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第二讲 数列计算

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4.1数列的概念(第二课时)课件(人教版)

4.1数列的概念(第二课时)课件(人教版)


初生兔子 成熟兔子 第1月 第2月 第3月
第4月 第5月
兔子总数（对）
1+0=1 0+1=1 1+1=2
1+2=3 2+3=5
斐波那契数列：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，...
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12
a3 a2 a1
a4 a3 a2 a5 a4 a3 ......
an an-1 an2
n N * 且n 3 此数列的递推公式
递推公式：如果数列{an}的第1项或前几项已知， 并且数列{an}的第n项an与它的前一 项an－1(或前几项)的关系可以用一 个式子来表示，那么这个式子就叫
做这个数列的递推公式．
an
an1
1
nn 1
n
2，求an
an
2-
1 n
已知数列{an}满足 a1＝1，ln an－ln an－1＝1(n≥2)，求 an.
an en1
a2 a1 ( 5 ) a3 a2 ( 5 ) a4 a3 ( 5 )
......
an an-1 ( 5 )
n N * 且n 2 此数列的递推公式
意大利数学家斐波那契，提出了一个关于兔子繁殖的问题：
假定在不死的情况下，一对兔子每月可以生下一对 兔子（一雌一雄），初生兔子在第三个月又能生一 对兔子。由一对初生兔子开始，50个月后会有多少 对兔子？
8
A 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln
1＋1 n
，则
an＝(
)
A．2＋ln n
B.2＋(n－1)ln n
C．2＋nln n
小学四年级奥数第二讲__等差数列

小学四年级奥数第二讲__等差数列

等差数列像1，2，3，…，99，100这样的一串数我们称为“等差数列”，下面介绍有关等差数列的概念。

的概念。

若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后后项与前项之差后项与前项之差都相等的数称为等差数列，后项与前项之差一项称为末项。

从第一项开始，后项与前项之差都相等的数称为等差数列，称为公差，数列中数的个数称为项数。

称为公差，数列中数的个数称为项数。

等差数列的求和公式为：等差数列的求和公式为：数列和＝（首项＋末项）×项数÷2 项数＝（末项－首项）÷公差＋1 末项＝首项＋公差×（项数－1）[例1]计算1＋2＋3＋ (1999)[例2]求首项是5，公差是3的等差数列的前1999项的和。

项的和。

[例3]计算3＋7＋11＋ (99)[例4]计算（1）2000－3－6－9－…－51－54 （2）（2＋4＋6＋…＋96＋98＋100）－（1＋3＋5＋…＋95＋97＋99）[例5]2000×1999－1999×1998＋1998×1997－1997×1996＋…＋4×3－3×2＋2×1 [例6]在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？练习：1．计算：．计算：（1）1＋2＋3＋…＋76＋77＋78 （2）1＋3＋5＋…＋95＋97＋99 （3）2＋6＋10＋14＋…＋202＋206＋210 （4）4＋7＋10＋…＋292＋295＋298 2．求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。

的等差数列的和。

3．求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。

项的和。

4．计算：．计算：（1）4000－1－2－3－…－76－77－78 （2）560－557＋554－551＋…＋500－497 （3）204－198＋192－186＋…＋24－18＋12－6 *5．计算：．计算：（1）（1＋3＋5＋...＋1999）－（2＋4＋6＋ (1998)（2）1＋2＋3－4＋5＋6＋7－8＋9＋10＋11－12＋…＋25＋26＋27－28 6. 在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？508是这个数列的第几项？是这个数列的第几项？7.一个剧院共有25排座位，从第一排起，以后每排都比前一排多2个座位，第25排有70个座位，这个剧院共有个座位，这个剧院共有 个座位。

第二讲数列的极限

第二讲数列的极限


n 1 n n 1
(1) n 0 n ( n 1) 2
证：由于 x n a
(1) n 1 1 1 0 2 2 n 1 n (n 1) (n 1)
第一章第二讲数列的极限
要使 x n a
1 1 成立，只要 n n 1
故对 0 ，取 N [ ] ，当 n N 时，总有
xn 趋近于 a ，即 xn 与 a 之间的距离越来越小，所以我们可以利用 xn a 来刻
画 xn 趋近于某一个数 a . 当 xn a 小于一个很小的数的时候，我们就可以说 xn 与 a 越来越近.
题目：已知数列
n ( 1) n 1 n
（1）
n (1) n 1 与 1 之间的关系？ n
1 2 3 4 , , , , 2 3 4 5
(ⅱ) 2 , 4 , 8 , 16 , (ⅲ) 1 , 1 , 1 , 1 , (ⅳ) s1 , s2 ,, sn , (ⅴ) x1 , x2 ,, xn , 解：(ⅰ) xn
n n 1
当 n 时， xn 趋近于 1
第一章第二讲数列的极限
N ，当 n N 时， | xn
a | 1 都成立
于是 n N 时， xn xn a a xn a a 1 a
第一章第二讲数列的极限 取 M max x1 , x2 , , xN ,1 a ，则数列 xn 中的每一项满足 xn M 故数列 xn 是有界的. 注：根据该定理，若数列 xn 无界，则 xn 一定发散，但若 xn 有界，则 xn 不 一定收敛. 3、极限的保号性：若 lim x n
1 1 n n
所以从第 [ ] 1 项开始后面所有的项与 1 的差的绝对值小于
第二讲 初等数列

第二讲 初等数列

暑期课堂讲义第2讲初等数列2.1引入小朋友你们可知道数学天才高斯小时候的故事吗？高斯念小学的时候，有一次老师在教完加法后，因为老师想要休息，所以便出了一道题目要同学们算算看，题目是：1+2+3+···+98+99+100=?老师心里正想，这下子小朋友一定要算到下课了吧！正要找借口出去时，却被高斯叫住了！原来呀，高斯已经算出来了。

小朋友你可知道他是如何算出来的吗？高斯告诉大家他是如何算出的：把1加至100与100加至1排成两排相加，也就是说：1+2+3+···+98+99+100100+99+98+···+3+2+1=101+101+101+···+101+101+101共100项,结果就是5050。

共有一百个101相加，但算式重复了两次，所以等式就等于101002在数学中，大部分的数列都毫无规律可言，更别谈求出它们的和了。

今天我们要介绍的数列都是数学中最基础的数列。

2.2数列找规律1.顺（逆）等差数列：后一个数减去前一个数的差相等（或前一个数减去后一个数的差相等）1,3,5,...,2n−1,2n+1, (1)10,8,6,...,12−2n,10−2n, (2)2.跳跃数列：即单数序号的数与双数序号的数分别形成规律。

8,15,10,13,12,11,14,9, (3)这里8,10,12,14成规律，15,13,11,9成规律。

想一想,能不能让更多不同序号的数分别形成规律？比如说3个，4个，或更多？3.质数数列，即将所有的质数放在一起形成一个数列。

什么是质数？是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。

2,3,5,7,11,13,17,19, (4)4.平方数列或立方数列：由有序的数的平方或者立方构成的数，如1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,...,即12,22,32,42,52,62,72,82,92,102, (5)1,8,27,64,125,...,即13,23,33,43,53, (6)5.斐波那契数列：即任意连续两个数字之和等于第三个数字1,1,2,3,5,8,13,21,34, (7)拓展知识：斐波那契数列又因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。

4.1第2课时 数列的递推公式及累加、累减、累乘、周期数列的专题 课件

4.1第2课时 数列的递推公式及累加、累减、累乘、周期数列的专题 课件


累减法求通项公式
例4
例题解析
累乘法求通项公式 例 5 已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝2an，写出数列的前 5 项，猜想 an，
并加以证明．
例题解析
累乘法求通项公式 例 5 已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝2an，写出数列的前 5 项，猜想 an，
并加以证明． [解] 由 a1＝2，an＋1＝2an 得 a2＝2a1＝2×2＝4＝22， a3＝2a2＝2×4＝8＝23， a4＝2a3＝2×8＝16＝24， a5＝2a4＝2×16＝32＝25， … 猜想 an＝2n(n∈N*)．
例题解析
(2)由 an＝an－1＋nn1－1 得 an－an－1＝nn1－1(n≥2)， 所以 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1 ＝nn1－1＋n－11n－2＋…＋3×1 2＋2×1 1＋1 ＝n－1 1－1n＋n－1 2－n－1 1＋…＋12－13＋1－12＋1＝－1n＋1＋1＝2－ 1n＝2nn－1(n∈N*)．
证明如下： 证法一：(累乘法)
由 a1＝2，an＋1＝2an 得aan－n 1＝aann－－12＝…＝aa32＝aa21＝2， ∴an＝aan－n 1·aann－－12·…·aa32·aa21·a1 ＝2·2·…·2·n2个＝2n(n∈N*)． 证法二：(迭代法) 由 an＋1＝2an 得 an＝2an－1，an－1＝2an－2，…，a3＝2a22·an－2＝22(2an－3)＝23·an－3＝…＝2n－1·a1＝2n(n ∈N*)．
项之和，称为数列{an}的前 n 项和，记作 Sn，即 Sn＝a_1_＋_a_2_＋_…__＋.an
S1
，n＝1
2．an 与 Sn 的关系：an＝ Sn－Sn－1 ，n≥2.
2024届高考数学一轮总复习第四章数列第二讲等差数列及其前n项和课件

2024届高考数学一轮总复习第四章数列第二讲等差数列及其前n项和课件

把n换成n＋1，2Sn＋1＋(n＋1)2＝2(n＋1)an＋1＋n＋1，② ②－①可得2an＋1＝2(n＋1)an＋1－2nan－2n， 整理得an＋1＝an＋1， 由等差数列定义有{an}为等差数列.
(2)解：由已知有 a72＝a4·a9，设等差数列{an}的首项为 x，由(1) 知其公差为 1，
证明：由题意可知，数列{ Sn}的首项为 a1，设等差数列{ Sn} 的公差为 d，
则 d＝ S2－ S1＝ a1＋a2－ a1＝ a1， 所以 Sn＝ S1＋( S2－ S1)＋( S3－ S2)＋…＋( Sn－ Sn－1) ＝ a1＋(n－1) a1＝n a1， 即 Sn＝a1·n2，
所以 an＝aS1n，－nS＝ n－11＝，(2n－1)a1，n≥2， 当 n＝1 时，(2×1－1)a1＝a1， 所以 an＝(2n－1)a1， 所以 an＋1－an＝2a1，所以数列{an}是以 a1 为首项，2a1 为公差 的等差数列.
①当
a1>0，d<0
am≥0， 时，满足am＋1≤0
的项数 m 使得 Sn 取得最
大值为 Sm(当 am＋1＝0 时，Sm＋1 也为最大值)；
a8＋a10＝80，则 a7－12a8＝(
)
A.4
B.6
C.8
D.10
解析：∵a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80， ∴a6＝16，又 a6＋a8＝2a7，∴a7＝21a6＋12a8，即 a7－12a8＝
12a6＝8，故选 C. 答案：C
【题后反思】等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*). (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)， 则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列， 公差为2d.
数列的概念(第二)精品PPT教学课件

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2020/12/6
5
例一
► 已知数列{ a n } 的第一项是1,以后各项由公式
an
1 1 an1Байду номын сангаас
(n2)
给出。写出这个数列的前五项.
2020/12/6
6
例二
► 已知数列 { a n }
满足 a1 1 ,
an1
2an (nN*) an 2
.
写出这个数列的前五项,归纳其通项公式,并验证是否满 足递推公式.
2020/12/6
1
复习巩固
► 写出下面数列的一个通项公式.
(1). 1 , 9 , 25 , 49 , , 2 46 8
( 2 ). 2 , 5, 2 2 , 11 , ,
(3). 1 1 ,2 2 ,3 3 ,4 4 , , 2345
( 4 ). 7 ,77 ,777 ,7777 , ,
2020/12/6
2
复习巩固
数列{an}的通项公式an为n2 5n4,问 （1）数列中有多少项数为 . 负 （2）n为何值时a， n有最小值，并求出值最小
2020/12/6
3
递推公式
► 观察下面这组数列, ► 1,2,4,8,16,32,64,--------
► 它的通项公式为 an 2n1
这个数列的后一项跟它的前面一项有什么关系呢?
2020/12/6
7
例三
► 已知数列 { a n } 中，
a1 1,
anan1n(n11)(n2)
► 则 { a n } 的通项公式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
2020/12/6
8
例四
► 设{ a n }是首项为１的正项数列，且
小学数学四年级第二讲等差数列

小学数学四年级第二讲等差数列

等差数列及其应用大数学家高斯在很小的时候，就利用巧妙的算法迅速计算出从1到100这100个自然数的总和。

大家在惊叹佩服之余，仔细想一想，小高斯的聪明和善于观察是不心说，最基本的左面原因却是这100个数所排列的这一组数列，具有极强的规律性。

这种数列的求和有极简便的求和方法。

通过这一讲的学习，你们也不逊色于大数学家“高斯”。

一、什么叫等差数列1）1，2，3，4，5，6，7，8，9，……2）1，3，5，7，9，11，13。

3）3，6，9，12，15，18，21，24，27，……4）100，95，90，85，80，75，70，65，60……5，0。

这六个数列有一个共同的特点，即相邻两项的差是一个固定的数，像这样的数列就称为等差数列。

其中这个固定的数就称为公差，一般用字母d表示，如：数列1）中，d=2-1=3-2=4-3=5-4=6-5= (1)数列2）中，d=3-1=5-3=7-5=9-7=11-9=13-11=2；数列3）中，d=6-3=9-6=12-9=15-12= (3)数列4）中，d=100-95=95-90=90-85=85-80= (5)二、等差数列的几个常用公式一个数列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，…a n－1，a n，我们一般地，我们把“n”叫这个数列的项数；a4，a5，a6，a7，…叫这个数列的项，例：“a4”表示这个数列的第4项；等差数列中的公差,我们一般用d来表示; s n表示等差数列的前n项的和……根据等差数列的特点，我们得到以下几个等差数列常用公式：等差数列通项公式：a n= a1＋（n－1）d;等差数列首项公式：a1= a n－（n－1）d;等差数列项数公式：n=( a n－a1)÷d＋1;等差数列求和公式：s n=（a1＋a n）×n÷2[例1] 判断下列数列中哪些是等差数列，并说明理由。

1）6，10，14，18，22， (98)2）1，2，1，2，1，2，1，2，1，2， (2)3）19，18，17，16，15，14，13，12，11，10；4）11，11，11，11，11，11，11，11，11，11，11，11；5）1，4，7，10，13，16，19，22，25，28， (3001)通过等差数列的定义进行判断，可知：1）、3）、4）、5）都是等差数列。

第二讲 数列与数表

第二讲 数列与数表

第二讲数列与数表1.等差数列：若干个数排成一列,称为数列。

数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。

从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。

例如:等差数列:3、6、9、…、96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。

计算等差数列的相关公式:通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。

某些问题以转化为求若干个数的和解决这些问题时先要判断这些数是否成为等差数列，如果是等差数列才可以运用它的一些公式。

在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。

2.斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34…这个以1，1分别为第1项、第2项，以后各项都等于前两项之和的无穷数列，就是斐波那契数列。

3.周期数列与周期：从某一项开始，重复出现同一段数的数列称为周期数列，其重复出现的这一段数的个数则称为此数列的周期。

例如： 8，1，2，3，8，4，5，7，6，3，8，4，5，7，6，3，8，4，5，7，6……这是一个周期数列，周期为6。

4.寻找数列的规律，通常有以下几种办法：1寻找各项与项数间的关系。

2考虑此项与它前一项之间的关系。

3考虑此项与它前两项之间的关系。

4数列本身要与其他数列对比才能发现其规律，这类情形稍微复杂些。

5有时可以将数列的项恰当分组以寻求规律。

（“分组”是难点）6常常需要根据题中的已知条件求出数列的若干项之后，找到周期，探求规律。

1.逐步了解首项、末项、项数、公差与和之间的关系。

2.在解题中应用数列相关知识。

第二讲：简单的等差数列求和【三年级秋季解答】

第二讲：简单的等差数列求和【三年级秋季解答】

第二讲：简单的等差数列求和【三年级秋季解答】知识导航被人们誉为“数学王子”的高斯在年幼的时候，就用一种非常简便、快速的方法算出了1＋2＋3＋4＋…＋49＋50的结果。

高斯，真是一个神童！现在我们就来揭秘这其中的奥秘吧！数列的第一项叫首项，最后一项叫末项。

如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。

计算等差数列的和，可以用以下关系式：等差数列的和=（首项＋末项）×项数÷2，=（大+小）×个数÷2，但是往往在求和时，项数或者末项还不清楚，所以还需记住以下两个公式：最大数=小数＋公差×（个数－1）；或最小数=大数-公差×（个数－1）个数比公差数多1，所以个数=（大－小）÷公差＋1精典例题例1：下面算式求和，你有妙招吗？1＋2＋3＋4＋5＋……＋17＋18＋19＋20思路点拨：方法一：凑整法。

从1到20总共有20个数，我们发现1+19=20，2+18=20，3+17=20，……，9+11=20，每两个数为一组，每组和为20，最后不要忘记加上10和20哦！方法二：配对求和：可用最大加最小，次大加次小等培对的办法，每两个数为一对，每对和都是21，共10对。

方法一：凑整法。

1＋2＋3＋4＋5＋……＋17＋18＋19＋20=（1+19）+（2+18）+（3+17）+……+（9+11）+10+20=20+20+20+……+20+10=20×10+10=210方法二：配对求和。

1＋2＋3＋4＋5＋……＋17＋18＋19＋20=（1+20）+（2+19）+（3+18）+……+（9+12）+（10+11）=21+21+21+……+21+11=21×10=210模仿练习计算1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19=（1+19）×10÷2=20×5=100例2：你能迅速算出下列算式的结果吗？1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=（）思路点拨如果我们还是按照配对求和的方法，1+9，2+8，3+7，4+6，那么还剩下5就不能配对了，为了解决这样的问题，高斯又发现了有新的绝招：现在你该知道怎么写算式了吧！快快行动吧！方法一：等差数列求和法。

四年级下册数学讲义-竞赛专题：第二讲-数列与数表(含答案解析)人教版

四年级下册数学讲义-竞赛专题：第二讲-数列与数表(含答案解析)人教版

数列与数表知识概述1、数列：主要包括⑴递增数列(等差数列，等比数列)，等差数列为重点考察对象。

⑵周期数列；例如：1，2，4，7，1，2，4，7，1，2，4，7，…⑶复合数列；例如：1，3，2，6，3，9，4，12，5，15…⑷特殊数列；例如：斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21…2、等差数列通用公式：通项公式：第n项=首项 +（项数– 1）×公差项数公式：项数=（末项–首项）÷公差 + 1求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷23、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。

4、数表规律给出几个具体的、特殊的图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论。

具体方法和步骤是：⑴通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；⑵猜想符合规律的一般性结论；⑶验证或证明结论是否正确。

在杯赛考试中主要将图形规律与等差数列结合到一起来考察。

（1）在数列3、6、9……，201中共有多少数？ （2）在数列3、6、9……，201和是多少？ （3）如果继续写下去，第201个数是多少？ 【解析】（1）因为在这个等差数列中，首项=3，末项=201，公差=3，所以根据公式： 项数=（末项-首项）÷公差+1,便可求出。

项数=（201-3）÷3+1=67（2）求和公式=（首项+末项）×项数÷2 =（3+201）×67÷2 = 102×67 =6834（3）根据公式：末项=首项+公差⨯（项数-1）末项=3+3⨯（201-1）=603， 第201个数是603添在图中的三个正方形内的数具有相同的规律，请你根据这个规律， 确定出A= B = C= ；【解析】 第一组 （1+2）×3=9 第二组 （2+3）×4=20 第三组 （3+4）×5=35 由分析得：A=35，B=4，C=5.经过观察与归纳找出数与图的规律。

第二讲 等差数列

第二讲 等差数列知识要点1．若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为未项，数列中的个数称为项数，从第二项开始，后项与前项之，后项与前项的差称为公差。

例如： 、3、5、7、9、…97、99、 首项末项 每两个数之间相差为2，即公差为2。

共有51个数，即项数为51。

2．需要牢记的公式（1）未项=首项+（项数-1）×公差，根据此公式，又可推出： 首项=末项-（项数-1）×公差项数=（末项-首项）÷公差+1（2）数列和=（首项+末项）×项数÷2典型例题例1 已知等差数列7，20，23，26，29，32，…，它的第25项是什么？107是它的第几项？例2 已知等差数列7，12，17，…，127，132，问这个等差数列共有多少项？1011例3 某剧院里共有25排座位，从第一排座位开始，以后每一排比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，问这个剧院一共有多少个座位？例4 （2+4+6+...+100）-（1+3+5+ (99)例5 （1）11+13+15+17+…+2007（2）计算1000＋999－998－997＋996＋995－994－993＋…＋108＋107－106－105＋104＋103－102－101例6 下面方阵中所有数的和是1900 1901 1902 1903 (1949)1901 1902 1903 1904 (1950)1902 1903 1904 1905 (1951)1948 1949 1950 1951 (1997)1949 1950 1951 1952 (1998)随堂小测1．已知等差数列2，7，12，17，22，……，求这个数列的第25项是什么？57项呢？2．求等差数列9，15，21，27，…，303中一共有多少项？3．有一堆粗细均匀的圆木，堆成下图的形状，最上面一层有6根，每向下一层增加一根，共堆了25层，这堆圆木共有多少根？…… …… …… …… ……4．101+104+107+110+…+896+8995．200-198+188-186+…+8-66．999个队员参加交际舞会，每两个人握一次手，他们握了多少次手？7．下面的数的总和是2000 2001 2002 (2049)2001 2002 2003 (2050)2048 2049 2050 (2097)2049 2050 2051 (2098)…… …… …… ……8．从401到1000的整数中，被8除余数为1的数有多少个？课后作业1．求等差数列10，18，26，…的第50项是多少？2．6，12，18，……186中一共有多少项？3．某剧院有50排座位，后一排比前一排多3个座位，最后一排有180个座位，这个剧院一共有多少个座位？4．4+8+10+14+16+……+94+98+1005．1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+88+89-906．求1至100以内所有不能被5或7整除的数的和。

最新数学高考复习2.2数列知识讲解


5.如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成一个新数列,那么常选
用“由特殊到一般”的方法进行讨论,且以等比数列的项为主,探求等比数列中
哪些项是它们的公共项,从而分析构成什么样的新数列.
6.
a
2 n
=an-1an+1(n≥2,n∈N*)是{an}为等比数列的必要而不充分条件,也就是要注
7.意判断一个数列是等比数列时,要注意各项不为0.
n
(3)在等差数列{an}中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等差数列. (4)在等比数列中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am·an=ap·aq. (5)在等比数列中,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列(n为偶数且q=-1除外).
5.数列求和的常用方法
(1)公式法:①等差数列的求和公式;②等比数列的求和公式;③常用公式,即
1 ＜1 1）k k2
＜ （k
1 1）k
1 k 1
1 k
;
④
n（n
1 1）（n
2）
1 2
[
1 n（n
1）（n
1 1）（n
2）]
.
【易错警示】防误区 1.如果数列{an}成等差数列,那么数列{ Aan }( Aan 总有意义)必成等比数列. 2.如果数列{an}成等比数列,且an>0,那么数列{logaan}(a>0且a≠1)必成等差数列. 3.如果数列{an}既成等差数列又成等比数列,那么数列{an}是非零常数列;数列 {an}是常数列仅是数列{an}既成等差数列又成等比数列的必要不充分条件. 4.如果两个等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差 数列,且新等差数列的公差是原来两个等差数列的公差的最小公倍数.
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在加、减、乘、除四则运算中除法是最麻烦的一项，即使使用 速算法很多时候也要加上笔算才能更快更准地算出答案。当然， 利用商不变性质有时也能起到很好的效果。
【答案】50
第三部分 课堂检测

【检测 1】计算： （1＋3＋5＋…＋2017）－ （2＋4＋6＋8＋2016）＝（ ）。
【考点】分组计算 【解析】观察两个括号中数的特点，对应两两相减得1，共得1009个 1. 【答案】1009

34 3535 35 3434 【检测 2】计算：
【考点】重码数，提取公因数（逆用乘法分配律）
【答案】48
【例 10】现在定义一种符号△，并满足a△b（a>b）是a 除以b的余数。已知a△4=a△6，那么a的最小值是（ ）
【考点】定义新运算，同余，最小公倍数
【解析】由新运算符号及所给条件知a应该大于6并且除以4和6同余 ，那么当a取4和6的最小公倍数12时，是满足条件的最小值， 除以4和6后都余零。 【答案】12
，所以有4个奇数。 【答案】4

7 77 777 7777 77777 777777 【作业 4】 十位数字是___________.
的和的
【考点】位值原理
【解析】个位加起来42，十位加起来是35，最终十位数字是9
【答案】9

【作业 5】如果a△b表示,例如3△4,那么,当a△5=30时, a= .
三、首位相同，两尾数和等于10的两位数相乘（首同尾十） 十位数加1，得出的和与十位数相乘，得数为前积，个 位数相乘，得数为后积，没有十位用0补。 例：56 × 54 (5 + 1) × 5 = 30，6 × 4 = 24；即56×54 =3024。 四、两首位和是10，两尾数相同的两位数相乘。（首十尾 同） 两首位相乘，积加上一个尾数，得数作为前积，两尾 数 相乘（即尾数的平方），得数作为后积，没有十位补0。 例：78 × 38 7 × 3 + 8 = 29，8 × 8 = 64；即78 × 38=2964。
Ｃ、加减法——补数的概念与应用 补数的概念：补数是指从10、100、1000……中减去某一数后 所剩下的数。 例如：10减去9等于1，因此9的补数是1，反过来，1的 补数是9。
补数的应用：在速算方法中将很常用到补数。例如求两个 接近100的数的乘法或除数，将看起来复杂的减法运算转为 简单的加法运算等等。
【答案】198

【检测5】计算：
2009 20082008 2008 20092009
【考点】重码数
【解析】观察后直接利用重码数的特点， 2009 2008 10001 2008 2009 10001 0
【答案】0

【检测6】定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求6△ （3△4）的值。
Ｂ、平方速算 一、求11～19 的平方 底数的个位与底数相加，得数为前积，底数的个位乘以 个位相乘，得数为后积，满十前一。 例：17 × 17 17 ＋ 7 = 24，7 × 7 = 49；即17 × 17=289。 参阅乘法速算中的“十位是1 的两位相乘” 二、个位是5 的两位数的平方 十位加1 乘以十位，在得数的后面接上25。 例：35 × 35 （3 + 1）× 3 = 12，5 × 5 = 25；即35 × 35=1225。
三、21～50 的两位数的平方 在这个范围内有四个数字是个关键，在求25～50之间的 两数的平方时，若把它们记住了，就可以很省事了。它们是 ：21 × 21 = 441 22 × 22 = 484 23 × 23 = 529 24 × 24 = 576 求25～50 的两位数的平方，用底数减去25，得数为前积，50 减去底数所得的差的平方作为后积，满百进1，没有十位补0 。 例：37 × 37 37 - 25 = 12，（50 - 37）² = 169 ；即37 × 37 = 1369 。 注意：底数减去25后，要记住在得数的后面留两个位置给十 位和个位。
【解析】男生平均分比整体平均分少3分，女生平均分比整体平均分 多7分，根据移多补少原理，男生与女生的人数比是7:3，所 以总人数50分成10份，男女分别生占7份和3份，人数分别为 35人和15人，男比女多20人。
【答案】20

答题技巧总结：
1、 首先观察，找出题目中的内在规律；
2、 理清题目条件之间的关系，找到对应题型的思路切入点；

【检测10】某同学在4次数学测试中，取得的平均分数是84分，他要使平均分 上升到86分，在下次测验中，他至少要得（ ）分？（按整分计算）
【考点】平均数，移多补少
【解析】前4次测试平均分要提高2分到86分，需要下次考试的分数 比86分至少高 2 4 8 分，这样才能把多出来的8分补给前4 次各2分。
【考点】平均分，移多补少
【解析】英语比93分（91+2=93）多出6分，才能补给其他三科各2分 ，所以英语得99分
【答案】99

【作业 8】上外附小有50名学生参加学而思杯数学竞赛，平均 分是63分，其中参赛男同学平均分为60分，女同学平均分为70 分，那么上外附小参赛男同学比女同学多几人？
【考点】平均分，移多补少



a1 (1 q n ) a1 an q q 1 Sn 1 q 1 q
第二部分 例题精讲

【例 1】计算11、14、17、20、……、95、98这 个等差数列的项数是（ ）
【考点】等差数列求项数
【解析】观察得公差为3，最后一项98比第一项11多87，即29个3， 有29个间隔，30个数。
【解析】观察，把数分拆后提取公因数，得 (35 1) 3535 35 3434 35 101 3535 0 或者直接利用重码数前一项可变换为34 35 101 35 3434 前后两项相同，做差为0. 【答案】0

【检测3】计算： 389＋387＋383＋385＋384＋386 ＋388＝（ ）。
【考点】数列求和
【解析】每层的个数是1,3,6,10,15,21 ，共有56个球。
【答案】56

【例 9】计算：
若a△b=(a+b)/(b-a)，请计算1△2+2△3+3△4+4△5+5△6+6△7=
【考点】定义新运算
【解析】新运算符号表示两数和除以两数差，得
3 5 7 9 11 13 48
Ｄ、除法速算 一、某数除以5、25、125时 1、 被除数 ÷ 5 = 被除数 ÷ (10 ÷ 2) = 被除数 ÷ 10 × 2 = 被除数 × 2 ÷ 10 2ห้องสมุดไป่ตู้ = = 3、 = = 被除数 被除数 被除数 被除数 被除数 被除数 ÷ × × ÷ × × 25 4 ÷100 2 × 2 ÷100 125 8 ÷1000 2 × 2 × 2 ÷1000
【考点】基准数
【解析】选基准数380，得 380 7 9 7 3 5 4 6 8 2660 42 2702
【答案】2702

【检测4】计算： 1÷50＋2÷50＋……＋99÷50＝ （ ）。
【考点】除法的性质
【解析】直接计算 (1 2
99) 50 100 99 50 198
【考点】新运算，多重运算
【解析】两重运算，先按照新运算计算括号3△4 =1，再算6△1=7
【答案】7

【检测7】规定新运算※:a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,则 x=（ ）
【考点】新运算，多重运算
【解析】两重运算，先算括号4※1=10，再由结果逆推，x※10=7， 得x=9
【答案】9

【检测8】有一个数学运算符号 ，使下列算式成立： 2 4 8,5 3 13,3 5 11,9 7 25, 求7 3 ？
【考点】新运算，找规律
【解析】观察数的规律，第一个数的2倍加上第二个数得到结果，所 以 7 3 7 2 3 17
【答案】17
(90 20 2) 20 90 0.1 89.9 分

【例 12】某学生算六个数的平均数，最后一步应 除以6，但是他将“÷”错写成“×”，于是得错 误分析1800，那么，正确分析是__________。
【考点】平均数的概念，还原逆推
【解析】6个数的和是300，由平均数的数量关系式求得平均数就是 50
3、 在运算过程尽可能利用平常练习的速算技巧，与时间赛跑。
Ａ、乘法速算 一、十位数是1的两位数相乘（十几×十几） 乘数的个位与被乘数相加，得数为前积，乘数的个位与 被乘数的个位相乘，得数为后积，满十前一。 例：15×17 15 + 7 = 22，5 × 7 = 35；即15×17 = 255。 二、十位相同个位不同的两位数相乘（首同尾不同） 被乘数加上乘数个位，和与十位数相乘，积作为前积， 个位数与个位数相乘作为后积加上去。 例：43 × 46 （43 + 6）× 4 = 196，3 × 6 = 18；即43×46=1978。
【答案】345000000

6 4444 2222 3333 5555 【作业 3】巧算： 中有 （ ）个数字是奇数。
【考点】提取公因数
的得数
【解析】多位数计算，提取公因数，再利用9999凑整，
1111 1111 (48 15) 1111 1111 63 7777 9999 77762223

【例 11】某小组有10人，他们的数学成绩分别是：87、91、 94、88、93、91、89、87、92、86，求这个组的平均成绩？
【考点】平均数，基准数
【解析】10个成绩都接近90，可采用基准数算法，总分是 90 20 3 1 4 2 3 1 1 3 2 4 90 20 2 那么平均成绩= 【答案】89.9