广东省广州市2013届普通高中毕业班综合测试理科数学试题

第1页 2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）

数学（理科） 2013.4

本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟

注意事项：1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式ShV31，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．对于任意向量a、b、c，下列命题中正确的是

A．abab B．abab C．abcabc D．2aaa

2．直线1ykx与圆2220xyy的位置关系是

A．相交 B．相切 C．相离 D．取决于k的值

文3（理1）．若1i（i是虚数单位）是关于x的方程220xpxq（pqR、）的一个解，则pq

A．3 B．1 C．1 D．3

4．已知函数yfx的图象如图1所示，则其导函数yfx的图象可能是

5．若函数cos6yx*N的一个对称中心是06，，则的最小值为

A．1 B．2 C．4 D．8

6．一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示．若一个平行于

圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两

部分，则截面的面积为

A．14 B．

C．94 D．4

7．某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元．年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年限（即使用多少年的年平均费用最少）是

A．8年 B．10年 C．12年 D．15年 x y

O

图1 y

x O

A． x O

B． x O

C． x O

D． y y y

4

6

图2 第2页 8．记实数1x，2x，„，nx中的最大数为12max,,nxxx…,，最小数为12min,,nxxx…,，则

2maxmin116xxxx，，

A．34 B．1 C．3 D．72

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9～13题）

9．某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔，甲、乙、丙三种型号钢笔的数量之比依次为2﹕3﹕4．现用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，其中甲型钢笔有12支，则此样本容量n ．

10．已知 为锐角，且3cos45，则 sin ．

11．用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成 个没有重复数字且能被5整除的五位数（结果用数值表示）．

12．已知函数22fxxx，点集Mxyfxfy，≤2，Nxyfxfy，≥0，

则MN所构成平面区域的面积为 ．

13．数列}{na的项是由1或2构成，且首项为1，在第k个1和第1k个1之间有21k个2，即数列}{na

为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，„，记数列}{na的前n项和为nS，则20S ；2013S ．

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14．（几何证明选讲选做题）

在△ABC中，D是边AC的中点，点E在线段BD上，且满足13BEBD，延长AE交BC于点F，

则BFFC的值为 ．

15．（坐标系与参数方程选做题）

在极坐标系中，已知点1,2A，点P是曲线2sin4cos上任意一点，设点P到直线

cos10的距离为d，则PAd的最小值为 ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

某单位有A、B、C三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点O，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为80ABm，70BCm，50CAm．假定A、B、C、O四点在同一平面内．

（1）求BAC的大小；

（2）求点O到直线BC的距离．

第3页 17．（本小题满分12分）

已知正方形ABCD的边长为2，EFGH、、、分别是边ABBCCDDA、、、的中点．

（1）在正方形ABCD内部随机取一点P，求满足||2PH的概率；

（2）从ABCDEFGH、、、、、、、这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的

距离为，求随机变量的分布列与数学期望E．

18．（本小题满分14分）

等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足ADDB12CEEA（如图

3）．将△ADE沿DE折起到△1ADE的位置，使二面角1ADEB成直二面角，连结1AB、1AC

（如图4）．

（1）求证：1AD平面BCED；

（2）在线段BC上是否存在点P，使直线1PA与平面1ABD所成的角为60？若存在，求出PB的长，若不存在，请说明理由．

19．（本小题满分14分）

已知0a，设命题p：函数2212fxxaxa在区间0,1上与x轴有两个不同的交点；命题q：gxxaax在区间0,上有最小值．若pq是真命题，求实数a的取值范围．

B C E D 1A图4 图3 A

B C D

E 第4页 20．（本小题满分14分）

经过点0,1F且与直线1y相切的动圆的圆心轨迹为M．点A、D在轨迹M上，且关于y轴对称，过线段AD（两端点除外）上的任意一点作直线l，使直线l与轨迹M在点D处的切线平行，设直线l与轨迹M交于点B、C．

（1）求轨迹M的方程；

（2）证明：BADCAD；

（3）若点D到直线AB的距离等于22AD，且△ABC的面积为20，求直线BC的方程．

21．（本小题满分14分）

设na是函数321fxxnx*nN的零点．

（1）证明：01na；

（2）证明：1nn1232naaa．

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数学（理科）试题参考答案及评分标准

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．

题号 1 2 3 4 5 6 7

8

答案 D A C A B C B

D

二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题第一个空2分，第二个空3分．

9．54 10．210 11．216 12．2 13．36；3981 14．14 15．2

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题主要考查解三角形等基础知识，考查正弦定理与余弦定理的应用，本小题满分12分）

解：（1）在△ABC中，因为80ABm，70BCm，50CAm，

由余弦定理得222cos2ABACBCBACABAC „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2分

2228050701280502． „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分

因为BAC为△ABC的内角，所以3BAC．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分

（2）方法1：因为发射点O到A、B、C三个工作点的距离相等，

所以点O为△ABC外接圆的圆心．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„5分

设外接圆的半径为R，

在△ABC中，由正弦定理得2sinBCRA， „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7分

因为70BC，由（1）知3A，所以3sin2A．

所以7014032332R，即7033R．„„„„„„„8分

过点O作边BC的垂线，垂足为D，„„„„„„„„„„9分

在△OBD中，7033OBR，703522BCBD，

所以2222703353ODOBBD „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„11分

3533．

所以点O到直线BC的距离为3533m．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分

方法2：因为发射点O到A、B、C三个工作点的距离相等，

所以点O为△ABC外接圆的圆心．„„„„„„„„5分

连结OB，OC，

过点O作边BC的垂线，垂足为D， „„„„„„„6分

由（1）知3BAC， A

B C O

D

A

B C O

D