(理数试题)广州市2013届普通高中毕业班综合测试(一)
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广州市2013届普通高中毕业班综合测试（一）
数学（理科）
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹的钢笔或签字笔
将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题
卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域
内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔
和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：如果事件A，B相互独立，那么)()()(BPAPBAP.
线性回归方程axbyˆˆˆ中系数计算公式xbyaxxyyxxbniiniiiˆ,)())((ˆ121，
其中yx,表示样本均值。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设全集}6,5,4,3,2,1{U，集合}5,3,1{A，}4,2{B，则
A.BAU B.BACUU)( C.)(BCAUU D.)()(BCACUUU
2.已知biia11，其中a,b是实数，i是虚数单位，则a+bi=
A.1+2i B.2+i C.2-i D.1-2i
3.已知变量x,y满足约束条件.01,1,12yyxyx，则yxz2的最大值为
A.-3 B .0 C.1 D.3
4.直线03yx截圆4)2(22yx所得劣弧所对的圆心角是
A.6 B.3 C.2 D.32
5.某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是
A.2 B.1 C.32 D.31
6.函数)cos)(sincos(sinxxxxy是
A.奇函数且在]2,0[上单调递增
B.奇函数且在],2[上单调递增
C.偶函数且在]2,0[上单调递增
D.偶函数且在],2[上单调递增
7.已知e是自然对数的底数，函数2)(xexfx的零点为a，函数2ln)(xxxg的零点为b，则下列不等式中成立的是
A.)()1()(bffaf B.)1()()(fbfaf
C.)()()1(bfaff D.)()1()(affbf
8.如图2，一条河的两岸平行，河的宽度d=600m，一艘客船从码头A出发匀速驶往
河对岸的码头B.已知kmAB1，水流速度为2km/h，若客船行驶完航程所用最短时
间为6分钟，则客船在静水中的速度大小为
A.8km/h B.hkm/26
C.hkm/342 D.10km/h
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.
（一）必做题（9-13题）
9.不等式xx1的解集是_________.
10.10._______cosxdx
11.某工厂的某种型号机器的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）有下表的统计资料：
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
根据上表可得回归方程axyˆ23.1ˆ，据此模型估计，该型号机器使用所限为10年维修费用约______万元（结果保留两位小数）.
12.已知1,0aa，函数1,1,)(xaxxaxfx，若函数)(xf在区间[0,2]上的最大值比
最小值大25，则a的值为________.
13.已知经过同一点的)3*,(nNnn个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这n个平面将空间分成)(nf个部分，则.________)(______,)3(nff
（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）
14.（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，定点)23,2(A，点B在直线0sin3cos上
运动，当线段AB最短时，点B的极坐标为______.
15.（几何证明选讲选做题）
如图3，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC与⊙O
交于点D，若BC=3，516AD，则AB的长为______.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.（本小题满分12分）
已知函)4sin()(xAxf（其中0,0,ARx）的最大值为2，最小正周期为8．
(1)求函数)(xf的解析式；
(2)若函数)(xf图象上的两点P，Q的横坐标依次为2，4，O坐标原点，求POQ的
面积.
17.（本小题满分12分）
甲、乙、丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为,21乙，丙做对的概率分别为m,n(m>n)，且三位学生是否做对相互独立.记为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：
0 1 2 3
P 41 a b 241
(1)求至少有一位学生做对该题的概率；
(2)求m,n的值；
(3)求的数学期望.
18.（本小题满分14分）
如图4，在三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC是边长为2的等边三角形，
1AA平面ABC，D，E分别是CC1，AB的中点.
(1)求证：CE//平面A1BD；
(2)若H为A1B上的动点，当CH为平面A1AB所成最大角的正切值为
215时，求平面A1BD与平面ABC所成二面角（锐角）的余弦值.
19.（本小题满分14分）
已知数列}{na的前n项和为Sn，且nnaaaa32132*)(2)1(NnnSnn.
(1)求数列}{na的通项公式；
(2)若p,q,r是三个互不相等的正整数，且p,q,r成等差数列，试判断1,1,1rqpaaa
是否成等比数列？并说明理由.
20.（本小题满分14分）
已知椭圆C1的中心在坐标原点，两个焦点分别为)0,2(),0,2(21FF，点A（2，3）在椭圆C1上，过点A的直线L与抛物线yxC4:22交于B，C两点，抛物线C2在点B，C处的切线分别为21,ll，且1l与2l交于点P.
(1)求椭圆C1的方程；
(2)是否存在满足||2121AFAFPFPF的点P？若存在，指出这样的点P有几个（不必求出点P的坐标）；若不存在，说明理由.
21.（本小题满分14分）
已知二次函数1)(2maxxxf，关于x的不等式21)12()(mxmxf的解集为)1,(mm，其中m为非零常数.设1)()(xxfxg.
(1)求a的值；
(2))(Rkk如何取值时，函数)1ln()()(xkxgx存在极值点，并求出极值点；
(3)若m=1，且x>0，求证：*)(22)1()]1([Nnxgxgnnn
