概率统计常见题型及方法总结

题型一

等可能事件的概率

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常见大题：

1. 全概率公式和贝叶斯公式问题

B看做“结果”，有多个“原因或者条件iA”可以导致B这个“结果”发生，考虑结果B发生的概率，或者求在B发生的条件下，源于某个原因iA的概率问题

全概率公式：

1B|niiiPBPAPA

贝叶斯公式： 1(|)()()()()niiijjjPABPAPBAPAPBA｜｜

一（12分）今有四个口袋，它们是甲、乙、丙、丁，每个口袋中都装有a只红球和b只白球。先从甲口袋中任取一只球放入乙口袋，再从乙口袋中任取一只球放入丙口袋，然后再从丙口袋中任取一只球放入丁口袋，最后从丁口袋中任取一球，问取到红球的概率为多少？

解 iB表示从第i个口袋放入第1i个口袋红球，4,3,2,1i

iA表示从第i个口袋中任取一个球为红球， 2分

则

baaBP)(1， 2分

)()()()()(1111111BAPBPBAPBPAP

111baababbaabaabaa 2分

依次类推 2分 题型一 等可能事件的概率

页脚内容40 baaAPi)(

二（10分）袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都出现国徽，问这只硬币是次品的概率为多少？

、解 记B={取到次品}，B={取到正品}，A={将硬币投掷r次每次都出现国徽}

则,nmPBPBmnmn，1PAB，12rPAB―—５分

1()212()()()()12rrrnPBPABnmnPBAnmnmPBPABPBPABmnmn

三、（10分）一批产品共100件，其中有4件次品，其余皆为正品。现在每次从中任取一件产品进行检验，检验后放回，连续检验3次，如果发现有次品，则认为这批产品不合格。在检验时，一件正品被误判为次品的概率为0.05，而一件次品被误判为正品的概率为0.01。（1）求任取一件产品被检验为正品的概率；（2）求这批产品被检验为合格品的概率。

解 设 A表示“任取一件产品被检验为正品”， B表示“任取一件产品是正品”，则

96100PB，4100PB，|0.95PAB，|0.01PAB

（1）由全概率公式得

||0.9124PAPBPABPBPAB

（2）这批产品被检验为合格品的概率为

330.91240.7596pPA

四、在电报通讯中不断发出信号‘0’和‘1’，统计资料表明，发出‘0’和‘1’的概率分别为0.6和0.4，由于存在干扰，发出‘0’时，分别以概率0.7和0.1接收到‘0’和‘1’，以0.2的概率收为模糊信号‘x’；发出‘1’时，分别以概率0.85和0.05收到‘1’和‘0’，以概率0.1收到模糊信号‘x’。

（1）求收到模糊信号‘x’的概率；

（2）当收到模糊信号‘x’时，以译成哪个信号为好？为什么？

解 设iA=“发出信号i”)1,0(i， iB=“收到信号i”),1,0(xi。由题意知

6.0)(0AP， 4.0)(1AP， 2.0)|(0ABPx， 1.0)|(1ABPx。

（1）由全概率公式得

)()|()()|()(1100APABPAPABPBPxxx 4分

16.04.01.06.02.0。 2分

（2）由贝叶斯公式得

75.016.06.02.0)()()|()|(000xxxBPAPABPBAP， 3分 题型一

等可能事件的概率

页脚内容40 25.075.01)|(1)|(01xxBAPBAP 3分

二、随机变量函数的分布及其边缘密度及其独立性的判断

记住如下知识点：

常见分布律和概率密度：

题型一 等可能事件的概率

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一般正态分布的计算转化为标准正态分布去做： 题型一 等可能事件的概率

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连续随机变量X:

题型一 等可能事件的概率

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二维随机变量的分布函数：

联合密度： 题型一 等可能事件的概率

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题型一 等可能事件的概率

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掌握如下解决随机变量函数分布的解题方法： 题型一 等可能事件的概率

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对于二维随机变量函数的概率密度，注意：除了求随机变量 Z=X+Y 的密度函数用公式：

()(,)(,)Zfzfxzxdxfzyydy

注意：

先写出联合密度:(,y)fx，根据联合密度写出

(,)fxzx或者(,)fzyy，

在平面x0z或者y0z上画出被积函数(,)fxzx不为零的区域，然后穿线通过区域确定x的上下限。

他的函数Z = g ( X , Y )的概率密度，只能使用分布函数法

其步骤如下：

第一步 求联合密度:(,y)fx，根据联合密度写出题型一 等可能事件的概率

页脚内容40 (,)fxzx或者(,)fzyy

第二步 求z的分布函数：

()ZFz{}PZz{2}PXYz(,)(,)gxyzfxydxdy

难点是画出二重积分的积分区域，然后把二重积分化为二次积分定上下限，

画图：先画出被积函数也就是联合密度非零的区域，再确定区域(,)gxyz与密度非零区域的重合区域就是二重积分的积分区域，穿线定积分限：然后左右穿或者上下穿个积分区域定内限，求出分布函数 第三步 求密度函数：()()ZZfzFz

分析：

一、设总体X服从(0,1)上的均匀分布，12,,,nXXX是来自总体X的一个样本，最大顺序统计量),,,max(21)(nnXXXX，

1．求随机变量)(nX的概率密度；

解：其它,010,1)(~xxfX，其分布函数为1,110,0,0)(xxxxxF 题型一

等可能事件的概率

页脚内容40 而),,,max(21)(nnXXXX的分布函数为

)),,,{max(}{)(21)()(zXXXPzXPzFnnXn

),,,{21zXzXzXPnnzF)]([

zFzfnnXX)()(zfzFnn11nnz，)10(z

二、（10分）设二维随机变量,XY的概率密度为

,0,0,yAexyfxy其它

（1）求常数A的值；（2）求X与Y的协方差,CovXY。

解 （1）由001,yyfxydxdydyAedxA，得1A

（2）20001,12yyyEXxfxydxdydyxedxyedy

30001,32yyyEXYxyfxydxdydyxyedxyedy

2000,2yyyEYyfxydxdydyyedxyedy

,321CovXYEXEY

三（16分）设二维随机变量),(YX的概率密度为

其它，00,0,),()(yxeyxfyx

（1） 求边缘密度函数)(xfX，)(yfY；

（2） 求边缘分布函数)(xFX，)(yFY；

（3） 判断X与Y是否相互独立；

（4） 求)1(YXP。

(1) ()(,)Xfxfxydy，

当x≤0时，(,)fxy=0,于是()Xfx=0

当x＞0时，()Xfx =yxxedye， 题型一

等可能事件的概率

页脚内容40 所以X的边缘概率密度为()Xfx=0,00,xxex

Y的边缘概率密度 ()(,)Yfyfxydx

当y≤0时， ()Yfy=0

当y＞0时 ()Yfy=0,00,yyey 4分

（2）

其他,00,1)(yeyFy

其他,00,1)(xexFx 4分

（3）独立 4分

（3）12(X1)(,)xyPYfxydxdye 4分

四（１０分）设随机变量),(YX的概率密度为

其他,00,0,2),()2(yxeyxfyx

求随机变量YXZ2的分布函数。

zyxZdxdyyxfzYXPzF2),(}2{)(

当0z时，0)(zFZ

当0z时，zzzxzyxZzeedyedxzF12)(020)2(

题型一 等可能事件的概率

页脚内容40 所以YXZ2的分布函数为

0,10,0)(zzeezzFzzZ

3.中心极限定理的问题：用正态分布近似计算

共两类：

一类是二项分布的近似计算问题

~(,)Xbnp (,(1))Nnpnpp近似 ，即~(0,1)(1)XnpNnpp,

{}PaXb()()bnpanpnpqnpq

这个公式给出了n 较大时二项分布的概率计算方法。

另一类是除二项分布之外的其他分布的独立变量连加和的计算问题，

设12,,,,nXXX独立同分布，201,2,,.kkEXDXkn

近似有连加和服从正态分布：

21~(,)niiXNnn

一、 (14分) 设粮仓内老鼠的数目是一个服从泊松分布的随机变量，且仓内无鼠的概率为2e。

（1）写出随机变量的分布律；

（2）试用中心极限定理计算，在200个同类粮仓内老鼠总数超过350只的概率。

解 （1）)2(~X； 5分

（2）X表示任意老鼠个数，由中心极限定理