线面垂直面面垂直的判定定理和性质定理

教学内容 直线、平面垂直的判定与性质

教学目标 掌握线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理

重点 线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理

难点 线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理

教学准备

教

学

过

程

直线、平面垂直的判定与性质

知 识 梳 理

1．直线与平面垂直

(1)定义：若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．

(2)判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面．即：a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P⇒l⊥α.

(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．即：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.

2．平面与平面垂直

(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

(2)判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．即：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.

(3)性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．即：α⊥β，a⊂α，α∩β＝b，a⊥b⇒a⊥β.

3．直线与平面所成的角

(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．

(2)线面角θ的范围：θ∈0，π2.

教

学

效

果

分

析

教

学

过

程

辨 析 感 悟

1．对线面垂直的理解

(1)直线a，b，c；若a⊥b，b⊥c，则a∥c.( )

(2)直线l与平面α内无数条直线都垂直，则l⊥α.( )

(3)(2013·浙江卷，4C)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m∥n，m⊥α，则n⊥α.( )

(4)(2013·广东卷，8D)设l为直线，α，β是两个不同的平面，若α⊥β，l∥α，则l⊥β.( )

2．对面面垂直的理解

(5)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．( )

(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.( )

9.5直线、平面垂直的判定与性质

1．直线与平面垂直

(1)直线和平面垂直的定义

直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．

(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理

文字语言 图形语言 符号语言

判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b ⇒l⊥α

性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 a⊥αb⊥α⇒a∥b

2．平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言 图形语言 符号语言

判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面互相垂直 l⊂βl⊥α⇒α⊥β

性质定理 两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α

1．证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件．

2．面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视．

3．面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误．

[试一试]

1．“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的________条件(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”或“既不充分也不必要”)．

【解析】根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可以，所以应该是必要不充分条件．

【答案】必要不充分

2．(2014·盐城摸底)设m，n是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题：

(1)若m⊥n，m⊂α，则n⊥α；

(2)若m⊥α，n∥m，则n⊥α；

(3)若n∥α，m⊂α，则n∥m；

(4)若m∥α，n∥α，则m∥n.

其中真命题是________(填序号)．

【解析】对于(1)，n⊂α，n与α相交，n⊥α都有可能；对于(3)，n与m异面，n∥m都有可能；对于(4)，m与n相交，平行，异面都有可能．

线面垂直面面垂直的判定定理和性质定理

线面垂直面面垂直的判定定理是指两个射线有一定的关系即垂直面是垂直的，其中一个起点在另一个终点上。简单来说就是两线垂直于一个面，则这两条线的垂直的面也是垂直的。

由线面垂直面面垂直的判定定理可以得出线面垂直面面垂直的性质定理，这是建立在线面垂直面面的判断定理的基础之上的定理。

线面垂直面面垂直的性质定理：若两个射线分别与两个平面成垂直，则它们两个平面所成的平面也是垂直的。

该定理也可以用图形来表示，如下图所示：

从图中可以看出，射线AB和CD都是垂直于两个平面m、n，其中AB与m，CD与n成垂直。而平面m和n又组成一个新平面mn，根据线面垂直面面垂直的性质定理可以知道AB与mn也是垂直的， 同样CD也与mn是垂直的。

线面垂直面面垂直的定理主要应用在几何中，它可以用来证明两个平面的面积计算方法是正确的，也可以用来证明两个球面的夹角是垂直的。同时，它同样可以应用在工程技术中，例如对于地面上的建筑物，我们可以用它来判断其是否与地面垂直。

由此可以看出，线面垂直面面垂直的判定定理和性质定理对于各类几何计算和工程技术应用具有十分重要的意义。它能有效地帮助人们判断两面之间是否是垂直的关系，从而实现各种几何计算和工程技术应用。

面面垂直的判定定理和一般性质

一、面面垂直的判定定理和一般性质

1、二面角

（1）半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，每一部分都叫做半平面。

（2）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。

（3）二面角的表示方法

①棱为$AB$，面分别为$α$，$β$的二面角记作二面角$α—AB—β$。

②棱为$l$，面分别为$α$，$β$的二面角记作二面角$α—l—β$。

③棱为$AB$，若在$α$，$β$面内分别取不在棱上的点$P$，$Q$，这个二面角可记作二面角$P—AB—Q$。

（4）二面角的平面角

在二面角$α—l—β$的棱$l$上任取一点$O$，以点$O$为垂足，在半平面$α$和$β$内分别作垂直于棱$l$的射线$OA$和$OB$，则射线$OA$和$OB$构成的∠$AOB$叫做二面角的平面角。

二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。平面角是直角的二面角叫做直二面角。

二面角的平面角的取值范围为$[0°,180°]$。

2、平面与平面垂直

定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作$α⊥β$。

判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

平面与平面垂直的一般性质和结论

（1）如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面。 （2）如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内。

（3）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。