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材料力学课件：3-6 热应力与初应力

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材料力学三向应力状态PPT课件

材料力学三向应力状态PPT课件

第243页/共72页
90 45 0
直角应变花： x 0 ， y 90
由 45
x
y
2
xy
2
可求得:
xy 0 90 2 45
第254页/共72页
CL10TU28
§9-6 复杂应力状态下的变形比能
一、微元体应变能
1.单向拉伸变形比能：
v
1
2
2
2、微元体变形功
dy
3 dx
CL10TU50
3.最大剪应力理论（第三强度理论）
假设：无论材 料 内 各 点的 应 力 状 态 如何 ， 只 要 有 一点 的 最 大 剪 应力 τ max达到 单 向 拉 伸屈服剪应力τS时，材料就在该处出现明显塑性变形或屈服。
屈服破坏条件是：
max s
max
1
2
3
,
s
s 2
用应力表示的屈服破坏条件：
应变的实测：
用应变仪直接测出三个选定方向 1、 2、 3的线应变 1 、 2 、 3 ，由下式
1
2
3
x x x
y
2
y
2
y
2
x x x
y
2
y
2
y
2
cos2 1 cos2 2 cos2 3
xy
2
xy
2
xy
2
sin 2 1 sin 2 2 sin 2 3
求出 x 、 y 、 xy
3
2
1
第21页/共72页
同理，在平行于 σ2 的各个斜截面上，其应力对应于由主应力 σ1 和 σ3 所画的 应力圆圆周上各点的坐标。
主单元体：六个平面都是主平面

高等材料力学课件第二章应力状态

高等材料力学课件第二章应力状态

§2.3 平衡微分方程
平衡
物体整体平衡，内部任 何部分也是平衡的。 对于弹性体，必须讨论 一点的平衡。
微分平行六面体单元
§2.5 平衡方程2
• x截面,应力分量 • σ x Շxy Շxz • x+dx截面,应力分量
x x xd,xx y x xy d,xx z x xd z ,x
数必须等于3个。
§2.6 主应力与应力主方向
转轴公式描述了应力随坐标转动的变化规律
结构强度分析需要简化和有效的参数
——最大正应力、最大切应力以及方位 主应力和主平面——应力状态分析重要参数 应力不变量——进一步探讨应力状态
§2.6 主应力2
主应力和主平面
切应力为零的微分面称为 主微分平面，简称主平面。 主平面的法线称为应力主 轴或者称为应力主方向。 主平面上的正应力称为主 应力。
zx zy z
代数主子式之和
应力张量元素 构成的行列式
•§2.6应主应力力6 状态特征方程
• ——确定弹性体内部任意一点主应力和应力 主轴方向。
• 主应力和应力主轴方向取决于载荷、形状和 边界条件等，与坐标轴的选取无关。
• 因此，特征方程的根是确定的，即I1、I2、I3 的值是不随坐标轴的改变而变化的。
§2.5 边界条件
弹性体的表面，应力分量必须与表面力满足面 力边界条件，维持弹性体表面的平衡。
边界面力已知——面力边界S
面力边界条件——
确定的是弹性体表面 外力与弹性体内部趋 近于边界的应力分量 的关系。
§2.5 边界条件2
面力边界条件
Fsj ijni
§2.5 边界条件3
面力边界条件描述弹性体表面的平衡， 平衡微分方程描述弹性体内部的平衡。 这种平衡只是静力学可能的平衡。 真正处于平衡状态的弹性体，还必须满足变 形连续条件。

材料力学之应力与应变分析(ppt 35页)

材料力学之应力与应变分析(ppt 35页)

2201705309M 0 Pa
③根据s1、s2、s3的排列顺序，可知：
s1=390MPa，s2=90MPa，s3=50MPa
y 140
z
A
150 x 300
90
A视
sy=140
txy=150 sx=300
y' 31o y s3
s2 z
s1
x'
31o x
④主应力方位：
tg2a0s2xtxsyy3200115400185 2a062o a031o a0212o1
应力与应变分析
（1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二 角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。
（2）面的方位用其法线方向表示
t y z t z， y t z x t x， z t x y t yx
3.截取原始单元体的方法、原则
①用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状 而定)在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体
应力与应变分析
1. ①主平面：单元体上剪应力为零的面；
②主单元体：各面均为主平面的单元体，单元体上有三对 主平面；
z
sz
tzy
tzx
tyz
txz
sy y
sx txy tyx x
x'
s1 旋转
z' s3
s2 y'
③主应力：主平面上的正应力，用s1、s2、s3 表示， 有s1≥s2≥s3。
2.应力状态按主应力分类：
-40.3
(29.8,20.3) s
60o 35.3 29.8o D(30,-20)
第三节 三向应力状态下的最大应力
一、三向应力状态下的应力圆

材料力学精品课件《应力状态和强度理论》

材料力学精品课件《应力状态和强度理论》

h b

解：k点为纯剪切应力状态，单元体如图所示。
F FS 2
3FS 3F 2 A 4bh
（a）
3FS 3F 2 A 4bh
（a）
1
2 0
3
（c）
（b）
y
由广义胡克定律 1 K 1 1 ( 2 3 ) E
1
y
应力圆的作法：
y
x
x
x
x

D
o
最大和最小切应力的表达式：
y
B C D′ A

max 1 2 2 min
x
§7-4 三向应力状态简介
当一点处的三个主应力都不等于零时，称该点处的应
力状态为空间应力状态(三向应力状态)；钢轨在轮轨触点
处就处于空间应力状态(图a)。
一、 三向应力圆
已知受力物体内某一点处三个 主应力 1、2、3
利用应力圆确定该点的最大 正应力和最大切应力。
3
2 1
2
1
3 1
3
2
首先研究与主应力 3 平行的斜截面上的应力，由于 3 作用 平面上的力自相平衡，因此，凡是与主应力 3 平行的斜截 面上的应力与 3 无关，这一组斜截面上的应力在—平面上
二、各向同性材料的体积应变
构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用θ表示.
如图所示的单元体，三个边长为 a1 , a2 , a3 变形后的边长分别为 a1(1+，a2(1+2 ，a3(1+3 变形后单元体的体积为 V'=a1(1+· a2(1+2 ·a3(1+3
a2
2
3

材料力学课件-第三章-轴向拉压变形

材料力学课件-第三章-轴向拉压变形

Δ
F
f
o


d
A

d
•弹性体功能原理：Vε W ,
f df
• 拉压杆应变能
2 FN l V ε 2 EA
Page28
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
*非线性弹性材料
F
f
•外力功计算
W fd
0

F W 2
•功能原理是否成立? •应变能如何计算计算?

dx
dz
dy
x
•单向受力体应变能
V v dxdydz dxdydz 2E
2
z
单向受力
Page30
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
2 dxdydz •单向受力体应变能 V v dxdydz 2E FN ( x ) •拉压杆 (x)= , dydz A A 2 FN ( x ) V dx （变力变截面杆） y 2 EA( x ) l 2 FN l dx （常应力等直杆） V dz 2 EA •纯剪应变能密度 dy dxdz dy dxdydz dVε 2 2 2 1 2 z v G 纯剪切
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
第三章
§3-1 §3-2 §3-3 §3-4
§3-5 §3-6
轴向拉压变形
引言 拉压杆的变形与叠加原理 桁架的节点位移 拉压与剪切应变能
简单拉压静不定问题 热应力与预应力
Page1
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
本章主要研究:
Page7

材料力学——应力分析【可修改】.ppt

材料力学——应力分析【可修改】.ppt

（2）主平面的位置
tg
2α 0
σ
2τ xy
x σ
y
α1 α 2 α1 900
} σ max
σ min
σx σy 2
(σ
x σ 2
y
2
)
τ
2 xy
以1代表max作用面的方位角， 2代表min作用面的方位角。
精选
σ x σ y ,则 α1 450 (α1在 900 范围内取值)
若 σ x σ y ,则 α1 450
x
在坐标系内画出点A( x，
xy)和B(y，yx)
2a C
A(
x
,
a
xy)
AB与a 轴的交点C便是
圆心。
O
以C为圆心，以AC为
B( y ,yx)
半径画圆——应力圆；
精选
y
n 三、单元体与应力圆的对应关系
面上的应力( ， )
a xy x 应力圆上一点( ， )
y
面的法线 应力圆的半径
Oa n D(xa , a)
所在的平面)垂直的
1
斜截面上的应力。
3
精选
2
3
1
2
用截面法，沿求应力的截 面将单元体截为两部分， 取左下部分为研究对象。
2
3
3
1
1
1
3
2
3
2
精选
主应力 3 所在的两平面上是一对
自相平衡的力， 因而该斜面上的
3
应力, 与 3无关, 只由主应力
1
1 , 2 决定。
3 2
与3所在的面垂直的斜截面上的应力可由
精选
应力的点的概念与面的概念

材料力学应力状态分析PPT

(4)二倍角对应—半径转过的角度是方向面旋转角度的 两倍。
4. 主应力与主平面
可见，圆周上A1和A2两点的 横座标分别代表该单元体的 垂直于xy平面的那组截面上 正应力中的最大值和最小值， 它们的作用面相互垂直(由 (b) A1和A2两点所夹圆心角为 180˚可知)，且这两个截面上 均无切应力。
一点处切应力等于零的截面 称为主平面(principal plane)， 主平面上的正应力称为主应 力(principal stress)。据此可 (b) 知，应力圆圆周上点A1和A2 所代表的就是主应力；
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-x
+ y
2
x
- y
2
cos 2
- x sin 2
(1)
x
-
2
y
sin 2
+x
cos 2
(2)
(1) 2 + (2) 2 , 得 ( x - x0 ) 2 + ( y - y0 ) 2 R 2
-x
+
y
2
2
+
2
x
-
y
2
2
+
2 x
1.莫尔(Mohr)圆（应力圆）
-
x
+ 2
y
2
+
2

材料力学课件PPT

当构件变形过大时，就失去了正常工作和承载能力。
对于低碳钢这类塑性材料，其拉伸和压缩试样都会发生显著 的塑性变形，有时并会发生屈服现象，构件也因之而失去正常 工作能力，变得失效。 由是观之，材料破坏按其物理本质而言，可分为脆断破坏和 屈服失效两种类型。 同一种材料在不同的应力（受力）状态下， 可能发生不同类型的破坏。如有槽和无槽低碳钢圆试样；圆柱
必须指出，即使是同一材料，在不同的应力状态下也可 以有不同的破坏形式。如铸铁在单向受拉时以断裂的形式破 坏。而在三向受压的应力状态下，脆性材料也会发生塑性流 动破坏。又如低碳钢这类塑性材料，在三向拉伸应力状态下 会发生脆性断裂破坏。
§6-3 构件的强度条件
安全系数和许用应力
要使构件有足够的强度工作应力应小于材料破坏时的极限应力 工作应力
b．塑性流动（剪切型）——材料有显著的塑性变形（即屈 服现象），最大剪应力作用面间相互平行滑移使构件丧 失了正常工作的能力。塑性流动主要是由剪应力所引起 的。 例如：低碳钢试件在简单拉伸时与轴线成 45方向上出现滑 移线就属这类形式。
按破坏方向可分为断裂破坏（沿法向） 和剪切破坏（沿切向）
二、强度理论
解：由M C 0, 得: N AB P 75 kN
N AB 75 10 4.687 10 4 m2 4.687cm2 A 6 [ ] 160 10 选边厚为3mm的4号等边角钢, 其A 2.359 cm2
3
例2：图示起重机，钢丝绳AB的直径 d=24mm，[σ]=40MPa，试求该起重机 容许吊起的最大荷载P。
形大理石试样有侧压和无侧压下受压破坏。
四种常用的强度理论
（一）关于脆性断裂的强度理论 1．第一强度理论（最大拉应力理论） 这一理论认为最大拉应力是引起材料脆性断裂破坏的主 要因素，即不论材料处于简单还是复杂应力状态，只要最大 拉应力 1 达到材料在单向拉伸时断裂破坏的极限应力，就会 发生脆性断裂破坏。

《材料力学》应力状态 ppt课件


x-y坐标系
ppt课件
x'－y'坐标系 xp-yp坐标系
主应力单元体 15
（四）、应力状态的分类
a、单向应力状态：只有一个主应力不等于零，另两个主应力 都等于零的应力状态。
b、二向应力状态：有两个主应力不等于零 ，另一个主应力 等于零的应力状态。
c、三向应力状态：三向主应力都不等于零的应力状态。
平面应力状态：单向应力状态和二向应力状态的总称。10

xy
yx
y
在单元体各面上标上应力—— 应力单元体
若单元体各个面上的应力已知，由平衡即可 确定任意方向面上的正应力和切应力。
4 ppt课件
应力状态/应力状态的概念及其描述
示例一
S平面
F
F
1
1
ppt课件
F
A
1
5
S平面
应力状态/应力状态的概念及其描述 n
F
1
F


1


90
研究应力状态的目的：
找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定 出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因， 建立适当 的强度条件。
3 ppt课件
应力状态/应力状态的概念及其描述
（二）、一点应力状态的描述
• 微元 （Element）
dx,dy,dz 0
z
zx zy
xz yz
x

x (pDt )
p
pD
4
2

x

pD 4t
11 ppt课件
应力状态/
ｐ×Ｄ×ｌ
Fy 0
t
ｐ
t
t (2t l)

材料力学应力分析PPT课件


y yx
D
xy
A
x
d
(y ,yx)
(
x
-
y
)2
+
2 xy
2
R
a (x ,xy)
c
x + y
2
在 -坐标系中，标定与单元体A、D面上
应力对应的点a和d
连ad交 轴于c点，c即为圆心，cd为应 力圆半径。
第40页/共123页
§2 平面应力状态分析
yy
yx
DB
A
xx
xxyy
O
C
d(y ,yx)
正应力与切应力
第15页/共123页
§2 平面应力状态分析
1、正应力正负号约定
x
应力状态
x
x
拉为正
第16页/共123页
x
压为负
§2 平面应力状态分析
切应力正负号约定
xy
yx
应力状态
使单元体 或其局部顺时 针方向转动为 正；反之为负。
第17页/共123页
§2 平面应力状态分析
角正负号约定
由x正向逆 时针转到n正 向者为正；反 之为负。
yx
a (x ,xy)
A
x
p xy
2
tg 2
p
-
x
-
xy x
+
2
y
o 2
1
d
2p
c g 1
负号表示从主应力的正方向到x轴的正方向为顺时转向
第48页/共123页
§2 平面应力状态分析
主应力与主方向的对应关系
应力状态
小（主应力中小的）偏小（σx和σy中 小的）、大（主应力中大的）偏大（σx和 σy中大的） ，夹角不比450大。
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E3 A3
设由温度变化引起： t l3t
A
解答成为（比较预应力与热应力）
Page17
第三章 轴向拉压变形
例：3杆制造误差长 ，1、2杆 E1，A13杆 E，3求A3各杆内力
1 32
l2 Al1
l3
FN 3
FN1
FN 2
解：(1)平衡方程（设各杆受拉）
FN1 sin FN2 sin 0 FN1 cos FN2 cos FN3 0
(2)协调方程
l1 l3 cos
思考：可否假设杆1，3受压，杆2 受拉求解？
F
Page 8
2
3
45
1 C l1
l3 l2
F C
FN2 FN3
45
C
FN1
F
第三章 轴向拉压变形
解：1、平衡方程
FN1 FN3 sin 45 0
FN2 FN3 cos 450 F 0
2、变形协调方程
l2 l1 2l3
3、物理方程
li
FNi li EA
平衡方程： FNT1+FNZ=P
FNT2 +FNZ=0
Page 4
第三章 轴向拉压变形
关于变形图的画法 若能直接判断出真实变形趋势，则按此趋势画变形图；
(写变形协调方程时，可先不考虑符号，计算完后加以说明即可)
若不能直接判断出真实变形趋势，则画出任意可能变形 图均可。
对于不能判断出真实变形趋势的情况，一般可假设各杆 均产生拉伸变形，即内力为正(设正法)。若计算结果 为负，则说明真实方向与所设方向相反。
Page 9
第三章 轴向拉压变形
2
3
45
1C
4、解答
2 1 F
FN1
2
3 2F
FN2
2
2 2F
FN3
2
5、强度校核
F
设 A 200mm2, F 40kN, 160MPa
思考：选取哪一根或哪几根杆校核？如果不够，怎样加强?
2
FN 2 A
158.6MPa
符合强度要求
Page10
B
(1)
C'
BD
C'
(2)
A
A
(3)
(4)
坐火车时总能听到的“咣当”声 来自哪里？
桥梁两段之间为什么要留 有缝隙？
Page16
第三章 轴向拉压变形
l llT
BD
C'
A
在静不定结构各构件杆变形必须服从变形协调条件， 因此温度变化或杆长制造误差，一般将引起应力。
由于杆长制造误差或温度变化，结构在未受载时已存 在的应力，分别称为初应力（或称预应力）与热应力。
代入物理方程
A
FN1l1 E1 A1
FN 3 l3 E3 A3
cos
Page18
第三章 轴向拉压变形
1 32
l2 Al1
FN3 l3
FN1
FN 2
解答：
FN1
FN 2
l3
E1 A1 cos2
1 2E1 A1 cos3
E3 A3
FN 3
l3
2E1 A1 cos3 1 2E1 A1 cos3
Page14
第三章 轴向拉压变形
建立协调方程例（方法二）
B
C
1
2
A
F
D
E
A
x
y
结构看作两部分组合，A点位移相同。
协调方程： x l1, l2 'x l3, l4 y l1, l2 'y l3, l4
A
x
y
Page15
第三章 轴向拉压变形
§3-6 热应力与初应力
思考：当温度变化时，杆内可能引起应力吗？
第三章 轴向拉压变形
2
3
45
1C
F
4、解答
2 1 F
FN1
2
3 2F
FN2
2
2 2F
FN3
6、设计截面
2
思考：由上式设计的
A1, A2,能A3,否取各自由上 式的计算值？为什么？
设 F 40kN, 160MPa
FNi ,
Ai
Ai
FN i
Page11
第三章 轴向拉压变形
例：ABC刚性块，各杆EA，求轴力。
4a
B B
D
3a
A
45
C C
E 2a
F
解：1、协调条件
BB' CC '
3a 4a
lBD 2lEC
3a
4a
2、代Байду номын сангаас物理方程
分析：如何建立变形协调条件？
考虑刚性块ABC转动：
FNBD 4a 2FNEC 2a 3aEA 4aEA
32 FNBD 8 FNEC
Page12
第三章 轴向拉压变形
4a
第三章 轴向拉压变形
关于答疑：本学期教研室不安排集体答疑（全校没 有公共的答疑时间）
答疑：课后，email，考前集中答疑（部分作业题 课上讲解，期末考试前把答案发给大家）
*静定问题 ：由静力平衡方程可确定全部未知力(包括 支反力与内力)的问题。
*静不定问题：根据静力平衡方程不能确定全部未知力的
问题。
协调条件： l1 l2
平衡方程：
P
FN1 FN2
FN 1 FN 2 P
Page 3
第三章 轴向拉压变形
P
P
套筒：E1A1 轴：E2A2
l1
l2
分析变形： 套筒和轴同时伸长，由于两端为刚性固 定，套筒和轴的伸长量相等。
协调条件： lT lZ
轴均匀变形 lT l1 l2
P
FNT1 FNT2 FNZ FNZ
B
FNBD
32 FNBD 8 FNEC
3、平衡方程
3a
A
3FNBD 2 2FNEC 4F
C
FNEC
F
4、解答
16 2
FNEC 25 F
12
FN BD
F 25
Page13
第三章 轴向拉压变形
建立协调方程例（方法一）
B
C
A
F
D
E
1
2
3
4
赘余杆：杆3和杆4
协调方程：f1 l1, l2, l3 0 f2 l1, l2, l4 0
做人？
物理 几何 静力学
内因 外因（平衡）
协调方程
Page 1
第三章 轴向拉压变形
例：套管与轴两端用刚性板固定，其拉压刚度分别为 E1A1、 E2A2。求分别在下列两种情况的载荷P作用下， 套管与轴的轴力。
P
P
P
P
l1
l2
Page 2
第三章 轴向拉压变形
P
P
套筒：E1A1 轴：E2A2
分析变形： 套筒和轴同时伸长，由于两端为刚性固 定，套筒和轴的伸长量相等。
Al l1
l l2
lB
l3
F
l2
l1
2
l3
FN1
FN2
FN3
F
Page 7
第三章 轴向拉压变形
例：各杆拉压刚度EA，杆1，2 长l
2
3
45
1 C l1
l3 l2
F C
FN2 FN3
45
FN1
解：1、画变形图(画法2,教 材P75图为画法1)
设节点C位移至C’，过C’ 点向三杆作垂线
2、根据变形图画受力图，假 设各杆均受拉。对照书上 例题。
Page 5
第三章 轴向拉压变形 例：AC为刚性杆，求1、2两杆的轴力
1 l
A FA
A
可直接判断：1杆缩短， 2杆伸长
2
l
lC
B
F
l1 l2
FB
计算完之后，说明一下：
C B
1杆受压，2杆受拉
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第三章 轴向拉压变形
例：AB为刚性杆，求1、2、3杆的轴力。
1
2
3
假设各杆受拉(设正法) 各杆伸长，所受轴力为正