第2讲 数列专题
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高考数学第2讲数列求和及综合问题页数:22
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第二讲 整数与数列(下)学而思页数:4
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暑假第二讲—等差数列进阶页数:2
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第二讲 初等数列页数:3
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第二讲 数列计算页数:46
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第2讲 数列专题页数:8
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专题三 第二讲 数列的综合应用页数:4
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高考数学二轮复习第一篇专题四数列第2讲数列求和及简单应用课件理
+2an+1=4S
n+1+3.
可得
a2 n 1
-
an2
+2(an+1- an)=4an+1,即
2(an+1+an)=
a2 n 1
-
an2
= (an+1+an)(an+1-an).
由于 an>0,可得 an+1-an=2.
又 a12 +2a1=4a1+3, 解得 a1=-1(舍去)或 a1=3.
所以{an}是首项为 3,公差为 2 的等差数列,通项公式为 an=2n+1.
第二个使用累积的方法、第三个可以使用待定系数法化为等比数列(设 an+1+λ =p(an+λ),展开比较系数得出λ);(3)周期数列,通过验证或者推理得出数列的 周期性后得出其通项公式.
热点训练 1:(1)(2018·湖南长沙雅礼中学、河南省实验中学联考)在数列{an}
中,a1=2, an1 = an +ln(1+ 1 ),则 an 等于( )
n
所以
1 =2（1- 1 + 1 - 1 +…+ 1 -
1
）
S k 1 k
223
n n1
=2(1- 1 ) n 1
= 2n . n 1
答案: 2n n 1
3.(2015·全国Ⅱ卷,理16)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则
Sn=
.
解析:因为 an+1=S n+1-Sn,所以 Sn+1-Sn=Sn+1Sn,
第2讲 数列求和与数列不等式
解 由3a1，2a2，a3成等差数列， 得3a1＋a3＝4a2，即3a1＋a1q2＝4a1q， 两边同时除以a1得q2－4q＋3＝0， 解得q＝1(舍去)或q＝3, 由a4＝27得a1×33＝27，所以a1＝1, 所以an＝a1qn－1＝3n－1.
(2)设
b1＝a1，bbn＋n 1＝an＋1，cn＝
易错 提醒
(1)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一 项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项. (2)将通项公式裂项时，有时候需要调整前面的系数，才能使裂 项前后的式子相等.
跟踪演练2 已知数列{an}是公比q≠1的等比数列，且a4＝27,3a1，2a2， a3成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式；
解 Sn＝－nn－ 2 1，Tn＝2n－1， 代入可得，t·2n－nn2－1－nn＋ 2 1>0，即 t>n22nmax， 令 cn＝n22n， 则 cn＋1－cn＝n2＋n＋112－n22n＝－n2＋2n＋21n＋1>0⇒n≤2，
所以n≤2时，cn＋1>cn；n≥3时cn＋1<cn.
因此，(cn)max＝c3＝98⇒t>98. 即实数 t 的取值范围是98，＋∞.
(2)已知数列{bn}满足bn＝6n－8，其前n项和为Tn，若Sn≥(－1)n·λ·Tn对 任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.
解 因为bn＝6n－8， 所以 Tn＝n－2＋26n－8＝n(3n－5)， 由(1)得 Sn＝n2＋n1·an＝n·2n＋1， 所以2n＋1≥(－1)n·λ·(3n－5)恒成立， 当n为偶数时，2n＋1≥λ·(3n－5)恒成立， 所以 λ≤32nn－＋15min， 设 cn＝32nn－＋15，
2 考点二 裂项相消法
(2)设
b1＝a1，bbn＋n 1＝an＋1，cn＝
易错 提醒
(1)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一 项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项. (2)将通项公式裂项时，有时候需要调整前面的系数，才能使裂 项前后的式子相等.
跟踪演练2 已知数列{an}是公比q≠1的等比数列，且a4＝27,3a1，2a2， a3成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式；
解 Sn＝－nn－ 2 1，Tn＝2n－1， 代入可得，t·2n－nn2－1－nn＋ 2 1>0，即 t>n22nmax， 令 cn＝n22n， 则 cn＋1－cn＝n2＋n＋112－n22n＝－n2＋2n＋21n＋1>0⇒n≤2，
所以n≤2时，cn＋1>cn；n≥3时cn＋1<cn.
因此，(cn)max＝c3＝98⇒t>98. 即实数 t 的取值范围是98，＋∞.
(2)已知数列{bn}满足bn＝6n－8，其前n项和为Tn，若Sn≥(－1)n·λ·Tn对 任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.
解 因为bn＝6n－8， 所以 Tn＝n－2＋26n－8＝n(3n－5)， 由(1)得 Sn＝n2＋n1·an＝n·2n＋1， 所以2n＋1≥(－1)n·λ·(3n－5)恒成立， 当n为偶数时，2n＋1≥λ·(3n－5)恒成立， 所以 λ≤32nn－＋15min， 设 cn＝32nn－＋15，
2 考点二 裂项相消法
专题2第2讲数列求和及其综合应用-2021届高三高考数学二轮复习课件
【解析】 (1)由(n＋2)a2n＋1－(n＋1)a2n＋anan＋1＝0， 可得[(n＋2)an＋1－(n＋1)an]×(an＋1＋an)＝0 又因为an>0，所以aan＋n 1＝nn＋ ＋12.
又a1＝1，则an＝aan－n 1·aann－ －12·…·aa21·a1 ＝n＋n 1·n－n 1·…·32·1＝n＋2 1.故选B．
q(p≠0,1，q≠0)，第一个使用累加的方法、第二个使用累积的方法、第
三个可以使用待定系数法化为等比数列(设an＋1＋λ＝p(an＋λ)，展开比较
系数得出λ)．
(3)周期数列，通过验证或者推理得出数列的周期性后得出其通项公
式．
1．(2019·洛阳三模)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln
● (文科)
年份 卷别 Ⅰ卷
2020 Ⅱ卷 Ⅲ卷
题号 16 14 17
考查角度 数列的递推公式的应用，以及数列的 并项求和
等差数列的前n项和 等比数列通项公式基本量的计算，以 及等差数列求和公式的19 Ⅱ卷 Ⅲ卷
题号 14,18
18 6,14
考查角度 等比数列求和；等差数列的通项公式 以及求和 等比数列的通项公式、等差数列的求 和 等比数列的通项公式，等差数列的通 项公式以及求和
第二部分
专题篇•素养提升()
专题二 数列(文理)
第2讲 数列求和及其综合应用(文理)
1 解题策略 • 明方向 2 考点分类 • 析重点 3 易错清零 • 免失误 4 真题回放 • 悟高考 5 预测演练 • 巧押题
● 1．高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消 等方法求数列的前n项和，难度中等偏下．
【解析】 (1)由题意，设an＝a1qn－1(q>0)，
07第一部分 板块二 专题二 数 列 第2讲 数列求和及数列的简单应用(大题)
本课结束
① ②
＝2＋2×411－－22n－1－(2n－1)·2n＋1＝－6＋2n＋2－(2n－1)·2n＋1＝－6＋2n＋1(3－2n)，
∴Tn＝6＋(2n－3)·2n＋1.
2
PART TWO
真题体验 押题预测
真题体验 (2019·全国Ⅰ，文，18)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S9＝－a5. (1)若a3＝4，求{an}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
解 由(1)知，当an＝5时，Sn＝5n. 当 an＝2n＋1 时，a1＝3，则 Sn＝n3＋22n＋1＝n2＋2n(n∈N*).
热点二 数列的证明问题
判断数列是否为等差或等比数列的策略 (1)将所给的关系式进行变形、转化，以便利用等差数列和等比数列的定义进行 判断； (2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列，则只需说明某连续三项(如前三项) 不是等差(等比)数列即可.
＝141－n＋1 1＝4nn＋1.
跟踪演练3 (2019·龙岩模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＝3，S6＝36. (1)求数列{an}的通项公式；
解 ∵a2＝3，∴a1＋d＝3， ∵S6＝36，∴6a1＋15d＝36， 则a1＝1，d＝2， ∴an＝2n－1.
(2)若数列{bn}满足bn＝2n·an，n∈N*，求数列{bn}的前n项和Tn.
板块二 专题二 数 列
内容索引
NEIRONGSUOYIN
热点分类突破 真题押题精练
1
PART ONE
热点一 等差、等比数列基本量的计算 热点二 数列的证明问题 热点三 数列的求和问题
热点一 等差、等比数列基本量的计算
解决有关等差数列、等比数列问题，要立足于两个数列的概念，设出相应基本量， 充分利用通项公式、求和公式、数列的性质确定基本量.解决综合问题的关键在于 审清题目，弄懂来龙去脉，揭示问题的内在联系和隐含条件，形成解题策略.
高中数学课件-第一部分 专题二 第二讲 递推公式、数列求和及综合应用
专题二
第二讲 递推公式、数列求和及综合应用
活用•经典结论 主观题•专项练 客观题·专项练
题型·综合练
专题•限时训练-13-
类型一
类型二
类型三
[感悟方法]
1．已知 Sn 求 an 的步骤 (1)求出 a1. (2)利用 an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当 n≥2 时 an 的表达式． (3)对 n＝1 时的结果进行检验，看是否符合 n≥2 时 an 的表达 式，如果符合，则可以把数列的通项公式整合；如果不符合，
专题二
第二讲 递推公式、数列求和及综合应用
活用•经典结论
主观题•专项练 客观题·专项练
题型·综合练
专题•限时训练-3-
4．常用的拆项公式(其中 n∈N*) (1)nn1＋1＝n1－n＋1 1； (2)nn1＋k＝ 1kn1－n＋1 k； (3)2n－112n＋1＝122n1－1－2n1＋1；
专题二
专题二
类型一
第二讲 递推公式、数列求和及综合应用
活用•经典结论 主观题•专项练 客观题·专项练
题型·综合练
专题•限时训练-9-
类型二
类型三
正确写出通项公式(用 n≥2，要验证 n＝1)得 1 分
写出 bn 并正确裂项得 2 分 若 bn 正确，裂项不正确扣 1 分
正确写出求和公式得 2 分
正确写出结论(无论是否合并)得 2 分
所以 an＝2n2－1(n≥2)．(4 分)
又由题设可得 a1＝2，符合上式，
从而{an}的通项公式为 an＝2n2－1.(6 分)
专题二
类型一
第二讲 递推公式、数列求和及综合应用
活用•经典结论 主观题•专项练 客观题·专项练
大学数学(高数微积分)专题三第2讲数列求和及数列综合应用(课堂讲义)
(2)因为bn＝an＋(－1)nln an
＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1)
＝2·3n－1＋(－1)n[ln 2＋(n－1)ln 3]
热点分类突破
＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，
所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln 2－
再验证是否可以合并为一个公式．
热点分类突破
(2013·湖南)设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝(－1)nan －21n，n∈N*，则：
(1)a3＝________；
(2)S1＋S2＋…＋S100＝________.
本
讲 栏
解析
∵an＝Sn－Sn－1＝(－1)nan－21n－(－1)n－1an－1＋2n1－1，
本 解 (1)由已知，得当 n≥1 时，
讲
栏 目
an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1
开
关 ＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.
而a1＝2，符合上式， 所以数列{an}的通项公式为 an＝22n－1.
热点分类突破
(2)由 bn＝nan＝n·22n－1 知
本 讲 栏
即na＋n＋11－ann＝1，又a22－a11＝1，
目
开 关
故数列ann是首项为a11＝1，公差为1的等差数列，
所以ann＝1＋(n－1)×1＝n，所以 an＝n2，
所以数列{an}的通项公式为 an＝n2，n∈N*.
热点分类突破
(3)证明 a11＋a12＋a13＋…＋a1n＝1＋14＋312＋412＋…＋n12 <1＋14＋2×1 3＋3×1 4＋…＋nn1－1
2024版高考数学二轮总复习第1篇核心专题提升多维突破专题2数列第2讲数列求和及其综合应用课件
真题研究·悟高考
1. (2023·全国新高考Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为 d，且 d>1.令 bn ＝n2a＋n n，记 Sn，Tn 分别为数列{an}，{bn}的前 n 项和．
(1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式； (2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d.
考点突破·提能力
核心考点1 求数列的通项公式
核 心 知 识·精 归 纳
求数列通项公式的方法 (1)Sn 与 an 的关系：若数列{an}的前 n 项和为 Sn，通项公式为 an，则 an＝SS1n，－nS＝n－11，，n≥2. (2)由递推关系式求通项公式：①构造法；②累加法；③累乘法．
角度1：由Sn与an的关系求通项公式
方 法 技 巧·精 提 炼
根据所求的结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化 (1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． (2)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
加 固 训 练·促Байду номын сангаас提 高
1.数列{an}满足：a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2＋(n－1)·2n＋1，n∈N*. 求数列{an}的通项公式．
2. (2023·全国新高考Ⅱ卷){an}为等差数列，bn＝a2na－n，6， n为n为 偶奇 数数 ，， 记 Sn，Tn 分别为数列{an}，{bn}的前 n 项和，S4＝32，T3＝16.
(1)求{an}的通项公式； (2)证明：当n>5时，Tn>Sn.
【解析】 (1)设等差数列{an}的公差为d， 而 bn＝a2na－n，6，n＝n＝2k，2k－1， k∈N*， 则b1＝a1－6，b2＝2a2＝2a1＋2d，b3＝a3－6＝a1＋2d－6， 于是ST43＝＝44aa11＋＋64dd＝－3122，＝16， 解得 a1＝5，d＝2，an＝a1＋(n－1)d
四年级下册数学讲义-竞赛专题：第二讲-数列与数表(含答案解析)人教版
数列与数表知识概述1、数列：主要包括⑴递增数列(等差数列，等比数列)，等差数列为重点考察对象。
⑵周期数列；例如：1，2，4，7，1，2，4，7，1，2，4，7，…⑶复合数列；例如：1，3，2，6，3，9，4，12，5，15…⑷特殊数列；例如：斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21…2、等差数列通用公式：通项公式：第n项=首项 +（项数– 1）×公差项数公式：项数=（末项–首项）÷公差 + 1求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷23、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。
4、数表规律给出几个具体的、特殊的图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论。
具体方法和步骤是：⑴通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；⑵猜想符合规律的一般性结论；⑶验证或证明结论是否正确。
在杯赛考试中主要将图形规律与等差数列结合到一起来考察。
（1）在数列3、6、9……，201中共有多少数？ （2）在数列3、6、9……，201和是多少？ （3）如果继续写下去，第201个数是多少？ 【解析】（1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式： 项数=（末项-首项）÷公差+1,便可求出。
项数=（201-3）÷3+1=67（2）求和公式=（首项+末项）×项数÷2 =（3+201）×67÷2 = 102×67 =6834（3）根据公式：末项=首项+公差⨯（项数-1）末项=3+3⨯（201-1）=603， 第201个数是603添在图中的三个正方形内的数具有相同的规律，请你根据这个规律， 确定出A= B = C= ；【解析】 第一组 （1+2）×3=9 第二组 （2+3）×4=20 第三组 （3+4）×5=35 由分析得：A=35，B=4，C=5.经过观察与归纳找出数与图的规律。
专题三 第2讲 数列求和及其综合应用
所以S100＝P107－Q7 ＝107×22＋214－21－－228＝11 302.
2 考点二 数列的综合问题
PART TWO
核心提炼
数列与函数、不等式的综合问题是高考命题的一个方向，此类问题突破 的关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项或前 n项和，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩 进行不等式的证明.
(2)(2021·长春模拟)已知等比数列{an}满足：a1＋a2＝20，a2＋a3＝80.数
列{bn}满足bn＝log2an，其前n项和为Sn，若 6
Sn＋bn11≤λ恒成立，则λ的最小
值为__2_3__.
解析 设等比数列{an}的公比为 q，由题意可得aa11＋q＋a1aq1＝q2＝208，0， 解得a1＝4，q＝4， 故{an}的通项公式为an＝4n，n∈N*. bn＝log2an＝log24n＝2n， Sn＝2n＋12n(n－1)·2＝n2＋n，
例4 (1)(2021·淄博模拟)已知在等比数列{an}中，首项a1＝2，公比q>1，
a2，a3是函数f(x)＝13 x3－6x2＋32x的两个极值点，则数列{an}的前9项和 是__1_0_2_2__.
解析 由 f(x)＝13x3－6x2＋32x，得 f′(x)＝x2－12x＋32， 又因为 a2，a3 是函数 f(x)＝13x3－6x2＋32x 的两个极值点， 所以a2，a3是函数f′(x)＝x2－12x＋32的两个零点， 故aa22＋ ·a3a＝3＝321，2，
专题三 数 列
考情分析
KAO QING FEN XI
1.数列求和重点考查分组转化、错位相减、裂项相消三种求和方法. 2.数列的综合问题，一般以等差数列、等比数列为背景，与函数、不
2 考点二 数列的综合问题
PART TWO
核心提炼
数列与函数、不等式的综合问题是高考命题的一个方向，此类问题突破 的关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求出数列的通项或前 n项和，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，通过放缩 进行不等式的证明.
(2)(2021·长春模拟)已知等比数列{an}满足：a1＋a2＝20，a2＋a3＝80.数
列{bn}满足bn＝log2an，其前n项和为Sn，若 6
Sn＋bn11≤λ恒成立，则λ的最小
值为__2_3__.
解析 设等比数列{an}的公比为 q，由题意可得aa11＋q＋a1aq1＝q2＝208，0， 解得a1＝4，q＝4， 故{an}的通项公式为an＝4n，n∈N*. bn＝log2an＝log24n＝2n， Sn＝2n＋12n(n－1)·2＝n2＋n，
例4 (1)(2021·淄博模拟)已知在等比数列{an}中，首项a1＝2，公比q>1，
a2，a3是函数f(x)＝13 x3－6x2＋32x的两个极值点，则数列{an}的前9项和 是__1_0_2_2__.
解析 由 f(x)＝13x3－6x2＋32x，得 f′(x)＝x2－12x＋32， 又因为 a2，a3 是函数 f(x)＝13x3－6x2＋32x 的两个极值点， 所以a2，a3是函数f′(x)＝x2－12x＋32的两个零点， 故aa22＋ ·a3a＝3＝321，2，
专题三 数 列
考情分析
KAO QING FEN XI
1.数列求和重点考查分组转化、错位相减、裂项相消三种求和方法. 2.数列的综合问题，一般以等差数列、等比数列为背景，与函数、不
六年级下册数学讲义-培优专题讲练：第2讲：数列与数表(教师版)
第二讲数列与数表1.等差数列：若干个数排成一列,称为数列。
数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。
从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。
例如:等差数列:3、6、9、…、96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。
计算等差数列的相关公式:通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。
某些问题以转化为求若干个数的和解决这些问题时先要判断这些数是否成为等差数列，如果是等差数列才可以运用它的一些公式。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
2.斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34…这个以1，1分别为第1项、第2项，以后各项都等于前两项之和的无穷数列，就是斐波那契数列。
3.周期数列与周期：从某一项开始，重复出现同一段数的数列称为周期数列，其重复出现的这一段数的个数则称为此数列的周期。
例如： 8，1，2，3，8，4，5，7，6，3，8，4，5，7，6，3，8，4，5，7，6……这是一个周期数列，周期为6。
4.寻找数列的规律，通常有以下几种办法：1寻找各项与项数间的关系。
2考虑此项与它前一项之间的关系。
3考虑此项与它前两项之间的关系。
4数列本身要与其他数列对比才能发现其规律，这类情形稍微复杂些。
5有时可以将数列的项恰当分组以寻求规律。
（“分组”是难点）6常常需要根据题中的已知条件求出数列的若干项之后，找到周期，探求规律。
1.逐步了解首项、末项、项数、公差与和之间的关系。
2.在解题中应用数列相关知识。
高考数学二轮复习专题三数列第2讲数列的求和及综合应用课件文1205340-数学备课【全免费】
＝2n－1－1， 1－2
由 b1＝2，所以 bn＝2n－1＋1. (3)cn＝bnbann＋1＝bnb＋nb1－n＋b1 n＝b1n－bn1＋1， 所以 Tn＝c1＋c2＋…cn＝b11－b12＋b12－b13＋…＋ b1n－bn1＋1＝b11－bn1＋1＝12－2n＋1 1.
命题视角 3 错位相减法求和
cn＝TbnTn＋n＋1 1＝n2（2nn＋＋11）2＝n12－（n＋1 1）2， 所以 An＝1－（n＋1 1）2＝（nn2＋＋12）n 2.
因此{An}是单调递增数列， 所以当 n＝1 时，An 有最小值 A1＝1－14＝34；An 没有 最大值．
[规律方法] 1．给出 Sn 与 an 的关系求 an，常用思路是：一是利 用 Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为 an 的递推关系，再求其通项 公式；二是转化为 Sn 的递推关系，先求出 Sn 与 n 之间的 关系，再求 an. 2．形如 an＋1＝pan＋q(p≠1，q≠0)，可构造一个新的 等比数列．
[变式训练] (2017·太原质检)已知数列{an}的前 n 项 和 Sn＝2n＋1－2，数列{bn}满足 bn＝an＋an＋1(n∈N*)．
(1)求数列{bn}的通项公式； (2)若 cn＝log2an(n∈N*)，求数列{bn·cn}的前 n 项和 Tn. 解：(1)由于 Sn＝2n＋1－2，n∈N*，
＋2n.
[规律方法] 1．在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思 想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求 和．在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数 n 进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个表达式． 2．分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组； (2)根据正号、负号分组．
从而{an}的通项公式为 an＝2n2－1. an
由 b1＝2，所以 bn＝2n－1＋1. (3)cn＝bnbann＋1＝bnb＋nb1－n＋b1 n＝b1n－bn1＋1， 所以 Tn＝c1＋c2＋…cn＝b11－b12＋b12－b13＋…＋ b1n－bn1＋1＝b11－bn1＋1＝12－2n＋1 1.
命题视角 3 错位相减法求和
cn＝TbnTn＋n＋1 1＝n2（2nn＋＋11）2＝n12－（n＋1 1）2， 所以 An＝1－（n＋1 1）2＝（nn2＋＋12）n 2.
因此{An}是单调递增数列， 所以当 n＝1 时，An 有最小值 A1＝1－14＝34；An 没有 最大值．
[规律方法] 1．给出 Sn 与 an 的关系求 an，常用思路是：一是利 用 Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为 an 的递推关系，再求其通项 公式；二是转化为 Sn 的递推关系，先求出 Sn 与 n 之间的 关系，再求 an. 2．形如 an＋1＝pan＋q(p≠1，q≠0)，可构造一个新的 等比数列．
[变式训练] (2017·太原质检)已知数列{an}的前 n 项 和 Sn＝2n＋1－2，数列{bn}满足 bn＝an＋an＋1(n∈N*)．
(1)求数列{bn}的通项公式； (2)若 cn＝log2an(n∈N*)，求数列{bn·cn}的前 n 项和 Tn. 解：(1)由于 Sn＝2n＋1－2，n∈N*，
＋2n.
[规律方法] 1．在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思 想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求 和．在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数 n 进行讨论，最后再验证是否可以合并为一个表达式． 2．分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组； (2)根据正号、负号分组．
从而{an}的通项公式为 an＝2n2－1. an
高考数学二轮复习专题三数列第2讲数列的求和及综合应
第2讲 数列的求和及综合应用
高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出 现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和， 难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、 函数交汇渗透.
真题感悟 1.(2017·全国Ⅲ卷)设数列{an}满足 a1＋3a(2n＋1)(b21＋b2n＋1)＝(2n＋1)bn＋1， 又 S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，所以 bn＝2n＋1. 令 cn＝bann，则 cn＝2n2＋n 1， 因此 Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝32＋252＋273＋…＋22nn－－11＋2n2＋n 1， 又12Tn＝232＋253＋274＋…＋2n2－n 1＋22nn＋＋11， 两式相减得12Tn＝32＋12＋212＋…＋2n1－1－22nn＋＋11， 所以 Tn＝5－2n2＋n 5.
温馨提醒 (1)裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导 致错误. (2)an＝SS1n，－nS＝n－11，，n≥2，忽略 n≥2 的限定，忘记第一项单独求解 与检验.
2.数列与函数、不等式的交汇 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所 满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲 线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列 与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的 综合问题一般以数列为载体，考查最值问题、不等关系或恒成 立问题.
热点一 数列的求和问题 命题角度1 分组转化求和 【例 1－1】 (2017·郑州质检)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋2 n，
n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前 2n 项和.
解 (1)当 n＝1 时，a1＝S1＝1； 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2 n－(n－1)2＋2 (n－1)＝n. 而 a1 也满足 an＝n，故数列{an}的通项公式为 an＝n. (2)由(1)知 an＝n，故 bn＝2n＋(－1)nn. 记数列{bn}的前 2n 项和为 T2n， 则 T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n). 记 A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n， 则 A＝2(11－－222n)＝22n＋1－2， B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n. 故数列{bn}的前 2n 项和 T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出 现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和， 难度中档偏下；2.在考查数列运算的同时，将数列与不等式、 函数交汇渗透.
真题感悟 1.(2017·全国Ⅲ卷)设数列{an}满足 a1＋3a(2n＋1)(b21＋b2n＋1)＝(2n＋1)bn＋1， 又 S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，所以 bn＝2n＋1. 令 cn＝bann，则 cn＝2n2＋n 1， 因此 Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝32＋252＋273＋…＋22nn－－11＋2n2＋n 1， 又12Tn＝232＋253＋274＋…＋2n2－n 1＋22nn＋＋11， 两式相减得12Tn＝32＋12＋212＋…＋2n1－1－22nn＋＋11， 所以 Tn＝5－2n2＋n 5.
温馨提醒 (1)裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导 致错误. (2)an＝SS1n，－nS＝n－11，，n≥2，忽略 n≥2 的限定，忘记第一项单独求解 与检验.
2.数列与函数、不等式的交汇 数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所 满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲 线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列 与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的 综合问题一般以数列为载体，考查最值问题、不等关系或恒成 立问题.
热点一 数列的求和问题 命题角度1 分组转化求和 【例 1－1】 (2017·郑州质检)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋2 n，
n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前 2n 项和.
解 (1)当 n＝1 时，a1＝S1＝1； 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2 n－(n－1)2＋2 (n－1)＝n. 而 a1 也满足 an＝n，故数列{an}的通项公式为 an＝n. (2)由(1)知 an＝n，故 bn＝2n＋(－1)nn. 记数列{bn}的前 2n 项和为 T2n， 则 T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n). 记 A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n， 则 A＝2(11－－222n)＝22n＋1－2， B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n. 故数列{bn}的前 2n 项和 T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.
专题三 第二讲 数列的综合应用
解析： 两点坐标代入f(x)得 解析：将A、B两点坐标代入 得 、 两点坐标代入 1 1 ＝ab2 a＝ ＝ 2 ，解得 8 ， 1＝ab3 b＝2 ＝ ＝ 1 1 － ∴f(x)＝ ·2x，∴f(n)＝ ·2n＝2n 3， ＝ ＝ 8 8 ∴an＝log2f(n)＝n－3. ＝ － ， － ≤ ， ≤ 令an≤0，即n－3≤0，n≤3. 项小于或等于零， ∴数列前3项小于或等于零，故S3或S2最小． 数列前 项小于或等于零 最小． S3＝a1＋a2＋a3＝－ ＋(－1)＋0＝－ ＝－2＋ － ＋ ＝－ ＝－3.
＋
nban－1 an－1＋n－1 －
[解] 解
nban－1 (1)∵a1＝b＞0，an＝ ∵ ＞ ， ， an－1＋n－1 －
－ n 1 1 n－1 ∴ a ＝ b＋ b· ， an－1 n n 1 1 令cn＝a ，则cn＝b＋bcn－1， n 1 1 ①当b＝1时，cn＝1＋cn－1，且c1＝a ＝b＝1 ＝ 时 ＋
解答题
数列的实际 数列的实际应用问题一般是等差数列或等比 解答题为 应用 数列通项、求和问题，题目难度一般较大 数列通项、求和问题，题目难度一般较大. 主
[联知识 串点成面 联知识 串点成面] 数列求和的方法技巧： 数列求和的方法技巧： (1)转化法： 转化法： 转化法 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列， 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数 列通项拆开或变形，可转化为几个等差、 列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常 见的数列，即先分别求和，然后再合并． 见的数列，即先分别求和，然后再合并．
(2)Tn＝1×2＋4×5＋42×8＋…＋4n－1(3n－1)，① × ＋ × ＋ ＋ － ，
－
高三数学二轮复习：专题二 数列
解答
(2)若数列an＋bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列，求数列{bn}的前 n 项和. 解 因为数列{an＋bn}是首项为1，公比为2的等比数列， 所以an＋bn＝2n－1， 因为an＝2n－1，所以bn＝2n－1－(2n－1). 设数列{bn}的前n项和为Sn， 则Sn＝(1＋2＋4＋…＋2n－1)－[1＋3＋5＋…＋(2n－1)] ＝11－－22n－n1＋22n－1＝2n－1－n2， 所以数列{bn}的前n项和为2n－1－n2(n∈N*).
热点一 等差数列、等比数列的运算
1.通项公式 等差数列：an＝a1＋(n－1)d； 等比数列：an＝a1·qn－1. 2.求和公式 等差数列：Sn＝na1＋ 2 an＝na1＋nn2－1d； 等比数列：Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq(q≠1).
3.性质 若m＋n＝p＋q， 在等差数列中am＋an＝ap＋aq； 在等比数列中am·an＝ap·aq.
板块三 专题突破 核心考点
专题二 数 列
第1讲 等差数列与等比数列
[考情考向分析]
1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小 题形式出现. 2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重 点，考查分析问题、解决问题的综合能力.
内容索引
热点分类突破 真题押题精练
热点分类突破
押题依据 解析 答案
2.在等比数列{an}中，a3－3a2＝2，且5a4为12a3和2a5的等差中项，则
{an}的公比等于
A.3
B.2或3
√C.2
D.6
押题依据 等差数列、等比数列的综合问题可反映知识运用的综合性和 灵活性，是高考出题的重点.
押题依据 解析 答案
3.已知各项都为正数的等比数列{an}满足 a7＝a6＋2a5，存在两项 am，an 使得 am·an＝4a1，则m1 ＋4n的最小值为
(2)若数列an＋bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列，求数列{bn}的前 n 项和. 解 因为数列{an＋bn}是首项为1，公比为2的等比数列， 所以an＋bn＝2n－1， 因为an＝2n－1，所以bn＝2n－1－(2n－1). 设数列{bn}的前n项和为Sn， 则Sn＝(1＋2＋4＋…＋2n－1)－[1＋3＋5＋…＋(2n－1)] ＝11－－22n－n1＋22n－1＝2n－1－n2， 所以数列{bn}的前n项和为2n－1－n2(n∈N*).
热点一 等差数列、等比数列的运算
1.通项公式 等差数列：an＝a1＋(n－1)d； 等比数列：an＝a1·qn－1. 2.求和公式 等差数列：Sn＝na1＋ 2 an＝na1＋nn2－1d； 等比数列：Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq(q≠1).
3.性质 若m＋n＝p＋q， 在等差数列中am＋an＝ap＋aq； 在等比数列中am·an＝ap·aq.
板块三 专题突破 核心考点
专题二 数 列
第1讲 等差数列与等比数列
[考情考向分析]
1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小 题形式出现. 2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重 点，考查分析问题、解决问题的综合能力.
内容索引
热点分类突破 真题押题精练
热点分类突破
押题依据 解析 答案
2.在等比数列{an}中，a3－3a2＝2，且5a4为12a3和2a5的等差中项，则
{an}的公比等于
A.3
B.2或3
√C.2
D.6
押题依据 等差数列、等比数列的综合问题可反映知识运用的综合性和 灵活性，是高考出题的重点.
押题依据 解析 答案
3.已知各项都为正数的等比数列{an}满足 a7＝a6＋2a5，存在两项 am，an 使得 am·an＝4a1，则m1 ＋4n的最小值为
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第2讲 数列专题
【知识梳理】
一、等差数列
1.相关概念
按一定次序排列的一列数称为数列。
数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，a （n+1），…简记为｛a n ｝。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。
最后一个数叫末项。
通项公式：数列的第n 项a n 与项的序数n 之间的关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。
2．等差数列的定义：
如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，我们把这样的数列称之为等差数列。
前后两项的差叫做等差数列的公差，常用字母d 表示。
3．计算等差数列的相关公式：
通项公式：1
(1)n n d a a =+-（n 为正整数） 前项和公式:
1()2n n a a +（n 为正整数）
4.等差中项 如果在a 和b 中间插入一个数A ，使a 、A 、b 成等差数列，那么A 叫做a 和b 的等差中项。
如a 、b 、c 三项成等差数列，则2b=(a+c),这是等差中项的基本性质。
一、 求首项、末项
1、（1）一个等差数列有13项．每一项都比它的前一项大2，并且首项为33，那么末项是多少？
（2）一个等差数列有13项．每一项都比它的前一项小2，并且首项为33，那么末项是多少？
n
2、（1）一个等差数列有10项．每一项都比它的前一项大7，并且末项为125，那么首项是多少？
（2）一个等差数列有10项．每一项都比它的前一项小7，并且末项为125，那么首项是多少？
3、如图所示，有一堆按规律摆放的砖．从上往下数，第1层有1块砖，第2层有3块砖，第3层有5块砖，……．按
照这个规律，第101层有多少块砖？
二、求公差
4、（1）一个等差数列首项为7，第10项为61，那么这个等差数列的公差等于多少？
（2）一个等差数列第4项项为7，第10项为61，那么这个等差数列的公差等于多少？
5、墨莫先在黑板上写了一个等差数列，刚写完小高就冲上讲台，擦去了其中的大部分数，只留下第四个数31和第十个数73．这个等差数列的公差是_________，首项是_________．
三、求项数
6、（1）一个等差数列首项为5，末项为93，公差为8，那么这个等差数列一共有多少项？
（2）一个等差数列第3项为50，末项为130，公差为8，那么这个等差数列一共有多少项？
四、等差数列求和
1、计算：（1）36912151821242730
+++++++++；
（2）4137332925211713951
++++++++++．
2、计算：（1）511177783+++++L ；（2）193187181103++++L ．
【例题1】在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？
【练习1】在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？508是这个数列的第几项？
【例题2】求自然数中被10除余1的所有两位数的和。
【练习2】求不超过500的所有被11整除的自然数的和。
【例题3】计算（1+3+5+...+l99l)-（2+4+6+ (1990)
【例题4】墨莫读一本课外书，第一天读了15页，以后每天都比前一天多读3页，最后一天读了36页，刚好把书读完．请问：墨莫一共读了多少天？这本课外书共有多少页？
【练习3】小华把一些珠子放在桌子上的15个盒子里．已知盒子中的珠子数按盒子从左往右的顺序成一个等差数列，并且从左数第8个盒子中有24颗珠子．请问：这15个盒子中一共有多少颗珠子？
【练习4】墨莫为了减肥开始长跑，他第一天跑了600米，以后每天他都比前一天多跑40米，那么前30天里他一共跑了多少米？
第二部分：等比数列
等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都相等，这个数列就叫做等比数列。
前后两项的比值叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
【例题5】一个等比数列的第三项与第四项分别是9与27，求它的第一项？
【练习5】一个等比数列的第三项与第四项的和是24，第一项与第二项的和为6，求第五项？
第三部分特殊数列
1．可将一列数分成两列数，分别找出它们各自的变化规律。
这样的数列我们一般称之为双数列，即相隔的数存在着一定的规律。
比如：3、4、6、6、9、8、( )、( )。
2．一个数列中的数都等于自身项数与项数的乘积，即完全平方数列。
如：1、4、9、16、( )、( )。
3．斐波那契数列，即三个数为一组，每组中前两个数相加的和等于第三个数。
如：1、1、2、3、5、8、13、( )、( )。
4．相邻的两个数十位上的数字有一定的规律，个位上的数字也有一定的规律。
如：12，23，34，( )、( )。
5．其它某种数的排列，如质数的排列：2，3，5，7，11，13，17，( )，( )。
6．运算数列。
有些数列中的数是前面的数通过某种运算得到的。
如2，2，3，5，14，69，（），（）。
【例题7】完成填空：
（1）2，3，5，9，17，（），（）
（2）1，3，4，7，11，（），（）
（3）1，3，7，13，21，（），（）
（4）3，5，3，10，3，15，（），（）
（5）8，3，9，4，10，5，（），（）
（6）2，5，10，17，26，（），（）
【例题8】观察下列由三个数组成的数组：第1组是（1，2，4），第2组是（2，4，8），第3组是（3，6，12），……那么，第2010组中的三个数之和是______.
【课后作业】
1、等差数列：1，5，9，13，……，那么第101项是________．
2、一个等差数列共有10项．每一项都比它的前一项大2，末项为75，那么首项是________．
3、一个等差数列共有10项．每一项都比它的前一项小2，末项为75，那么首项是________．
4、一个等差数列首项为13，第9项为29，这个等差数列的公差为_______．
5、某剧院有25排座位,后一排比前一排多两个座位,最后一排有70个座位.这个剧院一共有多少个座位?
6、计算1+3+5+……+99的值
7、计算2+4+8+16+……+1024的值。