第六章数列与数学归纳法

第六章 数列与数学归纳法

第一节数列的概念与简单表示法

1．数列的有关概念

概念 含义

数列 按照一定顺序排列的一列数

数列的项 数列中的每一个数

数列的通项 数列{an}的第n项an

通项公式 数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式

前n项和 数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和

2.数列的表示方法

列表法 列表格表示n与an的对应关系

图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中

公式法 通项公式 把数列的通项使用公式表示的方法

递推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法

3.an与Sn的关系

若数列{an}的前n项和为Sn，

则an＝ S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.

4．数列的分类

[小题体验]

1．已知数列{an}的前4项为12，34，78，1516，则数列{an}的一个通项公式为________． 答案：an＝2n－12n(n∈N*)

2．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an2an＋3，则a5等于________．

答案：1161

3．(教材改编题)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝3n－1，则an＝________.

答案：2×3n－1

1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．

2．易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．

3．在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形．

[小题纠偏]

1．已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝n2＋1，则数列{an}的通项公式是________．

答案：an＝ 2，n＝1，2n－1，n≥2

2．数列{an}的通项公式为an＝－n2＋9n，则该数列第________项最大．

答案：4或5

考点一 由数列的前几项求数列的通项公式基础送分型考点——自主练透

[题组练透]

1．(2019·温岭模拟)将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2 018项与5的差即a2 018－5＝(

)

A．2 017×2 024 B．2 017×1 012

C．2 018×2 024 D．2 018×1 012

解析：选B 结合图形可知，该数列的第n项为an＝2＋3＋4＋…＋(n＋2)，所以a2 018－5＝4＋5＋6＋…＋2 020＝2 017×2 020＋42＝2 017×1 012.

2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：

(1)4,6,8,10，…； (2)(易错题)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；

(3)－1,7，－13,19, …；

(4)9,99,999,9 999，….

解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以它的一个通项公式an＝2(n＋1)，n∈N*.

(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式an＝(－1)n×1nn＋1，n∈N*.

(3)这个数列，去掉负号，可发现是一个等差数列，其首项为1，公差为6，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5)，n∈N*.

(4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1 000－1，10 000－1，所以它的一个通项公式an＝10n－1，n∈N*.

[谨记通法]

由数列的前几项求数列通项公式的策略

(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征，并对此进行归纳、联想，具体如下：

①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号特征等．

(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．

考点二 由an与Sn的关系求通项an重点保分型考点——师生共研

[典例引领]

已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式．

(1)Sn＝n2＋1；

(2)Sn＝2n－an.

解：(1)a1＝S1＝1＋1＝2，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－(n－1)2－1＝2n－1，而a1＝2，不满足此等式．

所以an＝ 2，n＝1，2n－1，n≥2.

(2)当n＝1时，S1＝a1＝2－a1，所以a1＝1；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－an)－[2(n－1)－an－1]＝2－an＋an－1，

即an＝12an－1＋1，即an－2＝12(an－1－2)． 所以{an－2}是首项为a1－2＝－1，公比为12的等比数列，

所以an－2＝(－1)·12n－1，

即an＝2－12n－1.

[由题悟法]

已知Sn求an的 3个步骤

(1)先利用a1＝S1求出a1；

(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；

(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．

[即时应用]

已知数列{an}的前n项和为Sn.

(1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an；

(2)若an＞0，Sn＞1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，求an.

解：(1)a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2，

当n＝1时，a1＝S1＝1；

当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)

＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)]

＝(－1)n＋1·(2n－1)，

又a1也适合此式，

所以an＝(－1)n＋1·(2n－1)．

(2)当n＝1时，a1＝S1＝16(a1＋1)(a1＋2)，

即a21－3a1＋2＝0.

解得a1＝1或a1＝2.因为a1＝S1＞1，所以a1＝2.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝16(an＋1)(an＋2)－16(an－1＋1)(an－1＋2)，所以(an－an－1－3)(an＋an－1)＝0.

因为an＞0，所以an＋an－1＞0，

所以an－an－1－3＝0，

所以数列{an}是以2为首项，3为公差的等差数列．

所以an＝3n－1. 考点三 由递推关系式求数列的通项公式题点多变型考点——多角探明

[锁定考向]

递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接．

常见的命题角度有：

(1)形如an＋1＝anf(n)，求an；

(2)形如an＋1＝an＋f(n)，求an；

(3)形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an.

[题点全练]

角度一：形如an＋1＝anf(n)，求an

1．在数列{an}中，a1＝1，an＝n－1nan－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式．

解：∵an＝n－1nan－1(n≥2)，

∴an－1＝n－2n－1an－2，an－2＝n－3n－2an－3，…，a2＝12a1.

以上(n－1)个式子相乘得

an＝a1·12·23·…·n－1n＝a1n＝1n.

当n＝1时，a1＝1，上式也成立．

∴an＝1n(n∈N*)．

角度二：形如an＋1＝an＋f(n)，求an

2．设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．

解：由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．

以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝n－12＋n2＝n2＋n－22.

又∵a1＝1，∴an＝n2＋n2(n≥2)．

∵当n＝1时也满足此式，

∴an＝n2＋n2(n∈N*)．

角度三：形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an

3．已知数列{an}满足a1＝1，当n≥2，n∈N*时，有an＝2an－1－2，求数列{an}的通项公式．

解：因为an＝2an－1－2， 所以an－2＝2(an－1－2)．

所以数列{an－2}是以a1－2＝－1为首项，2为公比的等比数列．

所以an－2＝(－1)×2n－1，

即an＝2－2n－1.

[通法在握]

典型的递推数列及处理方法

递推式 方 法 示 例

an＋1＝an＋f(n) 叠加法 a1＝1，an＋1＝an＋2n

an＋1＝anf(n) 叠乘法 a1＝1，an＋1an＝2n

an＋1＝Aan＋B

(A≠0,1，B≠0) 化为等比数列 a1＝1，an＋1＝2an＋1

[演练冲关]

根据下列条件，求数列{an}的通项公式．

(1)a1＝1，an＋1＝an＋2n(n∈N*)；

(2)a1＝1,2nan＋1＝(n＋1)an(n∈N*)；

(3)a1＝1，an＝3an－1＋4(n≥2)．

解：(1)由题意知an＋1－an＝2n，

an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1

＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.

(2)由2nan＋1＝(n＋1)an，得an＋1an＝n＋12n.

所以an＝anan－1·an－1an－2·an－2an－3·…·a2a1·a1＝n2n－1·n－12n－2·n－22n－3·…·22×1×1＝n2n－1.

(3)因为an＝3an－1＋4(n≥2)，

所以an＋2＝3(an－1＋2)．

因为a1＋2＝3，所以{an＋2}是首项与公比都为3的等比数列．

所以an＋2＝3n，即an＝3n－2.

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．(2018·嘉兴七校联考)已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋n，则a5＝( )

A．25 B．30