2003年全国初中数学联赛试题及解答

2000年全国高中数学联合竞赛试卷

第一试

（10月15日上午8:009:40）

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1．设全集是实数，若A={x|≤0}，B={x|10=10x}，则A∩∁RB是( )

(A){2} (B){1} (C){x|x≤2} (D)

2．设sin＞0，cos＜0，且sin＞cos，则的取值范围是( )

(A)(2k+，2k+)， kZ (B)( + ，+)，k Z

(C)(2k+，2k+)，k Z (D)(2k+，2k+)∪(2k+，2k+)，k Z

3．已知点A为双曲线x2y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支

上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是( )

(A) (B) (C)3 (D)6

4．给定正数p，q，a，b，c，其中pq，若p，a，q是等比数列，p，

b，c，q是等差数列，则一元二次方程bx22ax+c=0( )

(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根

(D)有两个异号实根

5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x+的距离中的最

小值是( )

(A) (B) (C) (D)

6．设ω=cos+isin，则以，3，7，9为根的方程是( )

(A)x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4x3+x2x+1=0

(C) x4x3x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2x1=0

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

1．arcsin(sin2000)=__________．

2．设an是(3)n的展开式中x项的系数(n=2，3，4，…)，则(++…

+))=________.

3．等比数列a+log23，a+log43，a+log83的公比是____________.

4．在椭圆+=1 (a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方

的端点为B.若该椭圆的离心率是，则∠ABF=_________.

5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则

2003

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

1.等于

A.B.C.5 D.1

2.在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是

A.0

B.1

C.3

D.5

3.若函数与函数的图象相交于A，C两点，AB垂直x轴于B，则△ABC的面积为

A.1 B.2

C.kD.

4.满足等式的正整数对的个数是

A.1 B.2

C.3 D.4

5.设△ABC的面积为1，D是边AB上一点，且．若在边AC上取一点E，使四边形DECB的面积为，则的值为

A.B.C.D.

6.如图，在□ABCD中，过A，B，C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB=4，BE=5，则DE的长为

A.3 B.4 C.D.

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

1.抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．若△ABC是直角三角形，则ac=__________．

2.设m是整数，且方程的两根都大于而小于，则m=____________．

3.如图，，分别是∠EAB，∠DBC的平分线．若，则∠BAC的度数为_____________．

4.已知正整数a，b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约数的105倍，那么a，b中较大的数是_________．

2003年全国初中数学联合竞赛试卷

第二试（A）（4月13日上午10:00—11:30）

考生注意：本试三大题，第一题20分，第二、三题各25分，全卷满分70分．

一、（本题满分20分）

试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方，恰好等于这个四位数．

二、（本题满分25分）

在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA，CB到点E，F，使DE=DF；过E，2322171225424210ykxk1yx2k2003200320032003xyxyxyxyxy，13ADAB34CEEA121314151541652yaxbxc2320xmx9537'AA'BB''AABBAB D C

1995年全国高中数学联赛

第一试

一、选择题(每小题6分，共36分)

1． 设等差数列{an }满足3a8=5a13且a1>0，Sn为其前项之和，则Sn中

最大的是( )

(A)S10 (B)S11 (C)S20 (D) S212． 设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次

为Z1，Z2，…，Z20，则复数Z，Z，…，Z所对应的不同的点的个数是(

)

(A)4 (B)5 (C)10 (D)20

3． 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于

乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙

子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( )

(A)1个 (B)2个 (C)50个 (D)100个

4． 已知方程|x－2n|=k (n∈N*)在区间(2n－1，2n+1]上有两个不相

等的实根，则k的取值范围是( )

(A)k>0 (B)0

(C)

5． logsin1cos1，logsin1tan1，logcos1sin1，logcos1tan1的大小关系是

(A) logsin1cos1< logcos1sin1< logsin1tan1< logcos1tan1

(B) logcos1sin1< logcos1tan1< logsin1cos1< logsin1tan1

(C) logsin1tan1< logcos1tan1< logcos1sin1< logsin1cos1

(D) logcos1tan1< logsin1tan1< logsin1cos1< logcos1sin1

6． 设O是正三棱锥P—ABC底面三角形ABC的中心，过O的动平面

与PC交于S，与PA，PB的延长线分别交于Q，R，则和式++

(A)有最大值而无最小值 (B有最小值而无最大值

(C)既有最大值又有最小值，两者不等 (D)是一个与面QPS无关的常

数

二、填空题(每小题9分，共54分)

1． 设α，β为一对共轭复数，若|α－β|=2，且为实数，则|α|= ．

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第一试

一、选择题

本题共有8个小题，每小题都给出了（A）、（B）（C）、（D）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．

１． 设等式yaaxayaaxa)()(在实数范围内成立，其中a，x，y是两两不同的实数，则22223yxyxyxyx的值是

（A）3 ； （B）31； （C）2； （D）35．

答（ ）

２． 如图，AB‖EF‖CD，已知AB=20，CD=80，BC=100，那么EF的值是

（A） 10； （B）12；

（C） 16； （D）18．

答（ ）

３． 方程012xx的解是

（A）251； （B）251；

（C）251或251； （D）251．

答（ ）

４． 已知：)19911991(2111nnx（n是自然数）．那么nxx)1(2，的值是

（Ａ）11991； （Ｂ）11991；

（Ｃ）1991)1(n； （Ｄ）11991)1(n．

答（ ）

５． 若Mn1210099321，其中Ｍ为自然数，n为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ

（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；

（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；

（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；

（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除． {{{{{{{{

精品资料分享 答（ ）

６． 若a，c，d是整数，b是正整数，且满足cba，dcb，adc，那么

dcba的最大值是

（Ａ）1；（Ｂ）5；（Ｃ）0；（Ｄ）１．

答（ ）

７． 如图，正方形OPQR内接于ΔABC．已知ΔAOR、ΔBOP和ΔCRQ的面积分别是11S，32S和13S，那么，正方形OPQR的边长是