一点通教育
学习改变命运，勤奋成就未来！ 初三数学冲刺班讲义
让孩子更优秀
第 1 页 共 5 页 第三讲：锐角三角函数（一）
知识点一：锐角三角函数
1、锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数。
2、锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即斜边的对边AAsin。
3、锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即斜边的邻边AAcos。
4、锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即的邻边的对边AAAtan。
sin，cos，tan都是一个完整的符号，单独的 “sin”没有意义，其中前面的“∠”一般省略不写；但当用三个大写字母表示一个角时，“∠”的符号就不能省略。
注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。
考点一：锐角三角函数的定义
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=54，则AC：BC：AB=（ ）
A、3：4：5 B、5：3：4 C、4：3：5 D、3：5：4
2、已知锐角α，cosα=35，sinα=_______，tanα=_______。
3、在△ABC中，∠C=90°，若4a=3c，则cosB=______.tanA = ______。
4、在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=13，则BC等于_______。
5、在△ABC中，∠C=90°，若把AB、BC都扩大n倍，则cosB的值为（ ）
A、ncosB B、1ncosB C、cosnB D、不变
考点二：求某个锐角的三角函数值——关键在构造以此锐角所在的直角三角形
例1、如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AEBC，DFAE，垂足为F，连接DE。
（1）求证：ABE△DFA≌△；
第1页/共3页 中考数学锐角三角函数专题复习
◆考点聚焦
1.了解锐角三角函数的定义，并能通过画图找出直角三角形中边、角关系，•这也是本节的重点和难点.
2.准确记忆30、45、60的三角函数值.
3.会用计算器求出已知锐角的三角函数值.
4.已知三角函数值会求出相应锐角.
5.掌握三角函数与直角三角形的相关应用，这是本节的热点.
◆备考兵法
充分利用数形结合的思想，对本节知识加以理解记忆.
◆识记巩固
1.锐角三角函数的定义：
如图，在Rt△ABC中，=90，斜边为c，a，b分别是A的对边和邻边，则
sinA=______=_______;
cosA=______=_______;
tanA=______=_______.
2.填表：
30 45 60
sin
cos
tan 第2页/共3页 注意：30，45，60的三角函数值是中考的必考考点，其他数值是利用数形结合的方法推导的，要求在理解的基础上进行识记.
3.锐角三角函数间的关系：
(1)互为余角的三角函数间的关系：
sin(90- )=____，cos(90- )=_____.
(2)同角三角函数的关系：
①平方关系：sin2 +cos2 =_______;
“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。其实《国策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。称“老师”为“先生”的记载，首见于《礼记?曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意基本一致。②商数关系： =_______. 第3页/共3页 单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米．
【答案】553 4
【解析】
【分析】
如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．
【详解】
解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．
∵AM⊥CD，
∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，
∴四边形OQMP是矩形，
∴QM＝OP，
∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∵OP⊥CD，
∴∠COP＝12∠COD＝30°，
∴QM＝OP＝OC•cos30°＝53（分米），
∵∠AOC＝∠QOP＝90°，
∴∠AOQ＝∠COP＝30°，
∴AQ＝12OA＝5（分米），
∴AM＝AQ＋MQ＝5＋53．
∵OB∥CD，
∴∠BOD＝∠ODC＝60° 在Rt△OFK中，KO＝OF•cos60°＝2（分米），FK＝OF•sin60°＝23（分米），
在Rt△PKE中，EK＝22EFFK＝26（分米），
∴BE＝10−2−26＝（8−26）（分米），
在Rt△OFJ中，OJ＝OF•cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米），
在Rt△FJE′中，E′J＝2263（2）＝26，
∴B′E′＝10−（26−2）＝12−26，
∴B′E′−BE＝4．
故答案为：5＋53，4．
【点睛】
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米．
【答案】553 4
【解析】
【分析】
如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．
【详解】
解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．
∵AM⊥CD，
∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，
∴四边形OQMP是矩形，
∴QM＝OP，
∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∵OP⊥CD，
∴∠COP＝12∠COD＝30°，
∴QM＝OP＝OC•cos30°＝53（分米），
∵∠AOC＝∠QOP＝90°，
∴∠AOQ＝∠COP＝30°，
∴AQ＝12OA＝5（分米），
∴AM＝AQ＋MQ＝5＋53．
∵OB∥CD，
∴∠BOD＝∠ODC＝60° 在Rt△OFK中，KO＝OF•cos60°＝2（分米），FK＝OF•sin60°＝23（分米），
在Rt△PKE中，EK＝22EFFK＝26（分米），
∴BE＝10−2−26＝（8−26）（分米），
在Rt△OFJ中，OJ＝OF•cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米），
在Rt△FJE′中，E′J＝2263（2）＝26，
∴B′E′＝10−（26−2）＝12−26，
∴B′E′−BE＝4．
故答案为：5＋53，4．
【点睛】
