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几类常见概率问题的解法

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数学

篇学考方略概率问题的类型有很多,如求随机事件的概率、互斥事件的概率、古典概型的概率、几何概型的概率等.虽然概率问题的类型多种多样，但是我们只要明确各种事件的本质和概率的类型，便可快速求得事件的概率.本文主要探讨几类常见的概率问题及其解法，下面举例说明.一、求等可能事件的概率对于等可能事件的概率问题，我们一般视其为古典概型.在求其概率时，要先计算出基本事件的总和，弄清楚某个事件A发生有多少种可能的情况，即事件A包含的基本事件的个数，然后根据古典概型的概率公式P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数，计算出事件A的概率.例1.现在有5根长短不一的筷子，它们的长度分别为25cm，26cm，27cm，28cm，29m，若从中随机抽取2根筷子，则两根筷子的长度刚好相差3cm的概率是多少？解析：这是一个等可能事件的概率问题.从5根筷子中抽取2根筷子有C25种可能的情况，两根筷子的长度刚好相差3cm的有2种情况：25和28，26和29，由古典概型的概率公式可得两根筷子的长度刚好相差3cm的概率是210=0.2.求等可能事件的概率，需首先明确每个基本事件出现的可能性相等，然后分别求出事件A包含的基本事件的个数和基本事件的总数，便可根据公式求出概率.二、求互斥事件的概率互斥事件是指两个事件不可能同时发生.我们可以利用这个特性来求解互斥事件的概率问题.解题通常有两种思路：①将所求事件的概率转化为彼此互斥事件的概率和；②当所求事件的概率比较难求时，可以先求它的对立事件的概率，再用1减去对立事件的概率即可求出所求事件的概率.这种思路适合求解比较复杂的题目，运用这个思路解题可以简化解题的过程.例2.一位射手射中10环的概率为0.21，射中9环的概率为0.23，射中8环的概率为0.25，射中7环的概率为0.28.（1）射手射中10环或者射中7环的概率为多少？（2）射手射击成绩少于7环的概率为多少？解析：（1）记“射手射中10环”为事件R，“射手射中7环”为事件Q.我们可以知道在一次射击之中只可能有一种结果，所以在一次射击中，事件R和事件Q不可能同时发生，因此它们为互斥事件，射手射中10环或者射中7环的概率为P(Q⋃R)=P(Q)+P(R)=0.21+0.28=0.49,（2）记“射手射击少于7环”为事件D.那么事件D表示射手射击的成绩为7环或者8环或者9环或者10环.并且在一次射击中，“射中7环”“射中8环”“射中9环”“射中10环”都是互斥事件，且这几个事件不可能同时发生，因此，P(D)=0.21+0.23+0.25+0.28=0.97,而“少于7环”和“射中7环或者射中8环或者射中9环或者射中10环”为对立事件，所以P(D)=1-P(E)=1-0.97=0.03.对于“互斥事件”和“对立事件”，很多同学往往容易将它们混淆.它们的区别就在于两个互斥事件不要求其中一个事件必须发生，但是对立事件就必须要求有一个事件发生.三、求相互独立事件同时发生的概率在求相互独立事件同时发生的概率时，我们要先确定各事件都是独立的，也就是各事件之间不会相互影响，且各事件会同时发生，然后排除互斥事件，即不可能同时发生的情况，最后求每个独立事件发生的概率，根据乘法公式求得整个事件的概率.例3.小明和小红两个人准备进行一场围棋比赛，规则是谁先赢3局，谁就可以获得本次比赛的最终胜利.已知在一局中小明获胜的概率为0.6，小红获胜的概率为0.4，且每局比赛结果相互独立.在前2局中，小明和小红都各自赢了1局.问（1）两人再进行2局就可以结束本次比赛的概率为多少?(2)小明获得本次比赛胜利的概率是多少？解析：设“第e局小明获胜”为事件Ae(e=3,4,5)，“第g局小红获胜”为事件Bg(g=3,4,5).（1）设“再比赛2局结束本次比赛”为事件A，那么A=A3∙A4+B3∙B4,由题意可知，各局比赛的结果都是相互独立的，所以P(A)=P(A3∙A4+B3∙B4)=P(A3∙A4)+P(B3∙B4)=P(A3)∙P(A4)+P(B3)∙P(B4)=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52.（2）设“小明获得本次比赛胜利”为事件B.由题意可知，在前面2局中，小明和小红都各自获得了一次胜利，所以小明应当是在后面的比赛之中比小红先获得两次胜利，因此B=A3∙A4+B3∙A4∙A5+A3∙B4∙A5,因为各局结果都是独立事件，所以P(B)=P(A3∙A4+B3∙A4∙A5+A3∙B4∙A5)=P(A3∙A4)+P(B3∙A4∙A5)+P(A3∙B4∙A5)=P(A3)∙P(A4)+P(B3)∙P(A4)∙P(A5)+P(A3)∙P(B4)∙P(A5)=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648.我们通过上述对三类概率问题及其解法的分析，不难发现各种概率问题都有与之相应的解法.因此，我们只需要熟练掌握不同概率问题的类型以及其解法，便能使问题顺利获解.(作者单位:河南省中牟县职业高中)段留旺

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几种典型概率问题的解法

几种典型概率问题的解法

教育科学　２０１　ｏ＃－第５期　学科教育　

几种典型概率问题的解法　

祁尧江　（山东省平度市第二中学２６６７４２）　

等可能事件的概率、互斥事件发生的概率以及相互独立事件　

同时发生的概率是概率这一部分常见的几种非常重要的题型。下　

面，笔者举几个例子示范一下：　

题型一：等可能事件的概率　

例１．１５名新生中有３名女生，随机将１５名新生平均分配到３个　班级中去，　

（１）每班各分配到１名女生的概率是多少？　

（２）３名女生分配到同一班级的概率是多少？　

分析：　（１）每班分配到１名女生和４名男生，甲班从３名女　

生中任选１名，从１２名男生中任选４名，共有　ｃ　种方法；乙班　

从剩下的２名女生中选１名，再从剩下的８名男生中选４名，共有　

ｃ　ｃ　种方法；最后剩下的１名女生和４名男生给丙班，有ＣｌＪ　种　

方法。将１５名新生平均分到甲、乙、丙三个班级共有Ｃ『　ｃ　ｃ　种　

不同的分法。　

即：每个班级分到１名女生，共有　ｃ　ｃ１４２ｃ　种不同的　

方法。　

将１５名学生平均分配到３个班级中共有Ｇ　ＣｔｏＣ？种不同的方　

法。　

每班分配孙名女生的概率Ａ＝　１　１　｜４　４　４＝篑。　

（２）３名女生都分到甲班，共有　中分法，乙班从剩　

下的１ｏ名中选５名是Ｃ『　，剩下的５名给丙班，共有　ｃ　

种不同的分法。同理，３名女生都分到乙班、丙班的方法数均为　

Ｃ；ｃ　ｃ　ｃ　。　

所以３名女生分到同一班级的概率为Ａ＝　：击。　

点评：本题将常出现的错误是重复排序，如（１）中常错为　

ｃ　ｌ　３　ｃ；　

ｃ　ｃ；　

题型二：互斥事件发生的概率　

例２．１０件产品中有２件次品，任取２件检验，求下列事件的概　

率。　

（１）至少有１件是次品。　（２）至多有１件是次品。　

思路一：直接法　

解法一（１）“全少有１件是次晶”包拈“抽出的２件中有１　件次品和１件正品”和“抽出的２件都是次品”，它们互为互斥事　件，并且　

（‘２件中有１件次　的概率为：　１　Ｉ＝　１６

。　

“２件都是次品”的概率为：毒＝　４５。　

典型概率题及其解法

典型概率题及其解法

典型概率题

例1 同时掷四枚均匀硬币，求：

（1）恰有两枚“正面向上”的概率；（2）至少有两枚“正面向上”的概率．

分析：同时任意投掷四枚均匀硬币，每个硬币的结果都有两种可能性，四枚硬币的情况决定了一次试验的结果，每种结果的出现是等可能的，本＄月于等可能事件的概率问题．四枚硬币发生的结果总数我们可以分步确定，恰有两枚正面向上，可以先确定哪两枚正面向上，则另两枚反面向上，至少有两枚正面向上可分类为两枚正面向上、三校正面向上、全部正面向上．

解：同时投掷四枚硬币，正面、反面向上的不同结果总数为：162222（种）

（1）恰有两枚正面向上的结果总数为6C24，所以恰有两枚正面向上的概率为83166．

（2）至少有两枚正面向上的结果总数为：11CCC443424种

所以至少两枚正面向上的概率为16111611．

说明：使用等可能事件概率公式时，首先要判定事件是不是等可能事件，本题实际上可推广到投掷几枚硬币，恰好有m枚正面向上的概率以及至少有m枚正面向上的概率，设两个事件分别为A、B，可以求到：nmnnnnnmnBPAP2CCC)(,2C)(10．

例3 有6个房间安排4个旅游者住宿，每人可以随意进哪一间，而且一个房间也可以住几个人．试求下列事件的概率．

（1）事件A：指定的4个房间中各有1人；（2）事件B：恰有4个房间中各有1人；（3）事件C：指定的某个房间中有两人；（4）事件D：第1号房间有1人，第2号房间有3人．

分析：由于每个人进哪一个房间是随意的，所以4个人住房的各种结果是等可能的，本题是等可能事件的概率问题．所有可能的不同住房结果总数可以用分步计数原理求得，每人住房的结果都有6种可能，最后4个人住房的不同结果总数为46．事件A中指定的4个房间中各有1人相当于4个人排到4个房间中去，有44A种不同结果；事件B中恰有4个房间，每间1人与事件A的区别在于哪4间房不空；事件C中指定的某房间2人，我们可以先从4人中选2人进入此房间，其它2人分步任意住进其它5个房间；事件D可以先安排1号房间1人，再安排2号房间3人

条件概率及全概率专题训练

条件概率及全概率专题训练

条件概率及全概率专题训练

一、考点梳理

知识点一 条件概率的概念

一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝PABPA为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．

知识点二 概率乘法公式

对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)为概率的乘法公式．

知识点三 条件概率的性质

设P(A)>0，则

(1)P(Ω|A)＝1.

(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．

(3)设B和B互为对立事件，则P(B|A)＝1－P(B|A)．

知识点四．全概率公式

一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，

则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝iniiABPAP1，我们称这个公式为全概率公式．

二、题型归纳

考点一:条件概率公式

【例1】甲､乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为13，乙命中目标的概率为12，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率为（ ）

A．14 B．13 C．12 D．23

【考点精练】

1．下面几种概率是条件概率的是（ ）

A．甲､乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率

B．甲､乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率

C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率

D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是25，小明在一次上学途中遇到红灯的概率

2．若随机事件A，B满足1()3PA，1()2PB，3()4PAB，则()PAB（ ）

A．29 B．23 C．14 D．16

3．从某高中2021名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样方法从2021名学生中剔除21名，再从余下的2000名学生中随机抽取50名.则其中学生丙被选取和被剔除的

五十个概率难题的解法

五十个概率难题的解法

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五十个概率难题的解法

一、难题1：掷骰子问题

嘿，咱来看这个啊。假设有一个质地均匀的六面骰子，连续掷两次，问两次点数之和为7的概率是多少？

咱这么想哈，掷一次骰子有6种可能的结果，那掷两次呢，根据排列组合的乘法原理，总共就有6×6 = 36种不同的结果啦。而两次点数之和为7的情况有哪些呢？有（1，6）、（2，5）、（3，4）、（4，3）、（5，2）、（6，1），一共6种情况。所以两次点数之和为7的概率就是6÷36 = 1/6 。

二、难题2：抽奖问题

想象一下哈，有一个抽奖活动，箱子里有10个球，其中3个是红球，7个是白球。现在从箱子里不放回地抽取2个球，问抽到2个红球的概率是多少？

咱先看第一次抽，抽到红球的概率是3÷10 = 3/10 。因为是不放回抽取，这时候箱子里还剩9个球，红球就剩2个啦。那么第二次抽到红球的概率就是2÷9 = 2/9 。根据乘法原理，两次都抽到红球的概率就是3/10×2/9 = 1/15 。

三、难题3：生日相同问题

这个挺有趣的哈。假设有一个班级有50个人，问至少有两个人生日相同的概率是多少？

咱先求50个人生日都不相同的概率。一年有365天（先不考虑闰年哈），第一个人的生日有365种可能，第二个人的生日就有364种可能（因为不能和第一个人相同），第三个人有363种可能……第第 2 页 共 3 页

50个人就有365 - 49 = 316种可能。那么50个人生日都不相同的概率就是(365×364×…×316)÷(365的50次方) 。然后用1减去这个概率，就得到至少有两个人生日相同的概率啦。经过计算，这个概率还挺高的呢。

四、难题4：摸牌问题

比如说有一副标准的扑克牌（52张，不含大小王），从中随机抽取5张牌，问抽到同花顺（5张牌点数连续且花色相同）的概率是多少？

咱先算总的抽牌情况，从52张牌里抽5张，根据组合数公式，有C(52,5)种情况。然后算同花顺的情况，一共有4种花色，每种花色有10种可能的同花顺（A - 2 - 3 - 4 - 5 ，2 - 3 - 4 - 5