第六章 数列、极限与数学归纳法
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考试内容：
数列.等差数列及其通项公式、前n项和的公式.等比数列及其通项公式、前n项和的公式.
数列的极限及其四则运算.
数学归纳法及其应用.
考试要求：
(1)理解数列的有关概念.了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项.
(2)掌握等差数列与等比数列的概念、通项公式、前n项和的公式，并能够运用这些知识解决一些问题.
(3)了解数列极限的意义，掌握极限的四则运算法则，会求公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限.
(4)了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单问题.
一、选择题
1. 给出20个数:87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88.它们的和是(86(5)3分)
A.1789 B.1799 C.1879 D.1899
B
2. 设命题甲:△ABC的一个内角为60°，命题乙:△ABC的三个内角的度数成等差数列.那么(88(11)3分)
A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件
C.甲是乙的充要条件 D.甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
C
3. 已知{an}是等比数列，如果a1＋a2＋a3＝18，a2＋a3＋a4＝－9，Sn＝a1＋a2＋……＋an，那么limn→∞Sn的值等于(89(5)3分)
A.8 B.16 C.32 D.48
B
4. 设2a＝3，2b＝6，2c＝12，则数列a，b，c(90上海)
A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列
C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列
A
5. 已知等比数列的公比是2，且前四项的和为1，那么前八项的和为(90广东) ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌
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B
6. 已知{an}是等比数列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5＝(91(7)3分)
A.5 B.10 C.15 D.20
A
7. limn→∞[n(1－13)(1－14)(1－15)……(1－1n＋2)]的值等于(91(12)3分)
A.0 B.1 C.2 D.3
C
8. 在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝(91上海)
A.45 B.75 C.180 D.300
C
9. 一个等差数列的第5项等于10，前3项的和等于3，那么(91三南)
A.它的首项是－2，公差是3 B.它的首项是2，公差是－3
C.它的首项是－3，公差是2 D.它的首项是3，公差是－2
A
10. 设等差数列{an}的公差为d，如果它的前n项和Sn＝－n2，那么(92三南)
A.an＝2n－1，d＝－2 B.an＝2n－1，d＝2
C.an＝－2n＋1，d＝－2 D.an＝－2n＋1，d＝2
C
11. 设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1a2a3……a30＝230，则a3a6a9……a30＝(92三南)
A.210 B.220 C.216 D.215
B
12. 在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a6＝9，则log3a1＋log3a2＋……＋log3a10＝(93(7)3分)
A.12 B.10 C.8 D.2＋log35
B
13. 某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3个小时，这种细菌由一个可繁殖成(94(5)4分)
A.511个 B.512个 C.1023个 D.1024个
B
14. 某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N)时该命题成立，那么可以推得n＝k＋1时该命题成立，现已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得(94上海)
A.当n＝6时该命题不成立 B.当n＝6时该命题成立
C.当n＝4时该命题不成立 D.当n＝4时该命题成立
C
15. 等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若SnTn＝2n3n＋1，则limn→∞anbn＝(95(12)5分)
A.1 B.63 C.23 D.49
C
16. 等比数列an的首项a1＝－1，前n项和为Sn，已知S10S5＝3132，则limn→∞Sn等于(96(10)4分) ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌
▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓ A.23 B.－23 C.2 D.－2
B
17. 等差数列{an}的前m项和是30，前2m项和是100，则它的前3m项和是(96(12)5分)
A.130 B.170 C.210 D.260
C
18. 设f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＋……＋12n(n∈N)，那么f(n＋1)－f(n)＝(97上海)
A.12n＋1 B.12n＋2 C.12n＋1＋12n＋2 D.12n＋1－12n＋2
D
19. 在等比数列{an}中，a1＞1，且前n项和Sn满足limn→∞Sn＝1a1，那么a1的取值范围是(98(15)5分)
A.(1，＋∞) B.(1，4) C.(1，2) D.(1，2)
D
20. 已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有(2000春京、皖(13)5分)
A.a1＋a101＞0 B.a2＋a100＜0 C.a3＋a99＝0 D.a51＝51
C
21. limn→∞C2nnC2n＋2n＋1＝(2001春京、皖、蒙(3)5分)
A.0 B.2 C.12 D.14
D
22. 根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn（万件）近似地满足Sn＝n90(21n－n2－5)(n＝1,2,……,12),按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是(2001春京、皖、蒙(12)5分)
A.5月、6月 B.6月、7月 C.7月、8月 D.8月、9月
C
23. 若数列{an}前8项的值各异，且an＋8＝an对任意的n∈N＋都成立，则下列数列中可取遍{an}前8项值的数列为(2001年春上海(16)4分)
A.{a2k＋1} B.{a3k＋1} C.{a4k＋1} D.{a6k＋1}
B
24. 设{an}是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是(2001年(3)5分)
A.4 B.2 C.1 D.6
B
二、填空题
1. limn→∞3n－1＋(－2)n3n＋(－2)n＋1＝____________.(86(14)4分) ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌
▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓ 答：13
2. limn→∞(1n2＋1＋2n2＋1＋3n2＋1＋……＋2nn2＋1)＝____________.(87(12)4分)
答：2
3. 已知等比数列{an}的公比q＞1，a1＝b(b≠0)，则limn→∞a1＋a2＋a3＋……＋ana6＋a7＋a8＋……＋an＝_________.
(88(24)4分)
答：1
4. 已知{an}是公差不为0的等差数列，如果Sn是{an}的前n项和，那么limn→∞nanSn等于______.
(90(18)3分)
答：2
5. 在无穷等比数列{an}中，a1＝33，a3＝3，则limn→∞(a1＋a3＋a5＋……＋a2n－1)＝______.
(91上海)
答：932
6. limn→∞4n·2n＋1n·3n－1＝___________(91三南)
答：0
7. 已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则a1＋a3＋a9a2＋a4＋a10的值是_______.
(92(23)3分)
答：1316
8. limn→∞[11×4＋14×7＋17×10+……＋1(3n－2)(3n＋1)]＝__________(92三南)
答：13
9. 已知等差数列{an}的公差d＞0，首项a1＞0，Sn＝∑ni＝11aiai＋1，则limn→∞Sn＝____.(93(24)3分)
答：1a1d
10. 已知等比数列{an}(an∈R)，a1＋a2＝9，a1a2a3＝27。且Sn＝a1＋a2＋……＋an(n＝1，2，……)，则limn→∞Sn＝______________(93上海)
答：12
11. 已知log3x＝－1log23，则x＋x2＋x3＋……＋xn＋……＝_____________(95上海)
答：1
12. 设0＜a＜b，则limn→∞4bnan－bn＝______.(97上海)
答：－4 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌
▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓ 13. 在数列{an}和{bn}中，a1＝2，且对任意自然数n，3an＋1－an＝0，bn是an与an＋1的等差中项，则的各项和为_____________(98上海)
答：2
14. 设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)an＋12－nan2＋an＋1an＝0(n＝1，2，3…)，则它的通项公式是an＝_________.(2000⒂4分)
答：1n
15. 计算：limn→∞(nn＋2)n＝____________(2000上海(4)4分)
答：e－2
16. 在等差数列{an}中，若a10＝0，则有等式a1＋a2＋……＋an＝a1＋a2＋……＋a19－n(n＜19，n∈N)成立，类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有等式________成立(2000上海(12)4分)
答：b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N)
17. 设{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和.若{Sn}是等差数列,则q＝_____________.(2001年(15)4分)
答：1
18. 甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄，甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%。乙存一年期定期储蓄，年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄。按规定每次计息时，储户须交纳利息的20%作为利息税，若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得本息之和的差为__________元。（假定利率五年内保持不变，结果精确到1分）。(2001年春上海(12)4分)
答：219.01
