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高中数学备忘录——数列极限数学归纳法

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高中数学备忘录——数列、极限、数学归纳法

1. 等差数列中的重要性质：若( )mnklmnklN，，，，则mnklaaaa；

2. 等比数列中的重要性质：若( )mnklmnklN，，，，则mnklaaaa；

3. 以上两个性质可推广到若干个，但等式两端的项数必须相等，脚标之和必须相等；

4. 等差（比）数列通项公式的变式()()nknknkaankdaaq有时非常好用；

5. 两个实数 ab、的等差中项唯一2abA；2abA是 aAb，，成等差数列的充要条件； 6. 两个正数 ab、的等比中项有两个Gab；2Gab是 aGb，，成等比数列的必要非充分条件；

7. 等差数列{}na的前n项和111()()(1)(1)2222nknknnnaanaanndnndSanan；

8. 用等比数列求和公式求数列的和时，勿忘1q；已知前n项和nS，求na, 勿忘1n；

9. 等比数列{}na的前n项和111 1(1) 111nnnnaqSaaqaqqqq，，；

10. 1q时，1(1)1nnaqSq的优势：无需知道末项；11nnaaqSq的优势：无需知道项数；

11. 等差数列{}na的前n项和，次n项和，再n项和，…，第k个n项和成等差数列，公差为2nd；

12. 等比数列{}na的前n项和，次n项和，再n项和，…，第k个n项和成等比数列，公比是nq；

13. 已知等差数列的前n项和为nS，则1()2nSddnan，表明{}nSn也是等差数列；即点( )()nSnnNn，共线(也就是当n取不同值时，斜率相等)；

14. 项数有限的等差数列奇数项的和S奇，偶数项的和S偶满足nSSS奇偶；当n为偶数时，2ndSS奇偶；当n为奇数时，nSSSan奇偶中；

····

15. 若数列{}na、{}nb都是等差数列，则{}nnAaBb( AB、为常数)也是等差数列；

16. 若数列{}na、{}nb都是等比数列，则{}ABnnab( AB、为常数)也是等比数列；

17. 若数列{}na是等差数列，(0 1)nanbaaa，，则{}nb是等比数列；

18. 若数列{}na是等比数列，log(0 1)nnabaaa，，则{}nb是等差数列；

19. 证明数列{}na为等差数列的方法：

①根据定义：1nnaad( nNd，为常数)；②根据通项公式：1(1)naand；

③根据性质：122nnnaaa；

20. 证明数列{}na为等比数列的方法：

①根据定义：1nnaqa( nNq，为非零常数)；②根据通项公式：11nnaaq；

③根据性质：212nnnaaa；

21. 设nS是数列{}na的前n项和, {}na为等差数列的充要条件是2nSanbn( ab，为常数)其公差是2a；{}na为等比数列的充要条件是nnSaqa( aq，为非零常数)其公比是q； 22. 等差数列前n项和的最大(小)值的求法：①二次函数配方法；②找出所有正(负)项；若mkSS，则mk为偶数时，2mkS最大(或小)，mk为奇数时，12mkS和12mkS大(或小)

23. “若nnncab，其中{}na是等差数列，{}nb是等比数列，求{}nc的最大(小)项”，利用不等式1nnaa(或1nnaa)找到{}nc的单调性；

24. “若nnncab，其中{}na是等差数列，{}nb是等比数列，求{}nc的前n项”用“错位相减”法；

25. “若1nnncab，其中{}na、{}nb都是等差数列，求{}nc的前n项的和”用“裂项求和”法；（如111(1)1nnnn；!(1)!!nnnn等）；

26.

“若nnncAaBb( AB、为常数)，其中{}na、{}nb的和分别已知或可求，求{}nc的前n项的和”用“分组求和”法；（如13223nncn等）；

27. 还有等差数列求和公式的推导方法“倒序相加法”求和；

····

28. 数学归纳法证明与自然数有关的问题的步骤：以下斜体字在证题过程中照抄，“……”是证明过程

①(验证)当0nn时，……结论成立；

②假设0( )nkknnN，时结论成立，即……

则当1nk时，……

即当1nk时，结论成立

由①②可知，结论对任意0 nnnN，成立。

29. 数列{}na的极限是A，说明随着n的无限增大，na与A越来越近，而且无限接近．．．．；

30. “lim limnnnnaAbB，”是“lim()nnnabAB”的充分非必要条件；

31. “若lim limnnnnaAbB，，则lim()nnnabAB”可推广到有限，不可推广到无限；

32. 22222123(1)1lim()lim22nnnnnnnnnnL（先求和，再求极限）；

33. 若k为常数，则2222123lim()0nknnnnL（用加法的推广形式直接求极限）；

34. 若0cd，则 0lim 0nnnnnaqpapbqcbcpdqpqd，，；

35. 1111112222limkkkknanbncaanbncaLL(20 ak，为常数)

36. 1lim(1)nnen；lim()bdnananbeand

37. 如下两个极限的条件易记混：

若没有说明是等比数列，则lim0nnq成立的条件为||1q（这里的q可为零）；

无穷等比数列的和1lim1nnaSSq成立的条件为0||1q（这里的q不可为零）；

38. 已知无穷等比数列的和为a，可由11aaq和0||1q求得q的范围，本质是根据定义域求值域。

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数列、极限、数学归纳法()

数列、极限、数学归纳法()

第二章数列、极限、数学归纳法（2）

等比数列

【例题精选】:

例1：“b 2 = ac”是a , b , c成等比数列的

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充分且必要条件 D．既不充分又不必要条件

分析：由a , b , c成等比数列bac2；bac2若a , b , c中有等于零者，a ,

b , c不成等比数列，故选（B）

说明：只有当a , b , c均不为零时， bac2 a , b , c成等比数列。

例2：已知数列an的前n次和Skknn3(为常数），那么下述结论正确的是

A．k为任意实数时，an是等比数列

B．k= －1时，an是等比数列

C．k= 0时，an是等比数列

D．an不可能是等比数列

分析：给出 skknn3(为常数），可由sn求出通项an来进行判断：

nasknasskknnnnnn13123323211111时，时，()()()

当na1223210时，由（）式

当akk121321时代入（）式得得,

当时，数列kanNannn1231()是等比数列，故选（B）。

小结：解好本题要准确掌握数列的前n项和Sn与通项an关系式

ansnssnnn1112

例3：在等比数列an中，已知aaaaa132492040,,求

解：设等比数列的公比为q，依题意：aaqaqaq112113201402

()()()()()1211221442102419188得代入得qqaaaq

例4：（1）在等比数列6，…，1458，…，13122，…中，1458是第n项， 13122是第2n－4项，求公比q。

（2）已知等比数列前10项的和是10，前20项的和是30，求前30项的和。

数列高中数学知识点

数列高中数学知识点

数列高中数学知识点

一、知识概述

《数列高中数学知识点》

①基本定义：数列呢，简单说就是按照一定顺序排列的一列数。比如1，3，5，7，9这一串数字就是一个数列，这些数就叫做数列的项。数列中的每一项都和它的序号有关，就像在一个队伍里，每个人都有自己特定的位置编号一样。

②重要程度：在高中数学里那可是相当重要啊。数列是连接数学知识的一个关键纽带，很多其他知识都能通过数列知识来沟通。而且数列在数学建模中也起着很重要的作用，对于解决实际生活中的一些离散型数据问题特别有用。

③前置知识：你得对数字有一定的认识，像基本的运算啊什么的都得会。再就是函数的一些基础知识，因为数列其实也可以看成是一种特殊的函数。

④应用价值：它在生活里的应用可不少。比如说，计算银行利息，如果是按复利计算的话就和等比数列有关系；还有像一些人口增长模型，在一定条件下也能用数列来构建。

二、知识体系

①知识图谱：数列是高中数学代数部分的重要内容，它和函数、不等式等知识点都有着紧密的联系。

②关联知识：和函数的关系很密切，数列可以看成是定义域为正整数集的特殊函数。与不等式也有关系，在求数列的最值等问题时常常会用到不等式的知识。

③重难点分析：

- 掌握难度：数列概念比较好理解，但是数列的通项公式和前n项和公式就有点难了。因为有些数列的规律并不是一眼就能看出来的，要通过各种方法去推导。

- 关键点：关键是要找准数列的项与项数之间的关系，这个关系弄清楚了，后面的通项公式也好，前n项和也好就容易求了。

④考点分析：在考试里那是经常出现的考点。选择题、填空题可能会直接考数列的基本概念和简单计算，像求数列的某一项啊。解答题的话常常是综合性的，可能会结合函数或者不等式等知识，让你求数列的通项公式和前n项和，或者证明一些与数列相关的不等式之类的。

三、详细讲解

【理论概念类】

①概念辨析：数列的通项公式是这个数列的第n项与项数n之间的关系表达式。就好比每个人都有身份证号，通项公式就是数列的项的“身份证号”，通过这个公式只要知道了项数n就能知道对应的是数列里的哪一项。

求数列极限的若干方法

求数列极限的若干方法

求数列极限的若干方法

摘要：本文主要探讨了求数列极限的六种方法:极限定义法，迫敛性，单调有界定理，定积分的定义，施笃茨定理，以及利用函数极限求数列极限的方法，并对每一类方法进行了总结，这将有利于我们更好的学习后续课程。

关键词：极限；迫敛性；定积分

数列极限是数学分析中最重要的概念之一，以极限作为工具去解决和处理数学问题是一种极其重要的方法。许多学生在学习数列极限时感觉很困难，原因在于数列极限概念很抽象，而且计算也有一定的难度。论文总结出了求数列极限的一些常用方法，为并结合实例进行了说明。

1. 数列极限概述

对于数列na，若当n无限增大时，na能无限地接近某一个常数a，就称此数列为收敛数列，a是此数列的极限。例如，对于数列n1，当n时，n1能无限地接近于0，则称数列n1为收敛数列。就是说，当n充分大时，数列的通项na与常数a之差的绝对值可以任意小。因此有下列数列极限的精确定义。

1.1数列极限的N-定义

定义1 设na为数列，a为定数.若对任给的正数，总存在正整数N,使得当n>N时有

aan，

则称数列na收敛于a，定数a称为数列na的极限。

定理1 （唯一性） 若数列na收敛，则它只有一个极限。一个收敛数列一般含有无穷多个数，而它的极限只有一个数。

定理2 （有界性）若数列na收敛，则na为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数n 有

Man. .

. 定理3 （保号性）若)0(0limaann，则对任何)0,)(,0(''）（或aaaa，存在正数N,使得当Nn时有)(''aaaann或。

定理4 （保不等式性）设na与nb均为收敛数列.若存在正数0N,使得当0Nn时有nnba，则nnnnbalimlim。

数列、极限、数学归纳法(上)

数列、极限、数学归纳法(上)

【考点梳理】

一、考试内容

1.数列，等差数列及其通项公式，等差数列前n项和公式。

2.等比数列及其通项公式，等比数列前n项和公式。

3.数列的极限及其四则运算。

4.数学归纳法及其应用。

二、考试要求

1.理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项和。

2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能够应用这些知识解决一些问题。

3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能够运用这些知识解决一些问题。

4.了解数列极限的定义，掌握极限的四则运算法则，会求公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项和的极限。

5.了解数学归纳法的原理，并能用数学归纳法证明一些简单的问题。

三、考点简析

1.数列及相关知识关系表

2.作用地位

（1）数列是函数概念的继续和延伸，是定义在自然集或它的子集{1,2,…,n}上的函数。对于等差数列而言，可以把它看作自然数n的“一次函数”，前n项和是自然数n的“二次函数”。等比数列可看作自然数n的“指数函数”。因此，学过数列后，一方面对函数概念加深了了解，拓宽了学生的知识范围；另一方面也为今后学习高等数学中的有关级数的知识和解决现实生活中的一些实际问题打下了基础。

（2）数列的极限这部分知识的学习，教给了学生“求极限”这一数学思路，为学习高等数学作好准备。另一方面，从数学方法来看，它是一种与以前学习的数学方法有所不同的全新方法，它有着现代数学思想，它把辩证唯物主义的思想引进了数学领域，因而，学习这部分知识不仅能接受一种新的数学思想方法，同时对培养学生唯物主义的世界观也起了一定的作用。

（3）数学归纳法是一种数学论证方法，学生学习了这部分知识后，又掌握了一种新的数学论证方法，开拓了知识领域，学会了新的技能；同时通过这部分知识的学习又学到一种数学思想。学好这部分知识，对培养学生逻辑思维的能力，计算能力，熟悉归纳、演绎的论证方法，提高分析、综合、抽象、概括等思维能力，都有很好的效果。