第四章数列极限数学归纳法

1 第四章 数列、极限、数学归纳法

一、数列

知识梳理：

1、数列的概念：

（1） 叫做数列， 叫做这个数列的项。

按一定次序排列的一列数 数列中的每一个数

（2）数列的本质，数列可以看作 的函数f(n)，当自变量n

一个定义在正整数N或它的有限子集1,2,,n上

从1开始一次去正整数时所对应的一列函数值f(1),f(2)，，f(n)，通常用na代替f(n)，于是数列的一般形式为12,,,,naaa简记{na}，其中na是数列{na}的第n项。

（3）数列的分类：

①按项数是有限还是无限分

有穷数列、无穷数列。

②按项与项之间的大小分 ， ， ， 。

递增数列、递减数列、摆动数列、常数数列。

2、数列的通项公式：

（1） 叫做数列的通项。

数列的第n项na

如果通项 这个公式叫做数列的

na与项数n之间的对应关系可以用一个公式来表示

通项公式，不是所有的数列都有通项公式。注意na与{na}的区别。

（2）数列通项公式求法：

① 观察归纳法：先观察哪些因素随项为n的变化而变化，哪些因素不变；分析符号、数字、与项数n在变化过程中的联系，初步归纳出公式，再取n的特殊值进行检验是否正确。

② 公式法：利用等差等比的通项公式

③ 逐差法；

④ 递推关系法；

⑤ 利用nS与na的关系：11(1)(2)nnnSnaSSn

⑥ 归纳猜想。 2 3、等差数列和等比数列：

等差数列 等比数列

定

义 一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是同一个常数，即1nnaad(常数) 一个数列从第二项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，即1nnaqa(常数)

通

项

公

式 1(1)naand

()nmaanmd

naAnB 11nnaaq

nmnmaaq

nnaAB(0AB)

中

项 若三数a、b、c成等差数列，则b称为a、c的等差中项，

即：a、b、c成等差数列

2acb 若三数a、b、c成等比数列，则b称为a、c的等比中项，

即：a、b、c成等比数列

bac

性

质 （1）122nnnaaa (nN)

（2）若m、n、p、qN，则mnpqmnpqaaaa

（3）kS、2kkSS、32kkSS

成等差数列 （1）212nnnaaa

（2）若m、n、p、qN，则mnpqmnpqaaaa

（3）kS、2kkSS、32kkSS

成等比数列

前

n

项

和 (1)1()2nnnaaS

(2)1(1)2nnnSnad

(3)2nSAnBn (1)11(1)(1)1nnnaqSaaqqq

(2) 11(1)(1)(1)1nnnaqSaqqq

(3) 当1q时，(0)nnSAAqA

判

定

方

法 (1)定义法

(2)通项公式法：naAnB

(3)中项公式法

(4)前n项和公式法：

2nSAnBn (1) )定义法

(2)通项公式法： nnaAB(0AB)

(3)中项公式法

(4) 前n项和公式法：

(0)nnSAAqA 3

4、数列的递推公式：

（1） 这种表示数列的式子叫数列的

给出数列第一项(或前几项)并给出每一项与它前一项(或前若干项)关系式

递推公式,由递推公式给出的数列叫递推数列。

（2）等差数列的递推公式 ；

1aa，1nnaad (nN)

等比数列的递推公式 ；

1(0)abb，1nnaaq (0,qnN)

（3）几类简单递推数列通项公式的求法：

①1()nnaafn型，累加法； 1()nnaagn型，累乘法；

②1(0,1)nnapaqpqpp、为常数，且型，待定系数法；

③21nnnapaqa（p、q为常数，且p+q=1）以p=1-q代入构造新数列

11nnnbaa；

④11nnnnaabaa，倒数法；

⑤归纳法。

4

第一节、数列的概念

一、基础训练：

1．（1）用两种不同的形式表示数列 0，-2，0，-2， ____.

1(1)1nna或22cos2nna

（2）41()nnN是数列 -5，-1，3，7，的第 ____.项

2n

2．根据数列前几项的规律，写出下列数列的一个通项公式：

（1）1，2，3，4，……，na ；1111,,,,,234na ；

n 1n

（2）1，3，5，7，……，na ；2，4，6，8，……，na ；

21n 2n

（3）2，4，8，16，……，na ；1，-1，1，-1，……，na ；

2n 11n

（4）1，0，1，0，……，na ； 1112n

（5）3，33，333，3333，……，na ； 11013n

（6）2517,1,,,379，……，na ； 21121nnn

（7）315171,,,,,,23456……，na ；1112nn

（8）,,,,,,ababab……，na ；112nabab

（9）1．1，11．11，111．111，……，na ；21101910nn

二、例题选讲： 5

例1：求下列数列的通项公式：（辅导与训练P.109(8)）

（1） 1，3，7，15，31，…… 21nna

（2） 1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，……3nan

例2：根据下列关系求通项公式：（辅导与训练P.109(9)）

（1）112,2nnnaaa，求：.na

122nna

（2）112,34nnaaa，求：.na

1432nna

变式练习：数列{}na中1110,(3)4nnaaa，求：.na

1114nna

（3）1112,2,.nnnnnaaaaaa求：

243nan

（4）已知：111511,()(1),.632nnnnaaana求：

113223nnna

变式练习：数列{}na中1111,22nnnaaa，求：.na

212nnan

例3：根据下列关系求数列通项公式：（辅导与训练P.110(10)）

（1） 已知3(1),2nnSa求：.na

3nna

（2） 已知11,at为非零常数，13(23)3,nntStSt求：.na 6 1233nntat

（3） 设,nnAB分别表示{},{}nnab的前n项和，且

23,41213,.2nnnnnaBAnb求：

534nbn

变式练习：已知数列{}na的前n项和为,nnnSaS与满足21(2)8nnSa，求：.na

（辅导与训练P.111(11)）

42nan或121nna ？？？？

例4：已知12211,3,450()nnnaaaaanN，求数列的通项公式。

（零距离P.309(6)）

1453nna

三、学生练习：（辅导与训练P.113/1-2（单元练习A）

1．根据下面各个数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式

（1）2，5，8，11．…….. (2)1，21，32，23，……

31nan 1nann

（3）32，1，58，38…… （4）7，77，777，7777……..

22nnna 71019nna

（5）-1，0，2，5，9…… （6）1，2，5，14，41…….

222nnna 1312nna