2012年全国高中数学联赛试题及解答

2011年高考题全国卷II数学试题·文科全解全析

科目： 数学 试卷名称 2011年普通高等学校招生全国统一考试·全国卷II(文科)

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新课标 题目及解析

1 （1）设集合1,2,3,4U,1,2,3,M2,3,4,N则U=ð（MN）

（A）12， （B）23， （C）2，4 （D）1，4

【思路点拨】解决本题的关键是掌握集合交并补的计算方法，易求{2,3}MN,

进而求出其补集为1，4.

【精讲精析】选D. {2,3},(){1,4}UMNMNð.

4 （2）函数2(0)yxx≥的反函数为

（A）2()4xyxR （B）2(0)4xyx≥

（C）24yx()xR （D）24(0)yxx≥

【思路点拨】先反解用y表示x,注意要求出y的取值范围，它是反函数的定义域。

【精讲精析】选B.在函数2(0)yxx≥中，0y且反解x得24yx，所以2(0)yxx≥的反函数为2(0)4xyx.

20 （3）设向量,ab满足||||1ab,则2ab

（A）2 （B）3 （C）5 （D）7

【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出a>b，而由a>b推不出选项的选项.

【精讲精析】选A.即寻找命题P使P,abab推不出P，逐项验证可选A。

29 （4）若变量x，y满足约束条件63-21xyxyx，则=23zxy的最小值为

（A）17 （B）14 （C）5 （D）3

【思路点拨】解决本题的关键是作出如右图所示的可行域。然后要把握住线性目标函数=23zxy的z的取值也其在y轴的截距是正相关关系，进而确定过直线x=1与x-3y=-2的交点时取得最小值。

2009年全国高中数学联合竞赛一试

试题参考答案及评分标准

说明：

1．评阅试卷时，请依据本评分标准，填空题只设7分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．

2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中至少4分为一个档次，不要增加其他中间档次．

一、填空（共8小题，每小题7分，共56分）

1． 若函数21xfxx且()nnfxffffx，则991f ．

【答案】 110

【解析】 121xfxfxx，

2212xfxffxx

……

992199xfxx．

故991110f．

2． 已知直线:90Lxy和圆22:228810Mxyxy，点A在直线L上，B，C为圆M上两点，在ABC中，45BAC，AB过圆心M，则点A横坐标范围为 ．

【答案】 36，

【解析】 设9Aaa，，则圆心M到直线AC的距离sin45dAM，由直线AC与圆M相交，得342d≤．

解得36a≤≤．

3． 在坐标平面上有两个区域M和N，M为02yyxyx≥≤≤，N是随t变化的区域，它由不等式1txt≤≤所确定，t的取值范围是01t≤≤，则M和N的公共面积是函数ft ．

【答案】 212tt

【解析】 由题意知

ftS阴影部分面积

AOBOCDBEFSSS

22111122tt

212tt

4． 使不等式1111200712213annn对一切正整数n都成立的最小正整数a的值FEDCBAOyx为 ．

【答案】 2009

２０１３年第７期　３５　

２０１２年全国高中数学联赛河北赛区预赛（高三）　

中图分类号：Ｇ４２４．７９　文献标识码：Ａ　文章编号：１００５—６４１６（２０１３）０７—００３５—０５　

一、填空题（每小题８分，共６４分）　１．若关于　的不等式　

一２　＋　＜０　

的解集为｛　１０＜　＜２｝，则ｍ：　２．　：　一　

３．在△ＡＢＣ中，已知　、　Ｂ、　Ｃ的　对边长分别为口、ｂ、ｃ，Ｉｓ　＝口　一（ｂ—ｃ）　．　则ｔａｎ　Ａ＝　

４．有红、黄、蓝三套卡片，每套五张，分别　标有字母Ａ、　、ｃ、Ｄ、Ｅ．若从这ｌ５张卡片中，　抽取五张，要求字母各不相同且三色齐全，则　不同的取法有——种．　５．已知正项等比数列｛ａ　｝满足ａ，＝ａ　

＋２ａ　．若存在两项　、ａ　使得￣／ｏ　＝４ａ　，　

则　＋　的最小值为　ｍ　ｎ　６．已知函数　

）＝÷　一（口一１）　＋６　，　

其中，ａ∈｛１，２，３，４｝，ｂ∈｛１，２，３｝．　则函数，（　）在Ｒ上是增函数的概率为　

７．设椭圆Ｃ　：　＋　＝１与抛物线Ｃｚ：　

ｙ２＝８ｘ的一个交点为Ｐ（‰，Ｙｏ）．定义　

ｒ２￣／２　，０＜　＜　０；　

厨　孙　

若直线Ｙ＝ａ与Ｙ＝　）交于Ａ、Ｂ两点，　且已知定点Ｎ（２，０），则△ＡＢＮ周长的取值　范围是一　８．已知动点Ｐ（ｘ，Ｙ）满足　

，２　＋ｙ≤２，　Ｊ　≥０，　

【（　＋厢）（），＋舸）≥１．①　

则动点Ｐ（　，Ｙ）构成图形的面积为　

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．　二、解答题（共８６分）　

９．（１４分）在△ＡＢＣ中，已知　Ａ、　Ｂ、　ｃ所对的边长分别为口、ｂ、Ｃ，且ａ　、ｂ　、Ｃ　

成等差数列．　（１）求曰的取值范围；　

（２）若关于Ｂ的方程　

√　ｃｏｓ　Ｂ＋ｓｉｎ　Ｂ＝ｍ　

恰有一解，求实数ｍ的值．　１０．（１４分）已知数列｛ａ　｝满足　

１　３　口１　，ｏ２　，　

ａ　＋１＝２ａ　一ａ　一ｌ（ｎ≥２）；　数列｛ｂ　｝满足　

ｌ　ｂＩ≠寺，３ｂ　一ｂ　ｎ（ｎ≥２）・　

第６期　郑日锋：让数学竞赛走近更多师生　・３９・　

让数学竞赛走近更多师生　

——－２Ｏ１２年浙江省高中数学竞赛试题评析　

●郑日锋　（杭州学军中学浙江杭州３１００１２）　

长期以来，许多师生觉得数学竞赛试题深不可　

测，认为只有竞赛教练或参加竞赛辅导的学生才可　

以去研究或做数学竞赛试题，因此避而远之．其实，　

近几年来，从全国高中数学联赛一试到大部分省市　的数学竞赛试题都在降低难度上下了功夫，旨在让　

更多的高中学生参与到数学竞赛活动中来，让学生　

感受到数学的魅力，培养学习数学的兴趣．因此许　

多数学竞赛试题实际上是教材知识的拓展与深化，　

呈现出“高考化”的倾向，有人认为省数学竞赛试　题是提前了２个月的高考．２０１２年浙江省高中数　

学竞赛试题继承了前３年试题的特色，在平凡中见　新奇，刻意降低了试题难度，真正体现了让数学竞　

赛走近更多师生．本文简述其特点．　

１高考昧　

１．１　降低试题的起点　

试卷第１，２，３，４，５，６，７，１１题，考查高中数学　的基础知识，这些题目来源于课本，解决的方法都　

是基本方法，难度与高考试题中的基础题相当，这　

种降低试题起点的做法能增强学生解题的信心．　１．２　突出数学思想方法的考查　

试卷对函数与方程思想、分类讨论思想、数形　

结合思想、转化思想等进行了全面的考查．　

第１Ｏ题设　）＝　＋　＋Ｃ，若方程　）＝　无实根，则方程　厂（　））＝　（　）　

Ａ．有４个相异实根　Ｂ．有２个相异实根　

ｃ．有１个实根　Ｄ．无实根　

分析本题是一个迭代函数的不动点问题．已　

知，（　）没有不动点，判断二阶迭代函数有几个不　

动点．因为Ｙ＝　）一　是二次项系数为正数的二　

次函数，所以　）＞　对任意　∈Ｒ恒成立（否则　

若存在　。∈Ｒ使，（　）＜　，因为必存在　∈Ｒ使　

）＞　，所以由连续函数的零点存在定理，必存　

在　在　与　：之间，使厂（　。）＝‰矛盾）．因此　

））＞厂（　）＞　，于是有　））＞　对任意　∈　

Ｒ恒成立，即方程厂（　））＝　无实根，故选Ｄ．在