立体几何专题
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第 1 页 共 10 页 立体几何专题
1. (北京文) (18) (本小题 14 分)
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， 平面 PAD⊥平面 ABCD， PA⊥
PD， PA=PD， E， F 分别为 AD， PB 的中点.
( Ⅰ ) 求证： PE⊥BC； (Ⅱ)求证：平面 PAB⊥平面 PCD； (Ⅲ) 求证： EF∥平面
PCD.
2. (北京理) (16) (本小题 14 分)
如图， 在三棱柱 ABC- A1B1C1 中， CC1 」平面 ABC， D， E， F， G 分别为 AA1，AC， A1C1，
BB1 的中点， AB=BC= 5， AC= AA1 =2．
( Ⅰ ) 求证： AC⊥平面 BEF； ( Ⅱ ) 求二面角B-CD-C1 的余弦值； (Ⅲ) 证明： 直线 FG
与平面 BCD 相交． 第 1 页 共 10 页 3. (江苏) (15) (本小题满分 14 分)
在平行六面体 ABCD 一 A B C D 中， AA = AB, AB 」B C ．
求证： (1) AB∥平面A B C； (2) 平面ABB A 」平面A BC．
4. (浙江) (19) (本题满分 15 分)如图，已知多面体 ABCA1B1C1， A1A， B1B， C1C
均垂直于平面 ABC， ∠ABC=120°， A1A=4， C1C=1， AB=BC=B1B=2．
(Ⅰ)证明： AB1 ⊥平面 A1B1C1；
(Ⅱ)求直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角的正弦值．
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
第 2 页 共 10 页 第 3 页 共 10 页 5. (天津文) (17)(本小题满分 13 分)
如图，在四面体 ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面 ABC⊥平面 ABD，点 M 为棱
AB 的中点， AB=2， AD= 2 3 ，∠BAD=90°．
( Ⅰ ) 求证： AD⊥BC； ( Ⅱ ) 求异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值；
(Ⅲ)求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值．
6. (天津理) (17)(本小题满分 13 分)
如图， AD∥BC 且 AD=2BC， AD 」CD , EG∥AD且 EG=AD， CD∥FG
且 CD=2FG， DG 」平面ABCD， DA=DC=DG=2.
(I)若 M 为 CF 的中点， N 为 EG 的中点，求证： MN∥平面CDE；
(II)求二面角 E BC F 的正弦值；
(III)若点 P 在线段 DG 上，且直线 BP 与平面 ADGE 所成的角为 60°，
求线段 DP 的长. 第 3 页 共 10 页 第 4 页 共 10 页 7. (全国卷一文)(18)(12 分)
如图， 在平行四边形 ABCM 中， AB = AC = 3， ∠ACM = 90， 以 AC 为折痕
将△ ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 AB⊥DA．
(1)证明：平面 ACD⊥平面 ABC；
(2) Q 为线段 AD 上一点， P 在线段 BC 上， 且 BP = DQ = DA， 求三棱锥
3
Q ABP 的体积．
8. (全国卷一理)(18)(12 分)
如图， 四边形 ABCD为正方形， E, F 分别为 AD, BC 的中点， 以 DF 为折
痕把 △DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PF 」BF .
(1)证明：平面 PEF 」平面 ABFD；
(2)求 DP与平面 ABFD 所成角的正弦值 . 2 第 4 页 共 10 页
第 5 页 共 10 页 9. (全国卷二文)( 19) (12 分)
如图， 在三棱锥 P ABC 中， AB = BC = 2 2，PA = PB = PC = AC = 4，O为 AC
的中点．
(1)证明： PO 」平面 ABC；
(2)若点 M 在棱 BC 上，且 MC = 2MB，求点 C 到平面 POM 的距离．
10. (全国卷二理)(20)(12 分)
如图， 在三棱锥 P ABC 中， AB = BC = 2 2，PA = PB = PC = AC = 4，O 为 AC
的中点．
(1)证明： PO 」平面 ABC；
(2) 若点 M 在棱 BC 上， 且二面角 M PAC 为30，求 PC 与平面 PAM 所
成角的正弦值．
P
O 第 5 页 共 10 页 A C
M
B 第 6 页 共 10 页 11. (全国卷三文)(19)(12 分)
如图， 矩形 ABCD所在平面与半圆弧 CD 所在平面垂直， M 是CD 上异于
C， D 的点．
(1)证明：平面 AMD⊥平面 BMC；
(2)在线段 AM 上是否存在点 P ，使得 MC∥平面 PBD ？说明理由．
12. (全国卷三理)(19)(12 分)
如图， 边长为 2 的正方形 ABCD所在的平面与半圆弧 CD 所在平面垂直， M
是 CD 上异于 C， D 的点．
(1)证明：平面 AMD⊥平面 BMC；
(2) 当三棱锥 M ABC 体积最大时， 求面 MAB 与面 MCD所成二面角的
正弦值．
第 7 页 共 10 页 13． (12 分)
如 图， 四 棱 锥 P-ABCD 中， 侧 面 PAD 为 等 比 三 角 形 且 垂 直 于 底 面 ABCD，
1
AB = BC = AD, 三BAD = 三ABC = 90o , E 是 PD 的中点.
2
(1) 证明： 直线CE/ / 平面 PAB
(2) 点 M 在棱 PC 上， 且直线 BM 与底面 ABCD 所成锐角为 45o ， 求二面角 M-AB-D
的余弦值
14． (12 分)如图，在四棱锥 P-ABCD 中， AB//CD， 且三BAP = 三CDP = 90
(1)证明：平面 PAB⊥平面PAD；
(2)若 PA=PD=AB=DC, 三APD = 90 ,求二面角 A-PB-C 的余弦值.
第 7 页 共 10 页 第 8 页 共 10 页 15. (12 分)如图，四面体 ABCD 中， △ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD=
∠CBD， AB=BD．
(1) 证明： 平面 ACD⊥平面 ABC；
(2) 过 AC 的平面交 BD 于点 E， 若平面 AEC 把四面体 ABCD 分成体积相等的两部分，求
二面角 D –AE –C 的余弦值．
16． 如图， 在四棱锥 P-ABCD 中， 底面 ABCD 为正方形， 平面 PAD⊥平面 ABCD， 点 M
在线段 PB 上， PD//平面 MAC， PA=PD= 6， AB=4．
(I)求证： M 为 PB 的中点；
(II)求二面角 B-PD-A 的大小；
(III)求直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值．
第 9 页 共 10 页 17．如图，在三棱锥 P-ABC 中， PA⊥底面 ABC， 三BAC = 90o .点 D， E， N 分别为棱
PA， PC， BC 的中点， M 是线段 AD 的中点， PA=AC=4， AB=2.
(Ⅰ)求证： MN∥平面BDE；
(Ⅱ)求二面角 C-EM-N 的正弦值；
7
(Ⅲ) 已知点 H 在棱 PA 上， 且直线 NH 与直线 BE 所成角的余弦值为 ， 求线段 AH 21
的长.
18.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形
为旋转轴旋转 得到的， 是 的中点.
(Ⅰ)设 是 (Ⅱ)当
上的一点，且 ，求 的大小；
， ，求二面角 的大小. (及其内部) 以 边所在直线 第 9 页 共 10 页
19． (本题满分 15 分)如图，已知四棱 P–ABCD， △PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角
三角形， BC∥AD，D⊥AD， PC=AD=2DC=2CB， E 为 PD 的中点.
