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2003年全国高中数学联赛试题及解答

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2003年全国高中数学联合竞赛试卷

第一试

(10月12日上午8:009:40)

一、选择题(每小题6分，共36分)

1．(2003年全国高中数学联赛)删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2003项是

(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049

2．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是

yxOOxyOxyyxOA.B.C.D. 3．过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于

(A) 163 (B) 83 (C) 1633 (D) 83

4．若x∈[－512 ，－3 ]，则y=tan(x+23 )－tan(x+6 )+cos(x+6 )的最大值是

(A) 1252 (B) 1162 (C) 1163 (D) 1253

5．已知x，y都在区间(－2，2)内，且xy=－1，则函数u=44－x2+99－y2的最小值是

(A) 85 (B) 2411 (C) 127 (D) 125

6．在四面体ABCD中， 设AB=1，CD=3，直线AB与CD的距离为2，夹角为3，则四面体ABCD的体积等于

(A) 32 (B) 12 (C) 13 (D) 33

二．填空题(每小题9分，共54分)

7．不等式|x|3－2x2－4|x|+3<0的解集是 ．

8．设F1、F2是椭圆x29+y24=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|∶|PF2|=2∶1，则△PF1F2的面积等于 ．

9．已知A={x|x2－4x+3<0，x∈R}，

B={x|21－x+a≤0，x2－2(a+7)x+5≤0，x∈R}

若AB，则实数a的取值范围是 ．

10．已知a，b，c，d均为正整数，且logab=32，logcd=54，若a－c=9，则b－d= ．

11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于 ．

12． 设Mn={(十进制)n位纯小数0.－a1a2…an|ai只取0或1(i=1，2，…，n－1)，an=1}，Tn 是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则limn→∞SnTn= ．

三、（本题满分20分）

13．设32≤x≤5，证明不等式

2x+1+2x－3+15－3x<219．

四、(本题满分20分)

14．设A、B、C分别是复数Z0=ai，Z1=12+bi，Z2=1+ci(其中a，b，c都是实数)对应的不共线的三点．证明：曲线

Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t (t∈R)

与△ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点．

五、(本题满分20分)

15．一张纸上画有一个半径为R的圆O和圆内一个定点A，且OA=a，折叠纸片，使圆周上某一点A刚好与点A重合．这样的每一种折法，都留下一条折痕．当A取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合． 加试题

(10月12日上午10:0012:00)

一、（本题50分）

过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A、B，所作割线交圆于C、D两点，C在P、D之间．在弦CD上取一点Q，使∠DAQ=∠PBC．

求证：∠DBQ=∠PAC．

二、（本题50分）

设三角形的三边长分别是正整数l，m，n．且l>m>n>0．

已知3l104=3m104=3n104，其中{x}=x－[x]，而[x]表示不超过x的最大整数．求这种三角形周长的最小值．

三、（本题50分）

由n个点和这些点之间的l条连线段组成一个空间图形，其中n=q2+q+1，l≥12q(q+1)2+1，q≥2，q∈N．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q+2条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A、B、C、D和四条连线段AB、BC、CD、DA组成的图形)． 1997年全国高中数学联赛解答

第一试

一、选择题(每小题6分，共36分)

1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2003项是

(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049

解：452=2025，462=2116．

在1至2025之间有完全平方数45个，而2026至2115之间没有完全平方数．故1至2025中共有新数列中的2025－45=1980项．还缺2003－1980=23项．由2025+23=2048．知选C．

2．设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是

yxOOxyOxyyxOA.B.C.D.

解：曲线方程为x2a+y2b=1，直线方程为y=ax+b．

由直线图形，可知A、C中的a<0，A图的b>0，C图的b<0，与A、C中曲线为椭圆矛盾．

由直线图形，可知B、D中的a>0，b<0，则曲线为焦点在x轴上的双曲线，故选B．

3．过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于

(A) 163 (B) 83 (C) 1633 (D) 83

解：抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB所在直线方程为y=3x，弦的中点在y=pk=43上，即AB中点为(43，43)，中垂线方程为y=－33(x－43)+43，令y=0，得点P的坐标为163．

∴ PF=163．选A．

4．若x∈[－512 ，－3]，则y=tan(x+23)－tan(x+6)+cos(x+6)的最大值是

(A) 1252 (B) 1162 (C) 1163 (D) 1253

解：令x+6=u，则x+23=u+2，当x∈[－512，－3]时，u∈[－4，－6]，

y=－(cotu+tanu)+cosu=－2sin2u+cosu．在u∈[－4，－6]时，sin2u与cosu都单调递增，从而y单调递增．于是u=－6时，y取得最大值1163，故选C．

5．已知x，y都在区间(－2，2)内，且xy=－1，则函数u=44－x2+99－y2的最小值是

(A) 85 (B) 2411 (C) 127 (D) 125

解：由x，y∈(－2，2)，xy=－1知，x∈(－2，－12)∪(12，2)，

u=44－x2+9x29x2－1=－9x4+72x2－4－9x4+37x2－4=1+3537－(9x2+4x2)．

当x∈(－2，－12)∪(12，2)时，x2∈(14，4)，此时，9x2+4x2≥12．(当且仅当x2=23时等号成立)．

此时函数的最小值为125，故选D． 6．在四面体ABCD中， 设AB=1，CD=3，直线AB与CD的距离为2，夹角为3，则四面体ABCD的体积等于

(A) 32 (B) 12 (C) 13 (D) 33

解：如图，把四面体补成平行六面体，则此平行六面体的体积=1×3×sinπ3×2=3．

而四面体ABCD的体积=16×平行六面体体积=12．故选B．

二．填空题(每小题9分，共54分)

7．不等式|x|3－2x2－4|x|+3<0的解集是

．

解：即|x|3－2|x|2－4|x|+3<0，(|x|－3)(|x|－5－12)(|x|+5+12)<0．|x|<－5+12，或5－12<|x|<3．

∴ 解为(－3，－5－12)∪(5－12，3)．

8．设F1、F2是椭圆x29+y24=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|∶|PF2|=2∶1，则△PF1F2的面积等于 ．

解：F1(－5，0)，F2(5，0)；|F1F2|=25．

|PF1|+|PF2|=6，|PF1|=4，|PF2|=2．由于42+22=(25)2．故PF1F2是直角三角形55．

∴ S=4．

9．已知A={x|x2－4x+3<0，x∈R}，

B={x|21－x+a≤0，x2－2(a+7)x+5≤0，x∈R}

若AB，则实数a的取值范围是 ．

解：A=(1，3)；

又，a≤－21－x∈(－1，－14)，当x∈(1，3)时，a≥x2+52x －7∈(5－7，－4)．

∴ －4≤a≤－1．

10．已知a，b，c，d均为正整数，且logab=32，logcd=54，若a－c=9，则b－d= ．

解：a3=b2，c5=d4，设a=x2，b=x3；c=y4，d=y5，x2－y4=9．(x+y2)(x－y2)=9．

∴ x+y2=9，x－y2=1，x=5，y2=4．b－d=53－25=125－32=93．

11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于

．

解：如图，ABCD是下层四个球的球心，EFGH是上层的四个球心．每个球心与其相切的球的球心距离=2．EFGH在平面ABCD上的射影是一个正方形．是把正方形ABCD绕其中心旋转45而得．设E的射影为N，则

MN=2－1．EM=3，故EN2=3－(2－1)2=22．∴ EN=48．所求圆柱的高=2+48．

12． 设Mn={(十进制)n位纯小数0.－a1a2…an|ai只取0或1(i=1，2，…，n－1)，an=1}，Tn 是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则limn→∞SnTn= ．

解：由于a1，a2，…，an－1中的每一个都可以取0与1两个数，Tn=2n－1．

在每一位(从第一位到第n－1位)小数上，数字0与1各出现2n－2次．第n位则1出现2n－1次．

∴ Sn=2n－20.11…1+2n－210－n．

∴ limn→∞SnTn=1219=118． 三、（本题满分20分）

13．设32≤x≤5，证明不等式

2x+1+2x－3+15－3x<219． NMDCBANMHGFEDCBA

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高考数学2009年高考试题——数学(全国卷I)(文)

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知识改变命运，学习成就未来

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第 1 页 共 9 页 高考数学2009年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学（必修+选修Ⅰ）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第错误！未找到引用源。卷1至2页，第错误！未找到引用源。卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．

3．第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

参考公式：

如果事件AB，互斥，那么 球的表面积公式

()()()PABPAPB 24πSR

如果事件AB，相互独立，那么 其中R表示球的半径

()()()PABPAPB 球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么 34π3VR

n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径

()(1)(01,2)kknknnPkCPPkn，，，

一、选择题

（1）sin585°的值为

(A) 22 (B)22 (C)32 (D) 32

(2)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集=AB，则集合Cu（AB）中的元素共有

(A) 3个 （B） 4个 （C）5个 （D）6个

（3）不等式111xx的解集为

（A）011xxxx （B）01xx 知识改变命运，学习成就未来

2000年全国高中数学联赛试题及解答

2000年全国高中数学联赛试题及解答

2000年全国高中数学联合竞赛试卷

第一试

（10月15日上午8:009:40）

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1．设全集是实数，若A={x|≤0}，B={x|10=10x}，则A∩∁RB是( )

(A){2} (B){1} (C){x|x≤2} (D)

2．设sin＞0，cos＜0，且sin＞cos，则的取值范围是( )

(A)(2k+，2k+)， kZ (B)( + ，+)，k Z

(C)(2k+，2k+)，k Z (D)(2k+，2k+)∪(2k+，2k+)，k Z

3．已知点A为双曲线x2y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支

上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是( )

(A) (B) (C)3 (D)6

4．给定正数p，q，a，b，c，其中pq，若p，a，q是等比数列，p，

b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx22ax+c=0( )

(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根

(D)有两个异号实根

5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x+的距离中的最

小值是( )

(A) (B) (C) (D)

6．设ω=cos+isin，则以，3，7，9为根的方程是( )

(A)x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4x3+x2x+1=0

(C) x4x3x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2x1=0

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

1．arcsin(sin2000)=__________．

2．设an是(3)n的展开式中x项的系数(n=2，3，4，…)，则(++…

+))=________.

3．等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是____________.

4．在椭圆+=1 (a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方

的端点为B.若该椭圆的离心率是，则∠ABF=_________.

5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则

1全国高中数学联赛试题及解答

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二○○一年全国高中数学联合竞赛题

（10月4日上午8：00—9：40）

题号 一 二 三 合计 加试 总成绩 13 14 15

得分

评卷人

复核人

学生注意：1、本试卷共有三大题（15个小题），全卷满分150分。

2、用圆珠笔或钢笔作答。

3、解题书写不要超过装订线。

4、不能使用计算器。

一、 选择题（本题满分36分，每小题6分）

本题共有6个小是题，每题均给出（A）（B）（C）（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1、已知a为给定的实数，那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0,x∈R}的子集的个数为

（A）1 （B）2 （C）4 （D）不确定

2、命题1：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点；

命题2：长方体中，必存在到各棱距离相等的点；

命题3：长方体中，必存在到各面距离相等的点；

以上三个命题中正确的有

（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个

3、在四个函数y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以为周期、在（0，2）上单调递增的偶函数是

（A）y=sin|x| （B）y=cos|x| （C）y=|ctgx|

（D）y=lg|sinx|

4、如果满足∠ABC=60°，AC=12，BC=k的⊿ABC恰有一个，那么k的取值范围是

（A）k=83（B）0

5、若(1+x+x2)1000的展开式为a0+a1x+a2x2+…+a2000x2000,则a0+a3+a6+a9+…+a1998的值为

2009年全国高中数学联合竞赛加加试题

2009年全国高中数学联合竞赛加加试题

1

2009年全国高中数学联合竞赛

加试试题（A卷）

注意事项：

1．本试卷共四大题，全卷满分200分；

2．用圆珠笔或钢笔作答；

3．解题书写不要超出装订线；

4．不能使用计算器。

一、如图，M、N分别为锐角三角形△ABC（∠A＜∠B＝的外接圆上弧BC、AC的中点，过点C作PC//MN交圆于P点，I为△ABC的内心，连接PI并延长交圆于T。

（I）求证：MP·MT=NP·NT；

（II）在弧AB（不含点C）上任取一点Q（Q≠A，T，B），记△AQC、△QCB的内心分别为I1，I2，求证：Q1，I1，I2，T四点共舞。

二、求证不等：

nknnkk12,2,1,21ln11

三、设k，l是给定的两个正整数，求证：有无穷多个正整数km，使得lCkm与互素。 ⌒ ⌒

⌒ 2

四、在非负数构成3×9数表

393837363534333231292827262524232221191817161514131211xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxP

中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，.0292817xxx

291938183727,,,,,xxxxxx均大于1，如果P的前三列构成的数表

333231232221131211xxxxxxxxxS

满足下面的性质（O）：对于数表P中的任意一列)9,,2,1(321kxxxkkk均存在某个}3,2,1{i使得

（3） }.,,min{3211iiiikxrxux

求证：

（I）最小值3,2,1},,,min{321ixxxviiii一定取自然表S的不同列。

（II）存在数表P中唯一的一列333,2,1,321使得kxxxkkk数表 3