市北资优六年级分册 第10章 10.1 认识直棱柱+姜海霞

9.5 角的度量、余角、补角在研究角的度量时，需要用到比度更小的单位——分和秒．度、分、秒之间的关系为：1°＝60′，1′＝60″． 例如27.5°＝27°30′．如果两个角的度数和为90°，那么这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角． 如果两个角的度数和为180°，那么这两个角叫做互为补角，简称补余，其中一个角叫做另一个角的补角． 当两角互余时，怎么用数学式子来表示呢？如图，∠1与∠2互余，那么我们可以得到∠1＋∠2＝90°或∠1＝90°－∠2或∠2＝90°－∠1． 当两角互补时，又怎么表示呢？留给同学们自己完成．例1已知∠A ＝38°25′，求∠A 的补角与余角的度数． 解：∠A 的补角＝180°－38°25′＝141°35′；∠A 的余角＝90°－38°25′＝51°35′．例2已知一个角的补角与余角的和是这个角的余角的5倍，求这个角的度数． 解：设这个角的度数为x ，则由题意，得()()()18090590x x x -+-=-．解得x ＝60．答：这个角为60°．如图，当∠AOC ＝∠BOD ＝90°时，我们能得到什么结论呢？ 因为∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°， 所以∠1＝∠3．上面的结论我们可以总结为同角的余角相等． 类似地，我们还有同角的补角相等．观察图中的∠α与∠β的位置关系有什么特征．如果两个角有公共的顶点和一条公共边，同时另外的两条边分布在公共边的两侧，那么这两个叫做互为邻角，其中一个角叫做另一个角的邻角．练习9.51．判断下列说法是否正确． ⑴钝角没有余角； ⑵一个角的余角是锐角．⑶若∠1＋∠2＋∠3＝180°，则这三个角互补．2．填空： ⑴161.21°＝________°________′_________″； ⑵21°116＝__________°；⑶若一个角与它的补角相等，则这个角为__________°．3．画出已知角的补角，你能画出几个？不用量角器可以吗？ 4．一个角的补角是它余角的2.5倍，求这个角的度数．1212 3AB CDaβ练习9.51．⑴对⑵对；⑶错2．⑴161°12′36″⑵ 21.185°3．画出两个，可以不用量角器4．30°9.5《角的度量、余角、补角》练习练习9.51．填空．⑴已知∠1＝34°24′，则∠1的余角为____________，补角为____________； ⑵一个角的补角比这个角的余角大_____________； ⑶25°30′＋72.4°＝___________；（结果用度表示） ⑷161°12′36″＋161°12′36″＝_________________．（结果用度、分、秒表示） 2．如图，已知A 、O 、B 三点共线，∠AOC ＝120°，OD 、OE 分别平分∠AOC 、∠BOC ．⑴图中相等的角有___________对，分别是_______________； ⑵图中互余的角有___________对，分别是_______________； ⑶图中互补的角有___________对，分别是_______________． 3．一个角的补角与它余角的和是平角的76，求这个角的度数．4．一个角的余角比它的补角的14还少20°，求这个角的度数．5．已知∠AOB ＝70°，∠BOC 与∠AOB 互余．⑴若OP 是∠AOC 的平分线，计算∠BOP 的度数；⑵若∠BOD 与∠AOB 互补，OE 平分∠COD ，画出所有符合条件的图形，并直接写出∠AOE 的度数．9.5答案1．⑴5536'︒ 145°36′ ⑵90° ⑶97.9° ⑷91°7′1″2．⑴5对 ∠AOD 与∠DOC ，∠AOD 与∠COB ， ∠DOC 与∠BOC ，∠COE 与∠BOE ，∠AOC 与∠BOD ； ⑵6对 ∠DOC 与∠COE ，∠DOC 与∠BOE ， ∠AOD 与∠BOE ，∠AOD 与∠COE ，∠BOC 与∠COE ， ∠BOC 与∠BOE ；⑶8对 ∠AOD 与∠BOD ，∠AOD 与∠AOC ，∠DOC 与∠AOC ，∠DOC 与∠BOD ，∠BOC 与∠BOD ，∠BOC 与∠AOC ，∠BOE 与∠AOE ，∠COE 与∠AOE ，3．30° 提示：设这个角为x °，则()()7180901806x x -+-=⨯，解得x ＝30提示：设这个角为x °，则()190180204x x -=-⨯-，解得x ＝26035．⑴25°或45°⑵图略，135°，115°，25°或5°OBDCE。

10.5 长方体中平面与平面的位置关系观察下图，你能说出图片中天花板、墙壁与地面的位置关系吗？如图（1）平面EFGH 与平面ABCD 平行．记为：平面EFGH ∥平面ABCD ；读作：平面EFGH 平行于平面ABCD ． 如图（2）平面EFGH 与平面ABCD 垂直．记为：平面EFGH ⊥平面ABCD ；读作：平面EFGH 垂直于平面ABCD ．问题如何检验平面与平面垂直，平面与平面平行呢？ 检验平面与平面垂直的方法：1．铅垂线法：（如图（1））若铅垂线与被测的平面β紧贴，那么被测平面β垂直于水平面α． 本方法只能用于检验平面与水平面是否垂直．2．三角尺法：（如图（2））用三角尺可以检验平面β是否垂直于平面α．如果两把三角尺各有一条直角边紧贴平面β且位置相交，另一条直角边都能紧贴平面α，那么平面α垂直于平面β．本方法可以检验一般的平面与平面是否垂直．3．合页型折纸法：（如图（3））将合页型折纸直立于平面α上，如果折痕能与平面紧贴β，那么平面α垂直于平面β．本方法可以检验一般的平面与平面是否垂直．(2)(1)ABCD EF GHHGFEDCBA天花板与地面位置给人以平面与平面平行的印象；墙壁与地面的位置给人以平面与平面垂直的印象检验平面与平面平行的方法：长方形纸片：按交叉的方向检验两次，两遍都与被检验的平面紧贴，那么平面α平行于平面β．例1 如图，在长方体ABCD —EFGH 中， （1）哪些平面与平面ABCD 垂直？（2）平面ADHE 与平面CDHG 是否垂直？应如何检验？ （3）哪些平面与平面BCGF 平行？（4）平面ABFE 与平面CDHG 是否平行？应该如何检验？解：（1）与平面ABCD 垂直的平面有平面BCGF ，平面ABFE ，平面ADHE ，平面CDHG ；（2）平面ADHE 与平面CDHG 垂直，可以用合页型折线和三角尺检验，图中的阴影部分可以看作一个合页型折纸，它直立在平面CDHG 上，折痕HE 紧贴平面ADHE ； （3）与平面BCGF 平行的平面是平面ADHE ；βα（3）（2）（1）βαβαHGF EDCBAGEA（4）平面ABFE 与平面CDHG 平行，可以用合页型折线和三角尺检验，图中的阴影部分可以看作一个合页型折纸，它直立在平面CDHG 上，EF 、AE 紧贴平面ABFE ．例2 如图，桌面上放着一本打开的书， （1）与桌面垂直的平面有哪几个？ （2）平面ABFE 与平面ABHG 是否垂直？解：（1）与桌面垂直的平面有：平面ABDC ，平面ABFE ，平面ABHG ； （2）平面ABFE 不一定与平面ABHG ，因为∠GAE 不一定等于90度．例3 如图，四边形ADHE 和四边形BCGF 都是长方形，那么平面ABCD 和平面EFGH 互相平行吗？请说明理由．解：平面ABCD 和平面EFGH 不平行，因为长方形ADHE 和长方形BCGF 不在交叉的方向上，所以不能用来检验平面和平面的平行．ABCDHGFEαA BCDHGFE练习10.51．下列结论正确的是（ ）（A ）与长方体的一个面垂直的面有2个 （B ）与长方体的一个面平行的面有4个（C ）长方体有两个相对的面是正方形，那么这个长方体有6条棱的长度相等 （D ）长方体相邻的两个面互相垂直，相对的两个面互相平行 2．如图，在长方体ABCD —EFGH 中， （1）平面AEGC 与哪些平面垂直？（2）如果把这个长方体沿着平面AEGC 切开来，那么三角形EFG 与哪些平面垂直？3．如图，已知线段CE 垂直于平面ABCD ，经过点E 画一个平面EFGH ，使得平面EFGH 平行于平面ABCD ．4．如图，点M 、N 、O 、P 分别是长方体ABCD —EFGH 的四条高的中点，与平面MNOP 平行的平面有哪些？与平面MNOP 平行的棱有哪些？ABCDHGFE第2题CDE第3题OPMNABCDFGHE第4题5．如图，长方体ABCD —EFGH 中，点M 、N 、O 、P 分别是棱CD 、BC 、FG 、GH 的中点，平面ABCD 平行于哪些平面？平面BDHF 平行于哪些平面？可以怎么检验？6．如图，长方体ABCD —EFGH 中，找出与平面BCHE 垂直的平面，并找出现成的合页型折纸，在图上用阴影部分表示．练习10.5 答案 1．D2．（1）平面AEGC 与平面ABCD 和平面EFGH 垂直；（2）△EFG 与平面ABFE 、平面AEGC 和平面BCGF 垂直． 3．略4．与平面MNOP 平行的平面有平面ABCD 和平面EFGH ，与平面MNOP 平行的棱有AB 、棱BC 、棱CD 、棱DA 、棱EF 、棱FG 、棱GH 、棱HE ．5．平面ABCD 平行于平面EFGH ，平面BDHF 平行于平面MNOP ，可以用长方形纸片来检验． 6．与平面BCHE 垂直的平面有平面ABFE 、平面DCGH ．阴影部分略．OPMNF GHEDCB A第5题AB CDFGHE 第6题。

12．5 可以化为一元一次方程的分式方程在学习了整式之后，我们学习了比较简单的整式方程----一元一次方程的解法．那么分式学习过了，后面有没有分式方程等着我们呢？分母中含有未知数的方程叫做分式方程．整式方程与分式方程统称为有理方程．【例1】在下列方程中，哪些是分式方程？（1）1512x x ＋＝－；（2）11x ＝；（3）35242x x x －＋＝；（4）3544x x x x －＝－－；（5）13t t ＋＝； （6）1333x ππ＋＝＋＋． 【解】根据分式方程的定义，（1）、（2）、（4）、（5）是分式方程．那么，如何解一个分式方程呢？【例2】解方程：3122x x x ＋＝－＋． 【解】两边同乘以（x －2）（x ＋2），得x （x ＋2）＋3（x －2）＝（x －2）（x ＋2整理得5x －2＝0， 解得x ＝25． 检验：将x ＝25代入原方程，得左边＝1＝右边．所以x ＝25是原方程的根． 解分式方程的关键是去分母，将分式方程化为已学过的整式方程后再求解．【例3】解方程：()()()2736111x x x x x x －＝－－＋＋． 【解】原方程化为()()()()7361111x x x x x x ＋＝＋－－＋， 两边同乘以x （x ＋1）（x －1），得7（x －1）＋3（x ＋1）＝6x ，整理得4 x －4＝0，解得x ＝1． 检验：将x ＝1代入原方程，结果使原方程中分式的分母为零，分式无意义．所以，x ＝1不是原方程的解，因此原方程无解．在解方程的过程中，对原方程进行了变形，变形后的方程的解的取值范围与原方程的解的取值范围可能不一致，出现的比原方程多的根，叫做方程的增根．例3中的x ＝1，就是这个方程的增根．方程的增根，实际上是原方程变形后的方程的根，而不是原方程的根．在解分式方程的过程中，两边同乘以一个整式，由于这个整式可能为零，使得原来不相等的两边也相等了，这时就产生了增根．因此对于解分式方程必须检验，在确保运算正确的情况下，检验的方法只需看所得的解是否使所乘的式子为零．【例4】现有甲、乙两个,足够大的容器，分别装有15升的纯酒精和水，若把甲中的纯酒精倒入乙中一定数量，搅匀后，再把乙中的混合液倒入甲中相同的数量，这时甲中的酒精浓度是75％，求甲容器第一次倒入乙中的纯酒精是多少升？【分析】在把乙中的混合液倒入甲中相同的数量之后，甲中的水的数量应与乙中的酒精数量相等，所以甲的酒精浓度应与乙中水的浓度相等，而乙中水的浓度等于1515甲倒入的酒精数量＋，这样可以列出方程．【解】设第一次甲倒入乙x 升纯酒精．根据题意，得157515x %＝＋，解得x ＝5． 经检验，x ＝5是原方程的根，且符合题意．答：甲容器第一次倒入乙中的纯酒精是5升．练习12．5（1）1．下列方程中，不是分式方程的是（ ）．A ． 13x x ＋＝B ． 12x＝ C ．25142x x x －＋＝ D ．132x π＋＝ 2．下列方程中，x ＝3不是它的一个解的是（ ）． A ． 1133x x ＋＝ B ． 2430x x －＋＝ C ．3133x x x ＋＝－－ D ．31522x x ＝－＋ 3．解下列方程： （1）11x x x＝＋＋1； （2）2242111x x x x x －＋＝＋－；（3）221321121x x x x ＋＝－＋＋－； （4）22252571061268x x x x x x x x x －－＋＝＋－－－－＋．4．甲乙两人从A 地前往相距120千米的B 地，甲的速度是乙的1．5倍，乙比甲早出发1小时，乙到达B 地后20分钟甲才到，求甲乙两人的速度．【例5】如果方程622121x k k x x ＝＋－－有增根，求k 的值． 【分析】如果这个方程有增根，那么增根只能是x ＝12．由于增根只是原方程去分母后得到的整式方程的根，因此只能把x ＝12代入原方程去分母后得到的整式方程，进而求得k 的值． 【解】原方程去分母，得6x ＝k ＋2k （2x －1），①因为原方程有增根，所以增根是x ＝12． 将增根x ＝12代入方程①，得k ＝3，即k 的值为3．【例6】若方程2122212x x x a x x x x －－＋＋＝－＋－－的解为负数，求a 的取值范围． 【解】原方程去分母，得（x －1）（x ＋1）－()22x －＝2x ＋a ，解得 52a x ＋＝． 因为原方程的解为负数， 所以502522512a a a ⎧⎪⎪⎪≠⎨⎪⎪≠⎪⎩＋＜，＋，＋－， 解得517a a a ⎧⎪≠⎨⎪≠⎩＜－，－，－． 所以a ＜－5且a ≠－7．【例7】解方程：11115867x x x x ＋＝＋＋＋＋＋． 【解】将原方程化为11115678x x x x －＝－＋＋＋＋， 两边通分得221111301556x x x x ＝＋＋＋＋， 即2211301556x x x x ＋＋＝＋＋，4x ＝－26，x ＝132－． 经检验，x ＝132－是原方程的根．【例8】解方程：7151399171511x x x x x x x x －－－－＋＝＋－－－－． 【解】921721521129171511x x x x x x x x －＋－＋－＋－＋＋＝＋－－－－， 222211119171511x x x x ＋＋＋＝＋＋＋－－－－，11111715119x x x x －＝－－－－－， 2222322552099x x x x ＝－＋－＋， 22322552099x x x x －＋＝－＋，12x ＝156，x ＝13．经检验，x ＝13是原方程的根．练习12．5（2）1．若分式方程()36011x m x x x x ＋＋－＝－－有根，求m 的取值范围．2．当k 为何值时，解关于x 的方程2111x k x x x x －＝－＋－时，不会产生增根．3．解方程：11212736x x x x x x ＋＋－＝－＋＋＋＋．4．解方程：23451234x x x x x x x x ＋＋＋＋－＝－＋＋＋＋．练习12．5（1）1．D 2．C 3．（1）x ＝－12；（2）x ＝－12；（3）x ＝12是增根，原方程无解；（4）原方程化为 ()()()()()()525710324324x x x x x x x x x －－＋＝＋－－＋－－，则5x （x －4）＋（2x －5）（x －2）＝（7x －10）（x ＋3），即 －40 x ＝－40，所以x ＝1．4．甲的速度是每小时90千米，乙的速度是每小时60千米．提示：设乙的速度是每小时x 千米，从A 地到B 地，乙比甲多用40分钟，即23小时，则有方程12012021.53x x ＝－． 练习12．5（2） 1．m ≠5且m ≠－3 2．k ≠2且k ≠－2 3．x ＝－92 4．x ＝－5212．5 可以化为一元一次方程的分式方程练习12．5（1）1．下列方程不是分式方程的是（）．A．13tt＋＝B．1333xx x＋＝＋＋C．1131x x＋＝＋－D．310347x x＋＝2．分式方程41322x x＋＝＋＋的根是（）．A．x＝－2 B．x＝2 C．x＝1 D．x＝－13．甲做180个机器零件所用的时间比乙做240个机器零件少23小时，已知两人每小时共做70个零件．求甲乙每小时各做多少个零件？若设甲每小时做x个零件，则乙每小时做（70－x）个零件，由题意可列方程应该是（）．A．1802240370x x＋＝－B．1802402703x x＝＋－C．1802240703x x＋＝－D．1802402703x x＝＋－4．当x＝时，424xx－－的值与54xx－－的值相等．5．若252xx－－的值等于－1，则x的值为．6．一个十位数字是6的两位数，若把个位数字与十位数字对调，所得数与原数之比为4：7，那么原数是．7．一件工程，甲独做要用15天完成，乙独做要用12天完成，甲、乙、丙三人合作只需4天就能完成，则丙单独做时，天可以完成．8．解方程：13 3648x x＝－－．9．解方程：3373226x x＋＝＋＋．10．解方程：222232411221x x x xx x x x＋－＋＋＋＝＋－＋＋．。

10.3 长方体中棱与棱的位置关系观察下图，如果我们把铁轨、管道看作直线，你能说出图片中两条直线的位置关系吗？（1）（2）（3）如上图（1）中地面上的一条横线和一条竖线在同一个平面内，且有唯一公共点，我们称这两条直线相交.如上图（2）中铁路轨道表示的两条直线在同一个平面内，且没有公共点，我们称这两条直线平行.如上图（3）中道路上的横梁和地面的竖线表示的两条直线既不平行，也不相交，我们称这两条直线异面.如下图（1）一般地，如果直线AB与直线CD在同一平面内，且有唯一公共点，那么称这两条直线相交，读作：直线AB与直线CD相交.如下图（2）一般地，如果直线AB与直线CD在同一平面内，没有公共点，那么称这两条直线平行，记作：AB∥CD，读作：直线AB与直线CD平行（也可读作直线AB平行于直线CD）.如下图（3）一般地，如果直线AB与直线CD既不平行，也不相交，那么称这两条直线异面，读作：直线AB与直线CD异面.BDACDCBADCBA（1）（2）（3）⎧⎫⎬⎪⎭⎪⎪⎨⎪⎪→⎪⎩相交：一个公共点在同一平面内平行：没有公共点空间两条直线的位置关系既不平行，也不相交异面：没有公共点不在同一平面内例1如图，在长方体ABCD-EFGH中，（1）哪些棱与棱AB平行？（2）哪些棱与棱AB相交？（3）哪些棱与棱AB异面？解：（1）与棱AB平行的棱有棱EF、棱CD、棱HG.（2）与棱AB相交的棱有棱AE、棱AD、棱BF、棱BC.（3）与棱AB异面的棱有棱DH、棱CG、棱EH、棱FG.思考：长方体的十二条棱中，互相平行的棱有几对？相交的棱有几对？异面的棱有几对？例2如图，是一张长方形纸片ABCD对折后翻开所成的图形.（1）与AE所在直线平行的直线是 .（2）与AE所在直线相交的直线是 .（3）与AE所在直线异面的直线是 .（4）图中有哪几对异面直线？解：（1）与AE所在直线平行的直线是直线BF.（2）与AE所在直线相交的直线是直线AB、直线EC、直线EF.（3）与AE所在直线异面的直线是直线CD、直线FD.（4）图中有6对异面直线.它们分别是直线AE与CD、直线AE与FD、直线AB与EC、直线AB与FD、直线BF与EC、直线BF与CD.练习10.31. 没有公共点的两条直线可能是 直线，也有可能是 直线.2. 如图，长方体ABCD -EFGH 中，下列各对棱的位置关系： （1）棱AD 与棱BC ： ； （2）棱AB 与棱BC ： ； （3）棱AB 与棱FG ： ； （4）棱CD 与棱BF ： ； （5）棱AD 与棱CG ： ； （6）棱AB 与棱EF ： .3. 如图中，在长方体ABCD -EFGH 中. （1）与AC 相交的棱有 ； （2）与AC 异面的棱有 ； （3）与AC 平行的棱有 ； （4）与EG 相交的棱有 ； （5）与EG 异面的棱有 ； （6）与棱BF 平行的棱有 .4. 如图中，在长方体ABCD -EFGH 中. （1）棱AD 与棱BH : ； （2）棱DH 与棱FH : ； （3）棱FH 与棱AC : ； （4）棱AB 与棱BH : . 答案：1.不在一个平面的，平行.2.（1）平行；（2）垂直；（3）异面；（4）异面；（5）异面；（6）平行.3.（1）棱AD 、棱AE 、棱AB 、棱CD 、棱CB 、棱CG ； （2）棱EH 、棱HG 、棱GF 、棱FE 、棱DH 、棱BF ； （3）棱EG ；（4）棱EH 、棱AE 、棱EF 、棱GF 、棱GC 、棱GH ； （5）棱AD 、棱DC 、棱CB 、棱AB 、棱DH 、棱BF ； （6）棱CG 、棱AE 、棱DH .4.（1）异面；（2）垂直；（3）异面；（4）相交.GH（第4题）GHDA （第3题）GH（第2题）10.3 《长方体中棱与棱的位置关系》练习练习10.31. 填写空间两条直线的位置关系，并比较其异同点，完成下表：2. 在长方体中每一条棱与 条棱平行，每一条棱与 条棱相交，每一条棱与 条棱异面.在长方体中，互相平行的棱有 对，异面的棱有 对，相交的棱有 对.3. 如图，在长方体ABCD -EFGH 中，（1）与棱EF 平行的棱有 ； （2）与棱EF 相交的棱有 ； （3）与棱EF 异面的棱有 ； （4）与棱AE 异面的棱有 ； （5）与棱AE 相交的棱有 ； （6）与棱AE 平行的棱有 . 4. 如图是长方体纸片ABCD 对折后展开的图形. （1）与直线DF 平行的直线是 ； （2）与直线EF 平行的直线是 ； （3）与直线AB 异面的直线是 ； （4）与直线DF 异面的直线是 ； （5）与直线EF 相交的直线是 ； （6）与直线CD 相交的直线是 . 5. 如图，在长方体ABCD -EFGH 中， （1）与AC 相交的棱有 ；（2）与AC 异面的棱有 ； （3）与AC 平行的线段有 ； （4）与EG 相交的棱有 ；（5）与EG 异面的棱有 ；BA（第5题）BA（第3题）（6）与棱BF平行的棱有 .6. 如图，在长方体ABCD-EFGH中，填写下列各对线段所在直线的位置关系.（1）棱AD与AG：；（2）棱DH与EG：；（3）EG与BD：；（4）棱DC与DB： .答案：1. 垂直，是，1个；平行，是，0个；异面，不是，0个.2. 3,4,4,18,24,24.3.（1）棱HG，棱DC，棱AB；（2）棱HE，棱GF，棱EA，棱FB；（3）棱HD，棱GC，棱AD，棱BC；（4）棱DC，棱HG，棱BC，棱FG；（5）棱AD，棱EH，棱AB，棱EF；（6）棱BF，棱CG，棱DH.4.（1）直线EC；（2）直线BA，直线CD；（3）直线EC，直线FD；（4）直线BE，直线AB；（5）直线BE，直线EC，直线AF，直线FD；（6）直线CE，直线DF.5.（1）棱DC，棱GC，棱BC，棱AE，棱AD，棱AB；（2）棱HD，棱HG，棱HE，棱EF，棱GF，棱BF；（3）线段EG；（4）棱EH，棱HG，棱GF，棱EF，棱AE，棱CG；（5）棱HD，棱AD，棱CD，棱AB，棱BC，棱BF；（6）棱HD，棱AE，棱CG.6.（1）相交；（2）异面；（3）异面；（4）相交.G （第6题）。

10.1 认识直棱柱观察以上的几何图形，它们都是由若干个平面围成的几何体，像这样的几何体叫做多面体．多面体上相邻两个面之间的交线叫做多面体的棱，几个面的公共顶点叫做多面体的顶点．棱柱是特殊的多面体，根据其侧棱与底面是否垂直分为直棱柱和斜棱柱．现阶段我们只研究直棱柱．直棱柱的上下底面可以是三角形、四边形、五边形……侧面是长方形，根据底面的边数而分为直三棱柱、直四棱柱……注意：把一个直棱柱的底面放在水平位置，其侧棱就处于相应的铅垂线位置．直棱柱有以下特征：有上、下两个底面，它们形状相同、大小相等，侧面都是长方形．长方体和正方体都是直四棱柱．接下来以长方体为例，研究其面、顶点、棱．填空：1．长方体有（ ）个面，（ ）条棱，（ ）个顶点． 2．长方体相对的面（ ），相对的棱（ ）．3．长方体中的12条棱可分成（ ）组，每组中的棱长度（ ）．4．长方体的六个面可以分成（ ）组，每组中的面的形状和大小都（ ）．直三棱柱直四棱柱 直五棱柱 直六棱柱【例1】观察如图（1）所示的首饰盒，它是一个怎样的多面体？这个多面体与直四棱柱有什么关系？【解】如图（2），这个首饰盒是直五棱柱，它可以看做从一个直四棱柱中截去一个直三棱柱得到，其中直四棱柱的底面是边长为6cm 的正方形，直三棱柱的底面是腰长为3cm 的等腰直角三角形，它们的侧棱长都为2．6cm ．问题：你能算出这个首饰盒侧面的面积之和是多少吗？【例2】用一根长100厘米的塑料管和橡皮泥做一个棱长为5厘米，6厘米和7厘米的长方体架子，应该如何截取？材料够吗？【分析】长方体有12条棱，可以分为长、宽、高3组，每组中的4条棱长相等，所以应该截取三种长度的塑料管各四根；12条棱长之和＝（长＋高＋宽）×4．【解】在这根塑料管上应该顺次截取：长为5厘米的塑料管4根，长为6厘米的塑料管4根，长为7厘米的塑料管4根，一共需要（5＋6＋7）×4＝72（厘米）的塑料管，这样就能做成需要的长方体架子．【例3】要做一个棱长分别为3厘米、5厘米和7厘米的无盖的长方体纸盒，最少需要多大的纸？最多需要多少纸？ 【分析】（1）长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，它的表面积S ＝2×（ab ＋bc ＋ca ）．（2）本题中的长方体是无盖的，所以要分三种情况讨论：分别以3×5，3×7，5×7为底面． 【解】①以3×5为底面的长方体纸盒的表面积()213523757127cm S ⨯⨯⨯⨯＝＋＋＝． ②以3×7为底面的长方体纸盒的表面积()223723557121cm S ⨯⨯⨯⨯＝＋＋＝． ③以5×7为底面的长方体纸盒的表面积()235723537107cm S ⨯⨯⨯⨯＝＋＋＝． 答：做这个纸盒最少需要纸张107平方厘米，最多需要纸张127平方厘米．练习10．11．下列各几何图形中，是不是直棱柱？如果是，是直几棱柱？有几条侧棱？几个面？几个顶点？（2） （5）（2）（4）（第1题）2．用一根长度为250厘米的塑料管和橡皮泥做一个三条棱分别为10厘米、30厘米、15厘米的长方体架子，应如何裁剪这根塑料管？3．如图所示有一个长方体木块，把它切去一块之后仍为一个直棱柱，则可切出几棱柱？（第3题）4．一根长为36分米的铁丝截开后刚好能够搭成一个长方体架子，这个长方体架子的长、宽、高的长度均为整数分米，且互不相等，求这个长方体的体积．答案：1．（1）（4）（5）是直棱柱；（1）是六棱柱．有6条棱，8个面，12个顶点；（4）是四棱柱．有4条侧棱，6个面，8个顶点；（5）是三棱柱．有3条侧棱，5个面，6个顶点．2．应分别裁剪出10厘米、30厘米、15厘米长的塑料管各4根．3．可切出三棱柱、四棱柱、五棱柱．4．12立方厘米，15立方厘米或24立方厘米．10.1 《认识直棱柱》练习练习10.11．在长方体中，经过同一个顶点的面有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．一个正方体的每个面上都标有数字1、2、3、4、5、6，根据图中该正方体A 、B 、C 三种状态所显示的数字，可推出“？”处的数字是（ ）．A ．1B ．2C ．4D ．6 3．下列说法中正确的是（ ）．A ．长方体是正方体，正方体是长方体B ．长方体的12条棱中最少有4条相等C ．有6个面、8个顶点、12条棱的图形都是长方体D ．长方体的每个面都是形状、大小相等的长方形 4．在下列图形中，不能围成长方体的是（ ）．5．长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，当a 、b 、c 满足 时，这个长方体是正方体．6．一个无盖的长方体木盒的长、宽、高分别为5厘米，6厘米，8厘米，则这个长方体木盒的体积是 ，表面积是 ．7．把3个棱长为4厘米的正方体拼成一个长方体，表面积比原来减少了 ．8．一个立方体平均切成8个小立方体后，表面积增加了30平方厘米，原立方体的表面积是 ． 9．下面这些几何体中，哪些是多面体？哪些是直棱柱？如果是直棱柱，说出是直几棱柱．ABCD（第9题）①②③④⑤⑥⑦10．一个种植草莓的大棚形状如图．它可以看做怎样的棱柱？这个棱柱的侧面和底面分别是什么图形？11．12个棱长为1厘米的正方体叠在一起，成为一个长方体，求这个长方体的表面积．12．要做一个棱长分别为3厘米、5厘米和7厘米的无盖的长方体纸盒，最少需要多大的纸？最多需要多少纸？ 13．（1（2）从上表中，你能发现直棱柱的面数、棱数和顶点数之间有什么规律吗？（设直n 棱柱的面数为v ，棱数为u ，顶点数为f ，用代数式来表示）练习10．1（答案部分）1．C ． 2．D ． 3．B ． 4．A ． 5．a ＝b ＝c ． 6．240立方厘米，206平方厘米或196平方厘米或188平方厘米． 7．64平方厘米． 8．30平方厘米． 9．多面体：①②③④⑤⑦；直棱柱：①③⑤⑦；①是直三棱柱，③是直五棱柱，⑤、⑦是直四棱柱． 10．直三棱柱，侧面是长方形，底面是三角形． 11．50平方厘米或38平方厘米或32平方厘米．提示：长、宽、高分别为12厘米、1厘米、1厘米或3厘米、4厘米、1厘米或2厘米、2厘米、3厘米． 12．最少（3×5＋5×7＋3×7）×2－5×7＝107（平方厘米）；最多（3×5＋5×7＋3×7）×2－3×5＝127（平方厘米）． 13．（1）面数为5，6，7，8；棱数为（第10题）9，12，15，18；顶点数为6，8，10，12．（2）v＝n＋2，u＝n＋2n＝3n，f＝2n，因此u＝f＋v－2．。

第三章直棱柱单元导航直棱柱是一种基本的立体图形，它在我们的周围随处可见，和人们的生活和生产实践密切相关．本章的主要内容是直棱柱、展开图、三视图及其有关应用．这些内容在前两个学期学生已有接触，只学过长方体和立方体．本章是学生已有空间图形知识的进一步扩展，对培养学生的空间想像能力是很重要的．本章也为高中进一步学习立体几何打下基础，故还有承前启后的作用．直棱柱的表面展开图与三视图，在今后的立体几何学习中会经常碰到，是本章的重点．直棱柱的表面展开图的判断和画法对学生的空间想像能力要求较高，是本章主要的教学难点．3.1 认识直棱柱教学目标知识目标：了解多面体、直棱柱的有关概念．能力目标：会认直棱柱的侧棱、侧面、底面．情感目标：直棱柱的侧棱互相平行且相等，侧面是长方形（含正方形）等特征．教学重点难点重点：直棱柱的有关概念．难点：本节的例题描述一个物体的形状，把它看成怎样的两个几何体的组合，都需要一定的空间想像能力和表达能力．课堂教与学互动设计【创设情景，引入新课】师：在现实生活中，像笔筒、西瓜、草莓、礼品盒等都呈现出了立体图形的形状．在你的身边，还有没有类似的立体图形呢？师：（补充）有许多著名的建筑，像古埃及的金字塔、巴黎的埃菲尔铁塔、美国的迪斯尼乐园、德国的古堡风光、中国北京的西客站，它们也是由不同的立体图形组成的，那么立体图形在生活中有着怎样的广泛应用呢？瞧，食物中的冰激棱、樱桃、端午节的粽子等．【合作交流，探究新知】一、自主探索1．多面体、棱、顶点的概念：（出示长方体、立方体模型）这是我们熟悉的立方图形，它们是由几个平面围成的？都有什么相同特点？答：____________，叫做多面体．___________叫多面体的棱，_________•叫多面体的顶点．2．以小组为单位，拿出事先准备好的十个几何体，•让学生从中闭眼摸出某些几何体，边模边用语言描述出其特征，再让小组成员讨论：（1）•能否把自己的语言转化为数学语言？如何转化？（2）能找出与长方体、立方体类似的物体或模型吗？3．总结：棱柱分为__________•（根据其侧棱与底面是否垂直）．•根据___________而分为直三棱柱、直四棱柱．直棱柱有以下特征：___________．•长方体和正方体都是直四棱柱．二、找一找上面的图形中多面体有哪些？棱柱有哪些？直棱柱有哪些？三、比一比对照右图实物，找找直棱柱与斜棱柱的相同点与不同点．四、说一说上图中的直棱柱叫直五棱柱，请说出：①直五棱柱有多少条棱？多少条侧棱？多少个侧面？多少个顶点？②直棱柱的相邻两条侧棱之间有什么关系？【例题解析，当堂练习】例1（课本例）观察如图所示的首饰盒，它是一个怎样的多面体？•这个多面体与直四棱柱有什么关系？练一练 记住下图中几何体的名称，并简要说明它们的一些特征．例2 如图，图片中有许多几何体，有些是我们学过的几何体，请你至少说出下图中2种直棱柱的名称．练一练 下列4个立体图形，请将它们加以分类，并说明为什么这样分．例3 如图的立体图形都是多面体，根据其顶点数（V ）、棱数（E ）、面数（F ）填表并回答问题．通过计算，看一看V+F-E 是一个定值还是一个变值，为什么？练一练 多面体的棱最少有几条？有没有7条棱的多面体？ 【课堂小结】1．直棱柱的有关概念．2．直棱柱的主要特征：有上、下两个底面，•底面是平面图形中的多边形且彼此全等． 【轻松过关】1．棱柱、棱锥的面都是平的，像这样的立体图形又称为__________．2．说出下列各几何体的名称．___________ ______ ________ ________3．六面体是（）A．正三棱锥 B．长方形 C．长方体 D．六棱柱4．底面是n边形的直棱柱共有面（）A．n个 B．（n-1）个 C．（n+2）个 D．（n-2）个5．如图所示，正四面体每个侧面的三角形是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．以上都不对6．一个直六棱柱的侧面个数是_______，顶点个数是______，棱的条数是____．7．6个顶点，12条棱的多面体是______面体．8．正三棱锥有_____个顶点，•有____•个面，•每个面是_____•三角形，•有___条棱．9．如图形状的茶壶可以近似地看成是_______棱锥．【适度拓展】10．（书上作业）一个种植草莓的大棚如图所示，它可以看做怎样的棱柱？•这个棱柱的侧面和底面分别是什么图形？11．一个直棱柱有18个顶点，它是几棱柱？有多少条棱？多少个面？12．你能将一块四棱柱形的木头变成三个四棱柱形的木头吗？说说你的做法．【探索思考】13．如图，图（1）是正方体木块，把它切去一块，可以得到如图（2），（3），（4），（5）的图形．(4) (5) (6)我们知道，图（1）所示的正方体木块有8个顶点，12条棱，6个面，请你将图（2），（3），（4），（5）中木块的顶点数，棱数，面数填入上表．观察上表，请你归纳上述各种木块的顶点数，棱数，面数之间的数量关系，这种数量关系是__________．图（6）是用虚线画出的正方体木块，请你想像一种与图（2）-（5）不同的切法，把切去一块后得到的那一块的每条棱都改画成实线，则该木块的顶点数为________，棱数为_________，面数为_________．这与你在前面所归纳的关系是否相符？。

沈佳怡直棱柱教案一、教学目标1. 让学生了解直棱柱的定义、特征和性质。

2. 培养学生观察、思考、归纳和概括能力。

3. 培养学生的空间想象能力和动手操作能力。

4. 渗透数学美的教育，提高学生学习数学的兴趣。

二、教学内容1. 直棱柱的定义及特征2. 直棱柱的性质3. 直棱柱的表面积和体积计算4. 直棱柱在实际生活中的应用三、教学重点与难点1. 重点：直棱柱的定义、特征、性质和计算方法。

2. 难点：直棱柱的表面积和体积计算，以及实际生活中的应用。

四、教学方法1. 采用直观演示法，让学生直观地了解直棱柱的特点。

2. 运用归纳总结法，引导学生发现直棱柱的性质。

3. 运用实践操作法，培养学生的动手能力。

4. 采用案例分析法，让学生了解直棱柱在实际生活中的应用。

五、教学过程1. 导入新课：通过展示直棱柱模型，引导学生观察和思考，引出本节课的主题。

2. 讲解直棱柱的定义及特征：讲解直棱柱的定义，引导学生通过观察模型，发现直棱柱的特征。

3. 讲解直棱柱的性质：通过归纳总结，让学生掌握直棱柱的性质。

4. 直棱柱的表面积和体积计算：引导学生运用数学知识，计算直棱柱的表面积和体积。

5. 直棱柱在实际生活中的应用：分析实际案例，让学生了解直棱柱在生活中的应用。

6. 课堂练习：布置相关练习题，巩固所学知识。

7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点和难点。

8. 课后作业：布置作业，巩固所学知识。

六、教学评价1. 课后作业：通过学生完成的作业，评估学生对直棱柱定义、特征、性质以及计算方法的掌握程度。

2. 课堂练习：观察学生在课堂练习中的表现，了解他们对直棱柱知识的理解和应用能力。

3. 学生反馈：收集学生的反馈意见，了解他们在学习过程中的困惑和问题，为后续教学提供改进方向。

七、教学资源1. 直棱柱模型：用于直观展示直棱柱的特点，帮助学生理解概念。

2. 教学PPT：展示直棱柱的定义、特征、性质及相关例题，方便学生理解和记忆。

3. 练习题库：提供多样化的练习题，帮助学生巩固所学知识。