中考数学一轮复习第十二讲分式

2011年中考数学一轮复习第十二讲：分式

知识梳理

知识点1、分式的概念

重点：掌握分式的概念和分式有意义的条件

难点：分式有意义、分式值为0的条件

分式的概念：形如 ,其中分母B中含有字母,分数是整式而不是分式.

分式 中的字母代表什么数或式子是有条件的.

1分式无意义时,分母中的字母的取值使分母为零,即当B=0时分式无意义.

2求分式的值为零时,必须在分式有意义的前提下进行,分式的值为零要同时满足分母的值不为零及分子的值为零,这两个条件缺一不可.

3分式有意义,就是分式里的分母的值不为零.

例. 若代数式 有意义,则x的取值范围为________________

解题思路：分式有意义,就是分式里的分母不为零,答案：x≠－2且 x≠－3且x≠－4

例2 如果分式32x2|x|-1x的值为零,那么x等于

.1 C或1 或2

解题思路：要使分式的值为零,只需分子为零且分母不为零,

∴2||10320xxx. 解得x=-1.

答案:A.

练习1. 若分式 的值为零,则 的值为

2.1当x=_______时,分式xx312无意义；

2当x=_______时,分式11xx有意义;

答案：1. 133 2. 1x=3；2x1

知识点2、分式的基本性质

重点：正确理解分式的基本性质. aa1222334aaaaBABA4321xxxx难点：运用分式的基本性质,将分式约分、通分

分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以或除以同一个不等于零的整式,分式的值不变,用式子表示是：AB=MBMA,AB=MBMA.其中M是不等于零的整式

分式中的A,B,M三个字母都表示整式,其中B必须含有字母,除A可等于零外,B,M都不能等于零.因为若B=0,分式无意义；若M=0,那么不论乘或除以分式的分母,都将使分式无意义.

分式的约分和通分

1约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去,叫做分式的约分．

2分式约分的依据：分式的基本性质．

3分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式,然后约去分子与分母的公因式．

4最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时,叫做最简分式．

例1： 约分：532164.1abcbca xyayxa322.2

解题思路：分式的分子、分母都是几个因式的积的形式,所以约去分子、分母中相同因式的最低次幂,注意系数也要约分

1解：23235324444164caabccabcaabcbca

2.请学生分析如何约分：由于yxxy,所以,分子和分母的公因式是：yxa,约分可得：

解：2232322222yxayxayxyxayxayxaxyayxa

小结：①当分式的分子、分母为多项式时,先要进行因式分解,才能够依据分式的基本性质进行约分．②注意对分子、分母符号的处理．分子或分母的系数是负数时,一般先把负号提到分式本身的前边．

例2 求分式2241xx与412x的最简公分母;

解题思路：先把这两个分式的分母中的多项式分解因式,即

4x-2x2=-2xx-2,x2-4=x+2x-2, )2)(2(422122xxxxxx的最简公分母是与把这两个分式的分母中所有的因式都取到,其中,系数取正数,取它的积,即2xx+2x-2就是这两个分式的最简公分母;

求几个分式的最简公分母的步骤：

1．取各分式的分母中系数最小公倍数；

2．各分式的分母中所有字母或因式都要取到；

3．相同字母或因式的幂取指数最大的；

4．所得的系数的最小公倍数与各字母或因式的最高次幂的积其中系数都取正数即为最简公分母;

例3 通分： 42,361,)42(222xxxxxx,

解题思路：各个分式的分母都是多项式,并且可以分解因式;这时,可先把各分式的分母中的多项式分解因式,再确定各分式的最简公分母,最后通分;

解 2x-42=2x-22=4x-22,

6x-3x2=-3xx-2,x2-4=x+2x-2;

所以,最简公分母是12xx+2x-22,故

22222)2)(2(12)2)(2(4361,)2)(2(12)2(3)42(xxxxxxxxxxxxxx,

222)2)(2(12)2(2442xxxxxxx;

练习1. 分式122xx与242x的最简公分母是_________;

2.1如果把分式xyx2中x和y都扩大10倍,那么分式的值

A. 扩大10倍 B. 缩小10倍 C. 扩大2倍 D. 不变

2下面各式正确的是

答案：1

2. 1D；2D 知识点3、分式的运算

重点：掌握分式的运算法则

难点：熟练进行分式的运算

1.分式加减法法则

1通分：把异分母的分式化为同分母分式的过程,叫做通分

2同分母分式的加减法法则：同分母的分式相加减,分母不变,分子相加减．

3异分母分式的加减法法则：异分母的分式相加减,先通分．变为同分母分式后再加减．

2．分式的化简

分式的化简与分式的运算相同,化简的依据、过程和方法都与运算一样,分式的化简题,大多是分式的加、减、乘、除、乘方的混合题,化简的结果保留最简分式或整式．

3.分式的四则混合运算

分式的四则混合运算运算顺序与分数的四则运算顺序一样,先乘方,再乘除,最后加减,有括号要先算括号内的．有些题目先运用乘法分配律,再计算更简便些．

例1．先化简,再求值：13)11132(22xxxxxxx．其中x＝2

解题思路：分式混合运算法则口诀：分式四则运算,顺序乘除加减,乘除同级运算,除法符号须变乘：乘法进行化简,因式分解在先,分子分母相约,然后再行运算；加减分母需同．分母化积关键；找出最简公分母,通分不是很难；变号必须两处．结果要求最简．

解法一：13)11132(22xxxxxxx

＝31))1)(1()1()1)(1(3222xxxxxxxxx

＝31)1)(1()12(3222xxxxxxxx

＝3431)1)(1(44•xxxxxx;

解法二：13)11132(22xxxxxxx ＝311131)1)(1()1)(3(xxxxxxxxxx

＝343)1(33133xxxxxxxx

当x=2时,原式＝一324＝4;

例2． 先化简 412312aaa,然后请你给a选取一个合适的值,再求此时原式的值．

解题思路：本题有三个步骤：1化简；2取值；3求值．此类题以开放题的形式出现,字母的取值范围很广,比如,在本题中,为a选取合适的值时．存在许多种选法,一般地,取易于计算的值,但要考虑分式的分母不为零．即a≠±2．

解：原式＝21)2)(2(232aaaaaa

当a=1时,原式=1+2=3．

练习1.化简:1211aaa÷1-11a.

2.化简: 22226211962xxxxxxxx.

答案：1. 2aa

知识点4、分式方程

重点：掌握分式方程的解法与步骤

难点：解分式方程的思想转化以及验根

分式方程是方程中的一种,且分母里含有字母的方程叫做分式方程;

分式方程的解法

①去分母{方程两边同时乘以最简公分母最简公分母:①最小公倍数②相同字母的最高次幂③只在一个分母中含有的照写,将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时.不要忘了改变符号};②按解整式方程的步骤移项,若有括号应去括号,注意变号,合并同类项,系数化为1求出未知数的值;③验根求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根.

验根时把整式方程的根代入最简公分母,如果最简公分母等于0,这个根就是增根;否则这个根就是原分式方程的根;若解出的根是增根,则原方程无解; 解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方程两边同乘最简公分母,这也是解分式方程的一般思路和做法;

例1解方程：120112xxxx．

解题思路：解分式方程的基本思路是：先确定最简公分母,再通过去分母把分式方程转化成整式方程,从而求得其解． 要注意的是解分式方程必须检验,若为增根,须舍去

解：两边同乘以(1)(12)xx,

得(1)(12)2(1)0xxxx；

整理,得510x；

解得 15x．

经检验,15x是原方程的根．

例2解方程：11322xxx．

解题思路：本题在去分母把分式方程转化成整式方程时,方程中的整数项3,也应乘最简公分母x-2,

不要漏乘.

解：方程两边同乘(2)x,得1(1)3(2)xx．

解这个方程,得2x．

检验：当2x时,20x,

所以2x是增根,原方程无解

例3若方程322xmxx无解,则m=______．

解题思路：分式方程的无解,就是分式方程中未知数的取值使分母的值为0,导致分式无意义.本题当x=2时分母x-2=0. 分式方程无解,实质就是指对应整式方程的解是原分式方程的增根,其整式方程的解会使最简公分母的值为零.

解：方程两边同乘以x-2,化去分母,

得x-3=-m,

因为分式方程322xmxx无解, 所以x=2, 2-3=-m, 故m=1.

练习1.解方程21124xxx．

2.若关于x的分式方程3131xax在实数范围内无解,则实数a___________.

答案:1.解：方程两边同乘x-2x+2,得

xx+2-x2-4=1,

化简,得2x=-3

x=-3/2,

经检验,x=-3/2是原方程的根．

=1

知识点5、分式方程的应用

重点：掌握解分式方程应用题的步骤

难点：审题弄清题目中的等量关系

列分式方程与列整式方程解应用题一样,应仔细审题,找出反映应用题中所有数量关系的等式,恰当地设出未知数,列出方程． 与整式方程不同的是求得方程的解后,应进行两次检验,一是检验是否是增根,二是检验是否符合题意．

例某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本,并按该书定价7元出售,很快售完．由于该书畅销,第二次购书时,每本书的批发价已比第一次提高了20%,他用1500元所购该书数量比第一次多10本．当按定价售出200本时,出现滞销,便以定价的4折售完剩余的书．试问该老板这两次售书总体上是赔钱了,还是赚钱了不考虑其它因素若赔钱,赔多少若赚钱,赚多少