常见概率题类型总结
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常见概率题类型总结
此类问题主要有期望题，随机数题、以及概率题，观察者掌握的信息多少会影响到最终的概率。影响样本空间的⼤⼩。 期望题关键： 找出概率递推公式
随机数题关键: 关键在于保证每个随机数出现的概率相等（洗牌算法）
⼀ 抛硬币问题总结：
问题1 ： 两个⼈轮流抛硬币，规定第⼀个抛出正⾯的⼈可以吃到苹果，请问先抛的⼈能吃到苹果的概率多⼤？（伯努利分布） 这个题是否 某国家⾮常重男轻⼥，若⼀户⼈家⽣了⼀个⼥孩，便再要⼀个，直到⽣下男孩为⽌，假设⽣男⽣⼥概率相等，请问平均每户⼈家有________个⼥孩？，这个问题具有⼀定的类似性呢？ ⼀个样本空间为反反...正，⼀个样本空间为⼥⼥⼥....男
第⼀种⽅法：p=1/2+1/2^3+1/2^5+........=2/3 第⼆种：先抛的⼈吃到苹果的概率为p1，后抛的⼈p2若想吃到，只能在第⼀个⼈抛反⾯下才可能，所以样本空间突然少了⼀半，所以p2=1/2p1，所以p1=2/3。
第三种：先抛为p，为反后继续抛，吃到的概率还是p，所以其实p=1/2(正)+1/2(反)*p，解得p=2/3
第四种： 我⾸先想到的就是把 第⼀次抛到正⾯的概率 + 第⼆次抛到的概率 + …..+⽆穷多次，当然后⾯的概率⼏乎为0了。 结果就是 P = 1/2 + 1/8 + 1/32+ …… 最后的结果就是 P = 2/3 . 这个计算也不难，其实就是等⽐数列，⽐为1/4. 简单的⽆穷级数 (1/2) / (1-1/4) = 2/3. 1/(1-x)^2=1+2x+3x^2+4x^3+5x^4+… (-1
还有⼀个别⼈的分析：给所有的抛硬币操作从1开始编号，显然先⼿者只可能在奇数（1,3,5,7…）次抛硬币得到苹果，⽽后⼿只可能在偶数次（2,4,6,8…）抛硬币得到苹果。设先⼿者得到苹果的概率为p，第1次抛硬币得到苹果的概率为1/2，在第3次（3,5,7…）以后得到苹果的概率为p/4（这是因为这种只有在第1次和第2次抛硬币都没有抛到正⾯（概率为1/4=1/2*1/2）的时候才有可能发⽣，⽽且此时先⼿者在此⾯临和开始相同的局⾯）。所以可以列出等式p=1/2+p/4，p=2/3。 第五种： ，i表⽰先抛的⼈⼀共抛了的次数，上⾯的式⼦可以求出，P(A)=2/3
问题2：连续扔硬币，直到 某⼀⼈获胜，A获胜条件是先正后反，B获胜是出现连续两次反⾯，问AB游戏时A获胜概率是？
其实只要出现了正⾯，A就早晚能赢，所以B获胜的概率只有那⼀次，反反：1/4，所以A获胜的概率为3//4。
问题3： ⼩a和⼩b⼀起玩⼀个游戏，两个⼈⼀起抛掷⼀枚硬币，正⾯为H，反⾯为T。两个⼈把抛到的结果写成⼀个序列。如果出现HHT则⼩a获胜，游戏结束。如果HTT出现则⼩b获胜。⼩a想问⼀下他获胜的概率是多少？
解法1 ： ⾸先，如果第⼀次抛出了T，那么其实就根没抛过是⼀回事，后⾯怎么继续都相当于重来了。所以p=1/2p+p(h)
如果抛出了H，如果上半部分，只能是A赢，下半部分出现T的时候，再出现H⼜相当于重新来了。
所以B赢的概率为1/4，再从下⾯H重新出发的1/4，也就是pb=1/4+1/4^2+1/4^3……，就是1/3，所以A赢的概率为2/3。
解法2： 随机过程中的First Step Analysis，设P_s表⽰状态为s时'HHT'发⽣的概率。显然我们有P_HHT=1以及P_HTT=0。状态转移图如下:Nill表⽰还没有抛时的状态，这时有1/2的概率变成H还有1/2的概率变成T，变成T时相当于⼜回到Nill。我们要求的即P_Nill。由状态转移图，可以列出式⼦:P_Nill = 1/2*P_Nill + 1/2*P_HP_H = 1/2*P_HH + 1/2 * P_HTP_HH = 1/2*P_HH + 1/2*P_HHTP_HT = 1/2*P_H + 1/2*P_HTTp_HHT = 1P_HTT = 0最后可以解得 P_Nill = 2/3。 解法3： 假设b赢得概率为p；则有两种情况：H,T,T；H,T,H...；第⼀种情况概率为；第⼆种情况为,因为第⼆种情况H出现后就相当于⼜回到开始状态了，这是⼩b获胜概率仍为p；所以有等式；可解出p；然后1-p即为所求。 解法4： a赢的概率有三种情况： 1. 出现HHT, HHHT, H...HT，该情况的概率为p1=1/8+1/8*1/2+1/8*1/2*1/2+...=1/4 2. 出现连续HT再出现第⼀种情况，即(HT...HT)( H...HT)，该情况的概率为p2=1/4*1/4+1/4*1/4*1/4+...=1/12 3. 出现连续的T再出现第⼀或者第⼆种情况，即(T...T) (HT...HT)( H...HT),该情况的概率为p3=1/3*1/2+1/3*1/2*1/2+...=1/3 a赢的概率为pa=p1+p2+p3=2/3 问题4： A和B2⼈投硬币,正⾯A得1元,反⾯B得⼀元.起始时A有1元,B有100元. 游戏持续进⾏,直到其中1⼈破产才终⽌ 问:1.如果硬币正反概率相同,游戏的期待长度(expected duration)是⼏次投掷?
2.如果硬币是不公正的,正⾯概率为P,反⾯概率为Q.(P+Q=1), 那么游戏的期待长度(expectedduration)是⼏次投掷?
问题5： 游戏规则为，连续2次抛到硬币朝上，则游戏结束。问平均抛多少次游戏可以结束？
平均抛多少次，即是求问题的期望。
⾸先先抛⼀枚硬币，如果是花，那么需要重头开始；如果是字，那么再抛⼀枚硬币，新抛的这枚如果也是字，则游戏结束，如果是花，那么⼜需要重头开始。根据这个过程，设抛硬币的期望次数为T，可以得到关系： T = 1/2(1 + T) + 1/2(1 + 1/2(1+0) + 1/2(1+T))， 得出 T = 6
问题6： 连续抛 k 次朝上的解法：
假设连续k次正⾯朝上的期望为Ek，在连续出现k次正⾯朝上后，下次⼀也为正⾯的期望为， E(k+1) = 1/2 (Ek + 1) + 1/2(Ek + 1 +E(k+1))，推到出公式 (E(k+1) +2) /(Ek +2) = 2 得出 Ek = 2^(k+1) -2
问题7： 抛⼀个六⾯的⾊⼦，连续抛直到抛到6为⽌，问期望的抛的次数是多少?
设期望次数为E,那么有： [1]1次抛出6的概率为1/6，那么期望次数为1*1/6 [2]本次抛出⾮6数字的概率为5/6，因为没有抛出6，因此期待抛出6还需要执⾏试验的次数仍为E，需要注意加上本次（1次）失效的抛掷，即期望次数为(1+E)(5/6)
综合可得： E = 1*(1/6) + (1+E)(5/6)
解得: E = 6 问题8： 若要使骰⼦(六个⾯)的每个数都出现⾄少⼀次，那么平均需要掷多少次骰⼦？即求掷骰⼦次数的期望
与前⼀题类似，设掷出第i个数需要抛掷的次数为E(i)，i=1,2,3,4,5,6，（需要注意的是第i个数是值之前没有出现过的数字，⽽不是具体的值） 那么E(i)可由两部分组成： E(i) = (i/6)(E(i)+1) + (1-i/6)(E(i+1)+1)
[1] (i/6)(E(i)+1) ： 已经有i个数字出现了，那么当前抛掷出重复数字的概率为 i/6，状态仍然是E(i)，加上当前实验1次 [2] (1-i/6)(E(i+1)+1) : 已经有i个数字出现了，那么当前抛掷出新数字的概率为 1-i/6，状态转移到E(i+1)，即当抛掷出了i+1个数字后，仍需要抛掷次数的期望，别忘加当前试验 1 次
E(i) = E(i+1) + 6/(6-i), E(6) = 0
E(0) = 6/6 + 6/(6-1) + ... + 6/1 + 0
⼆ 开箱⼦总结：
问题1 ： 有⼀个箱⼦，N把钥匙，只有⼀把钥匙能打开箱⼦，现在拿钥匙去看箱⼦。问恰好第k次打开箱⼦的概率?
第k次打开的概率=
三 ⽣孩⼦问题总结
问题1 ： 某国家⾮常重男轻⼥，若⼀户⼈家⽣了⼀个⼥孩，便再要⼀个，直到⽣下男孩为⽌，假设⽣男⽣⼥概率相等，请问平均每户⼈家有________个⼥孩。
解法1： ⾸次成功的概率为，也就是⾸次出现男孩的概率，那么发⽣的次数也就是孩⼦的个数服从⼏何分布，则期望为2，所以⼥孩是1个。 解法2： ⼀个国家⼈们只想要男孩，每个家庭都会⼀直要孩⼦，只到他们得到⼀个男孩。如果⽣的是⼥孩，他们就会再⽣⼀个。如果⽣了男孩，就不再⽣了。那么，这个国家⾥男⼥⽐例如何？ 分析：⼀开始想当然的以为男多⼥少，毕竟都想要男孩。但是注意这句话“如果⽣了男孩，就不再⽣了”，⼀个家庭可能有多个⼥孩，只有⼀个男孩。
再仔细分析，我们来计算期望值，只⽤计算⼀个家庭就⾏了。设⼀个家庭男孩个数的期望值为S1，⼥孩为S2. 。根据题⽬条件，男孩的个数期望值S1=1这个是不⽤计算了。主要计算S2
⼀个家庭的孩⼦数量可以为:1,2,3,4,5….. 对应的的男⼥分布为: “男”,”⼥男”,”⼥⼥男”,”⼥⼥⼥男”,”⼥⼥⼥⼥男”…
对应的概率分布为 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 。其中⼥孩的个数分别为 0,1,2,3,4……因此 S2=0*1/2 + 1*1/4 + 2*1/8 + 3*1/16 + 4*1/32 + ………
可以按照题⽬2⽤级数求，也可以⽤错位相减法：S2=1/4+2/8+3/16+4/32+… 两边乘以2,得: 2*S2=1/2+2/4+3/8+4/16+5/32+..
两个式⼦相减得 S2=1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+…=1. 所以期望值都为1，男⼥⽐例是⼀样的。
参考链接： https://www.nowcoder.com/questionTerminal/030b183f37fd41f7ad4486f56f5ec355?source=relative https://blog.oldj.net/2010/08/21/the-tuesday-boy-problem-2/ 解法1： 传递的理念：观察者掌握的信息多少会影响到最终的概率。若题⽬变为已知⽣的第⼀个孩⼦是男孩，问两个孩⼦都是男孩的概率是多⼤？则选C但此题的已知条件是⾄少有⼀个孩⼦是在星期⼆出⽣的男孩，隐含的信息是知道两个孩⼦的性别和出⽣⽇期信息。若不加限制条件，第⼀个孩⼦有14种可能（性别2种*周⼏7种），第⼆个孩⼦同样，总样本空间应为142=196。但加了限制条件后，样本空间就变少了很多。第⼀个孩⼦是男周⼆，第⼆个孩⼦任意，有14种情况；同理第⼆个孩⼦是男周⼆，第⼀个孩⼦任意，也有14种情况，但两个孩⼦均为男周⼆的多算了⼀次，所以样本空间为14+14-1=27；同理，在容量为27的样本空间中，两个孩⼦都是男孩的有7+7-1=13；所以最后的概率是13/27。解法2： 贝叶斯公式，设A表⽰“⾄少有⼀个孩⼦是在星期⼆出⽣的男孩”，B表⽰“两个孩⼦都是男孩”，根据贝叶斯公式P(B|A)=P(B)*P(A|B)/P(A), 易知P(B)=1/4,P(A)不太好求，借助上⾯第⼀种⽅法的分析可以知道P(A)=27/196,⽽P(A|B)即在两个孩⼦都是男孩的情况下（7*7=49种情况）⾄少有⼀个孩⼦是在星期⼆出⽣的男孩的概率可以通过1-两个男孩都不是在星期⼆出⽣的概率(6*6/49)计算，为13/49，最后带⼊贝叶斯公式即可得到13/27。 参考链接： https://blog.oldj.net/2010/08/21/the-tuesday-boy-problem-2/https://blog.oldj.net/2010/08/21/the-tuesday-boy-problem-2/ 问题3：有⼀对夫妇，先后⽣了两个孩⼦，其中⼀个孩⼦是⼥孩，问另⼀个孩⼦是男孩的概率是多⼤？
