×3＝23，故选B. 法二：由题意可得直线PQ ：y ＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －32＝3x －32，与抛物线方程y 2＝23x 联立，得⎝⎛⎭⎪⎫3x －322＝23x ，即3x 2－53x ＋94＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝533， 所以|PQ |＝x 1＋x 2＋p ＝533＋3＝833， 所以|MN |＝|PQ |sin π3＝4，所以S △MNF ＝12×4×3＝23，故选B.7．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ．当水面宽为2 6 m 时，水位下降了 1 m.解析：以抛物线的顶点为坐标原点，水平方向为x 轴建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为x 2＝－2py (p ＞0)，把(2，－2)代入方程得p ＝1，即抛物线的标准方程为x 2＝－2y .将x ＝6代入x 2＝－2y 得：y ＝－3，又－3－(－2)＝－1，所以水面下降了1 m.8．如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a ＜b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p ＞0)经过C ，F 两点，则b a＝ 1＋2 .解析：|OD |＝a2，|DE |＝b ，|DC |＝a ，|EF |＝b ，故C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b ，b ， 又抛物线y 2＝2px (p ＞0)经过C 、F 两点，从而有⎩⎪⎨⎪⎧(－a )2＝2p ×a 2，b 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝p ，b 2＝ap ＋2bp ， ∴b 2＝a 2＋2ab ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2－2·ba －1＝0，又b a ＞1，∴ba ＝1＋ 2.9．已知抛物线C 1：y ＝ax 2(a ＞0)的焦点F 也是椭圆C 2：y 24＋x 2b 2＝1(b ＞0)的一个焦点，点M ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1分别为曲线C 1，C 2上的点，则|MP |＋|MF |的最小值为 2 .解析：将P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1代入到y 24＋x 2b 2＝1中，可得14＋94b 2＝1，∴b ＝3，∴c ＝1，∴抛物线的焦点F 为(0,1)，∴抛物线C 1的方程为x 2＝4y ，准线为直线y ＝－1，设点M 在准线上的射影为D ，根据抛物线的定义可知|MF |＝|MD |，∴要求|MP |＋|MF |的最小值，即求|MP |＋|MD |的最小值，易知当D ，M ，P 三点共线时，|MP |＋|MD |最小，最小值为1－(－1)＝2.10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为 6 . 解析：由抛物线方程为y 2＝6x ，所以焦点坐标F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，准线方程为x ＝－32，因为直线AF 的斜率为－3，所以直线AF 的方程为y ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，画图象如图．当x ＝－32时，y ＝33，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，33，因为P A ⊥l ，A 为垂足，所以点P 的纵坐标为33，可得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，33， 根据抛物线的定义可知 |PF |＝|P A |＝92－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝6.11．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是过F 的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)1|AF |＋1|BF |为定值；(3)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．证明：(1)由已知得抛物线焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0.由题意可设直线方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ， 得y 2＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫my ＋p 2，即y 2－2pmy －p 2＝0.(*)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0在抛物线内部，所以直线与抛物线必有两交点． 则y 1，y 2是方程(*)的两个实数根， 所以y 1y 2＝－p 2.因为y 21＝2px 1，y 22＝2px 2， 所以y 21y 22＝4p 2x 1x 2， 所以x 1x 2＝y 21y 224p 2＝p 44p 2＝p 24.(2)1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p 2＋1x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24. 因为x 1x 2＝p 24，x 1＋x 2＝|AB |－p ，代入上式，得1|AF |＋1|BF |＝|AB |p 24＋p 2(|AB |－p )＋p 24＝2p (定值)．(3)设AB 的中点为M (x 0，y 0)，如图所示，分别过A ，B 作准线l 的垂线，垂足为C ，D ，过M 作准线l 的垂线，垂足为N ，则|MN |＝12(|AC |＋|BD |) ＝12(|AF |＋|BF |)＝12|AB |.所以以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．12．(2019·武汉调研)已知直线y ＝k (x －2)与抛物线Γ：y 2＝12x 相交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作y 轴的垂线交Γ于点N .(1)证明：抛物线Γ在点N 处的切线与直线AB 平行；(2)是否存在实数k 使NA →·NB →＝0？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由⎩⎨⎧y ＝k (x －2)，y 2＝12x消去y 并整理，得2k 2x 2－(8k 2＋1)x ＋8k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8k 2＋12k 2，x 1x 2＝4， ∴x M ＝x 1＋x 22＝8k 2＋14k 2，y M ＝k (x M －2)＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2＋14k 2－2＝14k. 由题设条件可知，y N ＝y M ＝14k ，x N ＝2y 2N ＝18k 2， ∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫18k 2，14k . 设抛物线Γ在点N 处的切线l 的方程为 y －14k ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －18k 2，将x ＝2y 2代入上式， 得2my 2－y ＋14k －m8k 2＝0. ∵直线l 与抛物线Γ相切，∴Δ＝1－4×2m ×⎝ ⎛⎭⎪⎫14k －m 8k 2＝(m －k )2k 2＝0，∴m ＝k ，即l ∥AB .(2)假设存在实数k ，使NA →·NB →＝0， 则NA ⊥NB .∵M 是AB 的中点，∴|MN |＝12|AB |. 由(1)，得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2＋12k 22－4×4 ＝1＋k 2·16k 2＋12k 2. ∵MN ⊥y 轴，∴|MN |＝|x M －x N |＝8k 2＋14k 2－18k 2＝16k 2＋18k 2.∴16k 2＋18k 2＝121＋k 2·16k 2＋12k 2，解得k ＝±12.故存在k ＝±12，使得NA →·NB →＝0.13．(2019·福建六校联考)已知抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交E 于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，其垂直平分线交x 轴于点C ，MN ⊥y 轴于点N .若四边形CMNF 的面积等于7，则抛物线E 的方程为( C )A ．y 2＝xB ．y 2＝2xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：由题意，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线AB 的方程为y ＝x －p2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，联立y ＝x －p2和y 2＝2px 得，y 2－2py －p 2＝0，则y 1＋y 2＝2p ，所以y 0＝y 1＋y 22＝p ，故N (0，p )，又因为点M 在直线AB 上，所以x 0＝3p 2，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2，p ，因为MC ⊥AB ，所以k AB ·k MC ＝－1，故k MC ＝－1，从而直线MC 的方程为y ＝－x ＋52p ，令y ＝0，得x ＝52p ，故C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5p 2，0，四边形CMNF 的面积可以看作直角梯形CMNO 与直角三角形NOF 的面积之差， 即S 四边形CMNF ＝S 梯形CMNO －S △NOF ＝ 12⎝ ⎛⎭⎪⎫52p ＋32p ·p －12p ·p 2＝74p 2＝7，∴p 2＝4，又p ＞0，∴p ＝2，故抛物线E 的方程为y 2＝4x ，故选C. 14．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°，过AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为( A ) A.33 B ．1 C.233 D ．2 解析：过A ，B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，如图，由题意知|MN |＝12(|AA 1|＋|BB 1|)＝12(|AF |＋|BF |)， 在△AFB 中，|AB |2＝|AF |2＋|BF |2－2|AF ||BF |·cos120°＝|AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF |，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|MN ||AB |2＝14·|AF |2＋|BF |2＋2|AF ||BF ||AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF | ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋|AF ||BF ||AF |2＋|BF |2＋|AF ||BF | ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1|AF ||BF |＋|BF ||AF |＋1 ≤14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋1＝13， 当且仅当|AF |＝|BF |时取等号， ∴|MN ||AB |的最大值为33. 15．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是 (2,4) . 解析：如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)． 当l 的斜率k 不存在时，符合条件的直线l 必有两条． 当k 存在时，x 1≠x 2， 则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2， 又y 1＋y 2＝2y 0，所以y 0k ＝2.由CM ⊥AB ，得k ·y 0－0x 0－5＝－1， 即y 0k ＝5－x 0，因此2＝5－x 0，x 0＝3， 即M 必在直线x ＝3上． 将x ＝3代入y 2＝4x ， 得y 2＝12，则有－23＜y 0＜2 3. 因为点M 在圆上，所以(x 0－5)2＋y 20＝r 2， 故r 2＝y 20＋4＜12＋4＝16. 又y 20＋4＞4(为保证有4条，在k 存在时，y 0≠0)， 所以4＜r 2＜16，即2＜r ＜4. 16．(2019·武汉调研)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)和定点M (0,1)，设过点M 的动直线交抛物线C 于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 处的切线交点为N . (1)若N 在以AB 为直径的圆上，求p 的值； (2)若△ABN 面积的最小值为4，求抛物线C 的方程． 解：(1)可设AB ：y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入抛物线C ，得 x 2－2pkx －2p ＝0，显然方程有两个不等实根， 则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p .① 又x 2＝2py ，得y ′＝x p ， 则A ，B 处的切线斜率乘积为x 1x 2p 2＝－2p ＝－1， 则有p ＝2. (2)设切线AN 为y ＝x 1p x ＋b ， 又切点A 在抛物线y ＝x 22p 上， ∴y 1＝x 212p ，∴b ＝x 212p －x 21p ＝－x 212p ， ∴y AN ＝x 1p x －x 212p .同理y BN ＝x 2p x －x 222p .又∵N 在y AN 和y BN 上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 1p x －x 212p ，y ＝x 2p x －x 222p ，解得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，x 1x 22p . ∴N (pk ，－1)． |AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2·4p 2k 2＋8p ， 点N 到直线AB 的距离d ＝|kx N ＋1－y N |1＋k 2＝|pk 2＋2|1＋k 2， S △ABN ＝12·|AB |·d ＝p (pk 2＋2)3≥22p ， ∴22p ＝4，∴p ＝2. 故抛物线C 的方程为x 2＝4y .。

课时作业61 用样本估计总体1．在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形的面积和的25，且样本容量为140，则中间一组的频数为( B )A ．28B ．40C ．56D ．60解析：设中间一组的频数为x ，因为中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形的面积和的25，所以其他8组的频数和为52x ，由x ＋52x ＝140，解得x ＝40.2．(2019·广东广雅中学联考)某市重点中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m ＋n 的值是( C )A.10 B ．11 C ．12D ．13解析：∵甲组学生成绩的平均数是88，∴由茎叶图可知78＋86＋84＋88＋95＋90＋m ＋92＝88×7，∴m ＝3，∵乙组学生成绩的中位数是89，∴n ＝9，∴m ＋n ＝12.3．(2019·山东济南一模)已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为x ，方差为s 2，则( A )A.x ＝4，s 2＜2 B ．x ＝4，s 2＞2 C.x ＞4，s 2＜2D ．x ＞4，s 2＞2解析：∵某7个数的平均数为4，∴这7个数的和为4×7＝28，∵加入一个新数据4，∴x －＝28＋48＝4，又∵这7个数的方差为2，且加入一个新数据4，∴这8个数的方差s 2＝7×2＋(4－4)28＝74＜2，故选A.4．(2019·广东茂名五大联盟学校联考)甲、乙两组数的数据如茎叶图所示，则甲、乙的平均数、方差、极差及中位数相同的是( C )A.极差 B ．方差 C ．平均数D ．中位数解析：由题中茎叶图中数据的分布，可知方差不同，极差不同， 甲的中位数为16＋212＝18.5，乙的中位数为14＋182＝16， x 甲＝5＋16＋12＋25＋21＋376＝583， x 乙＝1＋6＋14＋18＋38＋396＝583，所以甲、乙的平均数相同．故选C.5．某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是(D)A．56 B．60C．120 D．140解析：由频率分布直方图知200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为1－(0.02＋0.10)×2.5＝0.7，则这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7＝140，故选D.6．(2019·北京东城质检)某班男女生各10名同学最近一周平均每天的锻炼时间(单位：分钟)用茎叶图记录如下：假设每名同学最近一周平均每天的锻炼时间是互相独立的．①男生每天锻炼的时间差别小，女生每天锻炼的时间差别大；②从平均值分析，男生每天锻炼的时间比女生多；③男生平均每天锻炼时间的标准差大于女生平均每天锻炼时间的标准差；④从10个男生中任选一人，平均每天的锻炼时间超过65分钟的概率比同样条件下女生锻炼时间超过65分钟的概率大．其中符合茎叶图所给数据的结论是(C)A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④解析：由茎叶图知，男生每天锻炼时间差别小，女生差别大，①正确．男生平均每天锻炼时间超过65分钟的概率P1＝510＝1 2，女生平均每天锻炼时间超过65分钟的概率P2＝410＝25，P1＞P2，因此④正确．设男生、女生两组数据的平均数分别为x甲，x乙，标准差分别为s甲，s乙．易求x甲＝65.2，x乙＝61.8，知x甲＞x乙，②正确．又根据茎叶图，男生锻炼时间较集中，女生锻炼时间较分散，∴s 甲＜s乙，③错误，因此符合茎叶图所给数据的结论是①②④.7．(2019·石家庄质检)设样本数据x1，x2，…，x2 018的方差是4，若y i＝2x i－1(i＝1,2，…，2 018)，则y1，y2，…，y2 018的方差为16.解析：设样本数据的平均数为x，则y i＝2x i－1的平均数为2x－1，则y1，y2，…，y2 018的方差为12 018[(2x1－1－2x＋1)2＋(2x2－1－2x＋1)2＋…＋(2x2 018－1－2x＋1)2]＝4×12 018[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(x2 018－x)2]＝4×4＝16.8．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有24株树木的底部周长小于100 cm.解析：底部周长在[80,90)的频率为0.015×10＝0.15，底部周长在[90,100)的频率为0.025×10＝0.25，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100 cm 的株数为(0.15＋0.25)×60＝24.9．一组数据1,10,5,2，x,2，且2＜x ＜5，若该数据的众数是中位数的23倍，则该数据的方差为 9 .解析：根据题意知，该组数据的众数是2，则中位数是2÷23＝3， 把这组数据从小到大排列为1,2,2，x,5,10， 则2＋x2＝3，解得x ＝4，所以这组数据的平均数为x ＝16×(1＋2＋2＋4＋5＋10)＝4， 方差为s 2＝16×[(1－4)2＋(2－4)2×2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(10－4)2]＝9.10．(2019·江西新余一模)“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称．某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分为100分(90分及以上为认知程度高)．现从参赛者中抽取了x 人，按年龄分成5组，第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45)，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人．(1)求x ；(2)求抽取的x 人的年龄的中位数(结果保留整数)；(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户，五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为1～5组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中1～5组的成绩分别为93,96,97,94,90，职业组中1～5组的成绩分别为93,98,94,95,90.(ⅰ)分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差； (ⅱ)以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想．解：(1)根据频率分布直方图得第一组的频率为0.01×5＝0.05，∴6x ＝0.05，∴x ＝120.(2)设中位数为a ，则0.01×5＋0.07×5＋(a －30)×0.06＝0.5， ∴a ＝953≈32，则中位数为32.(3)(ⅰ)5个年龄组成绩的平均数为x 1＝15×(93＋96＋97＋94＋90)＝94，方差为s 21＝15×[(－1)2＋22＋32＋02＋(－4)2]＝6.5个职业组成绩的平均数为x 2＝15×(93＋98＋94＋95＋90)＝94，方差为s 22＝15×[(－1)2＋42＋02＋12＋(－4)2]＝6.8. (ⅱ)从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更稳定．感想合理即可．11．在一个文艺比赛中，12名专业人士和12名观众代表各组成一个评判小组，给参赛选手打分，如图是两个评判组对同一选手打分的茎叶图：(1)求A 组数的众数和B 组数的中位数；(2)对每一组计算用于衡量相似性的数值，回答：小组A 与小组B 哪一个更像是由专业人士组成的？并说明理由．解：(1)由茎叶图可得：A 组数据的众数为47，B 组数据的中位数为55＋582＝56.5.(2)小组A ，B 数据的平均数分别为x A ＝112(42＋42＋44＋45＋46＋47＋47＋47＋49＋50＋50＋55)＝56412＝47，x B ＝112(36＋42＋46＋47＋49＋55＋58＋62＋66＋68＋70＋73)＝67212＝56，小组A ，B 数据的方差分别为s 2A ＝112[(42－47)2＋(42－47)2＋…＋(55－47)2]＝ 112(25＋25＋9＋4＋1＋0＋0＋0＋4＋9＋9＋64)＝12.5， s 2B ＝112[(36－56)2＋(42－56)2＋…＋(73－56)2]＝112(400＋196＋100＋81＋49＋1＋4＋36＋100＋144＋196＋289)＝133.因为s 2A ＜s 2B ，所以A 组成员的相似程度高，由于专业裁判给分更符合专业规则，相似程度应该高，因此A 组更像是由专业人士组成的．12．(2019·河北石家庄教学质量检测)某学校A 、B 两个班的兴趣小组在一次对抗赛中的成绩如茎叶图所示，通过茎叶图比较两个班兴趣小组成绩的平均值及标准差．①A 班兴趣小组的平均成绩高于B 班兴趣小组的平均成绩； ②B 班兴趣小组的平均成绩高于A 班兴趣小组的平均成绩； ③A 班兴趣小组成绩的标准差大于B 班兴趣小组成绩的标准差； ④B 班兴趣小组成绩的标准差大于A 班兴趣小组成绩的标准差． 其中正确结论的编号为( A )A.①④ B ．②③ C ．②④D ．①③解析：A 班兴趣小组的平均成绩为53＋62＋64＋…＋92＋9515＝78，其方差为115×[(53－78)2＋(62－78)2＋…＋(95－78)2]＝121.6， 则其标准差为121.6≈11.03；B 班兴趣小组的平均成绩为45＋48＋51＋…＋9115＝66， 其方差为115×[(45－66)2＋(48－66)2＋…＋(91－66)2]＝175.2， 则其标准差为175.2≈13.24.故选A.13．某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．(1)直方图中的a ＝ 3 ；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为 6 000 .解析：(1)由频率分布直方图可知：0．1×(0.2＋0.8＋1.5＋2.0＋2.5＋a )＝1，解得a ＝3.(2)消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的频率为0.1×(3.0＋2.0＋0.8＋0.2)＝0.6，所以所求购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.14．全世界越来越关注环境保护问题，某监测站点于2016年8月某日起连续n 天监测空气质量指数(AQI)，数据统计如下表：(1)根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出n ，m 的值，并完成频率分布直方图；(2)由频率分布直方图，求该组数据的平均数与中位数； (3)在空气质量指数分别为(50,100]和(150,200]的监测数据中，用分层抽样的方法抽取5天，从中任意选取2天，求事件A “两天空气质量等级都为良”的概率．解：(1)∵0.004×50＝20n ， ∴n ＝100，∵20＋40＋m ＋10＋5＝100， ∴m ＝25.40100×50＝0.008；25100×50＝0.005；10100×50＝0.002；5100×50＝0.001.由此完成频率分布直方图，如图：Earlybird(2)由频率分布直方图得该组数据的平均数为25×0.004×50＋75×0.008×50＋125×0.005×50＋175×0.002×50＋225×0.001×50＝95，∵[0,50]的频率为0.004×50＝0.2，(50,100]的频率为0.008×50＝0.4，∴中位数为50＋0.5－0.20.4×50＝87.5.(3)由题意知在空气质量指数为(50,100]和(150,200]的监测天数中分别抽取4天和1天，在所抽取的5天中，将空气质量指数为(50,100]的4天分别记为a ，b ，c ，d ；将空气质量指数为(150,200]的1天记为e ，从中任取2天的基本事件为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，共10个，其中事件A “两天空气质量等级都为良”包含的基本事件为(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(b ，c )，(b ，d )，(c ，d )，共6个，所以P (A )＝610＝35.。