2022年高考数学真题分类汇编：统计与概率

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2022年高考数学真题分类汇编：统计与概率

一、单选题(共7题；共35分)

1．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有多少种（ ）

A．12种 B．24种 C．36种 D．48种

【答案】B

【解析】【解答】因为丙丁相邻，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列，有

3! 种排列方式；甲不在两端，则甲在三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有： 3!×2×2=24 种不同的排列方式.

故答案为：B

【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解.

2．（5分）（2022·全国乙卷）分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：

则下列结论中错误的是（ ）

A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4

B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8

C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4

D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6

【答案】C

【解析】【解答】对于A：甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为 7.3+7.52=7.4 ，故A正确；

对于B：乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：

6.3+7.4+7.6+8.1+8.2+8.2+8.5+8.6+8.6+8.6+8.6+9.0+9.2+9.3+9.8+10.116=8.50625>8 ，故B正确；

2 / 14 对于C：甲同学周课外体育运动时长大于 8 的概率的估计值 616=0.375<0.4 ，故C错误；

对于D：乙同学周课外体育运动时长大于 8 的概率的估计值 1316=0.8125>0.6 ，

故D正确.

故选：C

【分析】结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案即可.

3．（5分）（2022·全国甲卷）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

则（ ）

A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

【答案】B

【解析】【解答】解：对于A，讲座前中位数为70%+75%2>70%， 所以A错；

对于B，讲座后问卷答题的正确率只有1个是80%，4个85%，剩下全部大于等于90%， 所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85% ，所以B对；

对于C，讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，所以C错；

3 / 14 对于D，讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20% ，

讲座前问卷答题的正确率的极差为95%-60%=35%>20% ，所以D错.

故选：B.

【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.

4．（5分）（2022·全国甲卷）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ）

A．15 B．13 C．25 D．23

【答案】C

【解析】【解答】解：从6张卡片中无放回抽取2张，共有如下15种情况：

(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，

其中数字之积为4的倍数的有其中数字之积为4的倍数的有(1，4)，(2，4)，(2，6)，(3，4)，(4，5)，(4，6)，共6种情况，

故概率为615=25 .

故选：C.

【分析】先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.

5．（5分）（2022·全国乙卷）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 𝑝1，𝑝2，𝑝3 ，且 𝑝3>𝑝2>𝑝1>0 ．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）

A．p与该棋手和甲、乙、丙的此赛次序无关

B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大

C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大

D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大

【答案】D

【解析】【解答】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，

记该棋手在第二盘与甲比赛，且连胜两盘的概率为 𝑝甲

则 𝑝甲=2(1−𝑝2)𝑝1𝑝3+2𝑝2𝑝1(1−𝑝3)=2𝑝1(𝑝2+𝑝3)−4𝑝1𝑝2𝑝3

4 / 14 记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为 𝑝乙

则 𝑝乙=2(1−𝑝1)𝑝2𝑝3+2𝑝1𝑝2(1−𝑝3)=2𝑝2(𝑝1+𝑝3)−4𝑝1𝑝2𝑝3

记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为 𝑝丙

则 𝑝丙=2(1−𝑝1)𝑝3𝑝2+2𝑝1𝑝3(1−𝑝2)=2𝑝3(𝑝1+𝑝2)−4𝑝1𝑝2𝑝3

则 𝑝甲−𝑝乙=2𝑝1(𝑝2+𝑝3)−4𝑝1𝑝2𝑝3−[2𝑝2(𝑝1+𝑝3)−4𝑝1𝑝2𝑝3]=2(𝑝1−𝑝2)𝑝3<0

𝑝乙−𝑝丙=2𝑝2(𝑝1+𝑝3)−4𝑝1𝑝2𝑝3−[2𝑝3(𝑝1+𝑝2)−4𝑝1𝑝2𝑝3]=2(𝑝2−𝑝3)𝑝1<0

即 𝑝甲<𝑝乙 ， 𝑝乙<𝑝丙 ，

则该棋手在第二盘与丙比赛， 𝑝 最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；

𝑝 与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.

故选：D

【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率

𝑝甲 ；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率 𝑝乙 ；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率 𝑝丙 .并对三者进行比较即可解决.

6．（5分）（2022·北京）若 (2𝑥−1)4=𝑎4𝑥4+𝑎3𝑥3+𝑎2𝑥2+𝑎1𝑥+𝑎0 ，则 𝑎0+𝑎2+𝑎4=

（ ）

A．40 B．41 C．-40 D．-41

【答案】B

【解析】【解答】当 𝑥=1 时， 𝑎0+𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑎4=1 ，当 𝑥=−1 时， 𝑎0−𝑎1+𝑎2−𝑎3+𝑎4=81 ，两式相加得 𝑎0+𝑎2+𝑎4=41 .

故答案为：B

【分析】令 𝑥=1 和 𝑥=−1 ，所得两式相加即可求解.

7．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）

A．16 B．13 C．12 D．23

【答案】D

【解析】【解答】解：由题意得，从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有 𝐶72=21 个不同的结果，其中不是互质的有（2，4），（2，6），（2，8），（3，6），（4，6），（4，8），（6，8），共7个

5 / 14 结果，则这2个数互质的概率为 𝑃=1−721=23 .

故选：D

【分析】由题意先求得结果总数，再由古典概型概率计算公式，结合对立事件的概率关系求得答案.

二、填空题(共8题；共50分)

8．（10分）（2022·浙江）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为 𝜉 ，则 𝑃(𝜉=2)= ， 𝐸(𝜉)= ．

【答案】1635；127

【解析】【解答】根据题意可得：ξ的取值可为1，2，3，4，

又𝑃（𝜉=1）=𝐶62𝐶73=37，

𝑃（𝜉=2）=𝐶21𝐶42+𝐶22𝐶41𝐶73=1635，

𝑃（𝜉=3）=𝐶32𝐶73=335，

𝑃（𝜉=4）=𝐶22𝐶73=335，

∴𝐸（𝜉）=1×37+2×1635+3×335+4×135＝127，

故答案为：1635；127

【分析】根据组合数公式，古典概型的概率公式，离散型随机变量的数学期望定义即可求解．

9．（10分）（2022·浙江）已知多项式 (𝑥+2)(𝑥−1)4=𝑎0+𝑎1𝑥+𝑎2𝑥2+𝑎3𝑥3+𝑎4𝑥4+𝑎5𝑥5 ，则

𝑎2= ， 𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑎4+𝑎5= ．

【答案】8；-2

【解析】【解答】（𝑥+2）（𝑥﹣1)4＝𝑥(𝑥−1)4+2(𝑥−1)4，

∴𝑎2＝𝐶43(−1)3+2𝐶42(−1)2=8；

令x＝0，则𝑎0＝2，

令x＝1，则𝑎0+𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑎4+𝑎5＝0，

∴𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑎4+𝑎5＝−2．

6 / 14 故答案为：8，﹣2．

【分析】a2相当于是用（x+2）中的一次项系数乘以（𝑥﹣1)4展开式中的一次项系数加上（x+2）中的常数项乘以（𝑥﹣1)4展开式中的二次项系数之和；分别给x辅助令x＝0，x＝1，即可求得𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑎4+𝑎5的值．

10．（5分）（2022·新高考Ⅱ卷）已知随机变量X服从正态分布 𝑁(2，𝜎2) ，且 𝑃(2<𝑋≤2.5)=0.36 ，则 𝑃(𝑋>2.5)= ．

【答案】0.14

【解析】【解答】因为 𝑋∼𝑁(2，𝜎2) ，所以 𝑃(𝑋<2)=𝑃(𝑋>2)=0.5 ，因此 𝑃(𝑋>2.5)=𝑃(𝑋>2)−𝑃(2<𝑋≤2.5)=0.5−0.36=0.14 ．

故答案为：0.14

【分析】根据正态分布曲线的性质即可求解．

11．（5分）（2022·全国甲卷）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ．

【答案】635

【解析】【解答】解：从正方体的8个顶点中任取4个，有 个结果𝑛=𝐶84=70，这 个点在同一个平面的有m=6+6=12个，

故所求概率𝑃=𝑚𝑛=1275=635．

故答案为： 635 ．

【分析】直接根据古典概型的概率公式即可求出．

12．（5分）（2022·全国乙卷）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．

【答案】310

【解析】【解答】从5名同学中随机选3名的方法数为 𝐶53=10

甲、乙都入选的方法数为 𝐶31=3 ，所以甲、乙都入选的概率 𝑃=310 .

故答案为： 310

【分析】根据古典概型计算即可.