高中数学函数与导数的应用

- 1 - 高中数学一元函数的导数及其应用

一元函数的导数是描述函数变化率的一个重要概念，它在高中数学中占有重要地位。本文将从以下几个方面来介绍一元函数的导数及其应用。

1. 导数的定义及其运算法则

首先，我们需要了解导数的定义及其运算法则。导数的定义是：函数$f(x)$在$x_0$处的导数为$f'(x_0)=limlimits_{Delta

xto0}dfrac{f(x_0+Delta x)-f(x_0)}{Delta x}$。而导数的运算法则包括：常数求导法则、和差求导法则、积法求导法则、商法求导法则、复合函数求导法则以及反函数求导法则等。

2. 导数的图像及其性质

导数的图像是很有特点的，对于一些数学问题，我们可以通过导数图像来解决。在本文中，我们将介绍导数图像的性质，如导数曲线的斜率、升降区间、极值和拐点等。

3. 极值与最值问题

极值与最值问题是高中数学中的一个重要问题，它跟导数密切相关。在本文中，我们将介绍如何通过导数来求得函数的极值与最值，并讲解极值与最值的应用。

4. 函数图像的绘制

函数图像的绘制是高中数学中的一个必修内容，它要求我们能够通过导数来判断函数的升降性、极值和拐点等，从而画出函数的图像。在本文中，我们将介绍如何通过导数来刻画函数图像的特点，并讲解 - 2 - 函数图像的绘制方法。

总之，本文的目的是让读者对一元函数的导数及其应用有一个全面的认识，从而更好地掌握高中数学的相关知识。

导数的概念及运算 知识点一：函数的平均变化率 （1）概念： 函数中，如果自变量在处有增量，那么函数值y也相应的有增量△y=f(x0+△x)-f(x0)，其比值叫做函数从到+△x的平均变化率，即。 若，，则平均变化率可表示为，称为函数从到的平均变化率。 注意：

①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； ②函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。

③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。函数的平均变化率是0，并不一定说明函数没有变化，应取更小考虑。

（2）平均变化率的几何意义

函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。

如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。

事实上，。

作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。

知识点二：导数的概念：

1．导数的定义：

对函数，在点处给自变量x以增量，函数y相应有增量。若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。 即：（或）

注意：

①增量可以是正数，也可以是负数；

②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。

2．导函数：

如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。 注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在处的函数值，反映函数在附近的变化情况。

3．导数几何意义：

（1）曲线的切线

曲线上一点P(x0，y0)及其附近一点Q(x0+△x,y0+△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ，其倾斜角为当点Q(x0+△x,y0+△y)沿曲线无限接近于点P(x0，y0)，即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。

第一节 变化率与导数、导数的计算

考纲要求：1.了解导数概念的实际背景．

2．理解导数的几何意义．

3．能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x的导数．

4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数．

1．导数的概念

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为ΔyΔx＝fx1－fx2x1－x0＝fx0＋Δx－fx0Δx.

当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数．通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝limx1→x0 fx1－fx0x1－x0＝limΔx→0 fx0＋Δx－fx0Δx.

(2)导数的几何意义

函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．函数y＝f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义．

(3)函数的导函数

一般地，如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝limΔx→0 fx＋Δx－fxΔx，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．

2．导数公式及运算法则

(1)导数公式表

原函数 导函数

f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0

f(x)＝xn(n∈Q) f′(x)＝nxn－1

f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x

f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x

f(x)＝ax f′(x)＝axln_a

f(x)＝ex f′(x)＝ex

1 第四章 导数

第1讲 导数的意义及运算

1．已知函数f(x)＝sinx＋a2，则f′(x)＝( )

A．cosx＋2a B．cosx

C．sinx＋2a D．2a

2．若f′(x0)＝2，则limk→0 fx0－k－fx02k等于( )

A．－1 B．－2 C．－1 D.12

3．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(

)

4．(2011年山东)曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )

A．－9 B．－3 C．9 D．15

5．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为( )

A．4 B．－14 C．2 D．－12

6．(2011年“江南十校”联考)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)＝( )

A．－e B．－1 C．1 D．e

7．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝12x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.

8．物体的运动方程是s＝－13t3＋2t2－5，则物体在t＝3时的瞬时速度为________，加速度为________．

9．(2010年全国)若曲线y＝x－12在点(a，a－12)处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，求a的值．

10．已知曲线y＝2x2＋3.

(1)求曲线在点P(1,5)处的切线方程；

(2)求曲线过点Q(2,9)的切线方程．

2 第2讲 导数在函数中的应用

1．(2011届河北唐山一中统测)若函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d有极值，则导函数f′(x)的图象不可能是(

)

2．(2011年海南海口调研测试)函数y＝f(x)在定义域－32，3内可导，其图象如图K4－2－1所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为(