2020届高三理科数学一轮复习讲义全册打包下载

第三章 导数及其应用第1讲 变化率与导数、导数的计算1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数一般地，称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx ＝lim Δx →0Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δ→0Δy Δx ＝lim Δ→0f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx． (2)导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝lim Δx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )．(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．(3)⎣⎡⎦⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)．4．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．导师提醒 1．注意两种区别(1)f ′(x )与f ′(x 0)的区别与联系：f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，所以[f ′(x 0)]′＝0.(2)“过”与“在”：曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．2．关注两个易错点(1)函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．(2)曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．3．记住两个常用结论(1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． (2)[af (x )＋bg (x )]′＝af ′(x )＋bg ′(x )．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )(5)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与过点P (x 0，y 0)的切线相同．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×(教材习题改编)函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos xD ．－x cos x解析：选B.y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .(教材习题改编)函数y ＝f (x )的图象如图，则导函数f ′(x )的大致图象为( )解析：选B.由导数的几何意义可知，f′(x)为常数，且f′(x)＜0.(2018·高考全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为________．解析：因为y＝2ln(x＋1)，所以y′＝2x＋1.当x＝0时，y′＝2，所以曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x.答案：y＝2x有一机器人的运动方程为s＝t2＋3t(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t＝2时的瞬时速度为________．解析：因为s＝t2＋3t，所以s′＝2t－3t2，所以s′|t＝2＝4－34＝134.答案：13 4若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．解析：设P(x0，y0)，因为y＝e－x，所以y′＝－e－x，所以点P处的切线斜率为k＝－e－x＝－2，所以－x0＝ln 2，所以x＝－ln 2，所以y＝e ln 2＝2，所以点P的坐标为(－ln 2，2)．答案：(－ln 2，2)导数的计算(多维探究)角度一根据求导法则求函数的导数求下列函数的导数：(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；(2)y＝sin x2(1－2cos2x4)；(3)y ＝3x e x －2x ＋e ； (4)y ＝ln xx 2＋1；(5)y ＝ln 2x －12x ＋1.【解】 (1)因为y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1) ＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ， 所以y ′＝18x 2－10x －4.(2)因为y ＝sin x 2(－cos x 2)＝－12sin x ，所以y ′＝(－12sin x )′＝－12(sin x )′＝－12cos x .(3)y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e ′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′ ＝3x e x ln 3＋3x e x －2x ln 2 ＝(ln 3＋1)·(3e)x －2x ln 2.(4)y ′＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x （x 2＋1）－2x ln x （x 2＋1）2＝x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2.(5)y ′＝(ln 2x －12x ＋1)′＝[ln(2x －1)－ln(2x ＋1)]′＝[ln(2x －1)]′－[ln(2x ＋1)]′＝12x －1·(2x －1)′－12x ＋1·(2x ＋1)′＝22x －1－22x ＋1＝44x 2－1.角度二 抽象函数的导数计算已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)＝________．【解析】 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x ，所以f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12＝3f ′(2)＋92，所以f ′(2)＝－94.【答案】 －94导数的计算技巧(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．1．已知f (x )＝x (2 017＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 018，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2D ．e解析：选B.因为f (x )＝x (2 017＋ln x )， 所以f ′(x )＝2 017＋ln x ＋1＝2 018＋ln x ， 又f ′(x 0)＝2 018，所以2 018＋ln x 0＝2 018，所以x 0＝1.2．(2019·宜昌模拟)已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)·2x ＋x 2，则f ′(2)＝( ) A.12－8ln 21－2ln 2B.21－2ln 2C.41－2ln 2D ．－2解析：选C.因为f ′(x )＝f ′(1)·2x ln 2＋2x ，所以f ′(1)＝f ′(1)·2ln 2＋2，解得f ′(1)＝21－2ln 2，所以f ′(x )＝21－2ln 2·2x ln 2＋2x ，所以f ′(2)＝21－2ln 2×22ln 2＋2×2＝41－2ln 2.3．求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos x ex .解：(1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x －1x 2. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝（cos x ）′e x－cos x （e x）′（e x ）2＝－sin x ＋cos xe x.导数的几何意义(多维探究)角度一求切线方程(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为()A．y＝－2x B．y＝－xC．y＝2x D．y＝x【解析】法一：因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以(－x)3＋(a－1)(－x)2＋a(－x)＝－[x3＋(a－1)x2＋ax]，所以2(a－1)x2＝0，因为x∈R，所以a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D.法二：因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－1)＋f(1)＝0，所以－1＋a－1－a ＋(1＋a－1＋a)＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x.故选D.【答案】 D角度二求切点坐标若曲线y＝x ln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．【解析】设切点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝ln x＋1，所以切线的斜率为k＝ln x＋1，由题意知k＝2，得x＝e，代入曲线方程得y＝e.故点P的坐标是(e，e)．【答案】(e，e)角度三求参数(1)(2018·高考全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)e x在点(0，1)处的切线的斜率为－2，则a＝________.(2)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则2a＋b＝________．【解析】(1)y′＝(ax＋1＋a)e x，由曲线在点(0，1)处的切线的斜率为－2，得y′|x＝0＝(ax＋1＝1＋a＝－2，所以a＝－3.＋a)e x|x＝0(2)由题意知，y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，由此解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1.【答案】 (1)－3(2)1 角度四 公切线问题已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________．【解析】 令f (x )＝x ＋ln x ，求导得f ′(x )＝1＋1x ，f ′(1)＝2，又f (1)＝1，所以曲线y ＝x ＋ln x在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.设直线y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1的切点为P (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋a ＋2＝2，得a (2x 0＋1)＝0，所以a ＝0或x 0＝－12，又ax 20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，即ax 20＋ax 0＋2＝0，当a ＝0时，显然不满足此方程，所以x 0＝－12，此时a ＝8.【答案】8角度五 导数与函数的图象(1)函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是()(2)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________．【解析】 (1)不妨设导函数y ＝f ′(x )的零点依次为x 1，x 2，x 3，其中x 1<0<x 2<x 3，由导函数图象可知，y ＝f (x )在(－∞，x 1)上为减函数，在(x 1，x 2)上为增函数，在(x 2，x 3)上为减函数，在(x 3，＋∞)上为增函数，从而排除A ，C.y ＝f (x )在x ＝x 1，x ＝x 3处取到极小值，在x ＝x 2处取到极大值，又x 2>0，排除B ，故选D.(2)由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，所以f ′(3)＝－13.因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， 所以g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 又由题图可知f (3)＝1， 所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 【答案】 (1)D (2)0导数几何意义的应用类型及求解思路(1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)．(2)若求过点P (x 0，y 0)的切线方程，可设切点为(x 1，y 1)，由⎩⎨⎧y 1＝f （x 1），y 0－y 1＝f ′（x 1）（x 0－x 1）求解即可．(3)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．1．已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )解析：选B.由y ＝f ′(x )的图象是先上升后下降可知，函数y ＝f (x )图象的切线的斜率先增大后减小，故选B.2．(2019·泉州模拟)若一直线与曲线y ＝ln x 和曲线x 2＝ay (a >0)相切于同一点P ，则a 的值为________．解析：设切点P (x 0，y 0)，则由y ＝ln x ，得y ′＝1x ，由x 2＝ay ，得y ′＝2ax ，则有⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＝2a x 0，y 0＝ln x 0，x 2＝ay 0，解得a ＝2e.答案：2e3．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m ＝________．解析：因为f ′(x )＝1x，所以直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，所以切线l 的方程为y ＝x －1. g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0，解得m ＝－2. 答案：－2分类讨论已知点是否为切点已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝⎛⎭⎫2，83，则过点P 的切线方程为________． 【解析】 (1)当P 为切点时，由y ′＝⎝⎛⎭⎫13x 3′＝x 2， 得y ′|x ＝2＝4，即过点P 的切线方程的斜率为4. 则所求的切线方程是y －83＝4(x －2)，即12x －3y －16＝0.(2)当P 点不是切点时，设切点为Q (x 0，y 0)， 则切线方程为y －13x 30＝x 20(x －x 0)，因为切线过点P ⎝⎛⎭⎫2，83，把P 点的坐标代入以上切线方程， 求得x 0＝－1或x 0＝2(即点P ，舍去)， 所以切点为Q ⎝⎛⎭⎫－1，－13， 即所求切线方程为3x －3y ＋2＝0.综上所述，过点P 的切线方程为12x －3y －16＝0或3x －3y ＋2＝0. 【答案】 12x －3y －16＝0或3x －3y ＋2＝0求曲线的切线问题时，要明晰所运算的对象(切线)涉及的点是“在”还是“过”，然后利用求切线方程的方法进行求解．(1)“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标得到斜率． (2)“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是切点，故应先设切点，求切点坐标．若存在过点(1，0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( ) A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析：选A.因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2， 设过点(1，0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)， 则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.又点(1，0)在切线上，所以x 0＝0或x 0＝32.当x 0＝0时，切线方程为y ＝0.由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切可得a ＝－2564；当x 0＝32时，切线方程为y ＝274x －274，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1.综上，a 的值为－1或－2564.[基础题组练]1．已知函数f(x)＝1x cos x，则f(π)＋f′⎝⎛⎭⎫π2＝()A．－3π2B．－1π2C．－3πD．－1π解析：选C.因为f′(x)＝－1x2cos x＋1x(－sin x)，所以f(π)＋f′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π.2．(2019·河北衡水调研)曲线y＝1－2x＋2在点(－1，－1)处的切线方程为()A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1 C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2解析：选A.因为y＝1－2x＋2＝xx＋2，所以y′＝x＋2－x（x＋2）2＝2（x＋2）2，y′|x＝－1＝2，所以曲线在点(－1，－1)处的切线的斜率为2，所以所求切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.3．已知曲线y＝x24－3ln x的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为()A．3 B．2C．1 D.1 2解析：选A.因为y′＝x2－3x，令y′＝12，解得x＝3，即切点的横坐标为3.4．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()解析：选D.由y＝f′(x)的图象知y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故排除A、C.又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在x ＝x 0处的切线的斜率相同，故排除B.5．函数g (x )＝x 3＋52x 2＋3ln x ＋b (b ∈R )在x ＝1处的切线过点(0，－5)，则b 的值为( )A.72B.52 C.32D.12解析：选B.当x ＝1时，g (1)＝1＋52＋b ＝72＋b ，又g ′(x )＝3x 2＋5x ＋3x，所以切线斜率k ＝g ′(1)＝3＋5＋3＝11， 从而切线方程为y ＝11x －5，由于点⎝⎛⎭⎫1，72＋b 在切线上，所以72＋b ＝11－5， 解得b ＝52.故选B.6．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝________． 解析：因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7， 所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7 ＝－4ax 3＋b sin x ＋7. 所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14. 又f ′(2 018)＝6，所以f ′(－2 018)＝14－6＝8. 答案：87．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0相互垂直，则实数a ＝________．解析：因为f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，所以f ′⎝⎛⎭⎫π2＝sin π2＋π2·cos π2＝1.又直线ax ＋2y ＋1＝0的斜率为－a 2，所以1×⎝⎛⎭⎫－a 2＝－1，解得a ＝2. 答案：28．(2019·南昌第一次模拟)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝________．解析：因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ，所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e. 答案：1＋e9．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎨⎧f （0）＝b ＝0，f ′（0）＝－a （a ＋2）＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0， 即4a 2＋4a ＋1>0， 所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 10．已知函数f (x )＝x 3＋x －16.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； (3)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上． 因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. 所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32. (2)设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1， 所以直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又因为直线l 过点(0，0)，所以0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8， 所以x 0＝－2，所以y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k ＝3×(－2)2＋1＝13.所以直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26)． (3)因为切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，所以切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4， 所以x 0＝±1.所以⎩⎨⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎨⎧x 0＝－1，y 0＝－18，即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)， 切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.[综合题组练]1．(应用型)在等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝( )A ．26B ．29C ．212D ．215解析：选 C.因为f ′(x )＝x ′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝a 1a 8＝8，所以f ′(0)＝84＝212.故选C. 2．(应用型)(2019·成都第二次诊断检测)若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B ．[－12，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选 D.f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x (x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x 2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．故选D.3．(创新型)(2019·黑龙江伊春质检)曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离是________．解析：设M (x 0，ln(2x 0－1))为曲线上的任意一点，则曲线在M 点处的切线与直线2x －y ＋8＝0平行时，M 点到直线的距离即为曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋8＝0的最短距离．因为y ′＝22x －1，所以22x 0－1＝2，解得x 0＝1，所以M (1，0)．记点M 到直线2x －y ＋8＝0的距离为d ，则d ＝|2＋8|4＋1＝2 5.答案：2 54．设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标． 解：(1)由题意得，y ′＝－2x ＋92.设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，① y 1＝－x 21＋92x 1－4，② －2x 1＋92＝k ，③联立①②③得，x 1＝2，x 2＝－2(舍去)． 所以k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线， 其方程为y ＝－2x ＋5.④ 将④代入抛物线方程得， x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9， 所以x 2＝92，y 2＝－4.所以Q 点的坐标为⎝⎛⎭⎫92，－4.5．(2019·福州质检)设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2，知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0，2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为S ＝12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为6.第2讲 导数与函数的单调性函数的单调性与导数的关系导师提醒 1．关注两个易错点(1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则．(2)有相同单调性的单调区间不止一个时，用“，”隔开或用“和”连接，不能用“∪”连接．2．理清三组关系(1)在某区间内f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数f (x )在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件． (2)可导函数f (x )在(a ，b )上是增(减)函数的充要条件是对∀x ∈(a ，b )，都有f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)且f ′(x )在(a ，b )上的任何子区间内都不恒为零．(3)对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数f (x )在(a ，b )内单调递增，那么一定有f ′(x )>0.( )(2)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性．( ) (3)在(a ，b )内f ′(x )≤0且f ′(x )＝0的根有有限个，则f (x )在(a ，b )内是减函数．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√如图是函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则下面判断正确的是( )A ．在区间(－3，1)上f (x )是增函数B ．在区间(1，3)上f (x )是减函数C ．在区间(4，5)上f (x )是增函数D ．在区间(3，5)上f (x )是增函数解析：选C.由图象可知，当x ∈(4，5)时，f ′(x )>0，故f (x )在(4，5)上是增函数．(教材习题改编)函数f (x )＝cos x －x 在(0，π)上的单调性是( ) A ．先增后减 B ．先减后增 C ．增函数D ．减函数解析：选D.因为f ′(x )＝－sin x －1<0. 所以f (x )在(0，π)上是减函数，故选D.函数f (x )＝x －ln x 的单调递减区间为________．解析：由f ′(x )＝1－1x <0，得1x >1，即x <1，又x >0，所以函数f (x )的单调递减区间为(0，1)．答案：(0，1)已知f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则实数a 的最大值是________． 解析：f ′(x )＝3x 2－a ≥0，即a ≤3x 2，又因为x ∈[1，＋∞)，所以a ≤3，即a 的最大值是3. 答案：3不含参数函数的单调性(自主练透) 1．函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(12，＋∞)C ．(－∞，－1)D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 解析：选B.由y ＝4x 2＋1x ，得y ′＝8x －1x 2，令y ′>0，即8x －1x 2>0，解得x >12，所以函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 故选B.2．已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A ．在(0，＋∞)上递增 B ．在(0，＋∞)上递减 C ．在(0，1e)上递增D ．在⎝⎛⎭⎫0，1e 上递减 解析：选D.因为函数f (x )＝x ln x ，定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，当f ′(x )>0时，解得x >1e ，即函数的单调递增区间为(1e，＋∞)；当f ′(x )<0时，解得0<x <1e，即函数的单调递减区间为(0，1e)，故选D.3．已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间是________．解析：f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ， 令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2， 即f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2. 答案：⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2求函数单调区间的步骤(1)确定函数f (x )的定义域． (2)求f ′(x )．(3)在定义域内解不等式f ′(x )>0，得单调递增区间． (4)在定义域内解不等式f ′(x )<0，得单调递减区间．[提醒] 求函数的单调区间时，一定要先确定函数的定义域，否则极易出错．含参数函数的单调性(师生共研)已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x 2，a ∈R .讨论f (x )的单调性． 【解】 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝（ax 2－2）（x －1）x 3.当a ≤0时，x ∈(0，1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 当a >0时，f ′(x )＝a （x －1）x 3⎝⎛⎭⎫x －2a ⎝⎛⎭⎫x ＋2a .(1)0<a <2时，2a>1， 当x ∈(0，1)或x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 当x ∈⎝⎛⎭⎫1，2a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． (2)a ＝2时，2a＝1，在x ∈(0，＋∞)内，f ′(x )≥0， f (x )单调递增． (3)a >2时，0<2a <1，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，2a 或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，1时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减； 当0<a <2时，f (x )在(0，1)内单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，2a 内单调递减，在⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞内单调递增；当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)内单调递增； 当a >2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，2a 内单调递增，在⎝⎛⎭⎫2a ，1内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．解决含参数的函数单调性问题应注意的2点(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．讨论函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1的单调性． 解：f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝a －1x ＋2ax ＝2ax 2＋a －1x.①当a ≥1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ②当a ≤0时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减；③当0<a <1时，令f ′(x )＝0，解得x ＝1－a 2a ，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 1－a 2a 时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a2a ，＋∞时，f ′(x )>0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 1－a 2a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫1－a2a ，＋∞上单调递增．函数单调性的应用(多维探究) 角度一 比较大小或解不等式(1)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为( )A ．(－1，1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)(2)已知定义在⎝⎛⎭⎫0，π2上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且对于任意的x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，都有f ′(x )sin x <f (x )cos x ，则( )A.3f ⎝⎛⎭⎫π4>2f ⎝⎛⎭⎫π3 B ．f ⎝⎛⎭⎫π3>f (1) C.2f ⎝⎛⎭⎫π6<f ⎝⎛⎭⎫π4D.3f ⎝⎛⎭⎫π6<f ⎝⎛⎭⎫π3【解析】 (1)由f (x )＞2x ＋4，得f (x )－2x －4＞0，设F (x )＝f (x )－2x －4，则F ′(x )＝f ′(x )－2，因为f ′(x )＞2，所以F ′(x )＞0在R 上恒成立，所以F (x )在R 上单调递增，而F (－1)＝f (－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f (x )－2x －4＞0等价于F (x )＞F (－1)，所以x ＞－1，故选B.(2)令g (x )＝f （x ）sin x ，则g ′(x )＝f ′（x ）sin x －f （x ）cos xsin 2x，由已知g ′(x )<0在⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立， 所以g (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减， 所以g ⎝⎛⎭⎫π4>g ⎝⎛⎭⎫π3，即f ⎝⎛⎭⎫π422>f ⎝⎛⎭⎫π332，所以3f ⎝⎛⎭⎫π4>2f ⎝⎛⎭⎫π3. 【答案】 (1)B (2)A角度二 已知函数的单调性求参数已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)．(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求a 的取值范围． 【解】 (1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2，由于h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x ∈(0，＋∞)时，1x －ax －2＜0有解．即a ＞1x 2－2x 有解，设G (x )＝1x 2－2x，所以只要a ＞G (x )min 即可． 而G (x )＝(1x －1)2－1，所以G (x )min ＝－1. 所以a ＞－1.(2)由h (x )在[1，4]上单调递减得，当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x恒成立．所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝(1x －1)2－1，因为x ∈[1，4]，所以1x ∈[14，1]，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)， 所以a ≥－716，即a 的取值范围是[－716，＋∞)． [迁移探究1] (变问法)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递增，求a 的取值范围． 解：由h (x )在[1，4]上单调递增得，当x ∈[1，4]时，h ′(x )≥0恒成立，所以当x ∈[1，4]时，a ≤1x 2－2x 恒成立，又当x ∈[1，4]时，(1x 2－2x )min ＝－1(此时x ＝1)，所以a ≤－1，即a 的取值范围是(－∞，－1]．[迁移探究2] (变问法)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上存在单调递减区间，求a 的取值范围．解：h (x )在[1，4]上存在单调递减区间， 则h ′(x )＜0在[1，4]上有解， 所以当x ∈[1，4]时，a ＞1x 2－2x 有解，又当x ∈[1，4]时，(1x 2－2x)min ＝－1，所以a ＞－1，即a 的取值范围是(－1，＋∞)．[迁移探究3] (变条件)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上不单调，求a 的取值范围． 解：因为h (x )在[1，4]上不单调， 所以h ′(x )＝0在(1，4)上有解， 即a ＝1x 2－2x有解，令m (x )＝1x 2－2x ，x ∈(1，4)，则－1<m (x )<－716， 所以实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－716.(1)利用导数比较大小或解不等式的常用技巧利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．(2)利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路①由函数在区间[a ，b ]上单调递增(减)可知f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在区间[a ，b ]上恒成立列出不等式；②利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；③对等号单独检验，检验参数的取值能否使f ′(x )在整个区间恒等于0，若f ′(x )恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f ′(x )＝0，则参数可取这个值．[提醒] f (x )为增函数的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任意一个非空子区间上f ′(x )≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．1．设f (x )，g (x )是定义在R 上的恒大于0的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，有( )A ．f (x )g (x )>f (b )g (b )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (b )>f (b )g (x )D ．f (x )g (x )>f (a )g (a )解析：选C.令F (x )＝f （x ）g （x ），则F ′(x )＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2<0，所以F (x )在R 上单调递减．又a <x <b ，所以f （a ）g （a ）>f （x ）g （x ）>f （b ）g （b ）.又f (x )>0，g (x )>0，所以f (x )g (b )>f (b )g (x )．2．已知函数f (x )＝3xa－2x 2＋ln x 在区间[1，2]上为单调函数，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝3a －4x ＋1x ，若函数f (x )在区间[1，2]上为单调函数，即在[1，2]上，f ′(x )＝3a －4x ＋1x ≥0或f ′(x )＝3a －4x ＋1x≤0， 即3a －4x ＋1x ≥0或3a －4x ＋1x ≤0在[1，2]上恒成立， 即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x. 令h (x )＝4x －1x ，因为函数h (x )在[1，2]上单调递增，所以3a ≥h (2)或3a ≤h (1)，即3a ≥152或3a ≤3，解得a <0或0<a ≤25或a ≥1.分类与整合思想在研究函数单调性中的应用已知函数f (x )＝(x －2)·e x ＋a (x －1)2.讨论f (x )的单调性． 【解】 f ′(x )＝(x －1)e x ＋2a (x －1)＝(x －1)(e x ＋2a )． (1)设a ≥0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． (2)设a <0，由f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝ln(－2a )． ①若a ＝－e2，则f ′(x )＝(x －1)(e x －e)，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增， ②若a >－e2，则ln(－2a )<1，故当x ∈(－∞，ln(－2a ))∪(1，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(ln(－2a )，1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，ln(－2a ))和(1，＋∞)上单调递增， 在(ln(－2a )，1)上单调递减． ③若a <－e2，则ln(－2a )>1，故当x ∈(－∞，1)∪(ln(－2a )，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－∞，1)和(ln(－2a )，＋∞)上单调递增， 在(1，ln(－2a ))上单调递减．含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论，常见有以下几种可能：①方程f ′(x )＝0是否有根；②若f ′(x )＝0有根，求出根后判断是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法．(2019·山东枣庄调研)已知函数f (x )＝x e x －a ⎝⎛⎭⎫12x 2＋x (a ∈R )． (1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，e)处的切线方程； (2)当a >0时，求函数f (x )的单调区间．解：(1)a ＝0时，f ′(x )＝(x ＋1)e x ，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝2e.又f (1)＝e ，所以y ＝f (x )在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝2e(x －1)，即2e x －y －e ＝0.(2)f ′(x )＝(x ＋1)(e x －a )，令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝ln a .①当a＝1e时，f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在R上单调递增．②当0<a<1e时，ln a<－1，由f′(x)>0，得x<ln a或x>－1；由f′(x)<0，得ln a<x<－1，所以单调递增区间为(－∞，ln a)，(－1，＋∞)，单调递减区间为(ln a，－1)．③当a>1e时，ln a>－1，由f′(x)>0，得x<－1或x>ln a；由f′(x)<0，得－1<x<ln a，所以单调递增区间为(－∞，－1)，(ln a，＋∞)，单调递减区间为(－1，ln a)．综上所述，当a＝1e 时，f(x)在R上单调递增；当0<a<1e时，单调递增区间为(－∞，ln a)，(－1，＋∞)，单调递减区间为(ln a，－1)；当a>1e时，单调递增区间为(－∞，－1)，(ln a，＋∞)，单调递减区间为(－1，ln a)．[基础题组练]1．函数f(x)＝1＋x－sin x在(0，2π)上是()A．单调递增B．单调递减C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增解析：选A.f′(x)＝1－cos x>0恒成立，所以f(x)在R上递增，在(0，2π)上单调递增．2．(2019·济南调研)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()A．f(b)>f(c)>f(d)B．f(b)>f(a)>f(e)C．f(c)>f(b)>f(a)D．f(c)>f(e)>f(d)解析：选C.由题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，因为a<b<c，所以f(c)>f(b)>f(a)，故选C.3．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是()A．(－∞，－2]B．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D.由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增⇔f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，＋∞)上恒成立．由于k ≥1x ，而0<1x<1，所以k ≥1.即k 的取值范围为[1，＋∞)．4．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，2]B ．(4，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(0，3]解析：选A.因为f (x )＝12x 2－9ln x ，所以f ′(x )＝x －9x (x >0)，由x －9x ≤0，得0<x ≤3，所以f (x )在(0，3]上是减函数，则[a －1，a ＋1]⊆(0，3]，所以a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2.5．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )＜0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a解析：选C.因为当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )＜0，所以f ′(x )＞0，所以函数f (x )在(－∞，1)上是单调递增函数，所以a ＝f (0)＜f ⎝⎛⎭⎫12＝b ，又f (x )＝f (2－x )， 所以c ＝f (3)＝f (－1)，所以c ＝f (－1)＜f (0)＝a ，所以c ＜a ＜b ，故选C. 6．函数f (x )＝x 4＋54x －ln x 的单调递减区间是________．解析：因为f (x )＝x 4＋54x －ln x ，所以函数的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝14－54x 2－1x ＝x 2－4x －54x 2，令f ′(x )＜0，解得0＜x ＜5，所以函数f (x )的单调递减区间为(0，5)． 答案：(0，5)7．若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x 恰好有三个单调区间，则实数a 的取值范围是________． 解析：由题意知f ′(x )＝3ax 2＋6x －1，由函数f (x )恰好有三个单调区间，得f ′(x )有两个不相等的零点，所以3ax 2＋6x －1＝0需满足a ≠0，且Δ＝36＋12a >0，解得a >－3，所以实数a 的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞)．答案：(－3，0)∪(0，＋∞)8．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则不等式xf ′(x )≥0的解集为________．解析：由f (x )图象特征可得，f ′(x )在⎝⎛⎦⎤－∞，12和[2，＋∞)上大于0，在⎝⎛⎭⎫12，2上小于0， 所以xf ′(x )≥0⇔⎩⎨⎧x ≥0，f ′（x ）≥0或⎩⎨⎧x ≤0，f ′（x ）≤0⇔0≤x ≤12或x ≥2，所以xf ′(x )≥0的解集为⎣⎡⎦⎤0，12∪[2，＋∞)． 答案：⎣⎡⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 9．已知函数f (x )＝ln x ＋ke x(k 为常数，e 是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行．(1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间．解：(1)由题意得f ′(x )＝1x－ln x －k e x ，又因为f ′(1)＝1－ke＝0，故k ＝1. (2)由(1)知，f ′(x )＝1x－ln x －1e x ，设h (x )＝1x －ln x －1(x >0)，则h ′(x )＝－1x 2－1x<0，即h (x )在(0，＋∞)上是减函数．由h (1)＝0知，当0<x <1时，h (x )>0，从而f ′(x )>0； 当x >1时，h (x )<0，从而f ′(x )<0.综上可知，f (x )的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞)． 10．已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1)若f (x )在R 上为增函数，求实数a 的取值范围；(2)若函数f (x )在(－1，1)上为单调减函数，求实数a 的取值范围； (3)若函数f (x )的单调递减区间为(－1，1)，求实数a 的值； (4)若函数f (x )在区间(－1，1)上不单调，求实数a 的取值范围． 解：(1)因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， 所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立． 因为3x 2≥0， 所以只需a ≤0.又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )＝x 3－1在R 上是增函数，所以a ≤0，即实数a 的取值范围为(－∞，0]． (2)由题意知f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1，1)上恒成立， 所以a ≥3x 2在(－1，1)上恒成立，因为当－1<x <1时，3x 2<3，所以a ≥3，所以a 的取值范围为[3，＋∞)． (3)由题意知f ′(x )＝3x 2－a ，则f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－3a 3，3a 3， 又f (x )的单调递减区间为(－1，1)， 所以3a3＝1，解得a ＝3. (4)由题意知：f ′(x )＝3x 2－a ，当a ≤0时，f ′(x )≥0，此时f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，不合题意，故a >0.令f ′(x )＝0，解得x ＝±3a 3. 因为f (x )在区间(－1，1)上不单调，所以f ′(x )＝0在(－1，1)上有解，需0<3a3<1，得0<a <3，所以实数a 的取值范围为(0，3)．[综合题组练]1．(2019·南昌模拟)已知函数f (x )＝x sin x ，x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且f (x 1)<f (x 2)，那么( )A ．x 1－x 2>0B ．x 1＋x 2>0C ．x 21－x 22>0D ．x 21－x 22<0解析：选D.由f (x )＝x sin x ，得f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＝cos x (tan x ＋x )，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )>0，即f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数，又f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数，所以当f (x 1)<f (x 2)时，有f (|x 1|)<f (|x 2|)，所以|x 1|<|x 2|，x 21－x 22<0，故选D.2．(应用型)设函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( )A ．g (a )<0<f (b )B ．f (b )<0<g (a )C ．0<g (a )<f (b )D ．f (b )<g (a )<0解析：选A.因为函数f (x )＝e x ＋x －2在R 上单调递增，且f (0)＝1－2<0，f (1)＝e －1>0，所以f (a )＝0时a ∈(0，1)．又g (x )＝ln x ＋x 2－3在(0，＋∞)上单调递增，且g (1)＝－2<0，所以g (a )<0.由g (2)＝ln 2＋1>0，g (b )＝0得b ∈(1，2)，又f (1)＝e －1>0， 所以f (b )>0.综上可知，g (a )<0<f (b )．3．(应用型)已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2＋2)<f (3x )，则实数x 的取值范围是________． 解析：由题可得函数定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x ＋2x ln 2，所以在定义域内f ′(x )>0，函数单调递增，所以由f (x 2＋2)<f (3x )得x 2＋2<3x ，所以1<x <2.答案：(1，2)4．设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是________．解析：设y ＝g (x )＝f （x ）x (x ≠0)，则g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2，当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，所以 g ′(x )<0，所以 g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0.因为 f (x )为奇函数，所以 g (x )为偶函数， 所以 g (x )的图象的示意图如图所示． 当x ＞0，g (x )＞0时，f (x )＞0，0＜x ＜1， 当x ＜0，g (x )＜0时，f (x )>0，x ＜－1，所以 使得f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)． 答案：(－∞，－1)∪(0，1) 5．(综合型)设函数f (x )＝a ln x ＋x －1x ＋1，其中a 为常数． (1)若a ＝0，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性．解：(1)由题意知a ＝0时，f (x )＝x －1x ＋1，x ∈(0，＋∞)，此时f ′(x )＝2（x ＋1）2，可得f ′(1)＝12，又f (1)＝0，所以曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为x －2y －1＝0. (2)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝a x ＋2（x ＋1）2＝ax 2＋（2a ＋2）x ＋a x （x ＋1）2.当a ≥0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a <0时，令g (x )＝ax 2＋(2a ＋2)x ＋a ， Δ＝(2a ＋2)2－4a 2＝4(2a ＋1)．①当a ＝－12时，Δ＝0，f ′(x )＝－12（x －1）2x （x ＋1）2≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ②当a <－12时，Δ<0，g (x )<0，f ′(x )<0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ③当－12<a <0时，Δ>0，设x 1，x 2(x 1<x 2)是函数g (x )的两个零点， 则x 1＝－（a ＋1）＋2a ＋1a，x 2＝－（a ＋1）－2a ＋1a.。

第十三章选修系列 选修4-4坐标系与参数方程第1讲 坐标系1．坐标系 (1)伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x （λ>0），y ′＝μ·y （μ>0）的作用下，点P (x ，y )对应到点(λx ，μy )，称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换．(2)极坐标系在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx （x ≠0）Ｗ. 3．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 4．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则该圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.导师提醒熟记几种简单曲线的极坐标方程曲线图形 极坐标方程圆心在极点，半径为r 的圆 ρ＝r(0≤θ<2π)圆心为(r ，0)，半径为r 的圆ρ＝2r cos θ(－π2≤θ<π2) 圆心为(r ，π2)，半径为r 的圆ρ＝2r sin θ(0≤θ<π) 过极点，倾斜角为α的直线(1)θ＝α(ρ∈R )或θ＝π＋α(ρ∈R )，(2)θ＝α和θ＝π＋α过点(a ，0)，与极轴垂直的直线ρcos θ＝a(－π2<θ<π2)过点(a ，π2)，与极轴平行的直线ρsin θ＝a(0<θ<π)判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( ) (2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝⎛⎭⎫2，－π3.( )(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B ．ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2 D ．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4解析：选 A.y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为ρsin θ＝1－ρcos θ，即ρ＝1sin θ＋cos θ，由0≤x ≤1，得0≤y ≤1，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.故选A. 在极坐标系中，已知点P ⎝⎛⎭⎫2，π6，则过点P 且平行于极轴的直线方程是( )A ．ρsin θ＝1B ．ρsin θ＝ 3C ．ρcos θ＝1D ．ρcos θ＝ 3解析：选 A.先将极坐标化成直角坐标表示，P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π6转化为直角坐标为x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平等于x 轴的直线为y ＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1.在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是________．解析：法一：由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2. 法二：由ρ＝－2sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2，知圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，－π2. 答案：⎝⎛⎭⎫1，－π2在极坐标系中A ⎝⎛⎭⎫2，－π3，B ⎝⎛⎭⎫4，2π3两点间的距离为________．解析：法一(数形结合)：在极坐标系中，A ，B 两点如图所示，|AB |＝|OA |＋|OB |＝6.法二：因为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3，B ⎝⎛⎭⎪⎫4，2π3的直角坐标为A (1，－3)，B (－2，23)．所以|AB |＝（－2－1）2＋（23＋3）2＝6.答案：6平面直角坐标系中的伸缩变换(自主练透)1．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝13y后的图形．(1)5x ＋2y ＝0； (2)x 2＋y 2＝1.解：伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝12xy ′＝13y ，则⎩⎨⎧x ＝2x ′y ＝3y ′，(1)若5x ＋2y ＝0，则5(2x ′)＋2(3y ′)＝0，所以5x ＋2y ＝0经过伸缩变换后的方程为5x ′＋3y ′＝0，为一条直线．(2)若x 2＋y 2＝1，则(2x ′)2＋(3y ′)2＝1，则x 2＋y 2＝1经过伸缩变换后的方程为4x ′2＋9y ′2＝1，为椭圆． 2．求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标． 解：设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)， 由⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′3，y ＝2y ′，代入曲线C ：x 2－y 264＝1，得x ′29－y ′216＝1，即曲线C ′的方程为x 29－y 216＝1，因此曲线C ′的焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)．3．将圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y 24＝1的一个伸缩变换公式为φ：⎩⎪⎨⎪⎧X ＝ax （a >0），Y ＝by （b >0），求a ，b 的值．解：由⎩⎨⎧X ＝ax ，Y ＝by 得⎩⎨⎧x ＝1aX ，y ＝1bY ，代入x 2＋y 2＝1中得X 2a 2＋Y 2b 2＝1，所以a 2＝9，b 2＝4，因为a >0，b >0，所以a ＝3，b ＝2.(1)平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0）的作用下的变换方程的求法是将⎩⎨⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，整理得y ′＝h (x ′)为所求．(2)解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P (x ，y )与变换后的点P ′(x ′，y ′)的坐标关系，用方程思想求解．极坐标与直角坐标的互化(师生共研)(1)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫22，7π4，求点A 到直线l的距离．(2)把曲线C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0化为极坐标方程．【解】 (1)由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得2ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ＝2，所以y －x ＝1. 由点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4得点A 的直角坐标为(2，－2)， 所以d ＝|2＋2＋1|2＝522.即点A 到直线l 的距离为522. (2)将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0，所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.极坐标方程与直角坐标方程的互化(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可． (2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．1．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22(ρ≥0，0≤θ<2π)． (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标． 解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 故圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，故直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0. (2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎨⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0，1)， 将(0，1)转化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2即为所求． 2．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2.(1)将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4. 因为ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2， 所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2.所以O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.求曲线的极坐标方程(师生共研)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1(0≤θ＜2π)，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 【解】 (1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得 ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而曲线C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y －2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2，0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)由(1)知，M 点的直角坐标为(2，0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233. 所以P 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33， 则P 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6.所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点．(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式． (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．1．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的极坐标方程．解：设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)． 2．圆心C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，且圆C 经过极点．求圆C 的极坐标方程． 解：圆心C 的直角坐标为(2，2)，则设圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝r 2， 依题意可知r 2＝(0－2)2＋(0－2)2＝4，故圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4，化为极坐标方程为ρ2－22ρ(sin θ＋cos θ)＝0， 即ρ＝22(sin θ＋cos θ)．极坐标方程的应用(师生共研)(2019·山西八校第一次联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝4＋5sin α(α为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程； (2)设l 1：θ＝π6，l 2：θ＝π3，若l 1，l 2与曲线C 分别交于异于原点的A ，B 两点，求△AOB 的面积． 【解】 (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25， 即x 2＋y 2－6x －8y ＝0.所以曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ. (2)设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ1，π6，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，π3. 把θ＝π6代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ1＝4＋3 3.所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋33，π6. 把θ＝π3代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ2＝3＋43，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋43，π3. 所以S △AOB ＝12ρ1ρ2sin ∠AOB＝12(4＋33)(3＋43)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π6 ＝12＋2534.极坐标应用中的注意事项(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x 轴正半轴重合；③取相同的长度单位．(2)若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．(3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0，2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)建立一一对应关系．1．(2019·长春质量检测)在平面直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ2(1＋3sin 2θ)＝4，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．(1)求曲线C 1的直角坐标方程和C 2的普通方程； (2)极坐标系中两点A (ρ1，θ0)，B (ρ2，θ0＋π2)都在曲线C 1上，求1ρ21＋1ρ22的值． 解：(1)由题意可得，曲线C 1的直角坐标方程为x 24＋y 2＝1，C 2的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)由点A ，B 在曲线C 1上，得ρ21＝41＋3sin 2θ0，ρ22＝41＋3sin 2（θ0＋π2），则1ρ21＝1＋3sin 2θ04，1ρ22＝1＋3cos 2θ04，因此1ρ21＋1ρ22＝1＋3sin 2θ04＋1＋3cos 2θ04＝54.2．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(其中φ为参数)，曲线C 2：x 28＋y 24＝1.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)射线l ：θ＝α(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (且点A ，B 均异于原点O )，当0<α<π2时，求|OB |2－|OA |2的最小值．解：(1)曲线C 1的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，令x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ， 同理，可得C 2的极坐标方程为ρ2＝81＋sin 2θ.(2)联立θ＝α(ρ≥0)与C 1的极坐标方程得|OA |2＝4cos 2α， 联立θ＝α(ρ≥0)与C 2的极坐标方程得|OB |2＝81＋sin 2α，则|OB |2－|OA |2＝81＋sin 2α－4cos 2α＝81＋sin 2α－4(1－sin 2α)＝81＋sin 2α＋4(1＋sin 2α)－8≥281＋sin 2α×4（1＋sin 2α）－8＝82－8(当且仅当sin α＝2－1时取等号)．所以|OB |2－|OA |2的最小值为82－8.[基础题组练]1．将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C . (1)求曲线C 的标准方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与直线l 垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎨⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1，得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1，即曲线C 的标准方程为x 2＋y 24＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，所求直线的斜率为k ＝12， 于是所求直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎫x －12， 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 故所求直线的极坐标方程为ρ＝34sin θ－2cos θ.2．在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程； (2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积． 解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.3．(2019·湖南湘东五校联考)平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点M (－2，－4)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2cos θ.(1)写出直线l 的参数方程(α为常数)和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且|MA |·|MB |＝40，求倾斜角α的值．解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝－4＋t sin α(t 为参数)，ρsin 2θ＝2cos θ，即ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入曲线C 的直角坐标方程得y 2＝2x .(2)把直线l 的参数方程代入y 2＝2x ，得 t 2sin 2α－(2cos α＋8sin α)t ＋20＝0， 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 由一元二次方程根与系数的关系得，t 1t 2＝20sin 2α， 根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝20sin 2α＝40，得α＝π4或α＝3π4.又Δ＝(2cos α＋8sin α)2－80sin 2α>0，所以α＝π4.4．(2019·太原模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φy ＝sin φ(φ为参数)，曲线C 2：x 2＋y 2－2y ＝0，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l ：θ＝α(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (均异于原点O )．(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)当0<α<π2时，求|OA |2＋|OB |2的取值范围．解：(1)因为⎩⎨⎧x ＝2cos φy ＝sin φ(φ为参数)，所以曲线C 1的普通方程为x 22＋y 2＝1.由⎩⎨⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ得曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ. 因为x 2＋y 2－2y ＝0，所以曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (2)由(1)得|OA |2＝ρ2＝21＋sin 2α，|OB |2＝ρ2＝4sin 2α， 所以|OA |2＋|OB |2＝21＋sin 2α＋4sin 2α＝21＋sin 2α＋4(1＋sin 2α)－4， 因为0<α<π2，所以1<1＋sin 2α<2，所以6<21＋sin 2α＋4(1＋sin 2α)<9，所以|OA |2＋|OB |2的取值范围为(2，5)．[综合题组练]1．(应用型)(2019·福州四校联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，直线C 2的方程为y ＝3x .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程； (2)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |. 解：(1)由曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，得曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋(y －2)2＝1，则C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，由于直线C 2过原点，且倾斜角为π3，故其极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )(tan θ＝3)．(2)由⎩⎨⎧ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，θ＝π3得ρ2－(23＋2)ρ＋7＝0，设A ，B 对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝23＋2，ρ1ρ2＝7，所以1|OA |＋1|OB |＝|OA |＋|OB ||OA |·|OB |＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝23＋27. 2．在直角坐标系中，已知曲线M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋22cos β，y ＝1＋22sin β(β为参数)，在极坐标系中，直线l 1的方程为α1＝θ，直线l 2的方程为α2＝θ＋π2. (1)写出曲线M 的普通方程，并指出它是什么曲线；(2)设l 1与曲线M 交于A ，C 两点，l 2与曲线M 交于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的取值范围．解：(1)由⎩⎨⎧x ＝1＋22cos β，y ＝1＋22sin β(β为参数)，消去参数β，得曲线M 的普通方程为(x －1)2＋(y －1)2＝8，所以曲线M 是以(1，1)为圆心，22为半径的圆． (2)设|OA |＝ρ1，|OC |＝ρ2，因为O ，A ，C 三点共线，则|AC |＝|ρ1－ρ2|＝（ρ1＋ρ2）2－4ρ1ρ2 (*)，将曲线M 的方程化成极坐标方程，得ρ2－2ρ(sin θ＋cos θ)－6＝0，所以⎩⎨⎧ρ1＋ρ2＝2（sin θ＋cos θ），ρ1ρ2＝－6，代入(*)式得|AC |＝28＋4sin 2θ.用θ＋π2代替θ，得|BD |＝28－4sin 2θ，又l 1⊥l 2，所以S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |，所以S 四边形ABCD ＝12（28＋4sin 2θ）（28－4sin 2θ）＝249－sin 22θ，因为sin 22θ∈[0，1]，所以S 四边形ABCD ∈[83，14]．3．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－32t y ＝3＋12t (t 为参数)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O 的射线与曲线C 相交于不同于极点的点A ，且点A 的极坐标为(23，θ)，其中θ∈(π2，π)． (1)求θ的值；(2)若射线OA 与直线l 相交于点B ，求|AB |的值． 解：(1)由题意知，曲线C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 的极坐标方程为(ρcos θ)2＋(ρsin θ－2)2＝4，即ρ＝4sin θ. 由ρ＝23，得sin θ＝32， 因为θ∈(π2，π)，所以θ＝2π3.(2)由题，易知直线l 的普通方程为x ＋3y －43＝0，所以直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋3ρsin θ－43＝0.又射线OA 的极坐标方程为θ＝2π3(ρ≥0)， 联立，得⎩⎨⎧θ＝2π3（ρ≥0）ρcos θ＋3ρsin θ－43＝0，解得ρ＝4 3. 所以点B 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2π3， 所以|AB |＝|ρB －ρA |＝43－23＝2 3.4．(综合型)(2019·长沙模拟)在极坐标系中，已知曲线C 1：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，C 2：ρ＝1(0≤θ≤π)，C 3：1ρ2＝cos 2θ3＋sin 2θ.设C 1与C 2交于点M . (1)求点M 的极坐标；(2)若直线l 过点M ，且与曲线C 3交于不同的两点A ，B ，求|MA |·|MB ||AB |的最小值． 解：(1)曲线C 1：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，可得x －y ＝1，C 2：ρ＝1(0≤θ≤π)，可得x 2＋y 2＝1(y ≥0)，由⎩⎨⎧x －y ＝1，x 2＋y 2＝1（y ≥0），可得点M 的直角坐标为(1，0)，因此点M 的极坐标为(1，0)． (2)由题意得，曲线C 3的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1.设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，代入曲线C 3的直角坐标方程并整理得(3sin 2α＋cos 2α)t 2＋(2cos α)t －2＝0.设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－2cos α3sin 2α＋cos 2α，t 1t 2＝－23sin 2α＋cos 2α，所以|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝23sin 2α＋cos 2α，|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2cos α3sin 2α＋cos 2α2－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－23sin 2α＋cos 2α ＝231＋sin 2α3sin 2α＋cos 2α.所以|MA |·|MB ||AB |＝331＋sin 2α.因为0≤α<π，所以0≤sin 2α≤1.所以当α＝π2时，sin α＝1，此时|MA |·|MB ||AB |有最小值，最小值为66.第2讲 参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程名称 普通方程 参数方程直线 y －y 0＝k (x －x 0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α (t 为参数)圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝R 2⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋R cos θy ＝y 0＋R sin θ(θ为参数且0≤θ<2π)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t y ＝b sin t (t 为参数且0≤t <2π)抛物线y 2＝2px (p >0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt2y ＝2pt (t 为参数) 导师提醒1．关注直线参数方程的三个应用及一个易错点 (1)三个应用：已知直线l 经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α，点M (x ，y )为l 上任意一点，则直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)． ①若M 1，M 2是直线l 上的两个点，对应的参数分别为t 1，t 2，则|M 0M 1→| |M 0M 2→|＝|t 1t 2|，|M 1M 2→|＝|t 2－t 1|＝（t 2＋t 1）2－4t 1t 2；②若线段M 1M 2的中点为M 3，点M 1，M 2，M 3对应的参数分别为t 1，t 2，t 3，则t 3＝t 1＋t 22； ③若直线l 上的线段M 1M 2的中点为M 0(x 0，y 0)，则t 1＋t 2＝0，t 1t 2<0.(2)一个易错点：在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值．否则参数不具备该几何含义．2．掌握圆的参数方程的两种应用(1)解决与圆上的动点有关的距离取值范围以及最大值和最小值问题，通常可以转化为点与圆、直线与圆的位置关系．(2)求距离的问题，通过设圆的参数方程，就转化为求三角函数的值域问题．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）中的x ，y 都是参数t 的函数．( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M 的数量．( )(3)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆．( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM的斜率为 3.( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上解析：选B.由⎩⎨⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎨⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2.所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1，2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1，2)，在直线y ＝－2x 上．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．解析：直线l 的普通方程为x －y －a ＝0， 椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，所以椭圆C 的右顶点坐标为(3，0)，若直线l 过点(3，0)， 则3－a ＝0， 所以a ＝3. 答案：3椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，过左焦点F 1的直线l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |min ＝________．解析：由⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)得，x 225＋y 29＝1，当AB ⊥x 轴时，|AB |有最小值． 所以|AB |min ＝2×95＝185.答案：185如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．解析：圆的半径为12，记圆心为C ⎝⎛⎭⎫12，0，连接CP ，则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ， y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)参数方程与普通方程的互化(自主练透) 1．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎨⎧x ＝1t，y ＝1tt 2－1(t 为参数)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)． 解：(1)由t 2－1≥0⇒t ≥1或t ≤－1⇒0<x ≤1或－1≤x <0.由⎩⎨⎧x ＝1t ①，y ＝1t t 2－1②，①式代入②式得x 2＋y 2＝1.其中⎩⎨⎧0<x ≤1，0≤y <1或⎩⎨⎧－1≤x <0，－1<y ≤0.(2)由x ＝2＋sin 2θ，0≤sin 2θ≤1 ⇒2≤2＋sin 2θ≤3⇒2≤x ≤3，⎩⎨⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ⇒⎩⎨⎧x －2＝sin 2θ，y ＝－1＋1－2sin 2θ⇒ ⎩⎨⎧x －2＝sin 2θy ＝－2sin 2θ⇒2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)． 2．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线．解：曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，曲线C 2：x 264＋y 29＝1， 曲线C 1是以(－4，3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是中心为坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．3．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；(2)将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所得到的曲线向左平移1个单位长度，得到曲线C 1，求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最小值．解：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4. 直线l 的普通方程为x －y ＋25＝0.(2)将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，得(2x －2)2＋y 2＝4，即(x －1)2＋y 24＝1，再将所得曲线向左平移1个单位长度， 得曲线C 1：x 2＋y 24＝1，则曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设曲线C 1上任一点P (cos θ，2sin θ)， 则点P 到直线l 的距离 d ＝|cos θ－2sin θ＋25|2＝|25－5sin （θ＋φ）|2≥102⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝－12，所以点P 到直线l 的距离的最小值为102.将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．参数方程的应用(师生共研)(2018·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1，2)，求l 的斜率． 【解】 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α， 当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0. ①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1，2)在C 内， 所以①有两个解，设为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－4（2cos α＋sin α）1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、范围等．(2)根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论：过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2. ①弦长l ＝|t 1－t 2|；②弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0； ③|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.1．已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255. 2．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a .解：(1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3，0)，⎝⎛⎭⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117，由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.参数方程与极坐标方程的综合应用(师生共研)(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P (a ，1)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t2，y ＝1＋2t 2(t 为参数，a ∈R )．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，且|PA |＝2|PB |，求实数a 的值．【解】 (1)因为曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t 2，y ＝1＋2t2(t 为参数，a ∈R )，所以曲线C 1的普通方程为x －y －a ＋1＝0.因为曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0， 所以ρ2cos 2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0， 又ρcos θ＝x ，ρ2＝x 2＋y 2， 所以x 2＋4x －x 2－y 2＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x . (2)设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝a ＋2t 2，y ＝1＋2t 2，得t 2－22t ＋2－8a ＝0.Δ＝(22)2－4(2－8a )>0，即a >0，所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝22，t 1t 2＝2－8a ，根据参数方程中参数的几何意义可知|PA |＝|t 1|，|PB |＝|t 2|， 所以由|PA |＝2|PB |得t 1＝2t 2或t 1＝－2t 2，所以当t 1＝2t 2时，有⎩⎨⎧t 1＋t 2＝3t 2＝22，t 1t 2＝2t 22＝2－8a ，解得a ＝136>0，符合题意， 当t 1＝－2t 2时，有⎩⎨⎧t 1＋t 2＝－t 2＝22，t 1t 2＝－2t 22＝2－8a ，解得a ＝94>0，符合题意．综上所述，a ＝136或a ＝94.(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．1．(2019·长沙模拟)平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝3＋t cosπ4，y ＝t sin π4(t 为参数)，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ2cos 2θ4＋ρ2sin 2θ＝1.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)求直线l 与曲线C 相交所得的弦AB 的长．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程是x 24＋y 2＝1.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos π4，y ＝t sin π4代入x 24＋y 2＝1得，52t 2＋6t －1＝0，Δ＝(6)2－4×52×(－1)＝16>0.设方程的两根是t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－265，t 1t 2＝－25， 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝⎝⎛⎭⎫－2652－4×⎝⎛⎭⎫－25＝6425＝85. 2．(2019·西安模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝－4t －2(t 为参数)，以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝21－cos θ.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)设M 1是曲线C 1上的点，M 2是曲线C 2上的点，求|M 1M 2|的最小值． 解：(1)因为ρ＝21－cos θ，所以ρ－ρcos θ＝2， 即ρ＝ρcos θ＋2.因为x ＝ρcos θ，ρ2＝x 2＋y 2，所以x 2＋y 2＝(x ＋2)2，化简得y 2－4x －4＝0.所以曲线C 2的直角坐标方程为y 2－4x －4＝0.(2)因为⎩⎨⎧x ＝2t －1，y ＝－4t －2，所以2x ＋y ＋4＝0.所以曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＋4＝0.因为M 1是曲线C 1上的点，M 2是曲线C 2上的点，所以|M 1M 2|的最小值等于点M 2到直线2x ＋y ＋4＝0的距离的最小值． 不妨设M 2(r 2－1，2r )，点M 2到直线2x ＋y ＋4＝0的距离为d ，则d ＝2|r 2＋r ＋1|5＝2[（r ＋12）2＋34]5≥325＝3510，当且仅当r ＝－12时取等号．所以|M 1M 2|的最小值为3510. [基础题组练]1．在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k(m为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解：(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k(x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y ＝1k （x ＋2）.消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)．联立⎩⎨⎧ρ2（cos 2θ－sin 2θ）＝4，ρ（cos θ＋sin θ）－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110，代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M 的极径为 5.2．(2018·高考全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 解：(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋k 2＜1，解得k ＜－1或k ＞1，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4.综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数，π4＜α＜3π4)．设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0. 于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α(α为参数，π4＜α＜3π4)． 3．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫π4－θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 过点P (1，0)且与曲线C 交于A ，B 两点，若|PA |＋|PB |＝5，求直线l 的倾斜角α.解：(1)由ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝2(cos θ＋sin θ)⇒ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)⇒x 2＋y 2＝2x ＋2y ⇒(x －1)2＋(y －1)2＝2.故曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)由条件可设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，代入圆的方程，有t 2－2t sin α－1＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2sin α，t 1t 2＝－1，|PA |＋|PB |＝|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4sin 2α＋4＝5，解得sin α＝12或sin α＝－12(舍去)，故α＝π6或5π6.4．(2019·合肥质检)在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6.(1)写出曲线C 的极坐标方程以及曲线D 的直角坐标方程； (2)若过点A ⎝⎛⎭⎫22，π4(极坐标)且倾斜角为π3的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，弦MN 的中点为P ，求|AP ||AM |·|AN |的值．解：(1)由题意可得曲线C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，将⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入曲线C 的普通方程可得，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2θ4＝1.因为曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，所以ρ2＝4ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝4ρ⎝⎛⎭⎫32sin θ－12cos θ， 又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝23y －2x ， 所以曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2θ4＝1；曲线D 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0.(2)点A ⎝⎛⎭⎪⎫22，π4，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22cos π4＝2，y ＝22sin π4＝2，所以A (2，2)．因为直线l 过点A (2，2)且倾斜角为π3，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos π3，y ＝2＋t sin π3(t 为参数)，代入x 29＋y24＝1可得，314t 2＋(8＋183)t ＋16＝0， 设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，由一元二次方程根与系数的关系得，t 1＋t 2＝－32＋72331，t 1t 2＝6431，所以|AP ||AM |·|AN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22|t 1t 2|＝4＋9316.[综合题组练]1．(2019·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t(t 为参数)．在以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＋4sin θ＝ρ.(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点M 在直角坐标系中的坐标为(2，2)，若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A ，B ，求|MA |·|MB |的值．解：(1)由⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t消去参数t 可得y ＝3(x －2)＋2，所以直线l 的普通方程为3x －y ＋2－23＝0. 因为ρsin 2θ＋4sin θ＝ρ，所以ρ2sin 2θ＋4ρsin θ＝ρ2. 因为ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＝4y .(2)将⎩⎨⎧x ＝2＋12t ，y ＝2＋32t 代入抛物线方程x 2＝4y 中，可得(2＋12t )2＝4(2＋32t )，即t 2＋(8－83)t －16＝0.因为Δ>0，且点M 在直线l 上，所以此方程的两个实数根为直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数t 1，t 2，所以t 1t 2＝－16， 所以|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝16.2．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos。

第八章 立体几何第1讲 空间几何体的结构特征及三视图和直观图1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线． 3．直观图(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中，x ′轴，y ′轴的夹角为45°(或135°)，z ′轴与x ′轴和y ′轴所在平面垂直；②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x 轴和z 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．导师提醒1．记准一组关系按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝24S原图形，S原图形＝22S直观图．2．记住旋转体的一些常见结论(1)球的三视图都是半径相等的圆．(2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形．(3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形．(4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形．3．会作正方体的截面正方体的截面情况：三角形、四边形(有菱形、矩形、梯形等)、五边形、六边形．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．()(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．()(3)夹在两个平行的平面之间，其余的面都是梯形，这样的几何体一定是棱台．()(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．()(5)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．()(6)菱形的直观图仍是菱形．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)×(6)×如图，长方体ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是()A．棱台B．四棱柱C．五棱柱D．简单组合体答案：C某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是()A．圆柱B．圆锥C．四面体D．三棱柱解析：选 A.由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形，故选A.(教材习题改编)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()解析：选B．该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选B.若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()解析：选B.根据选项A，B，C，D中的直观图，画出其三视图，只有B项正确．在直观图(如图所示)中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCO为________，面积为________cm2.解析：由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图，即在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCO是一个长为4 cm，宽为2 cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8 cm2.答案：矩形8空间几何体的几何特征(自主练透)1．下列说法正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：选 D.由图知，A不正确．两个平行平面与底面不平行时，截得的几何体不是旋转体，则B不正确．侧棱长与底面多边形的边长相等的棱锥一定不是六棱锥，故C错误．由定义知，D正确．2．给出下列几个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2 D．3解析：选 B.①不一定，只有这两点的连线平行于旋转轴时才是母线；②正确；③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．3．给出以下命题：①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3解析：选 B.由圆台的定义可知①错误．②正确．对于命题③，只有平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，③不正确．4．给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体．其中正确命题的序号是________．解析：①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体ABCD-AB1C1D1中的三棱锥C11­ABC，四个面都是直角三角形．答案：②③④空间几何体概念辨析问题的常用方法空间几何体的三视图(多维探究)角度一已知几何体，识别三视图(2018·高考全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()【解析】由题意知，在咬合时带卯眼的木构件中，从俯视方向看，榫头看不见，所以是虚线，结合榫头的位置知选A.【答案】 A角度二已知三视图，判断几何体(1)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱(2)(2018·高考北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A．1 B．2C．3 D．4【解析】(1)由题三视图得直观图如图所示，为三棱柱，故选B.(2)将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示．易知，BC∥AD，BC＝1，AD＝AB＝PA＝2，AB⊥AD，PA⊥平面ABCD，故△PAD，△PAB为直角三角形，因为PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC，又BC⊥AB，且PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB，所以△PBC为直角三角形，容易求得PC＝3，CD＝5，PD＝22，故△PCD不是直角三角形，故选C.【答案】(1)B(2)C[迁移探究1](变问法)在本例(2)条件下，求该四棱锥的所有棱中，最长棱的棱长是多少？解：由三视图可知，PA＝AB＝AD＝2，BC＝1，经计算可知，PB＝PD＝22，PC＝3，CD ＝5，故最长棱为PC，且|PC|＝3.[迁移探究2](变问法)在本例(2)条件下，求该四棱锥的五个面中，最小面的面积．解：面积最小的面为PBC，且S△PBC＝12BC·PB＝12×1×22＝2，即最小面的面积为 2.角度三已知几何体的某些视图，判断其他视图(1)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为()(2)一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为()【解析】(1)由几何体的直观图(如图)知选B.(2)由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD，故选D.【答案】(1)B(2)D三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的视图．先根据已知的一部分视图，还原、推测其直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为直观图．1．将正方体(如图1所示)截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的侧视图为()解析：选B.侧视图中能够看到线段AD1，应画为实线，而看不到B1C，应画为虚线．由于AD1与B1C不平行，投影为相交线，故应选B.2．(2019·唐山五校联考)如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为()解析：选 A.由正视图和俯视图可知，该几何体是由一个圆柱挖去一个圆锥构成的，结合正视图的宽及俯视图的直径可知侧视图应为A，故选A.3．(2018·高考全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为( )A ．217B ．2 5C ．3D ．2解析：选 B.由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16.画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN ，则MS ＝2，SN ＝4，则从M 到N 的路径中，最短路径的长度为MS 2＋SN 2＝22＋42＝2 5.故选B.空间几何体的直观图(自主练透)1．如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD 为( )A ．平行四边形B ．梯形C ．菱形D ．矩形解析：选D.由斜二测画法可知在原四边形ABCD 中DA ⊥AB ，并且AD ∥BC ，AB ∥CD ，故四边形ABCD 为矩形．2.一平面四边形OABC 的直观图O ′A ′B ′C ′如图所示，其中O ′C ′⊥x ′，A ′B ′⊥x ′，B ′C ′∥y ′，则四边形OABC 的面积为 ( )A.322B ．3 2C ．3D.32解析：选B.平面四边形OABC 的直观图O ′A ′B ′C ′是直角梯形，其面积为12×(1＋2)×1＝32；根据平面图形与它的直观图面积比为1∶24，计算四边形OABC 的面积为3224＝3 2.故选B.3．已知等边三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为( ) A.34a 2 B.38a 2 C.68a 2 D.616a 2 解析：选D.如图①②所示的实际图形和直观图，由②可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×a ×68a ＝616a 2.故选D. 4．在等腰梯形ABCD 中，上底CD ＝1，腰AD ＝CB ＝2，下底AB ＝3，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为________．解析：因为OE ＝（2）2－12＝1，所以O ′E ′＝12，E ′F ′＝24.所以直观图A ′B ′C ′D ′的面积为 S ′＝12×(1＋3)×24＝22.答案：22(1)斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”⎩⎪⎨⎪⎧坐标轴的夹角改变，与y 轴平行的线段的长度变为原来的一半，图形改变.“三不变”⎩⎪⎨⎪⎧平行性不改变，与x ，z 轴平行的线段的长度不改变，相对位置不改变.(2)平面图形直观图与原图形面积间的关系对于几何体的直观图，除掌握斜二测画法外，记住原图形面积S 与直观图面积S ′之间的关系S ′＝24S ，能更快捷地进行相关问题的计算．三视图的识别已知以下三视图中有三个同时表示某一个棱锥，则下列不是该三棱锥的三视图的是()【解析】 四个选项中，因为观察的位置不同，得到的三个视图也不同．可从俯视图入手，以A 选项中的正方向作为标准．则A 中的方向如图所示B 中的方向C中的方向【答案】 D直观想象即通过几何直观和空间想象感知几何体的形状与变化．本例通过几何体的三视图直观感知几何体的形状与相关度量，想象几何体的结构特征．1．(2019·河南开封一模)如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O，O2，这两个球外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是()解析：选B.由题意可以判断出两球在正方体的面AA1C1C上的正投影与正方形相切，排除C，D.由于两球不等，把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被挡住一部分，所以排除A.B正确．2．一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是()A．①②B．①③C．③④D．②④解析：选D.由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1的位置，共有6种路线(对应6种不同的展开方式)，若把平面ABBA1和平面BCC1B1展开到同一个平面内，连接AC1，则1AC1是最短路线，且AC1会经过BB1的中点，此时对应的正视图为②；若把平面ABCD和平面CDD1C1展开到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过CD的中点，此时对应的正视图为④.而其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现．故选D.[基础题组练]1.如图所示是水平放置的三角形的直观图，点D是△ABC的BC边的中点，AB，BC分别与y′轴，x′轴平行，则在原图中三条线段AB，AD，AC中()A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AC，最短的是AD解析：选B.由条件知，原平面图形中AB⊥BC，从而AB<AD<AC.2．如图所示，上面的几何体由一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是()A．①②B．②③C．③④D．①⑤解析：选D.圆锥的轴截面为等腰三角形，此时①符合条件；当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时⑤符合条件；故截面图形可能是①⑤.3．已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边长为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为()解析：选 C.当正视图为等腰三角形时，则高应为2，且应为虚线，排除A，D；当正视图是直角三角形，由条件得一个直观图如图所示，中间的线是看不见的线PA形成的投影，应为虚线，故答案为C.4．如图，一个三棱柱的正视图和侧视图分别是矩形和正三角形，则这个三棱柱的俯视图为()解析：选D.由正视图和侧视图可知，这是一个水平放置的正三棱柱．故选D.5．(2019·福建漳州调研)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的长度为()A. 5 B．2 2C．3 D．2 3解析：选C.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AD的中点，该几何体的直观图如图中三棱锥D­MB1C.故通过计算可得D1C＝D1B1＝B1C＝22，D1M＝MC＝5，MB1＝3，故1最长棱的长度为3，故选C.6.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为________．解析：由三视图可知该多面体是一个组合体，下面是一个底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一个底面是等腰直角三角形的三棱锥，等腰直角三角形的腰长为2，直三棱柱的高为2，三棱锥的高为2，易知该多面体有2个面是梯形，这些梯形的面积之和为（2＋4）×22×2＝12.答案：127．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为______cm.解析：如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.在Rt△ABC中，AC＝12(cm)，BC＝8－3＝5(cm)．所以AB＝122＋52＝13(cm)．答案：138．已知正四棱锥V-ABCD中，底面面积为16，一条侧棱的长为211，则该棱锥的高为________．解析：如图，取正方形ABCD的中心O，连接VO，AO，则VO就是正四棱锥V-ABCD的高．因为底面面积为16，所以AO＝2 2.因为一条侧棱长为211，所以VO＝VA2­AO2＝44－8＝6.所以正四棱锥V-ABCD的高为6.答案：69．如图所示的三个图中，上面是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图如图所示(单位：cm)．(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； (2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积．解：(1)如图．(2)所求多面体的体积V ＝V 长方体－V 正三棱锥 ＝4×4×6－13×(12×2×2)×2＝2843(cm 3)．10．已知正三棱锥V -ABC 的正视图和俯视图如图所示． (1)画出该三棱锥的直观图和侧视图． (2)求出侧视图的面积．解：(1)如图．(2)侧视图中VA ＝42－⎝⎛⎭⎫23×32×232＝12＝2 3. 则S △VBC ＝12×23×23＝6.[综合题组练]1．(创新型)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧视图中的虚线部分是( )A ．圆弧B ．抛物线的一部分C ．椭圆的一部分D ．双曲线的一部分解析：选 D.根据几何体的三视图可得，侧视图中的虚线部分是由平行于旋转轴的平面截圆锥所得，故侧视图中的虚线部分是双曲线的一部分，故选D.2．(创新型)某几何体的正视图和侧视图如图(1)，它的俯视图的直观图是矩形O 1A 1B 1C 1，如图(2)，其中O 1A 1＝6，O 1C 1＝2，则该几何体的侧面积为( )A ．48B ．64C ．96D ．128解析：选C.由题图(2)及斜二测画法可知原俯视图为如图所示的平行四边形OABC ，设CB 与y 轴的交点为D ，则易知CD ＝2，OD ＝2×22＝42，所以CO ＝CD 2＋OD 2＝6＝OA ，所以俯视图是以6为边长的菱形，由三视图知几何体为一个直四棱柱，其高为4，所以该几何体的侧面积为4×6×4＝96.故选C.3.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是线段A 1C 1上的动点，则三棱锥P -BCD 的俯视图与正视图面积之比的最大值为( )A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：选D.正视图，底面B ，C ，D 三点，其中D 与C 重合，随着点P 的变化，其正视图均是三角形且点P 在正视图中的位置在边B 1C 1上移动，由此可知，设正方体的棱长为a ，则S 正视图＝12×a 2；设A 1C 1的中点为O ，随着点P 的移动，在俯视图中，易知当点P 在OC 1上移动时，S 俯视图就是底面三角形BCD 的面积，当点P 在OA 1上移动时，点P 越靠近A 1，俯视图的面积越大，当到达A 1的位置时，俯视图为正方形，此时俯视图的面积最大，S 俯视图＝a 2，所以S 俯视图S 正视图的最大值为a 212a 2＝2，故选D.4．(应用型)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为1，点M 在线段BC 上(点M 异于B ，C 两点)，点N 为线段CC 1的中点，若平面AMN 截正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1所得的截面为四边形，则线段BM 的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤0，13B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎭⎫12，1D.⎣⎡⎦⎤12，23解析：选B.由题意，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图所示，当点M 为线段BC 的中点时，截面为四边形AMND 1，当0＜BM ≤12时，截面为四边形，当BM ＞12时，截面为五边形，故选B.5．(2019·株洲模拟)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱AA 1，BB 1，CC 1，分别交于三点M ，N ，Q ，若△MNQ 为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为( )A．2 2 B．3C．2 3 D．4解析：选C.如图，不妨设N在B处，AM＝h，CQ＝m，则MB2＝h2＋4，BQ2＝m2＋4，MQ2＝(h－m)2＋4，由MB2＝BQ2＋MQ2，得m2－hm＋2＝0.Δ＝h2－8≥0即h2≥8，该直角三角形斜边MB＝4＋h2≥2 3.故选C.6．如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行的最短路程为4 3 m，则圆锥底面圆的半径等于________ m.解析：把圆锥侧面沿过点P的母线展开成如图所示的扇形，由题意OP＝4，PP′＝43，则cos∠POP′＝42＋42－（43）22×4×4＝－12，所以∠POP′＝2π3.设底面圆的半径为r，则2πr＝2π3×4，所以r＝43.答案：43第2讲空间几何体的表面积与体积1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式导师提醒1．记住正方体的外接球、内切球及与各条棱相切球的半径 (1)外接球：球心是正方体中心；半径r ＝32a (a 为正方体的棱长)． (2)内切球：球心是正方体中心；半径r ＝a2(a 为正方体的棱长)．(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r ＝22a (a 为正方体的棱长)． 2．记住正四面体的外接球、内切球的球心和半径(1)正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)． (2)外接球：球心是正四面体的中心；半径r ＝64a (a 为正四面体的棱长)． (3)内切球：球心是正四面体的中心；半径r ＝612a (a 为正四面体的棱长)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( ) (2)锥体的体积等于底面积与高之积．( ) (3)球的体积之比等于半径比的平方．( )(4)简单组合体的体积等于组成它的简单几何体体积的和或差．( ) (5)长方体既有外接球又有内切球．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( ) A.163π B.323π C ．16πD ．24π解析：选B.设球的半径为R ，则由4πR 2＝16π，解得R ＝2，所以这个球的体积为43πR 3＝323π.(2018·高考全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π解析：选B.因为过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为22，所以该圆柱的表面积为2×π×(2)2＋22π×22＝12π.(教材习题改编)已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )A ．1 cmB ．2 cmC ．3 cmD.32cm 解析：选B.S 表＝πr 2＋πrl ＝πr 2＋πr ·2r ＝3πr 2＝12π，所以r 2＝4，所以r ＝2 cm.如图，将一个长方体用过相邻的三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．解析：设长方体的相邻三条棱长分别为a ，b ，c ，它截出棱锥的体积为V 1＝13×12×12a ×12b ×12c ＝148abc ，剩下的几何体的体积V 2＝abc －148abc ＝4748abc ，所以V 1∶V 2＝1∶47.答案：1∶47将一个相邻边长分别为4π，8π的矩形卷成一个圆柱，则这个圆柱的表面积是________．解析：当底面周长为4π时，底面圆的半径为2，两个底面的面积之和是8π；当底面周长为8π时，底面圆的半径为4，两个底面的面积之和为32π.无论哪种方式，侧面积都是矩形的面积32π2，故所求的表面积是32π2＋8π或32π2＋32π.答案：32π2＋8π或32π2＋32π空间几何体的表面积(师生共研)(1)(2019·武汉调研)一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( )A ．28B ．24＋2 5C ．20＋45D ．20＋2 5(2)如图所示的是一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．【解析】 (1)如图所示，三视图所对应的几何体是长，宽，高分别为2，2，3的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱ABIE -DCMH ，则该几何体的表面积S ＝(2×2)×5＋⎝⎛⎭⎫12×1×2×2＋2×1＋2×5＝24＋2 5.故选B.(2)该几何体为一个长方体从正上方挖去一个半圆柱剩下的部分，长方体的长，宽，高分别为4，1，2，挖去半圆柱的底面半径为1，高为1，所以表面积为S ＝S 长方体表－2S 半圆柱底－S 圆柱轴截面＋S 半圆柱侧＝2×4×1＋2×1×2＋2×4×2－π×12－2×1＋12×2π×1＝26.【答案】 (1)B (2)26空间几何体表面积的求法(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．1．(2019·太原模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )A ．6π＋1 B.（24＋2）π4＋1C.（23＋2）π4＋12D.（23＋2）π4＋1解析：选 D.由几何体的三视图知，该几何体为一个组合体，其中下部是底面直径为2，高为2的圆柱，上部是底面直径为2，高为1的圆锥的四分之一，所以该几何体的表面积为4π＋π＋3π4＋2π4＋1＝（23＋2）π4＋1，故选D. 2．(2019·黄冈模拟)已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积为( )A ．16＋12πB ．32＋12πC ．24＋12πD ．32＋20π解析：选 A.由三视图知，该几何体是一个正四棱柱与半球的组合体，且正四棱柱的高为2，底面对角线长为4，球的半径为2，所以该正四棱柱的底面正方形的边长为22，该几何体的表面积S ＝12×4π×22＋π×22＋22×2×4＝12π＋16，故选A.空间几何体的体积(多维探究)角度一 直接利用公式求体积(2019·合肥模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．1 B.12 C.13 D.14【解析】法一：该几何体的直观图为四棱锥S -ABCD ，如图，SD ⊥平面ABCD ，且SD ＝1，四边形ABCD 是平行四边形，且AB ＝DC ＝1，连接BD ，由题意知BD ⊥DC ，BD ⊥AB ，且BD ＝1，所以S 四边形ABCD ＝1，所以V S ­ABCD ＝13S 四边形ABCD ·SD ＝13，故选C.法二：由三视图易知该几何体为锥体，所以V ＝13Sh ，其中S 指的是锥体的底面积，即俯视图中四边形的面积，易知S ＝1，h 指的是锥体的高，从正视图和侧视图易知h ＝1，所以V ＝13Sh＝13，故选C. 【答案】 C角度二 割补法求体积(2019·长春监测)《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何？刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体(网格纸中粗线部分为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1)，那么该刍甍的体积为( )A ．4B ．5C ．6D ．12【解析】 如图所示，由三视图可还原得到几何体ABCDEF ，过E ，F 分别作垂直于底面的截面EGH 和FMN ，可将原几何体切割成三棱柱EHG -FNM ，四棱锥E -ADHG 和四棱锥F -MBCN ，易知三棱柱的体积为12×3×1×2＝3，两个四棱锥的体积相同，都为13×1×3×1＝1，则原几何体的体积为3＋1＋1＝5.故选B.【答案】 B角度三 等体积法求体积如图所示，已知三棱柱ABC ­A1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1­ABC 1的体积为( )A.312B.34C.612D.64【解析】 三棱锥B 1­ABC 1的体积等于三棱锥A -B 1BC 1的体积，三棱锥A -B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312.【答案】 A(1)处理体积问题的思路①“转”：指的是转换底面与高，将原来不易求面积的底面转换为易求面积的底面，或将原来不易看出的高转换为易看出并易求解长度的高；②“拆”：指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体，便于计算；③“拼”：指的是将小几何体嵌入一个大几何体中，如将一个三棱锥复原成一个三棱柱，将一个三棱柱复原成一个四棱柱，这些都是拼补的方法．(2)求空间几何体的体积的常用方法①公式法：对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解；。

第1讲集合的概念与运算[考纲解读] 1.了解集合的含义．体会元素与集合的关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述具体问题．2.理解集合间的相等与包含关系，会求集合的子集，了解全集与空集的含义．(重点)3.在理解集合间的交、并、补的含义的基础上，会求两个集合的并集与交集，会求给定子集的补集．(重点、难点)4.能使用Venn图表达集合间的基本关系及基本运算．[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的热点．预测2020年高考会以考查集合交、并、补的运算为主，结合不等式的解法，求函数的定义域、值域等简单综合命题，试题难度不大，以选择题形式呈现.1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：□01确定性、□02互异性、□03无序性．(2)元素与集合的关系有□04属于或□05不属于两种，用符号□06∈或□07∉表示．(3)□08列举法、□09描述法、□10图示法．(4)常见数集的记法2．集合间的基本关系3．集合的基本运算4．集合的运算性质(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔□01B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔□02A⊆B.(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝□03U；A∩(∁U A)＝□04∅；∁U(∁U A)＝□05A；∁U(A ∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．(4)若有限集A中有n个元素，则A的子集个数为□062个，非空子集个数为□072－1个，真子集有□082－1个，非空真子集的个数为□092－2个．1．概念辨析(1)若1∈{x，x2}，则x＝±1.()(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．()(3){x|x≥2}＝{t|t≥2}．()(4)对于任意两个集合A，B，总有(A∩B)⊆A，A⊆(A∪B)．()答案(1)×(2)×(3)√(4)√2．小题热身(1)若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1或x>3}，则A∩B＝()A．{x|－2<x<－1} B．{x|－2<x<3}C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3}答案 A解析A∩B＝{x|－2<x<－1}．(2)设全集U＝{x|x∈N*，x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则∁U(A∪B)等于()A．{1,4} B．{1,5} C．{2,5} D．{2,4}答案 D解析∵U＝{1,2,3,4,5}，A∪B＝{1,3,5}，∴∁U(A∪B)＝{2,4}．(3)已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝________.答案0或3解析∵A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，B⊆A，∴m ＝3或m ＝m ，∴m ＝3或0或1，经检验m ＝0或3. (4)已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫8x ，y ，B ＝{0，x 2}，且A ＝B ，则集合A 的子集为________．答案 ∅，{0}，{4}，{0,4}解析 由题意得8x ＝x 2，y ＝0，解得x ＝2， 所以A ＝{0,4}，其子集为∅，{0}，{4}，{0,4}．题型 一 集合的基本概念1．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a 等于( ) A.92 B.98 C ．0 D ．0或98 答案 D 解析 当a ＝0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，符合题意；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－4×a ×2＝0，解得a ＝98，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，符合题意．综上知a ＝0或98.2．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( )A ．9B ．8C ．5D ．4 答案 A解析 ∵x 2＋y 2≤3，∴x 2≤3，∵x ∈Z ，∴x ＝－1,0,1，当x ＝－1时，y ＝－1,0,1；当x ＝0时，y ＝－1,0,1；当x ＝1时，y ＝－1,0,1，所以A 中元素共有9个，故选A.3．若集合A ＝{a －3,2a －1，a 2－4}，且－3∈A ，则实数a ＝________. 答案 0或1解析因为－3∈A，所以a－3＝－3或2a－1＝－3或a2－4＝－3，解得a＝0或a＝－1或a＝1.当a＝0时，A＝{－3，－1，－4}，符合题意；当a＝－1时，2a－1＝a2－4＝－3，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当a＝1时，A＝{－2,1，－3}，符合题意．综上知a＝0或1.1．用描述法表示集合的两个关键点(1)搞清楚集合中的代表元素是什么．如举例说明1,3是数，举例说明2是有序数对(或平面内的点)．(2)看这些元素满足什么限制条件．如举例说明1，关于x的方程只有一个实根．举例说明2，x，y是整数且满足x2＋y2≤3.2．两个易错点(1)忽视集合中元素的互异性．如举例说明3，求出a值后应注意检验．(2)忽视分类讨论．如举例说明1，要分a＝0与a≠0两种情况讨论．1．设集合A＝{0,1,2,3}，B＝{x|－x∈A,1－x∉A}，则集合B中元素的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4答案 A解析若x∈B，则－x∈A，所以x只可能取0，－1，－2，－3.逐一检验可知B＝{－3}，只有1个元素．2．已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是()A．－1∉A B．－11∈AC．3k2－1∈A D．－34∉A答案 C解析令k＝0得x＝－1，故－1∈A；令－11＝3k －1，解得k ＝－103∉Z ，故－11∉A ； 令－34＝3k －1，解得k ＝－11∈Z ，故－34∈A ； 对于3k 2－1，因为k ∈Z 时，k 2∈Z ， 所以3k 2－1∈A .所以C 项正确． 题型 二 集合间的基本关系1．已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2018＋b 2018为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1 答案 A解析 ∵⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，ba ，1＝{a 2，a ＋b,0}，∴a ≠0.∴b ＝0，a 2＝1，又∵a ≠1，∴a ＝－1，∴a 2018＋b 2018＝1. 2．已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π4＋π4，k ∈Z，集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π8－π4，k ∈Z，则( )A ．M NB ．NMC ．M ＝ND ．以上都不对答案 A解析 ∵k π4＋π4＝2(k ＋1)8π，k ∈Z ， k π8－π4＝k －28π，k ∈Z ，∴任取x ∈M ，有x ∈N ，且π8∈N ，但π8∉M ， ∴M N .3．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围为________．答案 (－∞，3]解析 因为B ⊆A ，所以①若B ＝∅，则2m －1<m ＋1，此时m <2.②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②可得，符合题意的实数m 的取值范围为m ≤3.条件探究1 举例说明3中的集合B 改为“B ＝{x |m ≤x ≤m ＋1}”，其余不变，该如何求解？解 B ＝{x |m ≤x ≤m ＋1}≠∅，为使B ⊆A ，m 须满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－2，m ＋1≤5，解得－2≤m ≤4.条件探究2 举例说明3中的集合A 改为“A ＝{x |x <－2或x >5}”，如何求解？解 因为B ⊆A ，所以①当B ＝∅时，即2m －1<m ＋1时，m <2，符合题意． ②当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2，解得⎩⎨⎧m ≥2，m >4或⎩⎨⎧m ≥2，m <－12，即m >4.综上可知，实数m 的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．1．判断集合间关系的三种方法2．根据集合间的关系求参数的策略(1)注意对集合是否为空集进行分类讨论因为∅⊆A 对任意集合A 都成立．如举例说明3中2m －1<m ＋1时，B ＝∅，B ⊆A 也成立．(2)借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．(3)注意检验区间端点值，如举例说明3，若将两个集合改为A ＝{x |－2<x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x <2m －1}，若B ≠∅，为使B ⊆A ，m 须满足⎩⎪⎨⎪⎧2m －1>m ＋1，m ＋1>－2，2m －1≤5.1．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则( ) A ．B ⊆A B ．A ＝B C ．A B D ．B A答案 C解析 由题意得A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，∴A B .2．已知集合A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{x |x ≤a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥2B ．a >2C ．a <0D ．a ≤0 答案 A解析 ∵A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |x ≤a }，∴为使A ⊆B ，a 须满足a ≥2. 3．满足{0,1,2}A ⊆{0,1,2,3,4,5}的集合A 的个数为________．答案 7解析 集合A 除含元素0,1,2外，还至少含有3,4,5中的一个元素，所以集合A 的个数等于{3,4,5}的非空子集的个数，即为23－1＝7.题型 三 集合的基本运算角度1 集合的并、交、补运算1．(2018·天津高考)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x ∈R |－1≤x <2}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{－1,1}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{2,3,4}答案 C解析 因为集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，A ∪B ＝{－1,0,1,2,3,4}，所以(A ∪B )∩C ＝{－1,0,1}．2．(2018·皖北协作区联考)已知集合A ＝{y |y ＝x 2－1}，B ＝{x |y ＝lg (x －2x 2)}，则∁R (A ∩B )＝( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 B ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 答案 D解析 因为A ＝{y |y ＝x 2－1}＝[0，＋∞)，B ＝{x |y ＝lg (x －2x 2)}＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以∁R (A ∩B )＝(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.角度2 知集合的运算结果求参数3．设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}，若(∁U A )∩B ＝∅，则m ＝________.答案 1或2解析 A ＝{－2，－1}，由(∁U A )∩B ＝∅，得B ⊆A . x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0可化为(x ＋1)(x ＋m )＝0， 当m ＝1时，B ＝{－1}，符合题意；当m ≠1时，B ＝{－1，－m }，为使B ⊆A 成立，须有－m ＝－2，即m ＝2. 综上知m ＝1或2.1．求集合交集、并集或补集的步骤2．知集合的运算结果求参数问题的两个关键点(1)分析运算结果并进行恰当转换．如举例说明3中，由(∁U A)∩B＝∅，知B⊆A.(2)化简集合为求参数创造有利条件．如举例说明3中，A＝{－2，－1}．当m＝1时，B＝{－1}；当m≠1时，B ＝{－1，－m}．1．已知全集U＝R，集合M＝{x|(x－1)(x＋3)<0}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部分(如图)表示的集合是()A．[－1,1)B．(－3,1]C．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D．(－3，－1)答案 D解析由题意可知，M＝(－3,1)，N＝[－1,1]，所以阴影部分表示的集合为M∩(∁U N)＝(－3，－1)．2．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁R A＝()A ．{x |－1<x <2}B ．{x |－1≤x ≤2}C ．{x |x <－1}∪{x |x >2}D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}答案 B解析 解不等式x 2－x －2>0得x <－1或x >2，所以A ＝{x |x <－1或x >2}，所以∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}，故选B.3．(2019·辽宁五校模拟)已知集合P ＝{x |x 2－2x －8>0}，Q ＝{x |x ≥a }，P ∪Q ＝R ，则a 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．(4，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．(－∞，4]答案 C解析 集合P ＝{x |x 2－2x －8>0}＝{x |x <－2或x >4}，Q ＝{x |x ≥a }，若P ∪Q ＝R ，则a ≤－2，即a 的取值范围是(－∞，－2]．题型 四 集合的新定义问题已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意实数对(x 1，y 1)∈M ，都存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪y ＝1x； ②M ＝{(x ，y )|y ＝log 2x }； ③M ＝{(x ，y )|y ＝e x －2}； ④M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}．其中是“垂直对点集”的序号是( ) A ．①④ B ．②③ C ．③④ D ．②④ 答案 C解析 记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由x 1x 2＋y 1y 2＝0得OA ⊥OB .对于①，对任意A ∈M ，不存在B ∈M ，使得OA ⊥OB .对于②，当A 为(1,0)时，不存在B ∈M 满足题意．对于③④，对任意A ∈M ，过原点O 可作直线OB ⊥OA ，它们都与函数y ＝e x －2及y ＝sin x ＋1的图象相交，即③④满足题意．与集合相关的新定义问题的解题思路(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．(2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算．如果集合A满足：若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x,0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________.答案{0,6}解析由题意可知－2x＝x2＋x，所以x＝0或x＝－3.而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x＝－3时，A＝{－6,0,6}，所以A∩B＝{0,6}．第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件[考纲解读] 1.搞清四种命题的判断及其关系，掌握命题的否定与否命题的区别．(重点)2.熟练掌握充要条件的判断，并能根据充要条件确定参数的取值范围．(重点、难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的热点．预测2020年高考对命题及充要条件的判断为必考内容，考查知识面比较广泛，以数列、向量、三角函数、立体几何、解析几何等基本概念为命题方向．试题难度以中、低档题型为主，且以客观题的形式进行考查.1．命题用语言、符号或式子表达的，可以□01判断真假的陈述句叫做命题，其中□02判断为真的语句叫做真命题，□03判断为假的语句叫做假命题． 2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有□04相同的真假性； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性□05没有关系． 3．充分条件、必要条件与充要条件1．概念辨析(1)“x －3>0”是命题．( )(2)一个命题非真即假．()(3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.()(4)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()答案(1)×(2)√(3)√(4)√2．小题热身(1)命题“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是()A．若x<y，则x2<y2B．若x≤y，则x2≤y2C．若x>y，则x2>y2D．若x≥y，则x2≥y2答案 B解析“若x2>y2，则x>y”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．(2)对于任意两个集合A，B，“x∈A∩B”是“x∈A”的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析∵(A∩B)⊆A，∴x∈A∩B⇒x∈A，∴“x∈A∩B”是“x∈A”的充分条件．(3)“若a≤b，则ac2≤bc2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析原命题是真命题．逆命题：“若ac2≤bc2，则a≤b”是假命题．否命题：“若a>b，则ac2>bc2”是假命题．逆否命题：“若ac2>bc2，则a>b”是真命题．所以四个命题中真命题有2个．(4)“sinα>0”是“α是第一象限角”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析sin π2＝1>0，但π2不是第一象限角，所以sinα>0 ⇒/α是第一象限角，α是第一象限角⇒sinα>0，所以“sinα>0”是“α是第一象限角”的必要不充分条件．题型一四种命题及其关系1．命题“已知a>1，若x>0，则a x>1”的否命题为()A．已知0<a<1，若x>0，则a x>1B．已知a>1，若x≤0，则a x>1C．已知a>1，若x≤0，则a x≤1D．已知0<a<1，若x≤0，则a x≤1答案 C解析原命题的否命题为“已知a>1，若x≤0，则a x≤1”．2．(2018·黄冈调研)给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是()A．3 B．2 C．1 D．0答案 C解析因为原命题为真命题，所以它的逆否命题也是真命题．它的逆命题是“若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数”，是假命题；所以原命题的否命题也是假命题．所以这三个命题中，真命题有1个．3．设原命题：若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是()A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题答案 A解析原命题的逆否命题是“若a，b都小于1，则a＋b<2”，此命题是真命题，故原命题是真命题；原命题的逆命题是“若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”是假命题，如a＝－10，b＝2，但a＋b＝－8<2.1．写一个命题的其他三种命题时的注意事项(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p，则q”形式．(2)若命题有大前提，需保留大前提．如举例说明1中，“已知a>1”是大前提．(3)注意一些常见词语及其否定表示：如举例说明3中“a，b中至少有一个不小于1”的否定是“a，b都小于1”．2．判断命题真假的两种方法(1)直接判断：判断一个命题是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．(2)间接判断(等价转化)：由于原命题与其逆否命题为等价命题，如果原命题的真假不易直接判断，那么可以利用这种等价性间接地判断命题的真假．1．(2018·河北承德模拟)已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是()①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A．①③B．②C．②③D．①②③答案 A解析 由题意得，命题α与命题β互为否命题，命题α与命题γ互为逆否命题．命题β与命题γ互为逆命题．故①③正确，②错误．2．原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真、真、真B ．假、假、真C ．真、真、假D ．假、假、假 答案 A解析 若a n ＋a n ＋12<a n ，则a n ＋1<a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列，由此可知原命题为真命题；原命题的否命题为“若a n ＋a n ＋12≥a n ，n ∈N *，则{a n }不是递减数列”，若a n ＋a n ＋12≥a n ，则a n ＋1≥a n ，则{a n }不是递减数列，所以原命题的否命题是真命题．因为原命题与逆否命题同真同假，否命题与逆命题同真同假，所以原命题的逆命题、否命题、逆否命题均为真命题．题型 二 充分、必要条件的判断角度1 定义法判断充分、必要条件1．(2018·北京高考)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 |a －3b |＝|3a ＋b |等价于|a －3b |2＝|3a ＋b |2，即(a －3b )2＝(3a ＋b )2，等价于a 2＋9b 2－6a ·b ＝9a 2＋b 2＋6a ·b ，又因为a ，b 为单位向量，所以a 2＝1，b 2＝1，所以1＋9－6a ·b ＝9＋1＋6a·b ，即a·b ＝0，等价于a ⊥b .所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件．角度2 集合法判断充分、必要条件2．(2018·天津高考)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 解⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12<12得－12<x －12<12，即0<x <1；解x 3<1得x <1，因为(0,1)(－∞，1)，所以“⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12<12”是“x 3<1”的充分不必要条件．角度3 等价转化法判断充分、必要条件3．已知条件p ：x >1或x <－3，条件q ：5x －6>x 2，则綈p 是綈q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由5x －6>x 2得x 2－5x ＋6<0，解得2<x <3. 记A ＝{x |2<x <3}，B ＝{x |x >1或x <－3}，则A B ，所以q 是p 的充分不必要条件， 所以綈p 是綈q 的充分不必要条件．判断充分、必要条件的三种方法记条件p ，q 对应的集合分别为A ，B .若A B ，则p 是q 的充分不必要条件；若A B ，则p 是q 的必要不充分条件；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件1．对于直线m ，n 和平面α，β，m ⊥α成立的一个充分条件是( ) A ．m ⊥n ，n ∥α B ．m ∥β，β⊥α C ．m ⊥β，n ⊥β，n ⊥α D ．m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α答案 C解析 对于选项C ，因为m ⊥β，n ⊥β，所以m ∥n ，又n ⊥α，所以m ⊥α，故选C.2．已知条件p ：x ＋y ≠－2，条件q ：x ，y 不都是－1，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 因为p ：x ＋y ≠－2，q ：x ≠－1或y ≠－1， 所以綈p ：x ＋y ＝－2，綈q ：x ＝－1且y ＝－1.因为綈q ⇒綈p ，但綈p ⇒/ 綈q ，所以綈q 是綈p 的充分不必要条件，所以p 是q 的充分不必要条件．3．(2017·天津高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12，∴－π12＜θ－π12＜π12，即0＜θ＜π6.显然0＜θ＜π6时，sin θ＜12成立．但sin θ＜12时，由周期函数的性质知0＜θ＜π6不一定成立． 故0＜θ＜π6是sin θ＜12的充分而不必要条件．故选A.题型 三 知充分、必要条件求参数的取值范围1．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －1x ＋1<0，B ＝{x |(x －b )2<a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则b 的取值范围是________．答案 (－2,2)解析 由A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x －1x ＋1<0＝{x |(x －1)(x ＋1)<0}，得－1<x <1，当a ＝1时，B ＝{x |(x －b )2<1}＝{x |b －1<x <b ＋1}，因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1>－1b －1<1，解得－2<b <2.2．已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2＋x <a 2－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2解析 ∵綈q 的一个充分不必要条件是綈p ， 即綈p 是綈q 的充分不必要条件， ∴p 是q 的必要不充分条件． 由p ：4x －1≤－1得4x －1＋1≤0，x ＋3x －1≤0，解得－3≤x <1， 记A ＝{x |－3≤x <1}．由q ：x 2＋x <a 2－a 得(x ＋a )[x ＋(1－a )]<0. ∵a >12，∴－a <－(1－a )，故解得－a <x <a －1，记B ＝{x |－a <x <a －1}． 由p 是q 的必要不充分条件可得B A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥－3a －1≤1a >12，解得12<a ≤2.条件探究1 举例说明2中的“充分不必要”改为“必要不充分”，其余不变，该如何求解？解 ∵綈q 的一个必要不充分条件是綈p ， 即綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴p 是q 的充分不必要条件． ∵p 对应集合A ＝{x |－3≤x <1}，q 对应集合B ＝{x |－a <x <a －1}，其中a >12，∴AB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a <－3a －1≥1a >12，解得a >3.条件探究2 举例说明2中“4x －1≤－1”改为“4x －10≤－1”，“綈p ”改为“p ”，其余不变，该如何求解？解 由题意得，p 是綈q 的充分不必要条件． 由4x －10≤－1得x －6x －10≤0，解得6≤x <10.∴p 对应集合C ＝{x |6≤x <10}． 又∵q 对应集合B ＝{x |－a <x <a －1}， ∴綈q 对应集合∁R B ＝{x |x ≤－a 或x ≥a －1}， 其中a >12，∴C∁R B ，∴⎩⎨⎧a >12－a ≥10或⎩⎨⎧a >12a －1≤6，解得12<a ≤7.1．知充分、必要条件求参数取值范围的步骤(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，如举例说明2中p对应的集合是q对应的集合的真子集．(2)根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．2．解题时的三个注意点(1)注意充分条件、必要条件定义的直接应用．如举例说明1.(2)看清“p是q的……条件”还是“p的……条件是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断．如举例说明2.(3)要注意区间端点值的检验．尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍．如举例说明2.1．(2019·广州模拟)已知p：(x＋3)(x－1)>0，q：x>a2－2a－2，若綈p是綈q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()A．[－1，＋∞) B．[3，＋∞)C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．[－1,3]答案 C解析由p：(x＋3)(x－1)>0，解得x<－3或x>1，要使得綈p是綈q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，即q⇒p，p ⇒/q．所以a2－2a－2≥1，解得a≤－1或a≥3，故选C.2．(2018·河北保定模拟)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围为________．答案[0,3]解析由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}．由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m 1－m ≥－21＋m ≤10，解得0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．思想方法 等价转化思想在充要条件中的应用[典例] 已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．答案 [9，＋∞)解析 ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴q 是p 的必要不充分条件． 即p 是q 的充分不必要条件， 由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)， 得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)．∴q 对应的集合为{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}． 设M ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}． 又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， ∴p 对应的集合为{x |－2≤x ≤10}． 设N ＝{x |－2≤x ≤10}． 由p 是q 的充分不必要条件知，N M ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，解得m ≥9.∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)．思想方法 等价转化思想是指在解题中将一些复杂的、生疏的问题转化成简单的、熟悉的问题.典例中既有对题目中条件的化简，又有充分必要条件和集合间关系的转化.第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词[考纲解读] 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，并理解全称量词与存在量词的含义．(重点、难点)2.能正确的对含有一个量词的命题进行否定．(重点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲为高考中的一个热点．预测2020年高考对命题及量词的考查主要有：①判断全称命题与特称命题的真假；②全称命题、特称命题的否定；③根据命题的真假求参数的取值范围.1．简单的逻辑联结词(1)□01或”“□02且”“□03非”叫做逻辑联结词．(2)概念用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作□04p∧q；用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作□05p∨q；对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作□06綈p.(3)命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断2．全称量词和存在量词3．全称命题和特称命题1．概念辨析(1)命题“3≤3”是假命题．()(2)命题p与綈p不可能同真，也不可能同假．()(3)p，q中有一个假，则p∧q为假．()(4)“长方形的对角线相等”是特称命题．()答案(1)×(2)√(3)√(4)×2．小题热身(1)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析因为p，q都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．(2)命题p：∃x0∈R，x20－x0＋1≤0的否定是()A．∃x0∈R，x20－x0＋1>0 B．∀x∈R，x2－x＋1≤0C．∀x∈R，x2－x＋1>0 D．∃x0∈R，x20－x0＋1<0答案 C解析由已知得綈p是“∀x∈R，x2－x＋1>0”．(3)下列命题中的假命题是()A．∃x0∈R，lg x0＝1 B．∃x0∈R，sin x0＝0C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R,2x>0答案 C解析因为lg 10＝1，所以A是真命题；因为sin0＝0，所以B是真命题；因为(－2)3<0，所以C是假命题．由指数函数的性质知∀x∈R,2x>0是真命题．(4)命题“任意末位数字是5的整数都能被5整除”，该命题的否定是________________，该命题的否命题是________________．答案存在末位数字是5的整数不能被5整除末位数字不是5的整数不能被5整除解析命题的否定是否定命题的结论，即“存在末位数字是5的整数不能被5整除”．原命题可以改写为“若整数的末位数字为5，则该整数能被5整除”，其否命题是“若整数的末位数字不是5，则该整数不能被5整除”，简化为“末位数字不是5的整数不能被5整除”．题型一含有逻辑联结词的命题的真假判断1．(2018·济南调研)设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中的真命题是() A．p∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q) D．p∨(綈q)答案 A解析因为p是假命题，q是真命题，所以p∨q是真命题，p∧q，(綈p)∧(綈q)，p∨(綈q)都是假命题．2．“(綈p)∨q为真命题”是“p∧(綈q)为假命题”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析(綈p)∨q为真命题包括以下情况：p假q假，p假q真，p真q真；p∧(綈q)为假命题包括以下情况：p假q真，p假q假，p真q真．所以“(綈p)∨q”为真命题”是“p∧(綈q)为假命题”的充要条件．1．判断含有逻辑联结词命题真假的步骤2．熟记一组口诀“或”命题一真即真，“且”命题一假即假，“非”命题真假相反．1．(2018·郑州调研)命题p：函数y＝log2(x－2)的单调增区间是[1，＋∞)，命题q：函数y＝13x＋1的值域为(0,1)．下列命题是真命题的为()A．p∧q B．p∨q C．p∧(綈q) D．綈q答案 B解析由于y＝log2(x－2)在(2，＋∞)上是增函数，所以命题p是假命题．由3x>0，得3x＋1>1，所以0<13x＋1<1，所以函数y＝13x＋1的值域为(0,1)，故命题q为真命题．所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧(綈q)为假命题，綈q为假命题．2．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p ∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是________．答案②③解析因为p是真命题，q是假命题，所以p∧q，(綈p)∨q是假命题，p∨q，p∧(綈q)是真命题．故答案为②③.题型二全称命题、特称命题角度1全称命题、特称命题的真假判断1．(2018·昆明一中质检)已知命题p：∀x∈R，x＋1x≥2；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，x20>x30，则下列命题中为真命题的是() A．(綈p)∧q B．p∧(綈q) C．(綈p)∧(綈q) D．p∧q答案 A解析当x＝－1时，x＋1x<2，故p是假命题；当x0＝12时，⎝⎛⎭⎪⎫122>⎝⎛⎭⎪⎫123，故q是真命题，所以(綈p)∧q是真命题，p∧(綈q)，(綈p)∧(綈q)，p∧q都是假命题．角度2含有一个量词的命题的否定2．(1)已知定义在R上的函数f(x)周期为T(常数)，则命题“∀x∈R，f(x)＝f(x＋T)”的否定是____________；(2)命题“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”的否定是____________________．答案(1)∃x0∈R，f(x0)≠f(x0＋T)(2)角平分线上有的点到这个角两边的距离不相等解析(1)量词“∀”改为“∃”，f(x)＝f(x＋T)改为f(x)≠f(x＋T)，故已知命题的否定是∃x0∈R，f(x0)≠f(x0＋T)．(2)①改量词，本题中省略了量词“所有”，应将其改为“有的”；②否定结论，“距离相等”改为“距离不相等”．故已知命题的否定是“角平分线上有的点到这个角两边的距离不相等”．1．全(特)称命题真假的判断方法2.对全(特)称命题进行否定的方法(1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；(2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可．提醒：对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定．如举例说明2(2)．1．设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则綈p 为( ) A ．∀n ∈N ，n 2>2n B ．∃n ∈N ，n 2≤2n C ．∀n ∈N ，n 2≤2n D ．∃n ∈N ，n 2＝2n答案 C解析 命题p 的量词“∃”改为“∀”，“n 2>2n ”改为“n 2≤2n ”，故綈p ：∀n ∈N ，n 2≤2n .2．命题p ：存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使sin x ＋cos x >2；命题q ：“∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1”的否定是“∀x ∈(0，＋∞)，ln x ≠x －1”，则四个命题：(綈p )∨(綈q )，p ∧q ，(綈p )∧q ，p ∨(綈q )中，正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，所以命题p 是假命题；又特称命题的否定是全称命题，因此命题q 为真命题．则(綈p )∨(綈q )为真命题，p ∧q 为假命题，(綈p )∧q 为真命题，p ∨(綈q )为假命题．所以四个命题中正确的命题有2个．故选B. 题型 三 根据命题的真假求参数的取值范围1．命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0，对一切x ∈R 恒成立；命题q ：函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假，则实数a 的取值范围为________．答案 (－∞，－2]∪[1,2)解析 若p 为真命题，则Δ＝(2a )2－4×1×4<0，解得－2<a <2，记A ＝{a |－2<a <2}．若q 为真命题，则3－2a >1，a <1，记B ＝{a |a <1}． 因为p 或q 为真，p 且q 为假， 所以p 真q 假或p 假q 真．所以a ∈A ∩(∁R B )或(∁R A )∩B ，所以a ∈[1,2)或a ∈(－∞，－2]，所以a 的取值范围是(－∞，－2]∪[1,2)．2．已知f (x )＝ln (x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ 解析 x 1∈[0,3]时，f (x 1)∈[0，ln 10]，x 2∈[1,2]时，g (x 2)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－m ，12－m .因为对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，所以只需0≥14－m ，解得m ≥14.条件探究 举例说明2中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解 当x 2∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.1．根据复合命题的真假求参数的取值范围的步骤(1)求出当命题p ，q 为真命题时所含参数的取值范围；(2)根据复合命题的真假判断命题p ，q 的真假；(3)根据命题p ，q 的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．如举例说明1.2．根据全称命题、特称命题的真假求参数的取值范围(1)巧用三个转化①全称命题可转化为恒成立问题，如举例说明2.②特称命题可转化为存在性问题．③全(特)称命题假可转化为特(全)称命题真．(2)准确计算通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围．1．已知命题p ：函数f (x )＝2ax 2－x －1(a ≠0)在(0,1)内恰有一个零点；命题q ：函数y ＝x 2－a 在(0，＋∞)上是减函数．若p 且綈q 为真命题，则实数a 的取值范围是________．答案 (1,2]解析 由题意得，若命题p 为真命题，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝1＋8a >0f (0)·f (1)＝(－1)·(2a －2)<0或⎩⎨⎧ Δ＝1＋8a ＝00＜14a ＜1，解得a >1，记A ＝{a |a >1}，若命题q 为真命题，则2－a <0，得a >2，记B ＝{a |a >2}，若p 且綈q 为真命题，则p 真q 假，所以a ∈A ∩(∁R B )＝(1,2]．2．(2018·安徽皖南八校三模)若命题“∃x ∈R ，使x 2＋(a －1)x ＋9<0”是假命题，则实数a 的取值范围为________．答案 [－5,7]解析 命题“∃x ∈R ，使x 2＋(a －1)x ＋9<0”的否定是“∀x ∈R ，使x 2＋(a －1)x ＋9≥0”，它是真命题，则(a －1)2－36≤0，－5≤a ≤7.高频考点 常用逻辑用语考点分析 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，通常以选择题、填空题形式出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．[典例1] (2018·安徽安庆二模)下列说法中正确的是( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”B ．若“p 且q ”为假命题，则p ，q 均为假命题C ．若命题p ：∃x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1>0D ．x >1是x 2>1的必要不充分条件答案 A解析 B 错误，若“p 且q ”为假命题，则p ，q 至少有一个为假命题． C 错误，綈p ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1≥0.D 错误，x >1是x 2>1的充分不必要条件．[典例2] (2018·湖北新联考四模)若x >2m 2－3是－1<x <4的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．[－3,3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．[－1,1]答案 D解析 ∵x >2m 2－3是－1<x <4的必要不充分条件，∴(－1,4)(2m 2－3，＋∞)， ∴2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1，故选D.[典例3] 若∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1<0成立是假命题，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，22]B ．(22，3] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，92 D ．{3}答案 A解析 ∃x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 20－λx 0＋1<0成立是假命题，所以其否定∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，使得2x 2－λx ＋1≥0恒成立，为真命题．所以λ≤2x ＋1x 对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2恒成立．因为2x ＋1x ≥22x ·1x ＝22，当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22时，等号成立． 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x min ＝22，所以λ≤2 2. 方法指导 1.理解基本概念，重视知识联系,常用逻辑用语在高考题中常以客观题的形式考查，属于中、低档题，因此，复习此部分内容时，首先要重视基本。