第9章 强度理论及组合变形

第9章 强度理论及组合变形

概述

如图9-1所示的各种处于复杂应力状态的点，当单元体微分面上的正应力满足正应力强度条件][i，同时切应力满足切应力强度条件][ij时，依然不能判别其在强度上是否安全。那么它们在什么情况下安全？又在什么情况下危险？本章的强度理论部分就要回答这个问题。

材料力学主要研究杆件以及杆件结构系统在外力作用下的强度，刚度和稳定性问题，而材料力学最复杂的问题是杆件的组合变形问题，最一般的组合变形杆件危险点的应力状态通常是复杂应力状态，如图9-2所示。因此，本章强度理论的诸多结论主要用于组合变形杆件的强度计算和设计，所以，本章组合变形部分主要研究杆件各种组合变形情况下的强度计算。

9.1 强度理论概念

根据材料力学的强度观点，构件在强度方面的安全性实质上可考察构件中的危险点是否安全，若危险点安全，则整个构件也安全；若危险点不安全，则整个构件就不安全。假设构件中A点是最危险的点，问题：当A点处于任意应力状态时，亦即A点的应力状态可以是简单应力状态，也可以是复杂应力状态，那么该点在什么情况下强度是安全的？又在什么情况下强度是不安全的？如何判断？

如果A点的应力状态是简单应力状态，如图9-3所示。那么可以根据强度条件：

][ ][ （9-1）

判别A点的安全性。如果危险点是单向应力状态，则是A点处的最大正应力(图9-3(a))；如果危险点是纯剪应力状态，则是A点处的最大切应力(图9-3(b))。从而也就知道杆件在强度上是否安全。

][是材料的许用正应力；][是材料的许用切应力。大量事实说明，工程材料的破坏形式图9-1 复杂应力状态 yxzxyxzyxyzzxzyxyxy(a) (b (c)

ABFMm图9-2 组合变形危险点的应力状态 

主要有两种，一是脆性断裂，二是塑性屈服，脆性断裂的极限应力为强度极限)(bb，而塑性屈服的极限应力为屈服应力)(ss，考虑到诸多偶然因素的影响（如材料缺陷，加工误差，实际工作环境，载荷非理想化等等），所以通常将极限应力除以一个适当的安全系数1n，这样就得到材料的许用正应力][和许用切应力][。

以上判别处于简单应力状态点A的强度的方法可以这样来理解：由于A点单元体微分面上只有唯一的应力（单向应力状态）或（纯剪应力状态）（图9-3），显然A点的强度是由这唯一的应力或控制，所以或可认为是A点的强度控制参数。于是可得如下结论：处于简单应力状态的点的强度控制参数只有唯一的一个，即或；当该点的强度控制参数达到其许可值][或][时，该点的强度也达到临界状态。因此可以用式（9-1）来判别处于简单应力状态的点的强度是否安全。另外，由于简单应力状态在实验室里很容易通过材料试件的简单拉伸以及扭转得到，因此，各种材料的许用应力][或][可通过材料实验以及选择合理的安全系数n而得到。从而也很容易就可建立处于简单应力状态的点的强度条件式（9-1），这样也就可以判别危险点是简单应力状态的杆件在强度上是否安全了。材料力学中处于拉伸压缩，扭转以及横力弯曲的杆件，其危险点的应力状态都是简单应力状态，所以它们的强度均可由式（9-1）来确定。

如果A点的应力状态是复杂应力状态，如图9-2所示。这时很明显，A点的强度控制参数不再是唯一的了，那么又如何判别该点的强度呢？考察最一般的应力状态，如图9-4（a）所示，容易想到，一点的强度是由该点的应力状态所决定。而该点的应力状态根据上章应力状态分析的内容可知，是由该点的任意一个应力状态矩阵决定的，一点的应力状态矩阵有无穷多个，而最简单的是该点主单元体所对应的应力状态矩阵，如图9-4（b）所示，即：

3210000000T （9-2）

其中，321,,是所考察点的主应力。另外，主应力是过一点所有截面上的正应力的极值应力，而大量事实说明，材料的破坏总是和某种极值应力有关，所以，根据上述分析可以认为：一点的强度是由该点的三个主应力321,,决定的，也就是说，对于一般的应力状态来说，一点的强度控制参数有三个，即该点的三个主应力321,,。 图9-3 简单应力状态的强度控制参 (a) (b) A][][A

需要注意的是，简单应力状态是一般应力状态的特殊情况，也应该满足上述结论，而简单应力状态的强度判别式已经说明具有式（9-1）的形式，因此，仿照简单应力状态的强度条件，一般应力状态的强度判别式可写为：

][),,(321feq （9-3）

其中，函数),,(321f是强度控制参数321,,的某种组合，][是材料的许用应力，可通过材料的简单拉伸试验获得，eq称为等效应力或相当应力。

式（9-3）是一个人为构造的判别式，人们希望通过这个判别式可以确定处于任意应力状态的点在强度上是否安全。但问题是函数),,(321f应该是什么形式？也就是说强度控制参数321,,具有什么样的组合就可由式（9-3）判别处于任意应力状态的点在强度上的安全性？因此，通过一系列的理论和实验寻找函数),,(321f，也即寻找强度控制参数321,,的某种合理的组合，从而建立起的满足实际情况的判别式（9-3），就称为强度理论或强度准则。

建立合理的满足实际情况的一般应力状态的强度准则，即式（9-3），实际上面临的是一个困境。首先，没有任何一个已知的理论可以通过逻辑推理演绎得到函数),,(321f；其次，通过材料实验寻找函数),,(321f实际上也是不可能的，这是因为由三个参数321,,控制的实验不仅要做很多组，而且实验设备和条件也不可能对三个参数321,,任意连续变化时的实验进行精确控制。因此，在理论逻辑推理以及实验两方面试图建立强度准则（9-3）实际上是不可能的，那么，如何走出这个困境呢？

科学研究特别是面对未知领域的研究通常采用一种行之有效的方法，那就是：假说——建立理论——实践检验，这是任何一个科学理论的必经之路。而材料力学的强度理论的建立就是通过这一过程克服上述理论和实验上的困难的，具体步骤是：

1 假说材料的破坏机理：对于某类材料，无论该材料的点处于什么应力状态，假设其破yxzxyxzyxyzzxzy123图9-4 一般应力状态的强度控制参数 (a) (b)

坏原因并认为引起材料破坏的原因均是相同的。

2 建立强度理论：根据材料的破坏机理以及材料的简单破坏实验数据建立强度判别式：][),,(321feq

3 实践检验：将所建立的强度理论在工程实际中进行检验，如果其能预测实际工程中某一大类材料在强度上的安全性，则该强度理论就具有一定的理论和应用价值，是合理的强度理论；反之就是不合理的强度理论，必须抛弃。

材料力学正是通过上述过程建立了一些常用的强度理论，但必须注意：（1）强度理论的建立是一个长期的过程，因为必须要经过工程实际的长期检验。（2）目前还不存在一个包罗所有材料的强度理论，因此，一些常用的强度理论仅适合某一类材料，而且或多或少存在一些理论上的缺陷。（3）只要假说一种材料的破坏机理就可建立一种强度理论，历史上许多人建立过不同的强度理论，但大多数在实践检验中被淘汰，目前只有四种强度理论在工程中还在广泛应用。（4）随着对材料性能的深入研究以及新材料的不断出现，一些新的强度理论也在陆续出现，所以，强度理论的研究目前仍然是固体力学一个活跃的研究领域。

9.2 四个常用的强度理论

目前在工程中广泛应用的强度理论有四种，都是经过长期的实践检验证明在某类材料中是基本符合工程实际的。这四个常用的强度理论可分为两类，一类是脆性断裂理论，只适用于脆性材料；另一类是塑性屈服理论，只适用于塑性材料。

9.2.1 脆性断裂理论

（1） 第一强度理论（最大拉应力理论）

1 破坏机理：无论材料处于什么应力状态，材料破坏的原因是最大拉应力达到临界值，如图9-5所示。

2 强度理论的建立：任何应力状态，最大拉应力是第一主应力1，而材料简单拉伸时的破坏应力为b，考虑安全系数，则材料的许用应力为nb，于是第一强度理论为：

][11eq （9-4） 123图9-5 第一强度理论的破坏机理 (a (b 破坏面

达到临界 破坏面

达到临界值

3 实践检验：第一强度理论与石材，铸铁，玻璃，陶瓷等脆性材料的工程实际以及实验数据吻合得很好，所以该理论广泛用于脆性材料的强度计算和设计。但很明显，第一强度理论不能用于没有拉应力的情况，例如单向以及双向或三向受压应力状态等等。另外，第一强度理论在理论上是不完美的，这一点在稍后强度理论的简要评述中讲解。

（2） 第二强度理论（最大线应变理论）

1 破坏机理：无论材料处于什么应力状态，材料破坏的原因是最大线应变达到临界值，如图9-6所示。

2 强度理论的建立：任何应力状态，最大线应变是第一主应变1，而材料简单拉伸破坏时的应变为Ebb，考虑安全系数，则材料应变的临界值为EnEb][][，于是第二强度理论为：EE][][)]([13211

整理后为：

][)(3212eq （9-5）

3 实践检验：第二强度理论也只适用于脆性材料，它能用于一些没有拉应力的情况，但不能用于没有拉应变的情况。

9.2.2 塑性屈服理论

（1） 第三强度理论（最大切应力理论）

1 破坏机理：无论材料处于什么应力状态，材料塑性屈服的原因是最大切应力达到临界值，如图9-7所示。

2 强度理论的建立：任何应力状态，最大切应力为：231max；而塑性材料简单拉伸达到屈服时的最大应力为smax，此时45斜截面上的切应力最大，为：图9-6 第二强度理论的破坏机理 (a) (b) 破坏面

达到临界值 123破坏面

达到临界值 123

2ss，这即是切应力的临界值，考虑到安全系数，则材料最大切应力的临界值为2][2][nnss，于是第三强度理论为：][max，即：2][231

整理后为：

][313eq （9-6）

3 实践检验：第三强度理论只适用于塑性材料，大量实践证明，该理论在工程构件的强度设计中与实际情况符合得很好，因此，第三强度理论在工程中得到广泛的应用。当然，第三强度理论在理论上并不是完美的，这一点也在稍后强度理论的简要评述中讲解。

（2） 第四强度理论（最大形状改变比能理论）