用平方法求算术平方根的近似值

练习
1.比较下列各组数的大小：
（1） 8 与 10
因为8 < 10 所以 8 & 65 > 8
（3） 5 1 与 0.5 （4） 5 1 与 1
2
2
5 1 4 1 0.5
2
2
5 1 9 1 1
2
2
基础巩固
随堂演练
1. 17 的整部分是__4____. 2. 若 2 ≤ x ≤ 5 ，x为整数，则x的值是__2__.
如图，把两个小正方形分别沿对角线剪开， 将所得的4个直角三角形拼在一起. 就得到一个面 积为2dm2的大正方形.
你知道这个大正方形的边长是多少吗？
设大正方形的边长为 x dm，则 x2 = 2
由算术平方根的意义可知
x= 2 所以大正方形的边长是 2 dm
小正方形的对角
线是多长呢？
2
探究
2 有多大呢？
学习目标：
• 学习目标： 1、会用计算器求一个正数的算术平方根，知道算术
平方根的小数点移动规律. 2、会估计一个含有根号的数的大小.
• 学习重、难点： 重点：知道算术平方根的小数点移动规律. 难点：会估计一个含有根号的数的大小.
探究新知 知识点1 求一个数的算术平方根的近似值
探究
能否用两个面积为1dm2的小正方形拼成一 个面积为2dm2的大正方形？
v12 = gR , v22 = 2gR， 得 v1 gR , v2 2gR，其中g≈9.8，R≈6.4×106.
用计算器求v1和v2（用科学计数法把结果写成 a×10n的形式，其中a保留小数点后一位），得
v1 9.86.4106 7.9103
v2 2 9.86.4106 1.1104 因此，第一宇宙速度v1大约是7.9×103m/s， 第二宇宙速度v2大约是1.1×104m/s.

(2)因为6>4，所以 6 > 2，所以
61 >
21 =1.5.
2
2
归纳 比较数的大小，先估计其算术平方根的近似值
例3 小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积 为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶2.她不知能否裁得出来，正 在发愁.你能帮小丽算出她能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
能否用两个面积为 1 dm2 的小正方形拼成一个面积为 2 dm2 的 大正方形？
如图，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的 4 个直角 三角形拼在一起，就得到一个面积为 2 dm2 的大正方形.
你知道这个大正方形的边长是多少吗？
解：设大正方形的边长为 x dm，则 x2 = 2.
由算术平方根的意义可知
直线平行.
3.互如相果平两行 条直线都与第三条直线平行,那么这两 条直线也
.
[检测]
1.在同一平面内,不是重合( 的两)条直线的位置关C系
A.平行或垂直
B.相交或垂直
C.平行或相交
D.不能确定
2.下列说法正确D的是 ( ) A.不相交的两条线段是平行线
B.不相交的两条直线是平行线
C.不相交的两条射线是平行线
按键顺序：
a=
注意：不同的计算器的按键方式可能有所差别
例4 用计算器求下列各式的值： 3136=
2=
利用计算器计算下表中的算术平方根,并将计算结果填在表中,你 发现了什么规律?你能说出其中的道理吗?
… 0.062 5 0.625 6.25
62.5
… 0.25 0 6 2.5
7.906
625
第 五
相交线与平行线

求算术平方根的步骤
计算算术平方根的一种方法是通过牛顿迭代法。

以下是计算算术平方根的步骤：
1. 选择一个初始猜测值作为答案的近似值。

这个初始猜测值可以是任意值，但最好选择一个接近于实际平方根的值。

2. 使用下面的公式进行迭代，直到达到所需的精度：
猜测值 =（猜测值 + （被开方数 / 猜测值））/ 2
这个公式的意思是，我们将被开方数除以当前的猜测值得到
一个新的猜测值。

然后将这个新的猜测值加上当前的猜测值，然后再除以2，得到一个新的猜测值。

这个过程将继续反复迭代，直到达到所需的精度。

3. 检查当前的猜测值是否足够接近实际的平方根。

如果是，则停止迭代，当前的猜测值就是我们所要找的平方根。

如果不是，则返回第2步，继续进行迭代，直到满足所需的精度。

需要注意的是，算术平方根只适用于非负实数。

如果要计算负数的平方根或复数的平方根，则需要使用复数的数学定义和运算规则。

完全掌握平方根与立方根的计算方法数学作为一门基础学科，对于中学生来说是必不可少的。

在数学学习中，平方根与立方根是常见的概念和计算方法。

掌握平方根与立方根的计算方法，不仅有助于提高数学成绩，还能在实际生活中运用。

本文将详细介绍如何完全掌握平方根与立方根的计算方法。

一、平方根的计算方法平方根是一个数的平方等于该数的算术根。

计算平方根的方法主要有两种：近似法和开方法。

1. 近似法近似法是一种简单快捷的计算平方根的方法。

例如，要求√10的近似值，我们可以先找出最接近10的完全平方数，即4和9。

4的平方根是2，9的平方根是3，显然10介于2和3之间，所以√10的近似值可以取为2.5。

这种方法适用于计算不太复杂的平方根，但对于较大的数或者需要更精确的结果时，就不太适用了。

2. 开方法开方法是一种精确计算平方根的方法。

它主要有两种形式：手算开方和使用计算器开方。

手算开方是一种基于数学原理的计算方法。

以求√16为例，我们可以将16分解为4×4，即(√4)×(√4)，结果是4。

同样地，我们可以通过分解数的因数，将其转化为完全平方数的乘积，然后再进行开方运算。

使用计算器开方则更加方便快捷。

现在的计算器都配有开方功能，只需输入要开方的数，按下开方键即可得到结果。

这种方法适用于计算复杂的平方根或需要高精度结果的情况。

二、立方根的计算方法立方根是一个数的立方等于该数的算术根。

计算立方根的方法主要有两种：近似法和开立方法。

1. 近似法近似法和计算平方根的近似法类似。

例如，要求³√27的近似值，我们可以先找出最接近27的完全立方数，即8和27。

8的立方根是2，27的立方根是3，显然27介于2和3之间，所以³√27的近似值可以取为2.5。

这种方法适用于计算不太复杂的立方根，但对于较大的数或者需要更精确的结果时，就不太适用了。

2. 开立方法开立方法是一种精确计算立方根的方法。

它可以通过数学原理进行手算开立方，也可以使用计算器进行开立方运算。

C. 6＜x＜7；
D. 7＜x＜8.
3、设 n 为正整数，且 n 23 n 1 ，则 n ＝ 4 .
例题讲解
课本 第43页 例3
例1 小丽想用一块面积为400 cm²为的长方形纸片，沿着边
的方向剪出一块面积为300 cm²的长方形纸片，使它的长宽 之比为3:2．她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：
根据边长与面积的关系得 3x•2x=300 6x2=300 x2=50
形纸片的长应该大于21 cm. 因为 400 =20. 所以正方形纸 片的边长只有20 cm. 这样， 长方形纸片的长将大于正方形 纸片的边长.
x= 50 .
答：不能同意小明的说法. 小
所以长方形纸片的长为 3 50
丽不能用这块正方形纸片裁出
2
例题讲解 大多数计算器都有 键，用它可以求出一个正有理数的 算术平方根(或其近似值). 例2 用计算器求下列各式 的值． （1） 3136；
（2） 2 （精确到0.001）．
用计算器计算算术平方根 下面我们来看引言中提出的问题： 宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度要大于第 一宇宙速度v1而小于第二宇宙速度 v2．
“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸
片．”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要 求的纸片吗？
400 cm² 够长吗？ 够宽吗？
300 cm²
例题讲解
课本 第43页 例3
解：设长方形纸片的长为3x cm， 因为50＞49，所以 50＞7.
宽为2x cm.
由上可知3 50 ＞21，即长方
算术平方根的规律 （2）利用计算器计算 3 1.732 ，并利用（1）中
发现的规律说出 0.03， 300 ， 30000 的近似值，你能根据 3 的值说出 30 是多少吗?

平方根的运算与应用平方根是数学中常见的一种运算，表示一个数的平方根，即平方根运算。

它在日常生活和各个领域中都有广泛的应用。

本文将探讨平方根的运算方法以及它在实际应用中的重要性。

一、平方根的定义与基本运算平方根是指一个数的算术平方根，可以用符号√表示。

例如，√25表示25的平方根，它的值为5。

平方根运算是指找出一个数的平方根的过程。

平方根运算可以用不同的方法进行，包括传统的算术方法和近似计算方法。

传统的算术方法是通过计算数的因数分解来找出平方根，但对于较大的数来说，这个方法不太实用。

近似计算方法则是通过数值逼近的方式，不断逼近平方根的值。

二、平方根在几何中的应用平方根在几何中有着重要的应用。

以正方形为例，对于一个正方形的边长为a，它的面积可以表示为a的平方。

那么，如果已知正方形的面积S，我们可以通过求S的平方根来得到正方形的边长a。

同样地，在三角形中，平方根也有着重要的应用。

以直角三角形为例，已知两个直角边的长度a和b，我们可以通过求a和b的平方和的平方根，得到斜边的长度c。

这一关系被著名的勾股定理所描述。

三、平方根在科学计算中的应用平方根在科学计算中有着广泛的应用。

例如，在物理学中，使用平方根来计算速度、加速度等物理量。

在化学中，平方根可用于计算离子浓度、反应速率等。

同时，在计算机科学和工程领域中，平方根也被广泛应用。

例如，在图像处理中，平方根可用于计算像素的亮度值。

在信号处理中，平方根可用于计算信号的功率谱密度。

四、平方根的应用举例平方根的应用不限于上述领域，下面举几个实际例子来说明平方根的应用。

1. 财务分析：在财务分析中，平方根可用来计算风险指标，如标准差和波动率，从而评估投资的风险水平。

2. 地理测量：平方根可以用于计算两个地点之间的距离，例如求解两个坐标点之间的直线距离。

3. 生物医学：平方根在生物医学中的应用十分广泛，包括计算心率、脉搏、血压等生理参数。

总结：平方根是一种广泛应用的数学运算，用于计算一个数的平方根。

· ４４ ·
其堋 ＝

（
，
与 抓
由于（１＋ （ 为任何实数）在 ：０处的泰勒展开式为
（１＋ ａ＝ｌ＋ａｘ４一ａ（ａ－ １） ＋ …
＋
二
２ １
从而得到一个计算平方根的近似公式 （Ｉ ＜１）：
为得到更精确的近似值，可再设√ ＝４．８＋ （ 是纯小数，可正可负）。两边平方有
２３＝（４．８＋ ，整 理 得 ２３＝２３．０４＋９．６ｙ＋ ， 将 忽 略 不 计 得 ２３≈２３．０４＋９．６ｙ ， 解 得
≈一０．００４。于是 ≈４．８＋（一０．００４）＝４．７９６，与√ 的真值４．７９５８３…已经比较接近了。如果
２０１３年 第 ４期
第 ３１卷 （总 第 １５３期 ）
毕 节 学 院 学 报
ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＢｌＪＩＥ ＵＮＩＶＥＲＳⅡ
ＮＯ．４，２０１３ Ｖｏ１．３１ Ｇｅｎｅｒａｌ Ｎｏ．１５３
平方根 的几种近似计算方法
赖 志 柱 ，吴 德 宝
（１．毕 节 学院数 学与 计 算机 科 学 学院 ，贵 州 毕 节 ５５１７００；２．江 西省石城 二 中，江西 石城 ３４２７００）
≈乃＋∞ ／２乃（ｈ＞ＣＯ）；印度著名的巴克沙里手稿瞳 里取√ ＝√ ＋ ≈ ＋厂／２ 。
２ 求平 方根 近似 值 的几 种算 法 在 中学 时期 我们 求一 个 正数 的算 术平 方根 ，往 往是 通过 查平 方根 表 。然而 ，平 方根 表并 不是万 能 的 ，例如 含很 多 小数位 的正数 的平 方根 就不 能直 接从 平方 根表 查 出 ，因此 很有 必要 掌握 和 了解 一 些近 似 计算 平方 根 的方法 已备 不 时之 需 。 ２．１笔 算法 为简约 ，下 面举 例说 明笔算法 的思想 和计 算步 骤 。

a
－a
表示的 a 的算术平方 a 的算术平方
意义
根
根的相反数
±a a 的平方根
感悟新知
特别解读 平方与开平方是互逆运算，平方的结果叫做幂，
而开平方的结果叫做平方根.
感悟新知
例6 求下列各数的平方根和算术平方根：
(1)121；(2)2 7 ；(3)－(－4)3；(4)
9
49 .
解题秘方：先根据平方运算找出平方等于这个数的
数，然后根据平方根和算术平方根的定义确定.
感悟新知
解：(1)因为(±11)2=121，
所以121 的平方根是±11，算术平方根是11.
(2)
27 9
25 9
，因为
5 3
2
25 , 9
所以2
7
的平方根是±
5
，算术平方根是
5
.
9
3
3
感悟新知
(3) －( －4)3=64，因为( ±8)2=64， 所以－ (－4)3 的平方根是±8，算术平方根是8.
感悟新知
解：(1)因为1＜ 3＜2，所以0＜ 3－1＜1.
所以 3－1＜ 1 . 22
(2)因为 401＞ 400=20，
所以 401－5＞ 400－5 20－5 3.75.
4
4
4
感悟新知
4-1. 比较下列各组数的大小.
(1)－ 10与－3.2;
(2) 6－1 与 2＋1；
2
2
(3) 99－7 与 8 . 25
1. 定义：一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数 叫做a 的平方根或二次方根 . 这就是说，如果x2=a，那 么x 叫做a的平方根. 表示方法：非负数a 的平方根记为± a ，读作“正、 负根号a”.

笔算开平方求一个数的算术平方根绥阳县青溪中学 曾庆海开平方在我国古代的数学家著作《九章算术》大体在公元前200年—公元50年已成定本，后流传下来的是由三国时期刘徽作注的本子（公元263年），他在“注”里提到在平方数的情况下求近似值的两个算法：（1）“不加借算”：用现代符号表述就是r a +2≈a ra 2+；（2）“加借算”：用现代符号表述就是r a +2≈12++a r a ；并指出r a +2在这两个近似值之间。

我们可以自己用这两个近似公式计算；（1）84=392+≈9239⨯+≈9.167；（2）84=392+≈19239+⨯+≈9.158；用电子计算器算得84=9.165。

从而可知，以上两个值虽说简便，但不够准确。

为了使我们所求的平方根更准确，我们采用笔算开平方法来求一个数的算术平方根。

先来一起研究一下，怎样求1849的平方根。

这里1849是四位数，因为402=1600，502=2500，而1849在它们之间，所以它的算术平方根的整数部分就是两位数，其中的十位数是4。

因此，设个位的数为a,有（40+a）2=1849。

也就是402+2⨯40a+a2=1849化简，得(2⨯40a+a)a=249；也就是说，a是这样的一个正整数，它与2⨯40 +a的和乘以它本身，等于249，且1≤a≤9，由此，我们解出a=3时，（2⨯40+3）⨯3=249。

所以2849=432。

我们可以用以下竖式来进行计算：4 318498316 002490 249上述平方根的求法，称为笔算开平方法，用这个方法可以求出任何正数的平方根，它的计算步骤如下：1．从个位起向左每隔两位为一节，若带有小数从小数点起向右每隔两位一节，用“，”号将各节分开，位数不够补零。

2．第一步先求最左边那节的最接近平方根，写在上面。

3．从最左边第一节数里减去刚刚求得的最高位上的数的平方，把差值写在下面，然后在它们的差的右边写上第二节的数作为第一个余数。

直接开平法
对于形如a^(1/2)的算术平方根， 可以直接开平方得到结果。
迭代法
通过不断逼近的方式求得算术平方 根的值。
算术平方根的运算性质
非负性
有序性
算术平方根的结果总是非负的，即对 于任意实数a，其算术平方根√a≥0。
对于任意两个实数a和b（a≥0，b≥0 ），如果a≥b，那么√a≥√b。
唯一性
进行因式分解或化简。
几何学
在几何学中，算术平方根用于计 算图形的边长、面积和体积等， 例如，求圆的半径、矩形的宽或
长等。
数学分析
在数学分析中，算术平方根用于 研究函数的单调性、极值和积分
等。
算术平方根在物理中的应用
力学
在力学中，算术平方根用于计算速度、加速度和力的关系，例如 ，根据牛顿第二定律计算物体的加速度。
在此添加您的文本16字
题目：计算 $sqrt{25}$。
在此添加您的文本16字
答案：5
在此添加您的文本16字
解析：同样根据算术平方根的定义，$sqrt{25}$ 的解为 5 。
进阶练习题
题目：计算 $sqrt{16}$。
解析：进阶题目需要理解平方根的性质，$sqrt{16}$ 的 解为 4。 答案：9
电磁学
在电磁学中，算术平方根用于计算与电场、磁场相关的物理量，例 如，计算带电粒子的洛伦兹力。
热学
在热学中，算术平方根用于计算热量、温度和压力等物理量的关系 ，例如，计算热容和热传导系数。
算术平方根在日常生活中的应用
1 2 3
建筑学
在建筑学中，算术平方根用于计算建筑物的横梁 、立柱和地基等结构的尺寸和强度。
03
答案
约等于 1.73205（四舍五入到小数点后五位 ）

两种方法求一个数的算术平方根的近似值方法一：二分法1，2）之间，取（1，2）的中点1.5，1.52=2.25，1，1.5）之间，再取（1，1.5）中点1.25，1.252=1.5625，（1.25，1.5）之间，再取（1.25，1.5）中点1.375，1.3752=1.890625， … …方法二：用平方法求算术平方根的近似值我们知道，实数的大小比较和运算，常常需要求近似值．而求算术平方根的近似值通常使用计算器，但如果我们身边没有计算器时，如何求算术平方根的近似值呢？这里，我们介绍一种用平方法求算术平方根近似值的方法．例1 求19的近似值．析解：因为16＜19＜25，所以4＜19＜5．因此19等于4加上一个纯小数，不妨设这个纯小数为a ．则19=4+a ．用“平方法”得：22816)4(19a a a ++=+=因为a 是一个纯小数，2a 远远小于a 816+．在求19的近似值时，可以把它忽略不计．即a 81619+≈此时，容易求得4.0≈a 所以19精确到小数点后面第一位的近似值是4+0.4=4.4．如果要求更准确一点的近似值． 再设19=4.4+b ，再用平方法得：228.836.19)4.4(19b b b ++=+=．同样，由于2b 远远小于b 8.836.19+，求19的近似值时，可以把它忽略不计．即b 8.836.1919+≈．求得：04.0-≈b ． 所以19精确到小数点后面第二位的近似值是4.4+（－0.04）=4.36．如此，进行下去，可以求得精确度更高的近似值，只是计算量会越来越大，不过我们通常要求的精确度不是很高．掌握了以上原理之后，可以直接省略完全平方展开式中的二次项，从而使过程简化． 例2 求31的近似值． 解：设31=5+a ，则：a a 1025)5(312+≈+=求得6.0≈a 所以31精确到小数点后面第一位的近似值是5+0.6=5.6． 再设31=5.6+b ，则：b b 2.1136.31)6.5(312+≈+=． 求得：03.0-≈b ． 所以31精确到小数点后面第二位的近似值是5.6+（－0.03）=5.57． …… 你会做了吗？那就请你试试求110的近似值．并用计算器验证一下是否正确．。

计算标准差
在统计学中，标准差是方差的平方根，用于衡量数据的离 散程度。
求解二次方程
在解二次方程时，如一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解 为$x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$，需要用到平方根 运算。
06
总结与展望
回顾本次课程重点内容
1 2
平方根的定义与性质
平方根指的是一个数的二次方根，包括正数、负 数和零的平方根；平方根具有非负性、唯一性等 性质。
正数a的平方根记作√a，读作“ 根号a”。
正负平方根区分
正平方根
一个正数有两个平方根，其中正的平 方根称为算术平方根。
负平方根
负的平方根是另一个负数，两者绝对 值相等。
平方根与实数关系
实数范围内，负数没有平方根，因为任何实数的平方都是非负的。 零的平方根是零本身。
常见误区及易错点
01
02
03
误区一
在学习过程中，发现了自己在 理解和运用上的不足之处，需 要进一步加以改进。
下一讲预告及预备知识
下一讲将介绍立方根的认识与运算，包括立方根的定义、性 质、运算方法以及应用场景等内容。
预备知识：建议学生提前复习实数的基本概念和性质，了解 乘法逆元、开方运算等基础知识，为学习立方根做好准备。 同时，可以阅读相关数学书籍或资料，加深对立方根的理解 和掌握。
认为负数有平方根。在实 数范围内，负数没有。在 求解实际问题时，应注意 算术平方根的非负性。
易错点
在运算过程中，要注意正 负平方根的区分，避免混 淆。
02
平方根性质探讨
非负性
平方根结果非负
对于任意非负实数，其平方根的结果都是非负的。
负数没有实数平方根

2 有多大呢？
方法一：
夹值法：即两边无限
因为12=1,22=4，所以1< 2 <2，
逼近，逐渐确定真值
因为1.42=1.96,1.52=2.25，所以1.4< 2 <1.5 ，
所在的范围.
因为1.412=1.9981,1.422=2.0164，所以1.41< 2 <1.42
因为1.4142=1.999396,1.4152=2.002225,所以1.414< 2 <1.415．
0.0001 0.01.
例题讲解
人教版数学七年级下册
例1
求各数的算术平方根：
49
观察被开方数及其
（1）100；
（2）
；（3）0.0001.
64
算术平方根，你能
100=10；
（1）因为102=100，所以100的算术平方根为10,即
解：
得到什么结论？
7
49 7
49
7
49
2
（2）因为（ ）= ， 所以
1
65与8;
3
5−1
与0.5;
2
2 − 3与 − 7;
4
5−1
与1.
2
课堂小结
定义
算
术
平
方
根
人教版数学七年级下册
从特殊到一般
性质
存在性（数形结合）
探究 2
大小（夹逼法）
无理数
实数
⑴ 1
9
⑵
25
⑶ 2
⑷
3
9 3
(2)
= .
25 5
解： (1) 1=1.
(4) （-3）=3.

平方根（一）教学目标：1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性；2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根；3.通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的，通过探究活动培养动手能力和激发学生的兴趣。

教学重点：根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。

教学难点：算术平方根的概念。

一 情境导入：同学们，2003年10月15日，这是我们每个中国人值得骄傲的日子．因为这一天，“神舟”五号飞船载人航天飞行取得圆满成功，实现了中华民族千年的飞天梦想（多媒体同时出示“神舟”五号飞船升空时的画面）．那么，你们知道宇宙飞船离开地球进人轨道正常运行的速度是在什么范围吗？这时它的速度要大于第一宇宙速度1v （米／秒）而小于第二宇宙速度：2v （米／秒）．1v 、2v 的大小满足gR v gR v 2,2221==.怎样求1v 、2v 呢？这就要用到平方根的概念，也就是本章的主要学习内容．这节课我们先学习有关算术平方根的概念．请看下面的问题．二 提出问题，感受新知展示教科书第2页的动脑筋（问题略），然后提出问题：你是怎样求出地砖的边长等于0.3 m 的呢？（学生思考并交流解法）三 归纳新知上面的问题，可以归纳为“已知一个正数的平方，求这个正数”的问题．实际上是乘方运算中，已知一个数的指数和它的幂求这个数．一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即2x =a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根号a ”，a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式2x =a (x ≥0)中，规定x =a .思考：这里的数a 应该是怎样的数呢？试一试：你能根据等式：212=144说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来．想一想：下列式子表示什么意思？你能求出它们的值吗？建议：求值时，要按照算术平方根的意义，写出应该满足的关系式，然后按照算术平方根的记法写出对应的值．例如25表示25的算术平方根，因为……四 应用新知例．（课本第3页的例1）求下列各数的平方根：（1） 36；(2) 925；(3) 1.21；（4） 1 建议：首先应让学生体验一个数的算术平方根应满足怎样的等式，应该用怎样的记号来表示它，在此基础上再求出结果，例如求100的算术平方根，就是求一个数x ，使2x =100，因为100102 ，所以；五 探究拓展提出问题：（课本第160页）怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？方法1：课本中的方法，略；方法2：可还有其他方法，鼓励学生探究。

典例精析 例1 (1) 估计与
最接近的两个整数是多少？
解：因为 32 = 9，42 = 16， 所以 3 < < 4．
所以与 最接近的两个整数是 3 和 4.
例1 (2) 估计与 最接近的一个整数是多少？ 太小 太大
解：因为 3 < < 4， 而 3.52 = 12.25， 所以 < 3.5 . 所以最接近 的整数是 3 .
解：由题意知正方形纸片的边长为 20 cm. 设长方形的长为 3x cm，则宽为 2x cm. 则有
3x 2x 300，x2 50，x 50 ，3x 3 50.
∵50＞49 ，∴ 50 ＞7. ∴3 50 ＞21. 3 50 就是 3 50
∴小丽不能裁出符合要求的纸片.
练一练
2.某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间 t (h)
导入中
是一个_无__限__不__循__环_小数
有多大呢？ 因为 52 = 25，62 = 36，
所以 5＜ 30＜6.
练一练
1. 设 a、b 是两个连续的整数，若a < 30 < b， 求 a + b 的值.
分析： 25＜ 30＜ 36 ，即 5 < 30 < 6，
总结 ∴ a + b = 5 + 6 = 11. 估算 a (a＞0)在哪两个整数之间及整数、小数的部分： 根据算术平方根的定义，有 m2＜a＜n2，其中 m，n 是 连续非负整数，则 m＜ a ＜n，则 a 的整数部分为 m， 小数部分为 a m .
(2)用计算器计算 3 (精确到 0.001)，并利用你在 (1) 中发现的规律说出 0.03 ， 300 ， 3000 的近似值. 你 能根据 3 的值直接得到 30 是多少吗?

算术平方根平方根知识点算数平方根和平方根是数学中的基本概念，它们在数学和现实生活中都有着重要的应用。

本文将详细介绍算数平方根和平方根的定义、性质以及它们在数学中的应用。

一、算术平方根1.定义2.性质(1)非负数的算术平方根是唯一的。

例如，16的算术平方根是4，没有其他数字的平方等于16(2)正数的算术平方根一定是正数。

(3)零的算术平方根是0。

(4)负数没有实数的算术平方根。

3.求算术平方根的方法(1)直接开方法：对一个给定的数开平方根，找到一个数使得它的平方等于给定数。

例如，√16=4(2)近似开方法：通过计算和估算找到一个数，使得它的平方与给定数值相近。

例如，√25≈54.算术平方根的应用(1)几何学：算术平方根被用于计算直角三角形的斜边长度。

(2)物理学：算术平方根被用于计算速度、加速度和力的大小。

(3)经济学：算术平方根被用于计算方差和标准差，用于测量数据的离散程度。

二、平方根1.定义平方根是指一个数与自身相乘等于给定数的非负根。

例如，4的平方根为2，因为2×2=4、平方根也可以用符号√a来表示。

2.性质(1)非负数的平方根是唯一的。

例如，16的平方根是4，没有其他数字与自身相乘等于16(2)正数的平方根一定是正数。

(3)零的平方根是0。

(4)负数没有实数的平方根。

3.求平方根的方法(1)直接开方法：对一个给定的数开平方根，找到一个数使得它与自身相乘等于给定数。

例如，√16=4(2)近似开方法：通过计算和估算找到一个数，使得它与自身相乘与给定数相近。

例如，√25≈54.平方根的应用平方根在数学、物理学、工程学等领域有广泛的应用：(1)数学：平方根被用于解方程和求解二次函数的根。

(2)物理学：平方根被用于计算速度、加速度和力的大小。

(3)工程学：平方根被用于计算电阻、电容和感应电流等电路的参数。

综上所述，算术平方根和平方根是数学中的重要概念，它们具有丰富的性质和广泛的应用。

了解算数平方根和平方根的定义、性质以及求解方法，有助于加深对数学的理解，并在实际生活和学习中灵活运用。

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关键词:平方根；一元二次方程；完全平方公式；微分；泰勒展开式；迭代；近似值
Several Approximate Computational Methods of the Square Root
Abstract
Approximatecomputationalmethodsof the square root and secondary school textbooks in practice has an important role in real lifewhichoften encountersapproximation to calculate the square root of the problem, such as making the teaching model, building tools, this time to check the square root of the table isnotvery convenient, without a calculator, how to calculate the square root of the fast approximation, which is the main research question of this article. While in high school learning,weoften encounter the problem of calculating the square root approximation, when the number is the square root of the square root approximation can not get through a look-up table, in the case of no calculator to calculate the square root approximation would require some simple and effective way to help us solve this problem.