2004年全国高中数学联赛试题及答案

2004年全国高中数学联合竞赛试题

第 一 试

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1、设锐角使关于x的方程24coscot0xx有重根，则的弧度数为（ ）

A. 6 B. 51212or C. 5612or D. 12

2、已知22{(,)|23},{(,)|}MxyxyNxyymxb。若对所有,mRMN均有，则b的取值范围是（ ）

A. 66,22 B. 66,22 C. 2323(,]33 D. 2323,33

3、不等式32121log1log202xx的解集为（ ）

A. [2,3) B. (2,3] C. [2,4) D. (2,4]

4、设O点在ABC内部，且有230OAOBOC，则ABC的面积与AOC的面积的比为（ ）

A. 2 B. 32 C. 3 D. 53

5、设三位数nabc，若以a，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有（ ）

A. 45个 B. 81个 C. 165个 D. 216个

6、顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆的圆心，ABOB，垂足为B，OHPB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长是（ ）

A. 53 B. 253 C. 63 D. 263

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

7、在平面直角坐标系xoy中，函数()sincos(0)fxaaxaxa在一个最小正周期长的区间上的图像与函数2()1gxa的图像所围成的封闭图形的面积是________________。

8、设函数:,(0)1fRRf满足，且对任意,,xyR都有

(1)()()()2fxyfxfyfyx，则()fx=_____________________。

9、如图、正方体1111ABCDABCD中，

二面角11ABDA的度数是____________。

10、设p是给定的奇质数，正整数k使得2kpk也是一个正整数，则k=____________。

11、已知数列012,,,...,,...,naaaa满足关系式10(3)(6)18,3nnaaa且，则1nioia的值是_________________________。

12、在平面直角坐标系XOY中，给定两点M（－1，2）和N（1，4），点P在X轴上移动，当MPN取最大值时，点P的横坐标为___________________。

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

13、一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2n，则算过关。问：

（Ⅰ）某人在这项游戏中最多能过几关？

（Ⅱ）他连过前三关的概率是多少？

（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后，向上一面的点数为出现点数。）

14、在平面直角坐标系xoy中，给定三点4(0,),(1,0),(1,0)3ABC，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项。

（Ⅰ）求点P的轨迹方程；

（Ⅱ）若直线L经过ABC的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围。

15、已知,是方程24410()xtxtR的两个不等实根，函数22()1xtfxx的定义域为,。

（Ⅰ）求()max()min()gtfxfx；

（Ⅱ）证明：对于(0,)(1,2,3)2iui，若123sinsinsin1,uuu

12311136(tan)(tan)(tan)4gugugu则。 CED1C1A1B1ABDF2004年全国高中数学联赛加试试卷

考生注意： 1、 本试卷共三大题，全卷满分150分．

2、 卷面的第1页、第3页、第5页印有试题，第2页、第4页、第6页是空白页，留作答题用．

3、 用钢笔、签字笔或圆珠笔作答．

4、 解题书写不要超出装订线．

一、（本题满分50分）

在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K．已知25BC，20BD，7BE，求AK的长．

二、（本题满分50分）

在平面直角坐标系xOy中，y轴正半轴上的点列nA与曲线2yx（0x）上的点列nB满足1nnOAOBn，直线nnAB在x轴上的截距为na，点nB的横坐标为nb，*nN．

（I）证明14nnaa，*nN．

（II）证明有*0nN，使得对0 nn，都有3121212004nnnnbbbbnbbbb．

三、（本题满分50分）

对于整数4n，求出最小的整数fn，使得对于任何正整数m，集合,1,,1mmmn的任一个fn元子集，均有至少3个两两互素的元素．

KFGHADECB2004年全国高中数学联合竞赛试题

参考答案及评分标准

说明：

1、评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次。

2、如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1、因方程24coscot0xx有重根，故216cos4cot0

0,4cot(2sin21)02

得1sin22

52266或，于是51212或。 故选B。

2、MN相当于点（0，b）在椭圆2223xy上或它的内部22661,322bb。 故选A。

3、原不等式等价于222331log1log0222log10xxx

设22310log1,220ttxtt则有 解得01t。

即20log11,24xx。 故选C。

4、如图，设D，E分别是AC，BC边的中点，

则2(1)2()4(2)OAOCODOBOCOE

由（1）（2）得，

232(2)0OAOBOCODOE，

即ODOE与共线， OBCAED且332||2||,322AECABCAOCAOCSSODOESS， 故选C。

解法2 如图建立坐标系xoy，分别设(,0),(0,),(,0),(,)AaBbCcOxy，

则 (,),(,),(,)OAaxyOBxbyOCcxy

由230OAOBOC得，3by，

3ABCAOCSbSy， 故选C

5、a，b，c要能构成三角形的边长，显然均不为0。即,,{1,2,...,9}abc

（1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为1n，由于三位数中三个数码都相同，所以，1199nC。

（2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为2n，由于三位数中只有2个不同数码。设为a、b，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数码组（a，b）共有292C。但当大数为底时，设a>b，必须满足2bab。此时，不能构成三角形的数码是

a 9 8 7 6 5 4 3 2 1

b 4，3

2，1 4，3

2，1 3，2

1 3，2

1 1，2 1，2 1 1

共20种情况。

同时，每个数码组（a，b）中的二个数码填上三个数位，有23C种情况。

故2222399(220)6(10)156nCCC。 综上，12165nnn。

6、,,,ABOBABOPABPBOHPB又

,,PABPOBOHHCOHPA面面。C是PA中点，OCPA

HOCHOHCS当时最大，

也即OHPCPHCOVV最大。

此时， Dyo'OyxBCA002,,3026tan303HOOPHPOOBOP1故HO=2，

故选D。

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

7、21()1sin(),arctanfxaaxa其中，它的最小正周期为2a，振幅为21a。由()fx的图像与()gx的图像围成的封闭图形的对称性，可将这图形割补成长为2a、宽为21a的长方形，故它的面积是221aa。

8、,,(1)()()()2,xyRfxyfxfyfyx对有

(1)()()()2fxyfyfxfxy有

()()()2fxfyfyx=()()()2fyfxfxy

即()(),0,()1fxyfyxyfxx令得。

9、连结1,DC1作CEBD，垂足为E，延长CE交1AB于F，则1FEBD，连结AE，由对称性知1,AEBDFEA是二面角11ABDA的平面角。

连结AC，设AB=1，

则112,3.ACADBD

1RtABD在中，1123ABADAEBD，

在22222242213cos42223AECEACAEACAECAECAECEAE中,

0120,AECFEAAEC而是的补角，060FEA。 CED1C1A1B1ABDF