第十章应力状态、强度理论与组合变形_工程力学

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265 第十章 应力状态、强度理论与组合变形

在前面各章中，已经讨论了杆件的拉伸与压缩、圆轴的扭转和梁的弯曲三类基本变形。研究问题的基本方法都是以力的平衡方程、变形的几何协调方程及力与变形间的物理方程为主线，得到构件的内力，进而讨论截面的应力，并由此写出强度条件来控制设计的。承受拉伸与压缩的杆件，横截面上是由轴力引起的正应力；承受扭转的圆轴，横截面上是由扭矩引起的剪应力（最大值在外圆周处）；承受弯曲的梁，横截面上有由弯矩引起的正应力（最大值在离中性轴最远处）及由剪力引起的剪应力（最大值在中性轴上）。所建立的强度条件，都是由单一的最大应力（最大正应力或最大剪应力）小于等于相应的许用应力描述的。当某危险点处于既有正应力又有剪应力的复杂状态时，如何判断其强度是否足够？这是本章要讨论的问题。

§10.1 应力状态

10.1.1 平面应力状态的一般分析

若构件只在xy平面内承受载荷，在z方向无载荷作用，则构件中沿坐标平面任取的六面体微元在垂直于z轴的前后二个面上无内力、应力作用。其余四个面上作用的应力都在xy平面内，此即平面应力状态。图10.1示出了平面应力状态的最一般情况。

在垂直于x轴的左右二平面上作用有正应力x和剪应力xy，在垂直于y轴的上下二平面上作用有正应力y 和剪应力yx。且由剪应力互等定理可知必有xy=yx=。现在讨论图中虚线所示任一斜截面上的应力，设截面上正法向n与x轴的夹角为。 o x

图10.1 平面应力状态分析 x y

x y

y yx

yx xy xy

x xy

y yx 

   n

x

b a y —————————————————— 工程力学 ————————————————

266 单位厚度的微元oab如图，截面oa上作用的应力为x和xy，沿x、y方向的内力分别为xabcos和xyabcos；截面ob上作用的应力为y 和yx，沿x、y方向的内力分别为yxabsin和yabsin；设斜截面ab上的应力为n 和n，则斜截面上沿法向、切向的内力则为nab和nab。将上述各力投影到x、y轴上，有平衡方程：Fx=nabcosn absinx abcosyx absin

Fy=nabsinnabcosyabsinxyabcos

注意到yx=xy，解得：n=xcos2ysin2xysincos

nxy)sincosxy(cos2 -sin2

利用三角关系 cos2cos2，sin2cos2，sin2sincos，由上述结果可以得到平面应力状态下斜截面上应力的一般公式为：

斜截面上的应力是角的函数，角是x轴与斜截面外法向n的夹角，从x轴到n轴逆时针转动时为正。10.1.2 极限应力与主应力

现在讨论角变化时，斜截面上法向正应力的极值。

令dn/d=0，由(10-1)式可得：

解得：

---（10-1） 2sin2cos22xyyxyxn2cos2sin2xyyxn---（10-2）

02cos2sin2xyyxyxxytgtg2220---（10-4） ---（10-3） —————————————————— 工程力学 ————————————————

267 即在=0的斜截面上，n取得极值。

再利用三角函数变换关系，当tg=x时，有sin=x/(1+ x 2)1/2，cos=1/(1+ x 2)1/2，将(10-4)式代入(10-1)式，可以得到在=0的斜截面上正应力n的极值为：

由(10-4)式可知，n取得极值的角0有两个，二者相差90。即最大正应力max和最小正应力min分别作用在两个相互垂直的截面上。注意到当=0，n取得极值时，比较(10-3)与(10-2)式可知，该斜截面上的剪应力n=0，即正应力取得极值的截面上剪应力为零。

剪应力为零的平面，称为主平面，主平面上只有法向正应力，此正应力称为主应力，主应力是极值应力。在平面应力状态下，(10-5)式给出的就是平行于z轴的=0之截面的主应力。再讨论平面应力状态下斜截面上剪应力的极值。令dn/d=0，由(10-2)式可得：

x-ycos2-2xysin2 =0

解得：

即在=1的斜截面上，剪应力n取得极值。类似如前，利用三角函数变换关系，将(10-6)式代入(10-2)式，同样可以得到斜截面上剪应力n的极值为：

由(10-6)式可知，n取得极值的角1也有两个，二者相差90。即两个正交的截面，若其中一个面上有最大剪应力max，则在与其正交的另一截面上作用着最小剪应力min。max与min二者大小相等，符号相反，分别作用在两个相互垂直的截面上，这一结论与剪应力互等定理也是一致的。

更进一步，由（10-4）和（10-6）式可知： 22minmax)2(2xyyxyx---（10-5）

xyyxtgtg2221---（10-6）

22minmax)2(xyyx---（10-7） —————————————————— 工程力学 ————————————————

268

上式表明0与1间有下述关系：

2=2+/2 或 =+/4

可见，剪应力取得极值的平面与主平面之间的夹角为45。

综上所述可知，剪应力为零的平面是主平面，主平面上的正应力是主应力，主平面相互垂直，其大小和方位由10-5)及10-4)式给出。在与主平面夹角为45的平面上，剪应力取得极值。在图10.1所示之六面体微元中，垂直于z轴的前后两面上无剪应力作用，因此也是主平面，且该平面上的主应力为z=0。

可以用主应力描述一点的应力状态。按主应力代数值的大小排列，分别记作1、2、3。若三个主应力均不为零，是最一般的三向应力状态；若三个主应力中有二个不为零，则是二向应力状态或称平面应力状态；若三个主应力中只有一个不为零，则称单向（或单轴）应力状态，如图10.2所示。例如，轴向拉压时，各点的应力状态为单向应力状态；薄壁压力容器中，各点的应力状态为二向应力状态；流体中任一点受压，为三向应力状态等等。

例10.1 某点的应力状态如图10.3所示，已知 x=30MPa，y=10MPa，xy=20MPa。

试求1）主应力及主平面方向；2）最大、最小剪应力。 图10.2 用主应力表示应力状态 1 2

3 1

2 3

1 2

1

2 3=0

1 2=3=0

1

（a）三向应力状态 （b）二向应力状态 （c）单向应力状态 01212tgtg—————————————————— 工程力学 ————————————————

269 解：1）主应力与主方向

主应力由（10-5）式给出，有：

主方向角由（10-4）式确定，有：

解得： 20= -63.43， 0= -31.72。

故二个主平面外法向与x轴的夹角为58.28和148.28。

在0= 58.28的主平面上，由（10-1）式有：

可见，在0=58.28的主平面上，主应力是min；在=148.28的主平面上，主应力是max；在垂直于z轴的前后二面上无剪应力，也是主平面，且=0。三个主应力按代数值的大小排列，有=42.36MPa；=0；=2.36MPa。用主应力表示的应力状态如图10.3(b)所示。

2）最大、最小剪应力 MPaMPaMPa36.236.42]20)21030(21030[22minmax2103020220tgmin36.2]56.116sin2056.116cos2103021030[MPaMPanx y

yx

xy x y

x

y x y

1 3

3 1

(a) max x y





 

max max max

(b) (c)

图10.3 例10.1图 0=58.28

1=13.28 —————————————————— 工程力学 ————————————————

270 将图10.3(a)中x、y、xy各应力代入(10-7)式，即可求得最大、最小剪应力。

若应力状态由主应力表示，则(10-7)式成为：

对于本题即有，max=[42.36(2.36)]MPa/2=22.36MPa，min=22.36MPa。

讨论：最大、最小剪应力作用平面与主平面间的夹角为5，故1=13.28或103.28。

在1=13.28的平面上，剪应力由(10-2)式给出，有：

注意，在1=13.28的平面上，还有正应力，且由(10-1)式可知：

故在1=13.28的平面上，=20MPa，=22.36MPa；同样可求得在1=103.28的平面上，=20MPa，=22.36MPa。如图10.3(c)所示。

最后值得指出的是，由上例可知有：

x+y=+=+即讨论一点的应力时，过该点任意两个相互垂直平面上的正应力之和是不变的。在平面应力状态下，这一结论可由（10-5）式直接得到。在三向应力状态下，可以进一步写为：

Jx+y+z =++式中J1称为表示一点应力状态的第一不变量，即过该点任意三个相互垂直平面上的正应力之和是不变的。

10.1.3 广义虎克定理与变形比能

在单向拉压情况下，线弹性应力-应变关系可用虎克定理描述，即：=E。

现在考察在线弹性范围内，图10.4所示的最一般的三向应力状态下的应力-应变关系。 231minmax---（10-8）

max36.22]56.26cos2056.26sin21030[MPaMPanMPaMPan20]56.26sin2056.26cos2103021030[---（10-9）