材料力学 第七章 应力状态和强度理论

40 MPa

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应力状态 强度理论

1. 图示单元体，试求 60 100 MPa

(1) 指定斜截面上的应力； (2) 主应力大小及主平面位置，并将主平面标在单元体上。

解： (1)

x y x y cos 2 x sin 276.6 MPa

2 2

x y sin 2 x cos2 32.7 MPa

2

3 1

(2) max xy ( x y ) 2 xy 2 81.98 MPa 39.35

min 2 2 121.98

1 81.98 MPa， 20 ， 3 121.98 MPa

1 2 xy 1 200

0 arctan( ) arctan 39.35

2 x y 2 40

200

60 60

2. 某点应力状态如图示。试求该点的主应力。129.9 129.9

解：取合适坐标轴令 x 25 MPa， x

由 120 xy sin 2 xy cos20 得 y

2

所以m ax x y ( xy ) 2 xy 2

m in 2 2 129.9 MPa

25 25 (MPa)

125 MPa

50 752 ( 129.9)2 50 150 100 MPa

200

1 100 MPa， 2 0 ， 3200 MPa

3. 一点处两个互成 45 平面上的应力如图所示，其中 未知，

求该点主应力。

解： y 150 MPa， x 120 MPa

80 MPa

45

. 专业 .专注 . 120 MPa

150 MPa

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由

得

45 x y sin 2 xy cos 2 x 150 80

2 2

x 10 MPa

所以 max xy (x y ) 2 2

—————————————————— 工程力学 ————————————————

265 第十章 应力状态、强度理论与组合变形

在前面各章中，已经讨论了杆件的拉伸与压缩、圆轴的扭转和梁的弯曲三类基本变形。研究问题的基本方法都是以力的平衡方程、变形的几何协调方程及力与变形间的物理方程为主线，得到构件的内力，进而讨论截面的应力，并由此写出强度条件来控制设计的。承受拉伸与压缩的杆件，横截面上是由轴力引起的正应力；承受扭转的圆轴，横截面上是由扭矩引起的剪应力（最大值在外圆周处）；承受弯曲的梁，横截面上有由弯矩引起的正应力（最大值在离中性轴最远处）及由剪力引起的剪应力（最大值在中性轴上）。所建立的强度条件，都是由单一的最大应力（最大正应力或最大剪应力）小于等于相应的许用应力描述的。当某危险点处于既有正应力又有剪应力的复杂状态时，如何判断其强度是否足够？这是本章要讨论的问题。

§10.1 应力状态

10.1.1 平面应力状态的一般分析

若构件只在xy平面内承受载荷，在z方向无载荷作用，则构件中沿坐标平面任取的六面体微元在垂直于z轴的前后二个面上无内力、应力作用。其余四个面上作用的应力都在xy平面内，此即平面应力状态。图10.1示出了平面应力状态的最一般情况。

在垂直于x轴的左右二平面上作用有正应力x和剪应力xy，在垂直于y轴的上下二平面上作用有正应力y 和剪应力yx。且由剪应力互等定理可知必有xy=yx=。现在讨论图中虚线所示任一斜截面上的应力，设截面上正法向n与x轴的夹角为。 o x

图10.1 平面应力状态分析 x y

x y

y yx

yx xy xy

x xy

y yx 

   n

x

b a y —————————————————— 工程力学 ————————————————

266 单位厚度的微元oab如图，截面oa上作用的应力为x和xy，沿x、y方向的内力分别为xabcos和xyabcos；截面ob上作用的应力为y 和yx，沿x、y方向的内力分别为yxabsin和yabsin；设斜截面ab上的应力为n 和n，则斜截面上沿法向、切向的内力则为nab和nab。将上述各力投影到x、y轴上，有平衡方程：Fx=nabcosn absinx abcosyx absin

李禄昌1

n

P

t



P

第七章应力和应变分析强度理论

第一节应力状态的概述

同一截面上不同点的应力各不相同。

任一点应力

是该点坐标的函数。前面已经学习。

2

cos, sin2

2



轴向拉压时，

斜截面上的应力

cos2, sin2

222



轴向拉压除外。,N

A



pT

I



,

zMy

I

同一点的不同方向面上应力各不相同。

任一截面

上的应力是截面倾角的函数。本章学习内容。

李禄昌

2

构件在复杂受力情况下，某截面上同时存在正应力和切

应力时，危险截面如何确定？分析三种基本变形时，认为危险截面就是横截面，横截

面上只存在正应力σ或者切应力τ的作用。

构件实际破坏并不一定发生在横截面上。

轴向拉压变形的杆：

PP

A

A

A

扭转变形的轴：

m

mA

A这些单元体都是特殊方位的单元体左右侧面都是

横截面。

李禄昌

3受扭转和拉伸共同作用的圆杆P

Pm

m

24

dP

AN





316

pTm

wd







该构件的危险截面是否还是横截面？

强度条件是否还是：σ≤[σ]、τ≤[τ] ？李禄昌

4重点：构件任意斜截面上的应力状态如何？怎样计算？哪一

个截面是危险截面？倾斜角度是多少？最大应力是多少？

一、单元体：研究某一点应力状态时，通常是围绕该点截取一

个尺寸为无穷小的正六面体。（围绕一点可以截取无数个）

二、点的应力状态：研究通过某一点的各个不同方位截面上的

应力变化情况。（过一点可以切取无数个斜面）六个侧面如何确定？

三、单元体的特点：

•⑴、认为单元体的侧面上应力都是均布的，相互平行的侧面

上正应力是相等的。

•⑵、围绕某点的单元体可以有无数个，由截面方位决定单

元体方位，通常用特殊方位截取单元体。

李禄昌

5•⑴、认为单元体的侧面上应力都是均布的，相互平行的侧面

上正应力是相等的。

•⑵、围绕某点的单元体可以有无数个，由截面方位决定单

元体方位，通常用特殊方位截取单元体。方便计算。

•⑶、单元体相互垂直的两个侧面符合剪应力互等定理。

1北京交通大学工程力学研究所汪越胜Wang Yue-ShengBeijing JiaotongUniversity

Institute of Engineering Mechanics

应力状态和强度理论

北京交通大学工程力学研究所汪越胜Wang Yue-ShengBeijing JiaotongUniversity

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1. 一点的应力状态

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拉、压杆件截面上的应力: 应力状态1.一点的应力状态

FN

AF

N=σ2

θcosσσθ=

()

θ1

sin2

2τσθ=

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拉、压杆件上一点的应力: 应力状态1.一点的应力状态

σσσσA

σ

α

σ

ασ

βσ

β

τ

α

τ

β

2cos

ασσα=()1

sin2

2ατσα=单元体

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根据平衡方程0=∑

nF0=∑

tF

()

()0sincosdd0coscosdd

=−=−

θθστθθσσ

θθ

AAAA

xx应力状态1.一点的应力状态

θσσ

θ2cos

x=()θστ

θ2sin

21

x=

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构件内一点处各截面方向上的应力的情况，称为

该点的应力状态。可由围绕该点的一个单元体面