第十五章虚位移原理-资料

解析法对于较复杂的系统各点的虚位移间关系比较复杂这时可建立一固定直角坐标系将系统放在一般位置写出各点的直角坐标表示为某些独立参变量的函数然后进行变分运算求及各对于较复杂的系统各点的虚位移间关系比较复杂这时可建立一固定直角坐标系将系统放在一般位置写出各点的直角坐标表示为某些独立参变量的函数然后进行变分运算求及各153虚位移自由度?确定虚位移间的关系确定虚位移间的关系点虚位移的投影
yB 0
式中xA，yA和xB，yB分别为A，B两点的直角坐标。上述方程表明这四 个坐标并非都独立。可以消去其中的某三个，从而只剩下一个独立坐标，
这一坐标完全确定了此质点系的位置。
以后我们也称系统的位置为位形。
§15-2 约束和约束方程 约束实例
曲面
图示质点A在曲面上运动，质点A的约束方程就是曲面 的曲面方程：
xB r sin l sin
考虑到有关系，所以有 r sin l sin ，所以有
xB r sin r costg
上面式子给出了A，B 两点虚位移的投影δxA ，δyA 、δxB与虚位移δφ的 关系。
§15-3 虚位移·自由度
确定虚位 移间的关系
对于任意质点系的平衡来说只是必要的，但并不是充分的（参阅刚化原理）。 非自由质点系的平衡，可以理解为主动力通过约束的平衡。约束的作用
在于： 一方面阻挡了受约束的物体沿某些方向的位移，这时该物体受到约束反
力的作用；而另一方面，约束也容许物体有可能沿另一些方向获得位移。
当质点系平衡时，主动力与约束反力之间，以及主动力与约束所许可位 移之间，都存在着一定的关系。这两种关系都可以作为质点系平衡的判据。
x2 y2 z2 l2
§15-3 虚位移·自由度
虚位移 自由度

F r F
i i
Ni
ri 0
如果质点系具有理想约束，则约束力在虚位移中所作的虚功和 为零，即 FNi ri 0 WFi Fi ri 0 （15-1）
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动力学：第十五章 虚位移原理原理
所以可得结论：对于具有理想约束的质点系，其平衡的充分 必要条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所 作的虚功的和为零。这个结论称为虚位移原理，也称虚功原 理，式（15-1）又称虚功方程。该方程也可写成解析式：
x A r cos , y A r sin xB r cos l 2 r 2 sin 2 , y B 0
广义坐标选定后， 质点系中每一质点的直 角坐标都可表示为广义
坐标的函数。
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例如：双锤摆。设只在铅直平面内摆动。
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一般地，受到s个约束的、由n个质点组成的质点系，其 自由度为 k 3n s 通常，n 与 s 很大而k 很小。为了确定质点系的位置，用适当选 择的k 个参数（相互独立），要比用3n个直角坐标和s个约束方 程方便得多。 用来确定质点系位置的独立参数，称为广义坐标。 广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可取线位移（x, y, z, s 等） 也可取角位移（如 ,, 等）。在完整约束情况下，广义坐标的 数目就等于自由度数目。 一般地，设有由n个质点组成的质点系，具有k个自由度，取q1、 q2、……、qk 为其广义坐标，质点系内各质点的坐标及矢径可表 为广义坐标的函数。
f j ( x1, y1, z1,, xn , yn , zห้องสมุดไป่ตู้ ) 0 ( j 1,2,, s)

f k ( x i ) 0, i 1 ,2 , ,3 n ； k 1,2, , r (约束数 )
x
A
f k ( xi，t ) 0,
i 1,2 , ,3n；k 1,2, , r (约束数)
y B 0 (单侧约束)
y O
B
x
y
只能限制质点或质点系单一方向运动的约束称为单侧约束。
δW Fi δri 0
r A
δW Fi δri 0
M δ F δrB 0
M δ F rδ 0
M F r
例题：例15-3
图示椭圆规机构，连杆AB长l，杆重和滑道摩擦不计，在主动力 F1 和 F2 作用下于图示位置平衡，求主动力之间的关系。 解：研究整个机构。系统的所有约束都是 完整、定常、理想的。 1） 采用分析法。选取角度为广义坐标，有
虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号 表示 虚位移。同样也可以定义虚速度。 虚位移视约束情况，可以有多个，甚至无穷多个。
与实位移不同，虚位移是约束允许的，与主动力和运动初始条件 无关的，不需经历时间的假想的微小位移。定常约束下，实位移一定 是虚位移中的一个。 F (多种形式)
δ2
k =3n-m-l k =6n-s, k =3n-s s =m+l
n——刚体数 s——约束数
空间刚体系 平面机构
自由度数为1
*自由度计算
k=?
A
解：
k=2n-s=2×3-5=1
B
k=3n-s=3×4-(2×5+1)=1
O1
O2
C
k=3×5-(2×6+2)=1
三种算法，结果相同。

§5、2虚功原理（虚位移原理）一、虚位移和实位移实位移：由于运动而实际发生的位移 dt v r d= 对应时间间隔dt ，同时满足运动微分方程虚位移：t 时刻，质点在约束允许情况下可能发生的无限小位置变更虚位移是可能位移，纯几何概念（非运动学概念），以i rδ表示（1）特点（本质）：想象中可能发生的位移，它只取决于质点在t 时刻的位置和约束方程，并不对应一段时间间隔（)0=t δ，它是一个抽象的等时变分概念（2）直观意义（求法）：对于非稳定约束，在t 时刻将约束“冻结”，然后考察在约束允许情况下的可能位移，即视约束方程中的t 不变（)0=t δ，对约束方程进行等时变分运算（同微分运算，注意)0=t δ即可得虚位移；对于稳定约束，由于约束方程中不显含t ，“冻结”已无实际意义，等时变分运算与微分运算完全相同。

Example 质点被限制在以等速u 匀速上升的水平面内运动，约束方程为 0=-ut z 0=z δ udt dz =（3）实位移是唯一的，虚位移可若干个；对稳定约束，实位移为若干个虚位移中的某一个；对非稳定约束，实位移与虚位移不一致。

见273p 图5.2－1二、理想约束实功－作用在质点上的力（含约束力i R ）在实位移rd中所作的功 dW虚功－作用在质点上的力（含约束力i R ）在任意虚位移rδ中所作的功 W δ其中 i R为第i 个质点受的约束力 若∑=⋅ii i r R 0δ体系所受诸约束反力在任意虚位移中所作元功之和等于零⇒理想约束例如 光滑曲面、曲线约束，刚性杆，不可伸长的绳索等刚性杆约束 022112111='+'-=⋅+⋅r f r f r f r f δδδδ （21f f-= 21f f =； 21r r '='δδ 刚性杆约束所允许） 由于引入了虚位移，巧妙的消取了约束反力（优点 亦是缺点）三、虚功原理（分析力学重要原理之一）（受约束力学体系的力学原理之一）体系受k 个几何约束，在主动力和约束力的共同作用下处于平衡状态，则其中每个质点均处于平衡状态，即 0=+i i R F （2,1=i ……)n 0=⋅+⋅ii i i r R r F δδ⇒对系统求和⇒0=⋅+⋅∑∑i i ii i ir R r Fδδ 对于理想约束∑=⋅ii i r R 0δ 则=W δ0=⋅∑i i ir Fδ∑=++ii iz i iy i ixz F y F x F)(δδδ 虚功原理⇒具有理想约束力学体系，其平衡的充要条件是所有主动力在任意虚位移中所作元功之和等于零 （1717 伯努利）说明：1、由=W δ0=⋅∑i i ir Fδ ，只能求出平衡条件，不能求出约束反力，欲求约束反力i R，需用拉格朗日未定乘数法2、运用虚功原理求平衡条件的方法步骤（1）确定系统自由度，选择合适的广义坐标；（2）将i r表示为广义坐标q的函数，并求出i rδ（i i i z y x δδδ,,）；（3）由虚功原理列出平衡方程，并令αδq 的系数为零，求出平衡条件。