第五章 应力状态分析、强度理论、组合变形.

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265 第十章 应力状态、强度理论与组合变形

在前面各章中，已经讨论了杆件的拉伸与压缩、圆轴的扭转和梁的弯曲三类基本变形。研究问题的基本方法都是以力的平衡方程、变形的几何协调方程及力与变形间的物理方程为主线，得到构件的内力，进而讨论截面的应力，并由此写出强度条件来控制设计的。承受拉伸与压缩的杆件，横截面上是由轴力引起的正应力；承受扭转的圆轴，横截面上是由扭矩引起的剪应力（最大值在外圆周处）；承受弯曲的梁，横截面上有由弯矩引起的正应力（最大值在离中性轴最远处）及由剪力引起的剪应力（最大值在中性轴上）。所建立的强度条件，都是由单一的最大应力（最大正应力或最大剪应力）小于等于相应的许用应力描述的。当某危险点处于既有正应力又有剪应力的复杂状态时，如何判断其强度是否足够？这是本章要讨论的问题。

§10.1 应力状态

10.1.1 平面应力状态的一般分析

若构件只在xy平面内承受载荷，在z方向无载荷作用，则构件中沿坐标平面任取的六面体微元在垂直于z轴的前后二个面上无内力、应力作用。其余四个面上作用的应力都在xy平面内，此即平面应力状态。图10.1示出了平面应力状态的最一般情况。

在垂直于x轴的左右二平面上作用有正应力x和剪应力xy，在垂直于y轴的上下二平面上作用有正应力y 和剪应力yx。且由剪应力互等定理可知必有xy=yx=。现在讨论图中虚线所示任一斜截面上的应力，设截面上正法向n与x轴的夹角为。 o x

图10.1 平面应力状态分析 x y

x y

y yx

yx xy xy

x xy

y yx 

   n

x

b a y —————————————————— 工程力学 ————————————————

266 单位厚度的微元oab如图，截面oa上作用的应力为x和xy，沿x、y方向的内力分别为xabcos和xyabcos；截面ob上作用的应力为y 和yx，沿x、y方向的内力分别为yxabsin和yabsin；设斜截面ab上的应力为n 和n，则斜截面上沿法向、切向的内力则为nab和nab。将上述各力投影到x、y轴上，有平衡方程：Fx=nabcosn absinx abcosyx absin

材料力学知识点总结

材料力学是研究材料在各种外力作用下产生的应变、应力、强度、刚度和稳定性的学科。它是工程力学的一个重要分支，对于机械、土木、航空航天等工程领域具有重要的意义。以下是对材料力学主要知识点的总结。

一、拉伸与压缩

拉伸和压缩是材料力学中最基本的受力形式。在拉伸或压缩时，杆件的内力称为轴力。通过截面法可以求出轴力的大小，轴力的正负规定为拉力为正，压力为负。

胡克定律描述了应力与应变之间的线性关系，在弹性范围内，应力与应变成正比，即σ ＝ Eε，其中σ为正应力，ε为线应变，E 为材料的弹性模量。

材料在拉伸和压缩过程中会经历不同的阶段。低碳钢的拉伸实验是研究材料力学性能的重要手段，其拉伸曲线可分为弹性阶段、屈服阶段、强化阶段和颈缩阶段。通过拉伸实验可以得到材料的屈服极限、强度极限等重要力学性能指标。

二、剪切与挤压 剪切是指在一对大小相等、方向相反、作用线相距很近的横向外力作用下，杆件的横截面发生相对错动的变形形式。剪切面上的内力称为剪力，其大小可以通过截面法求得。

在工程中，通常还需要考虑连接件的挤压问题。挤压面上的应力称为挤压应力，其大小与挤压面的面积和外力有关。

三、扭转

扭转是指杆件受到一对大小相等、方向相反、作用面垂直于杆件轴线的力偶作用时，杆件的横截面将绕轴线发生相对转动的变形形式。

圆轴扭转时，横截面上的内力为扭矩。扭矩的正负规定为右手螺旋法则，拇指指向截面外为正，指向截面内为负。

根据材料力学的理论，圆轴扭转时横截面上的切应力呈线性分布，最大切应力发生在圆周处。

四、弯曲

弯曲是指杆件在垂直于轴线的外力或外力偶作用下，轴线由直线变为曲线的变形形式。

梁在弯曲时，横截面上会产生弯矩和剪力。弯矩的正负规定为使梁下侧受拉为正，上侧受拉为负；剪力的正负规定为使截面顺时针转动为正，逆时针转动为负。

弯曲正应力和弯曲切应力是弯曲问题中的重要应力。弯曲正应力沿截面高度呈线性分布，最大正应力发生在截面的上下边缘处。弯曲切应力在矩形截面梁中，其分布规律较为复杂，但在一些常见的情况下，可以通过公式进行计算。

第五节 强度理论

一、强度理论概述

各种材料因强度不足而引起的失效现象是不同的。根据第五章的讨论，我们知道象普通碳钢这样的塑性材料，是以发生屈服现象、出现塑性变形为失效的标志；而象铸铁这样的脆性材料，失效现象是突然断裂。第五～八章的强度条件可以概括为最大工作应力不超过许用应力，即max或max。这里的许用应力是从试验测得的极限应力除以安全系数得到的，这种直接根据试验结果来建立强度条件的方法，对于危险点处于复杂应力状态的情况不再适用。这是因为复杂应力状态下三个主应力的组合是各种各样的，1、2和3之间的比值有无限多种情形，不可能对所以的组合都一一试验确定其相应的极限应力。

事实上，尽管失效现象比较复杂，但可以归纳为如下二点：

1．材料在外力作用下的破坏形式不外乎有几种类型；

2．同一类型材料的破坏是由某一个共同因素引起的。

人们在长期的实践中，综合多种材料的失效现象和资料，对强度失效提出各种假说。这些假说认为，材料按断裂或屈服失效，是应力、应变或变形能等其中某一因素引起的。按照这些假说，无论是简单还是复杂应力状态，引起失效的因素是相同的，造成失效的原因与应力状态无关。这些假说称为强度理论。利用强度理论，就可以利用简单应力状态下的试验（例如拉伸试验）结果，来推断材料在复杂应力状态下的强度，建立复杂应力状态的强度条件。

强度理论是推测材料强度失效原因的一些假说，它的正确与否以及适用范围，必须在工程实践中加以检验。经常是适用于某类材料的强度理论，并不适用于另一类材料。下面介绍的四种强度理论，都是在常温静载荷下，适用于均匀、连续、各向同性材料的强度理论。

二、四种强度理论

1） 最大拉应力理论（第一强度理论）

这一理论认为引起材料脆性断裂破坏的因素是最大拉压力，它是人们根据早期使用的脆性材料（象天然石、砖和铸铁等）易于拉断而提出的。该理论认为无论什么应力状态下，只要构件内一点处的最大拉压力1达到单向应力状态下的极限应力b，材料就要发生脆性断裂。于是危险点处于复杂应力状态的构件发生脆性断裂破坏的条件为

第5章应力状态分析

ttotx''y''sx''a(0,t)d(0,-t)ADbec2×45o2×45osy''＝tsx''＝tB

E?应力圆?应力圆的应用sx''＝tsy''＝tBEttBE?应力圆?应力圆的应用纯剪

应力状态下，45o方向面上只有正应力没有切应力，而且正应力为最大值。ttBE?应力圆?应力圆的应用?

主应力、主方向、最大切应力?主方向?主应力、主方向、最大切应力?面内最大切应力?主平面与主应力

主平面与主应力?主应力、主方向、最大切应力主平面与主方向txysxsytyxtx''y''sx''oc

2qpadAD主平面（PrincipalPlane）：t=0,与应力圆上和横轴交点对应的面?主应力、

主方向、最大切应力?主平面与主应力tx''y''sx''otx''y''sx''o主应力主应力（P

rincipalStresses）：主平面上的正应力?主应力、主方向、最大切应力?主平面与主应

力(主平面定义)主应力表达式主应力排序：s1?s2?s3tx''y''sx''oc2qpad

主应力、主方向、

最大切应力?主平面与主应力?主方向?主应力、主方向、最大切应力主方向（DirectionofPrin

cipalStresses)：负号表示顺时转向?主应力、主方向、最大切应力?主方向?

面内最大切应力?主应力、主方向、最大切应力对应应力圆上的最高点的面上切应力最大，称为“面内最大切应力”（M

aximumShearingStressinPlane）。tx''y''sx''otmaxc?主应力、主方

向、最大切应力?面内最大切应力?三向应力状态特例分析?定义?三 向应力状态的应力圆?平面应力状态作为三向应力状态的特例?三向应力状态特例分析?定义?

三向应力状态特例分析三向应力状态—三个主应力都不为零的应力状态；特例—三个主应力中至少有一个是已知的(包括大小和方

向)。据此，平面应力状态即为三向应力状态的特例。?定义?三向应力状态特例分析szsxsytxytyx至