线面垂直性质定理

武威第三中学——邵志光

线面平行的判定及其性质

1、直线与平面平行的判定定理：

定理1：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

定理2：平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。

2、判断直线与平面平行的方法:

（1）利用定义：证明直线与平面无公共点；

（2）利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行；

（3）利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。

注：线面平行通常采用构造平行四边形来求证。

3、直线与平面平行的性质定理：

定理1：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

定理2:一条直线与一个平面平行，则该直线垂直于此平面的垂线。

线面垂直判定及其性质

线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。

线面垂直的性质定理：

性质定理1：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的所有直线。

性质定理2：经过空间内一点，有且只有一条直线垂直已知平面。

性质定理3：如果在两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。

性质定理4：垂直于同一平面的两条直线平行。

面面平行判定及其性质

1、面面平行的判定定理：

定理1：如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。

推论:如果两个平面的垂线平行，那么这两个平面平行。（可理解为法向量平行的平面平行）

定理2:如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。

定理3：如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行。

2、面面平行的性质定理:

定理1:两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面。

定理2:两个平行平面，分别和第三个平面相交，交线平行。

定理3:两个平面平行，和一个平面垂直的直线必垂直于另外一个平面。（判定定理1的逆定理）

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1页 2.3.3 直线与平面垂直的性质教学设计

课标要求：

以立体几何的定义、 公理、 定理为出发点， 通过直观感知、 操作确认，归纳出直线与平面垂直的性质定理，并加以证明。

学情分析：

在学习本节课的内容之前，刚刚学习了直线与平面垂直的 定义以及判定定理，在学完判定定理之后紧接着的例1当中我们利用判定定理证明了线线平行的性质定理， 即如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面，用符号语言表示为若 a//b, a⊥α，则 b⊥α 。而我们的直线与平面垂直的性质定理就

是将上述命题的中的题设和结论改变一下得到的。 所以在前面知识的 基础上学习本节课的内容并不是很难。

教材分析：

1.本节的作用和地位： 本节课是人教版必修 2 第二章直线与平面垂直的第三课时。空间中直线与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常 重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范。 空间中直线与平面垂直的性质定理不仅是由线面关系转化为线线关系，而且将垂直关系转化为平行关系，因此直线与平面垂直的性质定 理在立体几何中有着重要的地位和作用。

2.本节主要内容： 直线与平面垂直的性质定理的证明及转化思想的渗透。

教学目标：

1.知识与技能：掌握直线与平面垂直的性质定理，了解线面关系与线线关系，垂直关系与平行关系之间的转化以及反证法的应用。

2.过程与方法：在观察长方体模型的基础上进行操作确认，获得 如有你有帮助，请购买下载，谢谢！

2页 对性质定理正确性的认识，进一步推导出定理的证明过程。

3.情感态度与价值观：通过“直观感知、操作确认，推理证明”，

提高空间想象的能力和逻辑推理能力。

教学重点：直线与平面垂直的性质定理的证明及转化思想的渗透。

教学难点：直线与平面垂直的性质定理的证明

教学理念：

高中学生思维活跃，参与意识、自主探究能力较强，整节课主要以学生自主探究为主，老师只起一个组织，引导的作用。从而增强空间想象能力，养成质疑思辨、创新的精神。

1 OABCOAB授课内容 线面垂直的判定及性质

教学内容

知识梳理

1 、线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足

直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a⊥α

2、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面

3

直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行

4、斜线,垂线,射影

⑴垂线 自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影. 这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.

⑵斜线 一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段

⑶射影 过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影

直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线直线与平面垂直射影是点斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上

5．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角 2 一直线平行于平面或在平面内，所成角为0角。直线和平面所成角范围： 0，2

（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角

【同步练习】

1、下列命题中正确的个数是（ ）

①如果直线l与平面内的无数条直线垂直，则l；

2012个性化辅导教案

1 教师姓名 学生姓名 教材版本 人教版

学科名称 数学 年 级 高一上 上课时间 2012.

课题名称 直线和平面垂直的判定和性质

教学目标 能利用线面垂直的判定和性质进行证明。

教学重点 三垂线定理的应用。

教 学 过 程 备 注

一、知识要点：

1.直线和平面垂直

如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直.

2.线面垂直判定定理和性质定理

判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.

判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.

判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.

性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.

3.三垂线定理和它的逆定理.

三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直.

逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直.

二、典型例题：

【例1】 如图所示，已知点S是平面ABC外一点，

∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，点A在直线SB和SC上的

射影分别为点E、F，求证：EF⊥SC.

例1题图

2012个性化辅导教案

2 【例2】 已知：M∩N=AB,PQ⊥M于Q，PO⊥N于O，OR⊥M于R，求证：QR⊥AB.

【例3】 已知如图(1)所示，矩形纸片AA′A′1A1,B、C、B1、C1 分别为AA′,A1A′的三等分点，将矩形纸片沿BB1,CC1折成如图(2)形状（正三棱柱），若面对角线AB1⊥BC1，求证:A1C⊥AB1.